江苏省无锡市普通高中20172018学年高一数学下学期期末考试试题
江苏省无锡市2017-2018学年高一(上)期末数学试卷(含答案)
2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合{}{0}112A B ==，，，，则A B ⋃=______．2.176cos π=______．3. 若幂函数y f x =（）的图象过点42（，），则16f =（）______．4. 若向量12a =（，），3b m =（，），且a b ，则|||a b +=______．5. 函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是______．6.计算：2ln33(0.125)e-++=______．7. 已知圆心角是3π的扇形的面积是223cmπ，则该圆心角所对的弧长为______cm ．8. 已知函数x （）是周期为2的奇函数，且1[]0x ∈-，时，f x x =（），则212f =（）______．9. 将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位所得函数记为y f x =（），当23x π=时f x （）取得最大值，则ϕ=______． 10.若cos 23sin(a )4a π=+，sin cos a a =______．11. 若2(x 1)1,1(x)1,1x f x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，且23f a f a -（）＜（），则实数a 的取值范围是______． 12. 在ABC 中，已知|AB |2=，|||1AC =，点M 在边BC 上，4||BC BM =，2AM CB ⋅=，则A B A C ⋅=______． 13. 函数221,04(x)1log ,4x x f x x +≤≤⎧=⎨+<⎩，若0m n ≤<，且(m)f(n)f =，则mf(n)的取值范围是______．14. 函数2f(x)m |31|4|31|1(m 0)x x =---+>在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______． 二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 设集合2{|3}2A x y log x =-（），2{}2|x B y y a x a a R ==≤≤+∈，，全集U R =．16. （1）若2a =，求U A C ⋂（B ）；17. （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．在ABC 中，已知12AB =（，），40AC m m =（，）（＞）． 18.19. 在△ABC 中，已知=（1，2）， =（4，m ）（m ＞0） （1）若90ABC ∠=︒，求m 的值； （2）若32||BC =2BD DC =，求cos ADC ∠的值．17.如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若712παπ∈（，），12πβ=，且点A 的坐标为1Am -（，）．（1）若423tan α=-，求实数m 的值； （2）若34tan AOB ∠=-，若2sin α的值．20. 某公司对营销人员有如下规定：21. i （）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；22. （ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式ay log x b =+，0a （＞，且1a ≠）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元． 23. （1）求y 关于x 的函数解析式；24. （2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．25. 已知奇函数23(x)22x b f x +=+，函数221g t sin t cost =+-（），]3[t m π∈，，m ，b R ∈． 26. （1）求b 的值；（2）判断函数f x （）在[0]1，上的单调性，并证明；（3）当]1[0x ∈，时，函数g t （）的最小值恰为f x （）的最大值，求m 的取值范围．已知向量24a sin x πω=+（（），，4b sin x πω=+（（），20cos x ωω（））（＞），函数•1x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．（1）求f x （）的单调增区间； （2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得 + +m （ - ）+1＞f （x 2）成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{012}，，【解析】 解：集合{}{0}112A B ==，，，， 则012{}A B ⋃=，，． 故答案为：{012}，，．根据交集的定义写出A B ⋃即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题． 2.【答案】2-【解析】解：1773)62cos 66cos cos ππππ-=-=-=（． 故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题． 3.【答案】4【解析】解：设幂函数a y f x x ==（）， 幂函数y f x =（）的图象过点42（，）， 42a ∴=， 解得：12a =，12y f x x ∴==（）164f ∴=（），故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将16x =代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题． 4.【答案】45解：||a b ，60m ∴-=，解得6m =． |48a b ∴+=（，）． 则2|4|a b +=+=故答案为：利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】[2-+∞，） 【解析】解：根据题意，ln(x 3)x 23ln(x 33x ||),2f x ln x +≥-⎧=+=⎨-+-<<-⎩（）（）， 即当2x ≥-时，3f x ln x =+（）（）， 令3t x y lnt =+=，，在[2-+∞，）上，1t ≥，此时3t x =+为增函数，y lnt =也为增函数，则函数f x （）为增函数； 当32x --＜＜时，3f x ln x =-+（）（）， 令3t x y lnt =+=-，，在32--（，）上，01t ＜＜，此时3t x =+为增函数，y lnt =-为减函数，则函数f x （）为减函数； 故函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是[2-+∞，）； 故答案为：[2-+∞，）． 根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题． 6.【答案】11【解析】解：原式233134[()]2-=++ 7411=+=．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 7.【答案】23π【解析】解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为rad α（），半径为r ，扇形的面积为S ， 则：2322234Sr ππα⨯===．解得2r =，可得：扇形的弧长为2233l r ππα==⨯=cm ．故答案为：23π．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 8.【答案】【解析】解：根据题意，函数x （）是周期为2的函数，则211110222f f f =+=（）（）（），又由f x （）为奇函数，则11112222f f =-=-（）（）（-）=，则21122f =（）；故答案为：12根据题意，由函数的周期性可得211110222f f f =+=（）（）（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得11112222f f =-（）（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题． 9.【答案】512π【解析】解：将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位，所得函数记为22y f x sin x ϕ==-（）（）， 当23x π=时f x （）取得最大值，则42232k ππϕπ-=+，5226k Z k πϕπ∈∴=-+．，令0k =，可得512πϕ=， 故答案为：512π．利用函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律求得f x （）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得ϕ的值．本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题． 10.【答案】49【解析】解：cos 2sin )4a a π=+（，2232=，即3=，13cos sin αα∴-=，两边平方得：112sin cos 9a a -=，49sin cos αα∴=．故答案为：49．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得1cos sin 3αα-=，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题． 11.【答案】12-∞（，）【解析】解：2(x 1)1,11,1x f x x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩（），可得1x ＞时，f x （）递减； 1x ≤时，f x （）递减， 且11f =（），可得f x （）在R 上递减， 23f a f a -（）＜（），可得23a a -＞， 解得12a ＜，故答案为：12-∞（，）．讨论f x （）在1x ＞和1x ≤的单调性，可得f x （）在R 上递减，进而可得a 的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题． 12.【答案】32【解析】解：4BM BC ==， 11()44BM BC AC AB ∴==-， 1344AB BM AC AB+=+， 21||||AB AC ==，，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，13•44AC AB AC AB =+-（）（）， 22113424AC AB AC AB =+⋅-， 13142442AB AC =-⨯+=-， 32AB AC ∴=⋅=， 故答案为：32．由向量加法及减法的三角形法则可得，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，结合已知即可求解AB AC ⋅．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题． 13.【答案】36]3（，【解析】 解：作出函数221,041log ,4X x f x x x +≤<⎧=⎨+<⎩（）的图象，可得12f n f m m ==+（）（），14m ≤＜，则2122mf n m m m m =+=+（）（）在14]（，递增，可得 mf n （）的范围是36]3（，． 故答案为：36]3（，．作出f x （）的图象，求得f n （），m 的范围及mf n （）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】34（，）【解析】 解：根据题意，对于函数2||31|431|1x x f x m =---+（），设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，|1|3x t =-的图象如图：若函数23143||11||0x x f x m m =---+（）（＞）在R 上有4个零点， 则方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根， 则有164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得：34m ＜＜，即m 的取值范围为34（，）； 故答案为：34（，）根据题意，设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，作出|1|3x t =-的草图，据此分析可得方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根，结合一元二次函数的性质可得164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题． 15.【答案】解：（1）集合220{|}{|}322{|32032}x A x y log x x x x x -≥⎧⎨-==-==≤>⎩（）＜，2a =时，{|2x B y y ==，{}|2416}4x y y ≤≤=≤≤，又全集U R =，{4|UC B x x ∴=＜或6}1x ＞， 2{|4U C A x x ∴⋂=≤（B ）＜，或1632}x ＜＜；（2）A B A B A ⋃=∴⊆，，又{}222|a a B y y +=≤≤，232{|}A x x =≤＜，222232aa +⎧≥⎪∴⎨<⎪⎩，解得实数a 的取值范围是13a ≤＜． 【解析】（1）求定义域得集合A ，求出2a =时集合B ，再根据集合的定义计算即可； （2）由A B A ⋃=得出B A ⊆，由此列不等式求出实数a 的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题． 16.【答案】解：（1）若90ABC ∠=︒，则0AB BC ⋅=，32BC AC AB m =-=-（，）， 3240m ∴+-=，12m ∴=． （2）||32BC =，9(m +-=， 0m ＞，5m ∴=，2BD DC =，1113DC BC ∴==（，），2223BD BC ==（，）， 而34ADAD AB BD =+=（，）， 34DA ∴=--（，）， 31417210||||52DA DC cos ADC DA DC ⋅-⨯-⨯∴∠===-．【解析】（1）由题意可知0AB BC ⋅=，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由32||BC =，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合2BD DC =，及向量夹角公式||||DA DC cos ADC DA DC ⋅∠=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用． 17.【答案】解：（1）由题意可得224213tan tan tan ααα==--，12tan α∴=-，或2tan α=． 712παπ∈（，），12tan α∴=-，即112m =--，12m ∴=． （2）sin()312124cos()12tan AOB tan tan παπαβαπα-∠=-=-==--（）（），2211()()1,[,]121212212sin cos ππππαπαα--∈-+=，34125125sin cos ππαα∴-=-=-（），（）， 24226121225sin sin cos πππααα∴-=--=-（）（）（），2722161225cos cos ππαα-=--=（）（），22226666[6]6sin sin sin cos cos sin ππππππαααα∴=-+=-+-=（）（）（）．【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tan α的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值． （2）利用同角三角函数的基本关系，求得12sin πα-（）和12cos πα-（）的值，再利用两角和的正弦公式求得[6]226sin sin ππαα=-+（）的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）864x ≤＜，年销售额越大，奖金越多，a y log xb ∴=+在84]6（，上是增函数． log 161log 643a a b b +=⎧∴⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩．864x ∴≤＜时，23y log x =-+；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（）， 由题意可得：643805k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得185k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． 64x ∴≥时，158y x =-．∴y 关于x 的函数解析式为20,08log 3,86415,648x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎩；（2）当08x ≤≤时，不合题意；当864x ≤＜时，2234log x -+＜＜，解得32128x ＜＜．3264x ∴≤＜．当64x ＞时，1548x -<，解得72x ＜，6472x ∴＜＜．综上，3272x ＜＜．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得ay log x b =+在84]6（，上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得64x ≥时，158y x =-，则函数解析式可求； （2）当08x ≤≤时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数23()22x b f x x +=+，可得00f =（）， 即0b =；（2）23(x)22x f x =+在[0]1，单调递增， 证明：设12x x ，是[0]1，上任意两个值，且12x x ＜，2121122122222121()(1)33(x )f(x )()2112(1)(1)x x x x x x f x x x x ---=-=⋅++++，由121]0[x x ∈，，，且12x x ＜， 可得210x x -＞，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，即有210f x f x -（）（）＞，即21f x f x （）＞（）， 可得f x （）在[0]1，递增；（3）由（2）可得f x （）在[0]1，递增，可得314max f x f ==（）（）， 可得g t （）的最小值为34， 令s cost =，所以22s s s =-+的最小值为34， 所以1322s ≤≤，即112cost ≤≤，]3[t m π∈，， 由y cost =的图象可得33m ππ-≤＜．【解析】（1）由奇函数的性质可得00f =（），解方程即可得到b ；（2）2322x f x x =+（）在[0]1，单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f x （）的最大值，即可得到g t （）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数2•b 12214f x a sin x x πωω=-=+--（）（）（）22sin x x ωω=（）（） 223sin x πω=-（）f x （）的最小正周期为π．0ω＞ 22ππω∴=， 1ω∴=．那么f x （）的解析式223f x sin x π=-（）（） 令222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈ 得：51212k x k ππππ-≤≤+ f x ∴（）的单调增区间为[k k 5]1212ππππ-+，，k Z ∈． （2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解， 转化为函数1y f x =+（）与函数2y n =只有一个交点． x 在[0]712π，上， 52336x πππ∴-≤-≤（） 那么函数12213y f x sin x π=+=--（）（）的值域为]，结合图象可知函数1y f x =-（）与函数2y n =只有一个交点． 那么1122n ≤<或21n =， 可得1122n -≤<或12n =．（3）由（1）可知223f x sin x π=-（）（）22min f x ∴=-（）． 实数m 满足对任意11[]1x ∈-，，都存在2x R ∈，使得11114()()?4?2?2?12x x x x m f x --++-+>成立．即1111?44?2?2?(>12x x x x m --++-+-）成立令1111?44221x x x x y m --=++-+（？）？？设1122x x t --=？？，那么111122442222x x x x t --+=-+=+？？）？？（11]1[x ∈-，，332[2]t ∴∈-，， 可得250t mt ++＞在3322[]t ∈-，上成立． 令250g t t mt =++（）＞， 其对称轴m 2t =- 332[]2t ∈-，上， ∴①当322m -≤-时，即3m ≥时，32930242min m g t g ==>--（）（），解得2936m ≤<； ②当33222m -<-<，即33m -＜＜时，2(>(t))5024m m g min g =-=-，解得33m -＜＜； ③当322m ≤-，即3m ≤-时，329300242min m g t g ==>（）（）+＞，解得2936m -≤-＜； 综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是292966（-，）． 【解析】（1）函数•1f x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f x （）的单调增区间．（2）根据x 在[0]712π，上求解f x （）的值域，即可求解实数n 的取值范围； （3）由题意，求解2f x （）的最小值，利用换元法求解111144221x x x x y m --=++-+（）的最小值，即可求解m 的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。
江苏省无锡市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题Word版含解析
2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A= I}, B = ，则AUB = ____________________ .【答案】【解析】■, -••• 「上m点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合. 2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解.2.gg --- --6 -------------【答案】2【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可.17jT 7E 兀丽【详解】，.沁' .6 6 6 2故答案为：'2【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题.3.若幕函数的图象过点•，贝U ______ .【答案】4【解析】【分析】根据已知求出函数的解析式，将代入可得答案.【详解】设幕函数'■幕函数的图象过点-,、「•='；,解得：",二二⑴--,故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是幕函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题.4.若向量a = (1. 2)，& = (3. m)，且；i II 匚，则| |日十E| = ______ •【答案】■..【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出.【详解】r I、，•• m S - C,解得⑴•几ti 十b =(4, B).故答案为：•.. •【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5.函数f(x) = |ln(x+ 3)的单调增区间是_____________ •【答案】f ：【解析】【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案. 【详解】根据题意，:•:;仁◎即当•时，. :,令i. ■■、.：■- ji：在I - 7上，心.，此时为增函数，飞-•也为增函数，则函数为增函数；当-3 <x< + 2 时，= - ln(x 十3),令.■ •、山一在-；上，；「「丨，此时|.人"•为增函数，' -“：为减函数，则函数F：X：为减函数; 故函数「E ⑴：：、-的单调增区间是〔-2 …；：：故答案为：丨-【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题.6.计算：= _____ •e - log+ （0.125）【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质即可得出.2【详解】原式=3+4+『）十=7+4=11 •故答案为：11 •【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题.7.已知圆心角是J勺扇形的面积是ycm2,则该圆心角所对的弧长为 ____________________ cm.如【答案】3【解析】【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值.【详解】设扇形的弧长为I，圆心角大小为，半径为r，扇形的面积为S,2兀2X —则：•.解得•- ,a 7i3托2兀可得：扇形的弧长为cm.2K故答案为：：.【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题.218.已知函数玖兀）是周期为2的奇函数，且时，心）=x吒亍）=__________________________________ 【答案】【解析】【分析】21 | ]根据题意，由函数的周期性可得：，结合函数的奇偶性与解析式可得分析2 2 2可得='，综合即可得答案.2 2 2 221 ] 1【详解】根据题意，函数「上’是周期为2的函数，^ U i；：,2 2 2又由ill为奇函数，贝U ,2 2 2 2nt21 1则i ；；2 2故答案为：2【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题.2兀9.将函数■. ■ ii-.J -.向右平移•■二-<7:个单位所得函数记为Y —当时：L；取得最大值y屮=___________ .【答案】12【解析】【分析】利用函数曲:y■⑴的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得的值.【详解】将函数：“1匚.向右平移-J ■<-■个单位，所得函数记为.U ■■：". - -2兀”、4兀兀峙7T 5兀:当时取得最大值，贝U 二- ，：二，令，可得「=一3 3 2 6 12故答案为：一.12【点睛】本题主要考查函数一AS宀总的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题.cos2fi (210.若.. 托 3 , -sin（a 十-）4【答案】【解析】【分析】1由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得- m =.、，两边平方得答案.cO452a - sin 2a ^2(cosa - sina)(sina 十 cosa) 迪:，即'—sina +■ cosa) 2-yfsina f cosa)*■・ sinaco^a4故答案为：•9【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题.((X-!)2- l,x<l11.若fg= £,] _______________________________________ ，且代2-日)<『(3(,则实数目的取值范围是【答案】2【解析】【分析】 讨论 在•和 的单调性，可得 在R 上递减，进而可得 a 的不等式，解不等式即可 得到所求范围.[(X- I)2- l,x<l【详解】F(x) =「1x7,£可得-时，.递减；F VI 时，递减，且 ，可得在R 上递减，f(2-a)<f(3a)，可得 2-a>3a ,解得 ，故答案为：【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中 档题.12. 在. 中，已知|心| =二，|壮| = 1，点M 在边BC 上，！•； I", 总上，则【详解】L .51 sin (a --)，两边平方得:]-2sinacosacosSAB ■ AC【答案】【解析】 【分析】由向量加法及减法的三角形法则可得，沁iH I 」；’-,结合已知即可求解/：. -【详解】丫 .di- —1 」 - -BM = -BC = -<AC - AB), 4 4 -丄1」 3」'■ AB I BM = -AC I -AB, 4 4v |AB| = 2, |AC| = 1 ,AM • BC = (AB 十 BM) • (AC - AB), 1 -3」 」」=( AC + -ABXAC-AB),--3「•AB M 爲,3故答案为：2【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题.' ^TT +10 U V U 4［十 log^x >4，若 0 兰 men ，且 f(m) = f(n)的取值范围是 ______________________ .【答案】 【解析】 【分析】作出 的图象，求得 ，m 的范围及….的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范 围.!【详解】作出函数- ■的图象,可得：.1 i ：：：I 匚二，I "二ii (1)则- - _m-二厂醫在；J递增，可得的范围是、•故答案为：’"I【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题.14. __________________________________________________________________________ 函数f(x) =m|3x-l|2- 4^-11十IfrnAO)在R上有4个零点，则实数m的取值范围是____________________________ .【答案】【解析】【分析】根据题意，设：：I，则■. in：' ‘：I ,作出：：I的草图，据此分析可得方程I16-4m >0在区间有2个根，结合一元二次函数的性质可得' ，解可得m的取值范围，即111(tn - 3 > 0可得答案.【详解】根据题意，对于函数:！: I ，设.■ = |.：:<<- |,=|.?'的图象如图：若函数「；.、：：一「•：一- I ；：H> :：.'在R上有4个零点,则方程- ■ I在区间I；有2个不同的根，.16-4m >0则有’,m(m - 3> 0解可得：-m即m的取值范围为、•；故答案为：、【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题.二、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15.设集合-■■- : -■r:- - '■- ..匚工：全集「」一.(1)若，求Wi(2)若\ 求实数a的取值范围.【答案】(1)二或；2)【解析】【分析】(1)求定义域得集合A,求出时集合B,再根据集合的定义计算即可；(2)由—总得出斗二，由此列不等式求出实数a的取值范围.【详解】(1)集合=「：|. .；.：：-J =: < -匕■■-■: J_ ：时，，^ ,又全集:'■ '■ ■-或，…二mm 「以—v或「-；(2) r L；卜上p. L .又二= , -,解得实数a的取值范围是•：.【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题.16.在厶ABC中，已知讣=(1, 2), := (4, m (m> 0)(1)若——,求m的值；(2)若|二…| =匚「」，且「I：-1；：.',求"—厂的值.【答案】(1) . (2)''2 10【解析】【分析】(1)由题意可知月；丨「：;，结合向量的数量积的性质即可求解m(2)由：厂结合向量数量积的性质可求m然后结合⑴；”'12,及向量夹角公式DADC即可求.|DA]||DC【详解】(1)若:my,贝y ,BC = AC - AB =(3. m-2),止 H 十2m -4 = 0,1-..=.2(2) 丫 -.,丫卜〔m ”=弭三，^m>0,讥m = 5,丁BD = 2liC,I」」 2 --DC = -BC = (1, 1) , BD = -lit = (2. 2),3 ? 3 ，而/ T -.k 'I - v !A DA = (- 3, -4),12(1)由题意利用二倍角的正切公式求得u 的值，再利用任意角的三角函数的定义求得 m 的值.(2)利用同角三角函数的基本关系，求得.-和曲二12JT一.；的值，再利用两角和的正弦兀 7C公式求得^的值.6 62tana【详解】(1)由题意可得1 - Un"a m即——7TE 1 122(2) 一.：］*.'=tan (a -—)=,12冗4cos(a -—)12a 7E ° 7Usin (a - —) + cos (a - —) = 1 ,aDA DC -3 1 -4 x l 7^2|DA||DC| 5j210【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并 能灵活应用.17.如图，在平面直角坐标系中，角：的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A B 两7E点，若• ，I ： ，且点A 的坐标为—「一二112 12(2)若 ，若r 「：的值.417-24^3 —(2)2 50【解析】 【分析】【答案】(1)(1)若“：：.：：=，求实数m 的值;兀 3 兀4■-. . ,12 5 12 5JE 7124 % 3 7C 7--. .- ,[「i. •,6 12 n 25 6 12 2531 7t 託応7T 7C 7 - 241/3- . - .. .6 6 6 6 6 6 50【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题.18.某公司对营销人员有如下规定：（i ）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；（ii）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多.此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式y = logax+b, （a>0，且1）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元.（1）求y关于x的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围.0,0<x<8[lofijX-3,8 <x< 64【答案】（1）（2）■■'j -x~5.x> 64【解析】【分析】（1）由已知可得y在m上是增函数，再结合已知列关于a, b的方程组，求解可得函数解析式；又…二弋时，y是x的一次函数，设卞-炸rwm，再由已知可得关于m, k1的方程组求解可得丁二」时，，则函数解析式可求；8（2）当时，不合题意；然后分类求解不等式得答案.【详解】（1）：••，年销售额越大，奖金越多，mu ■上在:上是增函数.••儘豔二解得區仝-8<x< 64时，y = - 3 4 log2x；又'―二弋时,y是x的一次函数，设心：由题意可得：'，解得’(m = - 5-丄P时，1v = .■■■■ - \ .80,0 < x < S[logjX-3,8 <x<64-5s x>64(2)当时，不合题意;当沁v：担时，」•一’■>，解得-：>■<.：匸■- 、、< L当:' .；-：.■!时，、！，解得•吃8综上所以该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元.【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题.3x I b r 7T19. --------------------------------- 已知奇函数-Jj —，函数L'- I.-..-' I '..,门，V I .2x^+2 彳(1)求b的值；(2)判断函数在卜】I上的单调性，并证明；(3)当■■ I ■'时，函数的最小值恰为「〕：］的最大值，求m的取值范围.7U Z【答案】(1) 0 (2) ■ 在卩：丨丨递增(3) .【解析】【分析】(1)由奇函数的性质可得解方程即可得到b;.. 3x(2)在W丨1单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符2x^ + 2号和下结论等步骤；(3)由(2)可得•的最大值，即可得到的最小值，运用换元法和余弦函数的图••• y关于x的函数解析式为象和性质，可得所求范围.3x(2) f (x )在［0,1］单调递增，2x 2 | 2证明：设Xi , X2是［0 , 1］上任意两个值，且 XiV X2,由 Xi , x?€ ［0 , 1］，且 XiVX2,可得 X2- X1 > 0, 1 - X1X2 >0, 1+x/> 0, 1+X2?> 0, 即有 f (X2)- f (X1)> 0，即 f (X2)> f (X1), 可得f ( X )在［0 , 1］递增；(3)由(2)可得 f ( X )在［0 , 1］递增，可得 f ( X ) max = f ( 1 )4可得g (t )的最小值为,4令s = cost ，所以s =- S 2+2S 的最小值为，斗131 畀所以 7S ，L , 即卩cost < 1, t € ［ m ,］,222 3兀兀由y = cost 的图象可得m 二-3- 3【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查 化简整理的运算能力，属于中档题.20.已知向量 ••，「，.. , :! C-." -：')，函数「小 ，44的最小正周期为(1) 求.的单调增区间；,. 7%—(2) 方程：：•： A I 「；在|i ：」上有且只有一个解，求实数 n 的取值范围；(3)是否存在实数 m 满足对任意X1 €［-1 , 1］，都存在X2€ R 使得 ++m( - ) +1【详解】(1)奇函数f (X )即 b = 0；3號亠b，可得 f ( 0)= 0, 应1-2> f (X2)成立•若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由.兀％c 1 一丽1 1 / 29【答案】(1) ，“二(2) 或(3)存在，且m取值范围为【解析】【分析】(1) 函数. 1, 的最小正周期为•可得，即可求解的单调增区间.(2)根据x 在|i ： |上求解. 的值域，即可求解实数 n 的取值范围；(3)由题意，求解 的最小值，利用换元法求解.■- --的最小值，即可求解m 的范围.【详解】(1)函数 f (x ) ? 1 = 2sin 2 (3 X 、-) cos (2 w x )- 1=sin (2 w x) : cos (2 w x)=2sin (2 w x )3T f ( X )的最小正周期为 n . w >0那么函数y =f (x ) +1 = 2sin ( 2x ' ) +1的值域为［..-,2］，结合图象可知函数y = f (x ) +1与函数y = 2n 只有一个交点. 那么 1 -：匸< 2nv 1 或 2n = 2,I - J5I可得 ------ 丫. 一或n = 1.22兀那么f (x )的解析式f (x )= 2sinJT(2x )717C 7C令X 2x . . , k € Z23 27T轨x I.TT___ 12"］上有且只有一个解, 12• f ( x)的单调增区间为丨，］,k € Z(2)方程 f (x )- 2n+1 = 0 ;在［0 ,转化为函数y = f (x ) +1与函数y = 2n 只有一个交点.7TL••• x 在［0 ,］上,71 -<(3)由(1)可知f (x )= 2sin (2x )•- f ( x ) min =- 2 .实数m满足对任意X1 € ［- 1 , 1］，都存在X2 € R使得m( ) +1> f (X2)成立.即4'' r m(J_] ；，J) +1>- 2 成立令y—、勺.j\,m( - ) +1设t，那么 , ( -)2+2= t2+2•-xi € [ - 1,1],可得t2+mt+5>0在t € ［，］上成立.令g (t) = t2+mt+5>0,其对称轴t•••①当'时，即m>3 时，g ( t ) min= g ( ) ,解得 * ；2 2 2 4 2 6£m 3 m irT②当，即-3 v nK 3 时，g (t) min= g ( —) 0，解得-3 v nK 3;2 2 2 2 43 m 3 29 3m 29③当，即m^- 3 时，g (t) min= g ( ) 0,解得m^- 3;2 2 匕242 6,).综上可得，存在m可知m的取值范围是（‘6 6【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，禾U用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键•同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用•属于难题.- 16 -。
2017-2018学年江苏省无锡市高二(下)期末数学试卷及答案(理科)
率均为 ．
（1）某人花 20 元参与游戏甲两次，用 X 表示该人参加游戏甲的收益（收益＝参与游戏 获得钱数﹣付费钱数），求 X 的概率分布及期望； （2）用 ξ 表示某人参加 n 次游戏乙的收益，n 为任意正整数，求证：ξ 的期望为 0． 20．（16 分）已知函数 fn（x）＝（1+λx）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中 λ∈R，n∈N． （1）若 λ＝﹣2，n＝2018，求 a0+a2+a4+…+a2018 的值； （2）若 n＝8，a7＝1024，求 ai（i＝0，1，2，3，…，8）的最大值；
．
13．（5 分）湖面上有 5 个相邻的小岛 A、B、C、D、E，现要建 4 座桥梁，将这 5 个小岛连
第 1 页（共 12 页）
接起来，共有
不同方案（用数字作答）．
14．（5 分）一个袋中有形状、大小完全相同的 100 个小球，其中 n（2≤n≤92）个红球其余
为白球，从中一次性任取 10 个小球，将“恰好含有 2 个红球“的概率记为 f（n），则当
n＝
时，f（n）取得最大值．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字
说明，证明过程或演算步骤．）
15．（14 分）已知复数 ω 在复平面内对应的点位于第二象限，且满足 ω2+2ω+4＝0．
（1）求复数 ω；
（2）设复数 z＝x+yi（x，y∈R）满足：ω•z 为纯虚数，|z|＝2，求 x•y 的值．
【解答】解：∵z＝
＝
，
∴
．
故答案为： ． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 2．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．
2017-2018学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=______．2.cos=______．3.若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则f（16）=______．4.若向量=（1，2），=（3，m），且 ∥，则|+|=______．5.函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是______．6.计算：=______．7.已知圆心角是的扇形的面积是cm2，则该圆心角所对的弧长为______cm．8.已知函数（x）是周期为2的奇函数，且x∈[-1，0]时，f（x）=x，则f（）=______．9.将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得函数记为y=f（x），当x=时f（x）取得最大值，则φ=______．10.若=，sinαcosα=______．11.若f（x）=，，＞，且f（2-a）＜f（3a），则实数a的取值范围是______．12.在△ABC中，已知||=2，||=1，点M在边BC上，4=，•=2，则•=______．13.函数f（x）=，若0≤m＜n，且f（m）=f（n），则mf（n）的取值范围是______．14.函数f（x）=m|3x-1|2-4|3x-1|+1（m＞0）在R上有4个零点，则实数m的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设集合A={x|y=+log2（32-x）}，B={y|y=2x，a≤x≤a+2，a∈R}全集U=R．（1）若a=2，求（∁U B）∩A；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．16.在△ABC中，已知=（1，2），=（4，m）（m＞0）．（1）若∠ABC=90°，求m的值；（2）若||=3，且=2，求cos∠ADC的值．17.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈（，π），β=，且点A的坐标为A（-1，m）．（1）若tan2α=-，求实数m的值；（2）若tan∠AOB=-，若sin2α的值．18.某公司对营销人员有如下规定：（i）年销售额x（万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x（万元）不大于64时，年终奖金y（万元）按关系式y=log a x+b，（a＞0，且a≠1）发放；当年销售额x（万元）不小于64时，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x（万元）的取值范围．19.已知奇函数f（x）=，函数g（t）=sin2t+2cos t-1，t∈[m，]，m，b∈R．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x∈[0，1]时，函数g（t）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．20.已知向量=（2sin（ωx+），-），=（sin（ωx+），cos（2ωx））（ω＞0），函数（x）=•-1，f（x）的最小正周期为π．（1）求f（x）的单调增区间；（2）方程f（x）-2n+1=0；在[0，]上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得4+4+m（2-2）+1＞f （x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{0，1，2}【解析】解：集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．根据交集的定义写出A∪B即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】【解析】解：cos=cos（3π-）=-cos=．故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3.【答案】4【解析】解：设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=，∴y=f（x）=∴f（16）=4，故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4.【答案】4【解析】解：∵∥，∴m-6=0，解得m=6．∴=（4，8）．故答案为：4．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】[-2，+∞）【解析】解：根据题意，f（x）=|ln（x+3）|=，即当x≥-2时，f（x）=ln（x+3），令t=x+3，y=lnt，在[-2，+∞）上，t≥1，此时t=x+3为增函数，y=lnt也为增函数，则函数f（x）为增函数；当-3＜x＜-2时，f（x）=-ln（x+3），令t=x+3，y=-lnt，在（-3，-2）上，0＜t＜1，此时t=x+3为增函数，y=-lnt为减函数，则函数f（x）为减函数；故函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是[-2，+∞）；故答案为：[-2，+∞）．根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．6.【答案】11【解析】解：原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.【答案】【解析】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===4．解得r=2，可得：扇形的弧长为l=rα=2×=cm．故答案为：．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：根据题意，函数（x）是周期为2的函数，则f（）=f（+10）=f（），又由f（x）为奇函数，则f（）=-f（-）=-（-）=，则f（）=；故答案为：根据题意，由函数的周期性可得f（）=f（+10）=f（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得f（）=-f（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9.【答案】【解析】解：将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，所得函数记为y=f（x）=sin（2x-2φ），∵当x=时f（x）取得最大值，则-2φ=2kπ+，k∈Z．∴2φ=-2kπ+，令k=0，可得φ=，故答案为：．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得φ的值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10.【答案】【解析】解：∵=，∴，即，∴cosα-sinα=，两边平方得：，∴sinαcosα=．故答案为：．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得cos，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．11.【答案】（-∞，）【解析】解：f（x）=，可得x＞1时，f（x）递减；x≤1时，f（x）递减，且f（1）=1，可得f（x）在R上递减，f（2-a）＜f（3a），可得2-a＞3a，解得a＜，故答案为：（-∞，）．讨论f（x）在x＞1和x≤1的单调性，可得f（x）在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：∵4=，∴==，∵=，∵||=2，||=1，=，=（）•（），=，==-2，∴=，故答案为：．由向量加法及减法的三角形法则可得，=，结合已知即可求解．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题．13.【答案】（3，36]【解析】解：作出函数f（x）=的图象，可得f（n）=f（m）=1+2m，1＜m≤4，则mf（n）=m（1+2m）=2m2+m在（1，4]递增，可得mf（n）的范围是（3，36]．故答案为：（3，36]．作出f（x）的图象，求得f（n），m的范围及mf（n）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】（3，4）【解析】解：根据题意，对于函数f（x）=m|3x-1|2-4|3x-1|+1，设t=|3x-1|，则y=mt2-4t+1，t=|3x-1|的图象如图：若函数f（x）=m|3x-1|2-4|3x-1|+1（m＞0）在R上有4个零点，则方程mt2-4t+1=0在区间（0，1）有2个根，则有，解可得：3＜m＜4，即m的取值范围为（3，4）；故答案为：（3，4）根据题意，设t=|3x-1|，则y=mt2-4t+1，作出t=|3x-1|的草图，据此分析可得方程mt2-4t+1=0在区间（0，1）有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．15.【答案】解：（1）集合A={x|y=+log2（32-x）}={x|}={x|2≤x＜32}，a=2时，B={y|y=2x，2≤x≤4}={y|4≤y≤16}，又全集U=R，∴∁U B={x|x＜4或x＞16}，∴（∁U B）∩A={x|2≤x＜4，或16＜x＜32}；（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，又B={y|2a≤y≤2a+2}，A={x|2≤x＜32}，∴ ，解得实数a的取值范围是1≤a＜3．【解析】（1）求定义域得集合A，求出a=2时集合B，再根据集合的定义计算即可；（2）由A∪B=A得出B⊆A，由此列不等式求出实数a的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题．16.【答案】解：（1）若∠ABC=90°，则=0，∵==（3，m-2），∴3+2m-4=0，∴m=．∴，∵m＞0，∴m=5，∵=2，∴==（1，1），==（2，2），而AD==（3，4），∴=（-3，-4），∴cos∠ADC===．【解析】（1）由题意可知=0，结合向量的数量积的性质即可求解m（2）由||=3，结合向量数量积的性质可求m，然后结合=2，及向量夹角公式cos∠ADC=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17.【答案】解：（1）由题意可得tan2α==-，∴tanα=-，或tanα=2．∵α∈（，π），∴tanα=-，即=-，∴m=．（2）∵tan∠AOB=tan（α-β）=tan（α-）==-，+=1，α-∈[，]，∴sin（α-）=，cos（α-）=-，∴sin（2α-）=2sin（α-）cos（α-）=-，cos（2α-）=2cos2（α-）-1=，∴sin2α=sin[（2α-）+]=sin（2α-）cos+cos（2α-）sin=．【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tanα的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α-）和cos（α-）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2α=sin[（2α-）+]的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角18.【答案】解：（1）∵8＜x≤64，年销售额越大，奖金越多，∴y=log a x+b在（8，64]上是增函数．∴ ，解得．∴8＜x≤64时，y=-3+log2x；又∵x≥64时，y是x的一次函数，设y=kx+m（k≠0），由题意可得：，解得．∴x≥64时，y=．∴y关于x的函数解析式为，，＜，＞；（2）当0≤x≤8时，不合题意；当8＜x≤64时，2＜-3+log2x＜4，解得32＜x＜128．∴32＜x≤64．当x＞64时，＜，解得x＜72，∴64＜x＜72．综上，32＜x＜72．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得y=log a x+b在（8，64]上是增函数，再结合已知列关于a，b的方程组，求解可得函数解析式；又x≥64时，y是x的一次函数，设y=kx+m（k≠0），再由已知可得关于m，k的方程组求解可得x≥64时，y=，则函数解析式可求；（2）当0≤x≤8时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数f（x）=，可得f（0）=0，即b=0；（2）f（x）=在[0，1]单调递增，证明：设x1，x2是[0，1]上任意两个值，且x1＜x2，f（x2）-f（x1）=（-）=•，由x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，可得x2-x1＞0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，即有f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），可得f（x）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f（x）在[0，1]递增，可得f（x）max=f（1）=，可得g（t）的最小值为，令s=cos t，所以s=-s2+2s的最小值为，所以≤s≤，即≤cos t≤1，t∈[m，]，由y=cos t的图象可得-≤m＜．【解析】（1）由奇函数的性质可得f（0）=0，解方程即可得到b；（2）f（x）=在[0，1]单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f（x）的最大值，即可得到g（t）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数f（x）=•-1=2sin2（ωx）-cos（2ωx）-1=sin（2ωx）-cos（2ωx）=2sin（2ωx）∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0∴，∴ω=1．那么f（x）的解析式f（x）=2sin（2x）令2x，k∈Z得：≤x≤∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．（2）方程f（x）-2n+1=0；在[0，]上有且只有一个解，转化为函数y=f（x）+1与函数y=2n只有一个交点．∵x在[0，]上，∴≤（2x）那么函数y=f（x）+1=2sin（2x）-1的值域为[，1]，结合图象可知函数y=f（x）-1与函数y=2n只有一个交点．那么≤2n＜或2n=1，可得＜或n=．（3）由（1）可知f（x）=2sin（2x）∴f（x2）min=-2．实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得4+4+m（2-2）+1＞f（x2）成立．即4+4+m（2-2）+1＞-2成立令y=4+4+m（2-2）+1设2-2=t，那么4+4=（2-2）2+2=t2+2∵x1∈[-1，1]，∴t∈[-，]，可得t2+mt+5＞0在t∈[-，]上成立．令g（t）=t2+mt+5＞0，其对称轴t=∵t∈[-，]上，∴①当时，即m≥3时，g（t）min=g（）=＞，解得＜；②当＜＜，即-3＜m＜3时，g（t）min=g（）=＞0，解得-3＜m＜3；③当，即m≤-3时，g（t）min=g（）=＞＞0，解得＜m≤-3；综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）．【解析】（1）函数f（x）=•-1，f（x）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f（x）的单调增区间．（2）根据x在[0，]上求解f（x）的值域，即可求解实数n的取值范围；（3）由题意，求解f（x2）的最小值，利用换元法求解y=4+4+m（2-2）+1的最小值，即可求解m的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。
市级联考江苏省无锡市20172018学年高一上期末数学试题.docx
绝密★启用前【市级联考】江苏省无锡市2017-2018学年高一（上)期末数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明外…………○…※内…………○…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合A ={0，1}，B ={1,2}，则A ∪B =______． 2．cos17π6=______．3．若幂函数y =f （x ）的图象过点（4，2），则f （16）=______． 4．若向量a ⃗=（1，2），b ⃗⃗=（3，m ），且a ⃗∥b ⃗⃗，则||a ⃗+b ⃗⃗|=______． 5．函数f （x ）=|ln （x +3）|的单调增区间是______． 6．计算：e ln3+log √525+(0.125)−23=______．7．已知圆心角是π3的扇形的面积是2π3cm 2，则该圆心角所对的弧长为______cm ． 8．已知函数f （x ）是周期为2的奇函数，且x ∈[−1，0]时，f （x ）=x ，则f （212）=______．9．将函数y =sin2x 向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得函数记为y =f （x ），当x =2π3时f （x ）取得最大值，则φ=______． 10．若cos2asin(a+π4)=√23，sinacosa =______．11．若f (x )={(x −1)2+1,x ≤11x,x >1 ，且f （2−a ）＜f （3a ），则实数a 的取值范围是______．12．在△ABC 中，已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，点M 在边BC 上，4|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．13．函数f(x)={2x +1,0≤x ≤41+log 2x,x >4，若0≤m <n ，且f(m)=f(n)，则mf(n)的取值范围是______．14．函数f(x)=m|3x −1|2−4|3x −1|+1(m >0)在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______．……○…………订…______班级：___________考号：……○…………订…二、解答题 15．设集合A ={x|y =√x −2+log 2（32−x ）}，B ={y|y =2x ，a ≤x ≤a +2，a ∈R}，全集U =R ． （1）若a =2，求（C U B ）∩A ；（2）若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．16．在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（1，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（4，m ）（m ＞0） （1）若∠ABC =90°，求m 的值；（2）若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，且BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求cos∠ADC 的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若α∈（7π12，π），β=π12，且点A 的坐标为A （−1，m ）．（1）若tan2α=−43，求实数m 的值； （2）若tan∠AOB =−34，若sin2α的值． 18．某公司对营销人员有如下规定：（i ）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式y ＝log a x +b ，（a ＞0，且a ≠1）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．19．已知奇函数f(x)=3x+b2x 2+2，函数g （t ）=sin 2t +2cost −1，t ∈[m ，π3]，m ，b ∈R ．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x∈[0，1]时，函数g（t）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．20．已知向量a=（2sin（ωx+π4），−√3），b⃗=（sin（ωx+π4），cos（2ωx））（ω＞0），函数（x）=a•b⃗−1，f（x）的最小正周期为π．（1）求f（x）的单调增区间；（2）方程f（x）−2n+1=0；在[0，7π12]上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得4x1+4−x1+m（2x1-2−x1）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1．{0,1,2}【解析】∵A={0，1}，B={1,2}∴A∪B={0,1,2}点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2．−√32【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】cos17π6=cos（3π−π6)=−cosπ6=−√32．故答案为：−√32【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3．4【解析】【分析】根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．【详解】设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=12，∴y=f（x）=x12，∴f（16）=4，故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4．4√5【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】∵a ||b⃗，∴m−6=0，解得m=6．∴a+b⃗=（4，8）．则|a+b⃗|=√42+82=4√5．故答案为：4√5．【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．[−2，+∞）【解析】【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，f（x）=|ln（x+3）|={ln(x+3)x≥−2−ln(x+3),−3<x<−2，即当x≥−2时，f（x）=ln（x+3），令t=x+3，y=lnt，在[−2，+∞）上，t≥1，此时t=x+3为增函数，y=lnt也为增函数，则函数f（x）为增函数；当−3＜x＜−2时，f（x）=−ln（x+3），令t=x+3，y=−lnt，在（−3，−2）上，0＜t＜1，此时t=x+3为增函数，y=−lnt为减函数，则函数f（x）为减函数；故函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是[−2，+∞）；故答案为：[−2，+∞）． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题． 6．11 【解析】 【分析】利用对数的运算性质即可得出． 【详解】原式=3+4+[(12)3]−23=7+4 =11．故答案为：11． 【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 7．2π3【解析】 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 【详解】设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α（rad ），半径为r ，扇形的面积为S ， 则：r 2=2S α=2×2π3π3=4．解得r =2，可得：扇形的弧长为l =rα=2×π3=2π3cm ．故答案为：2π3．【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 8．12 【解析】 【分析】根据题意，由函数的周期性可得f（212）=f（12+10）=f（12），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得f（12）=−f（−12）=−（−12）=12，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是周期为2的函数，则f（212）=f（12+10）=f（12），又由f（x）为奇函数，则f（12）=−f（12）=−（−12）=12，则f（212）=12；故答案为：12【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9．5π12【解析】【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得φ的值．【详解】将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，所得函数记为y=f（x）=sin（2x−2φ），∵当x=2π3时f（x）取得最大值，则4π3−2φ=2kπ+π2，k∈Z．∴2φ=−2kπ+5π6，令k=0，可得φ=5π12，故答案为：5π12．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10．49【解析】【分析】由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得cosα−sinα=13，两边平方得答案．∵cos2asin （a+π4)=√23， ∴22√22(sina+cosa)=√23，即√23(sina+cosa)=√23， ∴cosα−sinα=13，两边平方得：1−2sinacosa =19， ∴sinαcosα=49． 故答案为：49．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题． 11．（−∞，12） 【解析】 【分析】讨论f （x ）在x ＞1和x ≤1的单调性，可得f （x ）在R 上递减，进而可得a 的不等式，解不等式即可得到所求范围． 【详解】f (x )={(x −1)2+1,x ≤11x ,x >1 ， 可得x ＞1时，f （x ）递减； x ≤1时，f （x ）递减， 且f （1）=1，可得f （x ）在R 上递减，f （2−a ）＜f （3a ），可得2−a ＞3a ， 解得a ＜12，故答案为：（−∞，12）． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题． 12．32 【解析】由向量加法及减法的三角形法则可得，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合已知即可求解AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【详解】 ∵4=BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， =（14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）， =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， =14−34×4+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32， 故答案为：32．【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题． 13．(3,36] 【解析】 【分析】作出f （x ）的图象，求得f （n ），m 的范围及mf （n ）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围． 【详解】作出函数f （x ）={2X +1,0≤x <41+log 2x,x >4的图象，可得f （n ）=f （m ）=1+2m ，1＜m ≤4，则mf （n ）=m （1+2m ）=2m 2+m 在（1，4]递增，可得 mf （n ）的范围是（3，36]． 故答案为：（3，36]． 【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题． 14．(3,4) 【解析】 【分析】根据题意，设t =|3x −1|，则y =mt 2−4t +1，作出t =|3x −1|的草图，据此分析可得方程mt 2−4t +1=0在区间（0，1）有2个根，结合一元二次函数的性质可得{16−4m >00<2m <1m −3>0 ，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于函数f （x ）=m|3x −1|2−4|3x −1|+1，设t =|3x −1|， 则y =mt 2−4t +1， t =|3x −1|的图象如图：若函数f （x ）=m|3x −1|2−4|3x −1|+1（m ＞0）在R 上有4个零点， 则方程mt 2−4t +1=0在区间（0，1）有2个不同的根， 则有{16−4m >00<2m <1m −3>0，解可得：3＜m ＜4，即m 的取值范围为（3，4）； 故答案为：（3，4） 【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．15．（1）（C U B ）∩A ={x|2≤x ＜4，或16＜x ＜32}；（2）1≤a ＜3 【解析】 【分析】（1）求定义域得集合A ，求出a =2时集合B ，再根据集合的定义计算即可； （2）由A ∪B =A 得出B ⊆A ，由此列不等式求出实数a 的取值范围． 【详解】（1）集合A ={x|y =√x −2+log 2（32−x ）}={x|{x −2≥032−x >0 }={x|2≤x ＜32}，a =2时，B ={y|y =2x ，2≤x ≤4}={y|4≤y ≤16}， 又全集U =R ，∴C U B ={x|x ＜4或x ＞16}， ∴（C U B ）∩A ={x|2≤x ＜4，或16＜x ＜32}； （2）∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ，又B ={y|2a ≤y ≤2a +2}，A ={x|2≤x ＜32}， ∴{2a ≥22a+2<32，解得实数a 的取值范围是1≤a ＜3． 【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题． 16．（1）m =12（2）−7√210【解析】 【分析】（1）由题意可知AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，及向量夹角公式cos∠ADC =DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求. 【详解】（1）若∠ABC =90°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，m −2）， ∴3+2m −4=0， ∴m =12．（2）∵|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2， ∵√9+(m −2)2=3√2， ∵m ＞0， ∴m =5， ∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1），BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2）， 而AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，4）， ∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（−3，−4）， ∴cos∠ADC =DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√2=−7√210．【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17．（1）m =12（2）7−24√350【解析】【分析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tanα的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin （α−π12）和cos （α−π12）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2α=sin[（2α−π6）+π6]的值． 【详解】（1）由题意可得tan2α=2tanα1−tan 2α=−43，∴tanα=−12，或tanα=2．∵α∈（7π12，π），∴tanα=−12，即m−1=−12，∴m =12． （2）∵tan∠AOB =tan （α−β）=tan （α−π12）=sin(α−π12)cos(α−π12)=−34，sin 2(α−π12)+cos 2(α−π12)=1,α−π12∈[π2,11π12]，∴sin （α−π12）=35，cos （α−π12）=−45， ∴sin （2α−π6）=2sin （α−π12）cos （α−π12）=−2425，cos （2α−π6）=2cos 2（α−π12）−1=725， ∴sin2α=sin[（2α−π6）+π6]=sin （2α−π6）cos π6+cos （2α−π6）sin π6=7−24√350． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18．（1）y ={0,0≤x ≤8log 2x −3,8<x ≤6418x −5,x >64（2）32＜x ＜72【解析】 【分析】（1）由已知可得y =log a x +b 在（8，64]上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又x ≥64时，y 是x 的一次函数，设y =kx +m （k ≠0），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得x ≥64时，y =18x −5，则函数解析式可求； （2）当0≤x ≤8时，不合题意；然后分类求解不等式得答案． 【详解】（1）∵8＜x ≤64，年销售额越大，奖金越多， ∴y =log a x +b 在（8，64]上是增函数． ∴{log a 16+b =1log a 64+b =3 ，解得{a =2b =−3 ． ∴8＜x ≤64时，y =−3+log 2x ；又∵x ≥64时，y 是x 的一次函数，设y =kx +m （k ≠0）， 由题意可得：{64k +m =380k +m =5 ，解得{k =18m =−5 ．∴x ≥64时，y =18x −5．∴y 关于x 的函数解析式为y ={0,0≤x ≤8log 2x −3,8<x ≤6418x −5,x >64；（2）当0≤x ≤8时，不合题意；当8＜x ≤64时，2＜−3+log 2x ＜4，解得32＜x ＜128． ∴32＜x ≤64．当x ＞64时，18x −5<4，解得x ＜72， ∴64＜x ＜72． 综上，32＜x ＜72．所以该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元． 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19．（1）0（2）f （x ）在[0，1]递增（3）−π3≤m ＜π3 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得f （0）=0，解方程即可得到b ；（2）f （x ）=3x2x 2+2在[0，1]单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f （x ）的最大值，即可得到g （t ）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．【详解】（1）奇函数f （x ）=3x+b 2x 2+2，可得f （0）＝0，即b ＝0； （2）f （x ）=3x 2x 2+2在[0，1]单调递增，证明：设x 1，x 2是[0，1]上任意两个值，且x 1＜x 2， f （x 2）﹣f （x 1）=32（x 2x 22+1−x 1x 12+1）=32•(x 2−x 1)(1−x 1x 2)(1+x 22)(1+x 12)，由x 1，x 2∈[0，1]，且x 1＜x 2，可得x 2﹣x 1＞0，1﹣x 1x 2＞0，1+x 12＞0，1+x 22＞0， 即有f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1）， 可得f （x ）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f （x ）在[0，1]递增，可得f （x ）max ＝f （1）=34，可得g （t ）的最小值为34，令s ＝cos t ，所以s ＝﹣s 2+2s 的最小值为34，所以12≤s ≤32，即12≤cos t ≤1，t ∈[m ，π3]，由y ＝cos t 的图象可得−π3≤m ＜π3． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．（1）[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z （2）1−√32≤n <12或n =12（3）存在，且m 取值范围为(−296，296)【解析】 【分析】（1）函数f （x ）=a •b ⃗ −1，f （x ）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f （x ）的单调增区间．（2）根据x 在[0，7π12]上求解f （x ）的值域，即可求解实数n 的取值范围；（3）由题意，求解f （x 2）的最小值，利用换元法求解y =4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1的最小值，即可求解m 的范围． 【详解】（1）函数f （x ）=a →•b →−1＝2sin 2（ωx +π4）−√3cos （2ωx ）﹣1＝sin （2ωx ）−√3cos （2ωx ） ＝2sin （2ωx −π3）∵f （x ）的最小正周期为π．ω＞0 ∴2π2ω=π，∴ω＝1．那么f （x ）的解析式f （x ）＝2sin （2x −π3）令2kπ−π2≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z 得：kπ−π12≤x ≤kπ+5π12∴f （x ）的单调增区间为[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z ．（2）方程f （x ）﹣2n +1＝0；在[0，7π12]上有且只有一个解， 转化为函数y ＝f （x ）+1与函数y ＝2n 只有一个交点． ∵x 在[0，7π12]上， ∴−π3≤（2x −π3）≤5π6那么函数y ＝f （x ）+1＝2sin （2x −π3）+1的值域为[1−√3，2]，结合图象可知 函数y ＝f （x ）+1与函数y ＝2n 只有一个交点． 那么1−√3≤2n ＜1或2n ＝2， 可得1−√32≤n ＜12或n ＝1．（3）由（1）可知f （x ）＝2sin （2x −π3） ∴f （x 2）min ＝﹣2．实数m 满足对任意x 1∈[﹣1，1]，都存在x 2∈R ， 使得4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1＞f （x 2）成立． 即4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1＞﹣2成立令y =4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1设2x 1−2−x 1=t ，那么4x 1+4−x 1=（2x 1−2−x 1）2+2＝t 2+2 ∵x 1∈[﹣1，1]， ∴t ∈[−32，32]，可得t 2+mt +5＞0在t ∈[−32，32]上成立． 令g （t ）＝t 2+mt +5＞0， 其对称轴t =−m2∵t ∈[−32，32]上， ∴①当−m 2≤−32时，即m ≥3时，g （t ）min ＝g （−32）=294−3m 2＞0，解得3≤m ＜296；②当−32＜−m 2＜32，即﹣3＜m ＜3时，g （t ）min ＝g （−m2）=5−m 24＞0，解得﹣3＜m ＜3；③当32≤−m 2，即m ≤﹣3时，g （t ）min ＝g （32）=294+3m 2＞0＞0，解得−296＜m ≤﹣3；综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是（−296，296）． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。
江苏省无锡市梅村高级中学2018年高一数学理下学期期末试题含解析
江苏省无锡市梅村高级中学2018年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A与B都是集合U的子集，那么如图中阴影部分表示的集合为（）A．A∩B B．A∪B C．?U（A∪B）D．?U（A∩B）参考答案：C【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】阴影部分所表示的为不在集合B中也不在集合A中的元素构成的部分【解答】解：阴影部分所表示的为不在集合B中也不在集合A中的元素构成的部分，故阴影部分所表示的集合可表示为?U（A∪B），故选：C2. 已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：B【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】本题的关键是根据A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，写出集合B，并且找到集合B的元素个数【解答】解：∵A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}则B中所含元素的个数为：3故选：B3. 将函数y=sinx图象上所有的点向左平移个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】第一次变换得到函数y=sin（x+）的图象，再进行第二次变换得到函数y=sin（x+）的图象，由此得出论．【解答】解：将函数y=sinx图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y=sin（x+）的图象，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x+）的图象，故所求函数的解析式为，故选A．4. 过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4参考答案：A【考点】直线的斜率．【分析】根据斜率k=，直接求出m 的值．【解答】解：过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，所以k===1解得m=1故选A5. cos390°的值为（）A．B．C．D．参考答案：A6. 向量，且，则()A. B. C. D.参考答案：C【分析】先根据求出的值，再利用诱导公式化简即得解.【详解】因为，所以，所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示和诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n?β，m⊥n，则α⊥βD．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β参考答案：A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n'与β垂直，又n⊥β，得到n∥n'，又m⊥α，得到m⊥n'，所以m⊥n；故A正确；对于B，m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误；对于C，m⊥α，n?β，m⊥n，则α与β可能平行；故C错误；对于D，m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选：A．8. 若函数都是奇函数，且在上有最大值6，则在上（）A．有最小值-2 B．有最大值-5C．有最小值-1 D．有最大值-3参考答案：A略9. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A. B.C. D.参考答案：C10. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（）A．16 B．17 C．18 D．19参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下图是一个四棱锥的三视图，那么该四棱锥的体积是________；参考答案：略12. 若=，=，则在上的投影为________________。
2017-2018学年下学期高一期末考试试卷 数学
2017-2018学年下学期高一期末考试试卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案．．．．写在答题卷上．．．．．．．1．设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B = （）A ．∅B ．{2}C ．{2,2}-D ．{2,1,2,3}-2．=0750cos （）A．32B ．12C ．32-D ．12-3．已知函数lg ,0()12,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，则((2))f f -=（）A ．3-B ．0C ．1D ．1-4．设单位向量22(,sin )3α=a ，则cos 2α的值为（）A ．79B ．12-C ．79-D ．325．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1tan 7α=，1tan 3β=，则2αβ+=（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π6．设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是（）A ．,,m m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥nB ．,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥IC ．,,//m n m nαβαβ⊥⊥⇒⊥D ．//,,//m n m nαβαβ⊥⇒⊥7．已知||2a = ，(2)a b a -⊥ ，则b 在a方向上的投影为（）A ．4-B ．2-C ．2D ．48．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，62c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b c a <<D ．b a c<<9．已知正实数n m ,满足222=+++n m n m ，则mn 的最大值为（）A ．236-B ．2C ．246-D ．310．对于非零向量c b a ,,，下列命题正确的是（）A ．若),(02121R b a ∈=+λλλλ，则021==λλB ．若b a //，则a 在b 上的投影为||a C ．若b a ⊥，则⋅a 2)(b a b ⋅=D ．若c b c a ⋅=⋅，则=a b 11．在△ABC 中，，P 是BN 上的一点，若，则实数m 的值为（）A ．3B ．1C ．D ．12．已知．若恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．13．23(log 9)(log 4)⋅=．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号14．若变量,x y 满足约束条件010210x y y x x -≤⎧⎪≤-⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最小值为．15．过长方体的一个顶点的三条棱长分别是1、2、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，BC 边上的高与BC 边长相等，则bca b c c b 2++的最大值是．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知(,)2παπ∈，且4sin 5α=．（1）求tan()4πα-的值；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（12分）已知向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，413||13a b -= ．（1）求cos()αβ-的值；（2）若02πα<<，02πβ-<<，且4sin 5β=-，求sin α的值．19．（12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且28,373==S a ，在等比数列}{n b 中，8,443==b b ．（1）求n a 及n b ；（2）设数列}{n n b a 的前n 项和为n T ，求n T ．20．（12分）已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图像与直线2y =两相邻交点之间的距离为π，且图像关于3x π=对称．（1）求()y f x =的解析式；（2）先将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象．求()g x 的单调递增区间以及()3g x ≥的x 取值范围．21．（12分）如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，,3,15,33BE AD BC AD BE ⊥===．把ABE ∆沿BE 折起，使得62AC =，得到四棱锥A BCDE -．如图2所示．（1）求证：面ACE ⊥面ABD ；（2）求平面ABE 与平面ACD所成锐二面角的余弦值．22．（12分）已知函数4()lg4xf x x-=+，其中(4,4)x ∈-．（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在(4,4)-上的单调性；（3）是否存在这样的负实数k ，使22(cos )(cos )0f k f k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 取值的集合；若不存在，说明理由．2017-2018学年下学期高一期末考试试卷数学答案一、选择题．1-5：BACAB6-10：DDBCC11-12：CD二、填空题．13．414．6-15．π1016．22三、解答题．17．解：（1）∵(,)2παπ∈，4sin 5α=，∴3cos 5α=-，则4tan 3α=-，∴41tan 13tan()7441tan 13πααα----===+-．（2）由222sin 2cos 2sin cos cos 1cos 22cos 11ααααααα--=+-+2sin cos 2cos ααα-=，2tan 11126α-==-．18．解：（1）由已知得()a 1,cos b a b αβ==⋅=-，又41313a b -= ，2216213a ab b ∴-⋅+= ，()135cos =-∴βα．（2）由πβαβππα<-<∴<<-<<002,20，又()54cos ,sin 135αββ-==-，()123sin ,cos 135αββ∴-==，()[]651654135531312sin sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=+-=∴ββαα．19．解：（1）设}{n a 的公差为d ，则由题有12821732111==⇒⎩⎨⎧=+=+d a d a d a ，∴n a n =．∵在等比数列}{n b 中，8,443==b b ，∴}{n b 的公比为234==b b q ，∴1332--==n n n q b b ，即12-=n n b ．（2）由（1）知n a n =，12-=n n b ，∴12-⋅=n n n n b a ．∴132********-⨯++⨯+⨯+⨯+=n n n T ，n n n n n T 22)1(2322212132⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ，∴12)1(12122)2221(212+⋅-=---⨯=++++-⨯=-n n nn n n n n n T ，即12)1(+⋅-=n n n T ．20．解：（1）由已知可得T π=,2ππω=，∴2ω=，又()f x 的图象关于3x π=对称，∴232k ππϕπ⋅+=+，∴6k πϕπ=-，k Z ∈，∵22ππϕ-<<，∴6πϕ=-，所以()2sin(2)6f x x π=-．（2）由（1）可得()2sin(2)6f x x π=-，∴()2sin()6g x x π=+，由22262k x k πππππ-≤+≤+得，22233k x k ππππ-≤≤+，()g x 的单调递增区间为2[2,2]33k k ππππ-+，k Z ∈．∵2sin()36x π+≥，∴3sin()62x π+≥，∴222363k x k πππππ+≤+≤+，∴22,62x k x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．21．解：（1）证明：在等腰梯形ABCD 中3,15,BC AD BE AD ==⊥，可知6,9AE DE ==．因为3,33,BC BE BE AD ==⊥，可得6CE =．又因为6,62AE AC ==，即222AC CE AE =+，则AE EC ⊥．又,BE AE BE EC E ⊥⋂=，可得面BCDE ，故AE BD ⊥．又因为9tan 333DE DBE BE ∠===，则060DBE ∠=，33tan 333BC BEC BE ∠===，则030BEC ∠=，所以CE BD ⊥，又AE EC E ⋂=，所以BD ⊥面ACE ，又BD ⊂面ABD ，所以面ABD ⊥面ACE ．（2）设EC BD O = ，过点O 作//OF AE 交AC 于点F，以点O 为原点，以,,OB OC OF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O BCF -．在BCE ∆中，∵030BEO ∠=，BO EO ⊥，∴9333,,222EO CO BO ===，则2339,0,0,0,,0,0,,0222B C E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵1//,,62FO AE FO AE AE ==，∴3FO =，则()90,0,3,0,,62F A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵//,9DE BC DE =，∴3ED BC = ，∴93,0,02D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴()()339933,,0,0,0,6,0,6,6,,,02222BE AE CA CD ⎛⎫⎛⎫===-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面ABE 的法向量为()1111,,n x y z = ，由11·0{·0n AE n BE == ，得11160{339022z x y =+=，取13x =，可得平面ABE 的法向量为()13,1,0n =-，设平面ACD 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由22·0{·0n CA n CD == ，得1111660{933022y z x y -+=--=，取11x =，可得平面ABE 的一个法向量为()21,33,33n =--．设平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角为θ，则1212·432165cos 55255n n n n θ=== ，所以平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值为216555．22．解：（1）∵44()lglg ()44x xf x f x x x+--==-=--+，∴()f x 是奇函数．（2）()f x 在(4,4)-上为减函数．证明：任取12,(4,4)x x ∈-且12x x <，则12121244()()lglg 44x x f x f x x x ---=-++121244lg 44x x x x -+=⨯+-21121212164()lg 164()x x x x x x x x +--=+--，∵2112164()x x x x +--2112164()0x x x x >--->，∴21121212164()1164()x x x x x x x x +-->+--，得12()()0f x f x ->，得到12()()f x f x >，∴()f x 在(4,4)-上为减函数．（3）∵22(cos )(cos )f k f k θθ-≥--22(cos )f k θ=-，∵()f x 在(4,4)-上为减函数，∴222204cos 44cos 4cos cos k k k k k θθθθ<⎧⎪-<-<⎪⎨-<-<⎪⎪-≤-⎩对R θ∈恒成立，由22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立得22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立，令2211cos cos (cos )42y θθθ=-=--，∵cos [1,1]θ∈-，∴1[2,]4y ∈-，∴22k k -≤-，得1k ≤-，由4cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：33k -<<，由224cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：22k -<<，即综上所得：21k -<≤-，所以存在这样的k ，其范围为21k -<≤-．。
江苏省无锡市普通高中2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题+Word版含答案【KS5U+高
无锡市普通高中2018年春学期期终教学质量抽测建议卷高一数学第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本进行某项调查，则应抽取的男学生人数为 ．2.等比数列{}n a 中，若21a =，58a =，则7a = ．3.在ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠= ．4.如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒.若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为 ．5.已知某人连续5次射击的环数分别是8，9，10，x ，8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为 ．6.如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是 ．7.已知实数x ，y 满足,2,0,y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则93x y z =⋅的最大值是 ．8.在等差数列{}n a 中，0n a >，45a =，则2619a a +的最小值为 ． 9.设()()11111223341n S n N n n *=++++∈⨯⨯⨯+，且156n n S S +=，则n = ． 10.如图所示，墙上挂有一块边长为a 的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为2a 的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 ．11.在ABC ∆中，已知3C π∠=，BC a =，AC b =，且a ，b 是方程213400x x -+=的两根，则AB 的长度为 ．12.在R 上定义运算a ※()1b a b =+，若存在[]1,2x ∈，使不等式()m x -※()4m x +<成立，则实数m 的取值范围为 ．13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()22n n n S n N *-=∈，若对任意实数[]0,1λ∈，总存在自然数k ，使得当n k ≥时，不等式()()2123243n n n a a λλλ+-≥-++恒成立，则k 的最小值是 ．14.已知0x >，0y >，则2222629xy xy x y x y+++的最大值是 ． 第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试，现从中等可能抽出n 名学生的成绩作为样本，制成如图频率分布表：。
2017-2018年江苏省苏州市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝．2．（5分）一组数据1，2，3，4，5，则这组数据的方差等于．3．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有辆．4．（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于．5．（5分）设向量＝（1，4），＝（﹣1，x），＝+3，若∥，则实数x的值是．6．（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为．7．（5分）公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为尺．（1匹＝4丈，1丈＝10尺）8．（5分）如图所示，在6×4的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B，C均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），则•＝．9．（5分）已知角θ位的终边上一点P的坐标（3，4），则的值为．10．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，则+的值为．11．（5分）已知关于x的方程|x|（x﹣a）＝1在（﹣2，+∞）上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是．12．（5分）已知a＞0，b＞0，且+＝1，则3a+2b+的最小值等于．13．（5分）将关于x的方程sin（x﹣）＝a（0＜a＜1）所有正整数解从小到大排列构成数列{a n}，且a1，a2，a3构成等比数列，则a1＝．14．（5分）已知函数f（x）＝x2+（1﹣2a）x+a2，若关于x的不等式f（f（x））≥0恒成立．则实数a的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知cosα＝，α∈（0，）．（1）求sin（+α）的值；（2）若cos（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．16．（14分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝2a3，S4＝2a4+4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．17．（14分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝π，AB⊥AD，AB＝1（1）若•＝3，求△ABC的面积；（2）若BC＝2，AD＝5，求CD的长度．18．（16分）如图，长方形材料ABCD中，已知AB＝2，AD＝4．点P为材料ABCD内部一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF＝．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN，满足∠MPN＝150°，点M，N分别在边AB，AD上．（1）设∠FPN＝θ，试将四边形材料AMPN的面积S表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．19．（16分）已知函数f（x）＝．（1）当a＝4，b＝﹣2时，求满足f（x）＝2x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数．①存在t∈[﹣1，1]，使得不等式f（t2﹣t）＜f（2t2﹣k）有解，求实数k的取值范围；②若函数g（x）满足f（x）•[g（x）+2]＝2x﹣2﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n＝3，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．①求数列{b n}的通项公式；②设数列∁n＝a n b n，问：数列{∁n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．2017-2018学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．【解答】角：∵集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．2．（5分）一组数据1，2，3，4，5，则这组数据的方差等于2．【解答】解：＝（1+2+3+4+5）＝3S2＝×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2故答案为：23．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有80辆．【解答】解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60）内的汽车的频率为（0.01+0.03）×10＝0.4．∴时速在区间[40，60）内的汽车有0.4×200＝80（辆）．故答案为：80．4．（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于．【解答】解：∵袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，基本事件总数n＝＝10，摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数m＝＝6，∴摸出1个黑球和1个白球的概率p＝．故答案为：．5．（5分）设向量＝（1，4），＝（﹣1，x），＝+3，若∥，则实数x的值是﹣4．【解答】解：∵向量＝（1，4），＝（﹣1，x），∴＝+3＝（﹣2，4+3x），∵∥，∴，解得x＝﹣4，∴实数x的值是﹣4．故答案为：﹣4．6．（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为25．【解答】解：第一次循环得到T＝1×5＝5，i＝10；第二次循环得到T＝5×10＝50，i＝15；第三次循环得到T＝50×15＝750，i＝20；第四次循环得到T＝750×20＝15000，i＝25；此时不满足判断框中的条件，终止循环，输出i＝25．故答案为：25．7．（5分）公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为尺．（1匹＝4丈，1丈＝10尺）【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知，S30＝30×5＝390，解得d＝尺．故答案为：．8．（5分）如图所示，在6×4的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B，C均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），则•＝12．【解答】解：如图所示：以O为坐标原点，向右为x轴的正方向，向上为y轴的正方向，故：A（﹣1，4），B（5，1），C（3，2），所以：，，则：．故答案为：129．（5分）已知角θ位的终边上一点P的坐标（3，4），则的值为﹣．【解答】解：角θ位的终边上一点P的坐标（3，4），∴sinθ＝＝，cosθ＝＝，则＝＝＝﹣，故答案为：﹣．10．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，则+的值为1．【解答】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A+C，又A+B+C＝π，∴B＝，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac+＝＝＝．故答案为：1．11．（5分）已知关于x的方程|x|（x﹣a）＝1在（﹣2，+∞）上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是（﹣，﹣2）．【解答】解：关于x的方程|x|（x﹣a）＝1，显然x＝0方程不成立，可得a＝x﹣，设f（x）＝x﹣，则f（x）＝，画出f（x）的图象，可得当﹣＜a＜﹣2时，y＝a和y＝f（x）的图象有3个交点，即关于x的方程|x|（x﹣a）＝1在（﹣2，+∞）上有三个相异实根，故答案为：（﹣，﹣2）．12．（5分）已知a＞0，b＞0，且+＝1，则3a+2b+的最小值等于11．【解答】解：已知a＞0，b＞0，且+＝1，则3a+2b+＝3a（）+2b（）+，＝5+，故答案为：1113．（5分）将关于x的方程sin（x﹣）＝a（0＜a＜1）所有正整数解从小到大排列构成数列{a n}，且a1，a2，a3构成等比数列，则a1＝．【解答】解：关于x的方程sin（x﹣）＝a（0＜a＜1），可得x﹣＝2kπ+arcsin a或x﹣＝2kπ+π﹣arcsin a，k∈Z，可得a1＝+arcsin a，a2＝﹣arcsin a，a3＝+arcsin a，a1，a2，a3构成等比数列，可得a22＝a1a3，即（﹣arcsin a）2＝（+arcsin a）（+arcsin a），解得arcsin a＝，则a1＝+arcsin a＝．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝x2+（1﹣2a）x+a2，若关于x的不等式f（f（x））≥0恒成立．则实数a的取值范围是[，+∞）【解答】解：函数f（x）＝x2+（1﹣2a）x+a2，配方可得f（x）＝（x+﹣a）2+a﹣，由y＝f（f（x））是将f（x）中的x换为f（x）得到的函数式，则x＝a﹣也为y＝f（f（x））的对称轴，且取得最小值，则f（f（a﹣））≥0，即为（a﹣+﹣a）2+a﹣≥0，解得a≥，故答案为：[，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知cosα＝，α∈（0，）．（1）求sin（+α）的值；（2）若cos（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．【解答】解：（1）由cosα＝，α∈（0，），∴sinα＝＝，所以sin（+α）＝sin cosα+cos sinα＝•+•＝．（2）因为β∈（0，），所以α+β∈（0，π）．又cos（α+β）＝，则sin（α+β）＝＝．所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝•﹣•＝，∴β＝．16．（14分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝2a3，S4＝2a4+4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，其中d≠0．由S3＝2a3，得3a1+3d＝2（a1+2d），即a1＝d，由S4＝2a4+4，得4a1+6d＝2（a1+3d）+4，即a1＝2，所以a1＝d＝2．故a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）由（1）得S n＝＝n（n+1），则＝＝﹣，所以前n项和T n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．17．（14分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝π，AB⊥AD，AB＝1（1）若•＝3，求△ABC的面积；（2）若BC＝2，AD＝5，求CD的长度．【解答】解：（1）因为•＝3，所以＝﹣3，即||||cos∠ABC＝﹣3．………………………………………………（2分）又因为∠ABC＝，AB＝1，所以||||cos＝﹣3，则BC＝3．………（5分）所以S△ABC＝＝＝．…………………………（7分）（2）在△ABC中，由余弦定理得，＝1＝13，∴AC＝．…………………………（9分）在△ABC中，由正弦定理得：，即，∴sin∠BAC＝．…………………………（11分）∴cos∠CAD＝cos（BAC）＝sin∠BAC＝．…………………………（13分）在△ACD中，由余弦定理得，CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos∠CAD，＝25+13﹣2×5××＝18，即CD＝3．…………………（14分）18．（16分）如图，长方形材料ABCD中，已知AB＝2，AD＝4．点P为材料ABCD内部一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF＝．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN，满足∠MPN＝150°，点M，N分别在边AB，AD上．（1）设∠FPN＝θ，试将四边形材料AMPN的面积S表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．【解答】解：（1）在直角△NFP中，因为PF＝，∠FPN＝θ，所以NF＝tanθ，所以S△APN＝NA•PF＝（1+tanθ）×．……………………………（2分）在直角△MEP中，因为PE，∠EPM＝﹣θ，所以ME＝tan（﹣θ），所以S△APM＝MA•PE＝（+tan（﹣θ））×1．………………………………（4分）所以S＝S△APN+S△APM＝tanθ+tan（﹣θ）+，θ∈[0，]，……………………………（7分）（注：定义域错误扣1分）（2）因为S＝tanθ+tan（﹣θ）+＝tanθ++．…（9分）令t＝1+tanθ，由θ∈[0，]，得t∈[1，4]，……………（11分）所以S＝+＝（t+）+………………（12分）≥×2×+＝2+．………………（14分）当且仅当t＝时，即tanθ＝时等号成立．………………（15分）此时，AN＝，S min＝2+．答：当AN＝时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为2+………………………………………（16分）19．（16分）已知函数f（x）＝．（1）当a＝4，b＝﹣2时，求满足f（x）＝2x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数．①存在t∈[﹣1，1]，使得不等式f（t2﹣t）＜f（2t2﹣k）有解，求实数k的取值范围；②若函数g（x）满足f（x）•[g（x）+2]＝2x﹣2﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）因为a＝4，b＝﹣2，所以＝2x，化简得（2x）2﹣3•2x﹣4＝0，即2x＝4（﹣1舍去），所以x＝2；（2）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）+f（x）＝0，所以+＝0，化简并变形得：（a+b）（2x+2﹣x）+2ab+2＝0，要使上式对任意的x成立，则a+b＝0且ab+1＝0，解得a＝1，b＝﹣1或a＝﹣1，b＝1，因为f（x）的定义域是R，所以a＝1，b＝﹣1舍去，所以a＝﹣1，b＝1，所以f（x）＝；①f（x）＝＝1﹣．对任意x1，x2∈R，x1＜x2有：f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝﹣，因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，即2x1﹣2x2＜0，所以f（x1）＜f（x2），因此f（x）在R上递增．因为f（t2﹣t）＜f（2t2﹣k），所以t2﹣t＜2t2﹣k，即k＜t2+t在t∈[﹣1，1]时有解．当t∈[﹣1，1]时，t2+t的最大值为2，所以k＜2；②因为f（x）•[g（x）+2]＝2x﹣2﹣x，所以g（x）＝2x+2﹣x（x≠0），所以g（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2．不等式g（2x）≥mg（x）﹣10恒成立，即（2x+2﹣x）2﹣2≥m（2x+2﹣x）﹣10，令t＝2x+2﹣x，t＞2，则m≤t+在t＞2时恒成立．因为t＞2，由基本不等式可得：t+≥4，当且仅当t＝2时，等号成立．所以m≤4，则实数m的最大值为4．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n＝3，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．①求数列{b n}的通项公式；②设数列∁n＝a n b n，问：数列{∁n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由2S n+a n＝3，①得2S n﹣1+a n﹣1＝3，（n≥2），②由①﹣②得2a n+a n﹣a n﹣1＝0，即a n＝a n﹣1（n≥2）．对①取n＝1得，a1＝1≠0，所以a n≠0，所以{a n}为等比数列，首项为1，公比为，即a n＝（）n﹣1，n∈N*．（2）①由a n＝（）n﹣1，可得对于任意n∈N*．有b n+b n﹣1+（）2b n﹣2+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+3n﹣3，③则b n﹣1+b n﹣2+（）2b n﹣3+…+（）n﹣2b1＝（）n﹣2+3n﹣6，n≥2，④则b n﹣1+（）2b n﹣2+（）3b n﹣3+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+n﹣2，n≥2，⑤由③﹣⑤得b n＝2n﹣1（n≥2），对③取n＝1得，b1＝1也适合上式，因此b n＝2n﹣1，n∈N*．②由（1）（2）可知∁n＝a n b n＝，则c n+1﹣∁n＝﹣＝，所以当n＝1时，c n+1＝∁n，即c1＝c2，当n≥2时，c n+1＜∁n，即{∁n}在n≥2且n∈N*上单调递减，故c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，假设存在三项c s，c p，∁r成等差数列，其中s，p，r∈N*，由于c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，可不妨设s＜p＜r，则2c p＝c s+∁r（*），即＝+，因为s，p，r∈N*，且s＜p＜r，则s≤p﹣1且p≥2，由数列{∁n}的单调性可知，c s≥c p﹣1，即≥，因为∁r＝＞0，所以＝+＞，即＞，化简得p＜，又p≥2且p∈N*，所以p＝2或p＝3，当p＝2时，s＝1，即c1＝c2＝1，由r≥3时，∁r＜c2＝1，此时c1，c2，∁r不构成等差数列，不合题意．当p＝3时，由题意s＝1或s＝2，即c s＝1，又c p＝c3＝，代入（*）式得∁r＝．因为数列{∁n}在n≥2且n∈N*上单调递减，且c5＝，r≥4，所以r＝5．综上所述，数列{∁n}中存在三项c1，c3，c5或c2，c3，c5构成等差数列．。
2017-2018学年江苏省无锡市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
7． 【解答】解：∵向量 ∴
＝（4，5）﹣（k，2）＝（4﹣k，3） ， ＝（6，k）﹣（4，5）＝（2，k﹣5） ，
∵ ∴
⊥
， ＝（4﹣k）×2+3（k﹣5）＝0，
解得 k＝7． 故答案为：7．
3 2 2
个单位，得到函数 g（x） ．
第 3 页（共 11 页）
2017-2018 学年江苏省无锡市高二 （下） 期末数学试卷 （文 科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上． ） 1． 【解答】解：∵ ∴复数 z 的实部为﹣1． 故答案为：﹣1． 2． 【解答】解：函数 ∴ ∴x＞ ， 故答案为： （ ，+∞） ； 3． 【解答】解：∵函数 f（x）＝x ﹣mx+1 的图象是开口方向朝上， 以直线 x＝ 为对称轴的抛物线， 若函数 f（x）在（﹣∞，1）上单调递减， 则 1≤ ， 即 m≥2． 故答案为：2 4． 【解答】解：某班共有 40 人，有围棋爱好者 22 人，有足球爱好者 38 人，同时爱好这两 项的人数为 m， 如图，设围棋爱好者组成集合 A，足球爱好者组成集合 B，全体学生为全集 U，
第 1 页（共 11 页）
14． （5 分）设函数 点，则实数 m 的取值范围为
，若方程 f（x）﹣mx＝0 恰好有 3 个零
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤． ） 15． （14 分）已知复数 ω 在复平面内对应的点位于第二象限，且满足 ω +2ω+4＝0． （1）求复数 ω； （2）设复数 z＝x+yi（x，y∈R）满足：ω•z 为纯虚数，|z|＝2，求 x•y 的值． 16． （14 分）如图，角 α 的终边过点 B（2，4） ，∠BOC＝ （1）求 sinα 和 cosα 的值； （2）求点 C 的坐标． ，OC＝ ．
2017-2018学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷(含精品解析)
2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A ={0，1}，B ={1，2}，则A ∪B =______．2.cos =______．17π63.若幂函数y =f （x ）的图象过点（4，2），则f （16）=______．4.若向量=（1，2），=（3，m ），且∥，则|+|=______．⃗a ⃗b ⃗a ⃗b ⃗a ⃗b 5.函数f （x ）=|ln （x +3）|的单调增区间是______．6.计算：=______．eln3+log 525+(0.125)‒237.已知圆心角是的扇形的面积是cm 2，则该圆心角所对的弧长为______cm ．π32π38.已知函数（x ）是周期为2的奇函数，且x ∈[-1，0]时，f （x ）=x ，则f （）=______．2129.将函数y =sin2x 向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得函数记为y =f （x ），当x =时f （x ）取得最大值，2π3则φ=______．10.若=，sinαcosα=______．cos2αsin(α+π4)2311.若f （x ）=，且f （2-a ）＜f （3a ），则实数a 的取值范围是______．{(x ‒1)2+1，x ≤11x，x ＞112.在△ABC中，已知||=2，||=1，点M 在边BC上，4=，•=2，则•=______．⃗AB ⃗AC ⃗BM ⃗BC ⃗AM ⃗CB ⃗AB ⃗AC 13.函数f （x ）=，若0≤m ＜n ，且f （m ）=f （n ），则mf （n ）的取值范围是______．{2x +1,0≤x ≤41+log 2x,x <414.函数f （x ）=m |3x -1|2-4|3x -1|+1（m ＞0）在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设集合A ={x |y =+log 2（32-x ）}，B ={y |y =2x ，a ≤x ≤a +2，a ∈R }全集U =R ．x ‒2（1）若a =2，求（∁U B ）∩A ；（2）若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．16.在△ABC 中，已知=（1，2），=（4，m ）（m ＞0）．⃗AB ⃗AC （1）若∠ABC =90°，求m 的值；（2）若||=3，且=2，求cos ∠ADC 的值．⃗BC 2⃗BD ⃗DC 17.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若α∈（，π），β=，且点A 的坐标为A （-1，m ）．7π12π12（1）若tan2α=-，求实数m 的值；43（2）若tan ∠AOB =-，若sin2α的值．3418.某公司对营销人员有如下规定：（i ）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式y =log a x +b ，（a ＞0，且a ≠1）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．19.已知奇函数f （x ）=，函数g （t ）=sin 2t +2cos t -1，t ∈[m ，]，m ，b ∈R ．3x +b2x2+2π3（1）求b 的值；（2）判断函数f （x ）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x ∈[0，1]时，函数g （t ）的最小值恰为f （x ）的最大值，求m 的取值范围．20.已知向量=（2sin （ωx +），-），=（sin （ωx +），cos （2ωx ））（ω＞0），函数（x ）=•-⃗a π43⃗b π4⃗a ⃗b 1，f （x ）的最小正周期为π．（1）求f （x ）的单调增区间；（2）方程f （x ）-2n +1=0；在[0，]上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；7π12（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得4+4+m （2-2）x1‒x 1x1‒x 1+1＞f （x 2）成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{0，1，2}【解析】解：集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．根据交集的定义写出A∪B即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】‒3 2【解析】解：cos=cos（3π-）=-cos=．故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3.【答案】4【解析】解：设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=，∴y=f（x）=∴f（16）=4，故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4.【答案】45【解析】解：∵∥，∴m-6=0，解得m=6．∴=（4，8）．则|+|==4．故答案为：4．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】[-2，+∞）【解析】解：根据题意，f（x）=|ln（x+3）|=，即当x≥-2时，f（x）=ln（x+3），令t=x+3，y=lnt，在[-2，+∞）上，t≥1，此时t=x+3为增函数，y=lnt也为增函数，则函数f（x）为增函数；当-3＜x＜-2时，f（x）=-ln（x+3），令t=x+3，y=-lnt，在（-3，-2）上，0＜t＜1，此时t=x+3为增函数，y=-lnt为减函数，则函数f（x）为减函数；故函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是[-2，+∞）；故答案为：[-2，+∞）．根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．6.【答案】11【解析】解：原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.【答案】2π3【解析】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===4．解得r=2，可得：扇形的弧长为l=rα=2×=cm．故答案为：．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.【答案】1 2【解析】解：根据题意，函数（x）是周期为2的函数，则f（）=f（+10）=f（），又由f（x）为奇函数，则f（）=-f（-）=-（-）=，则f（）=；故答案为：根据题意，由函数的周期性可得f（）=f（+10）=f（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得f（）=-f（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9.【答案】5π12【解析】解：将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，所得函数记为y=f（x）=sin（2x-2φ），∵当x=时f（x）取得最大值，则-2φ=2kπ+，k∈Z．∴2φ=-2kπ+，令k=0，可得φ=，故答案为：．利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律求得f （x ）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得φ的值．本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10.【答案】49【解析】解：∵=，∴，即，∴cosα-sinα=，两边平方得：，∴sinαcosα=．故答案为：．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得cos ，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．11.【答案】（-∞，）12【解析】解：f （x ）=，可得x ＞1时，f （x ）递减；x≤1时，f （x ）递减，且f （1）=1，可得f （x ）在R 上递减，f （2-a ）＜f （3a ），可得2-a ＞3a ，解得a ＜，故答案为：（-∞，）．讨论f（x）在x＞1和x≤1的单调性，可得f（x）在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】3 2【解析】解：∵4=，∴==，∵=，∵||=2，||=1，=，=（）•（），=，==-2，∴=，故答案为：．由向量加法及减法的三角形法则可得，=，结合已知即可求解．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题．13.【答案】（3，36]【解析】解：作出函数f（x）=的图象，可得f（n）=f（m）=1+2m，1＜m≤4，则mf（n）=m（1+2m）=2m2+m在（1，4]递增，可得mf（n）的范围是（3，36]．故答案为：（3，36]．作出f （x ）的图象，求得f （n ），m 的范围及mf （n ）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】（3，4）【解析】解：根据题意，对于函数f （x ）=m|3x -1|2-4|3x -1|+1，设t=|3x -1|，则y=mt 2-4t+1，t=|3x -1|的图象如图：若函数f （x ）=m|3x -1|2-4|3x -1|+1（m ＞0）在R 上有4个零点，则方程mt 2-4t+1=0在区间（0，1）有2个根，则有，解可得：3＜m ＜4，即m 的取值范围为（3，4）；故答案为：（3，4）根据题意，设t=|3x -1|，则y=mt 2-4t+1，作出t=|3x -1|的草图，据此分析可得方程mt 2-4t+1=0在区间（0，1）有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．15.【答案】解：（1）集合A ={x |y =+log 2（32-x ）}={x |}={x |2≤x ＜32}，x ‒2{x ‒2≥032‒x >0a =2时，B ={y |y =2x ，2≤x ≤4}={y |4≤y ≤16}，又全集U =R ，∴∁U B ={x |x ＜4或x ＞16}，∴（∁U B ）∩A ={x |2≤x ＜4，或16＜x ＜32}；（2）∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ，又B ={y |2a ≤y ≤2a +2}，A ={x |2≤x ＜32}，∴，{2a ≥22a +2<32解得实数a 的取值范围是1≤a ＜3．【解析】（1）求定义域得集合A ，求出a=2时集合B ，再根据集合的定义计算即可； （2）由A ∪B=A 得出B ⊆A ，由此列不等式求出实数a 的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题．16.【答案】解：（1）若∠ABC =90°，则=0，⃗AB ⋅⃗BC ∵==（3，m -2），⃗BC ⃗AC ‒⃗AB ∴3+2m -4=0，∴m =．12（2）∵||=3，⃗BC 2∴，9+(m ‒2)2=32∵m ＞0，∴m =5，∵=2，⃗BD ⃗DC ∴==（1，1），==（2，2），⃗DC 13⃗BC ⃗BD 23⃗BC 而AD ==（3，4），⃗AD ⃗AB +⃗BD ∴=（-3，-4），⃗DA ∴cos ∠ADC ===．⃗DA ⋅⃗DC|⃗DA ||⃗DC|‒3×1‒4×152‒7210【解析】（1）由题意可知=0，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由||=3，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合=2，及向量夹角公式cos ∠ADC=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17.【答案】解：（1）由题意可得tan2α==-，∴tanα=-，或tanα=2．2tanα1‒tan 2α4312∵α∈（，π），∴tanα=-，即=-，∴m =．7π1212m ‒11212（2）∵tan ∠AOB =tan （α-β）=tan （α-）==-，π12sin(α‒π12)cos(α‒π12)34+=1，α-∈[，]，sin 2(α‒π12)cos 2(α‒π12)π12π211π12∴sin （α-）=，cos （α-）=-，π1235π1245∴sin （2α-）=2sin （α-）cos （α-）=-，cos （2α-）=2cos 2（α-）-1=，π6π12π122425π6π12725∴sin2α=sin[（2α-）+]=sin （2α-）cos +cos （2α-）sin =．π6π6π6π6π6π67‒24350【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tanα的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin （α-）和cos （α-）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2α=sin[（2α-）+]的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵8＜x ≤64，年销售额越大，奖金越多，∴y =log a x +b 在（8，64]上是增函数．∴，解得．{log a 16+b =1log a64+b =3{a =2b =‒3∴8＜x ≤64时，y =-3+log 2x ；又∵x ≥64时，y 是x 的一次函数，设y =kx +m （k ≠0），由题意可得：，解得．{64k +m =380k +m =5{k =18m =‒5∴x ≥64时，y =．18x‒5∴y 关于x 的函数解析式为；y ={0，0≤x ≤8log 2x ‒3，8＜x ≤6418x ‒5，x ＞64（2）当0≤x ≤8时，不合题意；当8＜x ≤64时，2＜-3+log 2x ＜4，解得32＜x ＜128．∴32＜x ≤64．当x ＞64时，，解得x ＜72，18x ‒5＜4∴64＜x ＜72．综上，32＜x ＜72．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得y=log a x+b 在（8，64]上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又x≥64时，y 是x 的一次函数，设y=kx+m （k≠0），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得x≥64时，y=，则函数解析式可求；（2）当0≤x≤8时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数f （x ）=，可得f （0）=0，3x +b2x 2+2即b =0；（2）f （x ）=在[0，1]单调递增，3x2x 2+2证明：设x 1，x 2是[0，1]上任意两个值，且x 1＜x 2，f （x 2）-f （x 1）=（-）=•，32x 2x 22+1x 1x 21+132(x 2‒x 1)(1‒x 1x 2)(1+x 22)(1+x 21)由x 1，x 2∈[0，1]，且x 1＜x 2，可得x 2-x 1＞0，1-x 1x 2＞0，1+x 12＞0，1+x 22＞0，即有f （x 2）-f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），可得f （x ）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f （x ）在[0，1]递增，可得f （x ）max =f （1）=，34可得g （t ）的最小值为，34令s =cos t ，所以s =-s 2+2s的最小值为，34所以≤s ≤，即≤cos t ≤1，t ∈[m ，]，123212π3由y =cos t 的图象可得-≤m ＜．π3π3【解析】（1）由奇函数的性质可得f （0）=0，解方程即可得到b ；（2）f （x ）=在[0，1]单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f （x ）的最大值，即可得到g （t ）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数f （x ）=•-1=2sin 2（ωx）-cos （2ωx ）-1⃗a ⃗b +π43=sin （2ωx ）-cos （2ωx ）3=2sin （2ωx）‒π3∵f （x ）的最小正周期为π．ω＞0∴，2π2ω=π∴ω=1．那么f （x ）的解析式f （x ）=2sin （2x ）‒π3令2x，k ∈Z2kπ‒π2≤‒π3≤π2+2kπ得：≤x ≤kπ‒π12kπ+5π12∴f （x ）的单调增区间为[，]，k ∈Z ．kπ‒π12kπ+5π12（2）方程f （x ）-2n +1=0；在[0，]上有且只有一个解，7π12转化为函数y =f （x ）+1与函数y =2n 只有一个交点．∵x 在[0，]上，7π12∴≤（2x）‒π3‒π3≤5π6那么函数y =f （x ）+1=2sin （2x）-1的值域为[，1]，结合图象可知‒π3‒3‒1函数y =f （x ）-1与函数y =2n 只有一个交点．那么≤2n或2n =1，1‒3＜12可得或n =．1‒32≤n ＜1212（3）由（1）可知f （x ）=2sin （2x）‒π3∴f （x 2）min =-2．实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得4+4+m （2-2）+1＞f （x 2）成立．x 1‒x 1x 1‒x1即4+4+m （2-2）+1＞-2成立x 1‒x 1x 1‒x1令y =4+4+m （2-2）+1x 1‒x 1x 1‒x1设2-2=t ，那么4+4=（2-2）2+2=t 2+2x 1‒x 1x 1‒x 1x 1‒x1∵x 1∈[-1，1]，∴t ∈[-，]，3232可得t 2+mt +5＞0在t ∈[-，]上成立．3232令g （t ）=t 2+mt +5＞0，其对称轴t =‒m 2∵t ∈[-，]上，3232∴①当时，即m ≥3时，g （t ）min =g （）=，解得；‒m 2≤‒32‒32294‒3m2＞03≤m ＜296②当，即-3＜m ＜3时，g （t ）min =g （）=＞0，解得-3＜m ＜3；‒32＜‒m 2＜32‒m25‒m 24③当，即m ≤-3时，g （t ）min =g （）=＞0，解得＜m ≤-3；32≤‒m232294+3m2＞0‒296综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是（，）．‒296296【解析】（1）函数f （x ）=•-1，f （x ）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f （x ）的单调增区间．（2）根据x 在[0，]上求解f （x ）的值域，即可求解实数n 的取值范围；（3）由题意，求解f （x 2）的最小值，利用换元法求解y=4+4+m （2-2）+1的最小值，即可求解m 的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。
2017-2018学年江苏省无锡市高二(下)期末数学试卷及答案(文科)
2017-2018学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）复数（i为虚数单位）的实部为．2．（5分）函数的定义域为．3．（5分）若函数f（x）＝x2﹣mx+1在（﹣∞，1）上单调递减，则m的最小值为．4．（5分）某班共有40人，有围棋爱好者22人，有足球爱好者38人，同时爱好这两项的人数为m，则所有m的可能值构成的集合A＝．5．（5分）若函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的图象相邻最高点与最低点横坐标之差为，且图象过点（0，），则其解析式为．6．（5分）已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1+z2|＝1，则|z1﹣z2|＝．7．（5分）设向量＝（k，2），＝（4，5），＝（6，k），且⊥，则k＝．8．（5分）已知sin（x+）＝，则sin（）+tan2（）＝．9．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，若存在两个互不相等的实数a，b，满足f（a）＝f（b），则ab＝．10．（5分）平面上画n条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成个部分．11．（5分）已知，且f（a2﹣3a+1）≤f（a﹣2），则实数a的范围为．12．（5分）已知，，则cos（2α﹣2β）＝13．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，三角形DPC是等腰直角三角形（P为直角顶点），E、F分别为线段CD、AB上的动点（含端点），则的范围为．14．（5分）设函数，若方程f（x）﹣mx＝0恰好有3个零点，则实数m的取值范围为二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，且满足ω2+2ω+4＝0．（1）求复数ω；（2）设复数z＝x+yi（x，y∈R）满足：ω•z为纯虚数，|z|＝2，求x•y的值．16．（14分）如图，角α的终边过点B（2，4），∠BOC＝，OC＝．（1）求sinα和cosα的值；（2）求点C的坐标．17．（14分）如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝8，且，P为边DE上的中点，＝40．（1）求sin∠ACB的值；（2）求的值．18．（16分）已知函数是奇函数．（1）求m的值；（2）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；（3）若对一切实数x满足f（sin x﹣a2）+f（a+cos2x+1）＞0，求实数a的范围．19．（16分）已知函数f（x）＝sin x，将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移个单位，得到函数g（x）．（1）求g（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）+g（x）＝m，x∈（0，π）有4个不同的根，求实数m的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝ax3+|x﹣a|，a∈R．（1）问：f（x）能否为偶函数？请说明理由；（2）总存在一个区间D，当x∈D时，对任意的实数a，方程f（x）＝0无解，当x∉D时，存在实数a，方程f（x）＝0有解，求区间D．2017-2018学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵＝，∴复数z的实部为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．【考点】33：函数的定义域及其求法．【解答】解：函数，∴，∴x＞，故答案为：（，+∞）；【点评】此题主要考查函数的定义域及其求法，此题是一道基础题；3．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣mx+1的图象是开口方向朝上，以直线x＝为对称轴的抛物线，若函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，则1≤，即m≥2．故答案为：2【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．4．【考点】1A：集合中元素个数的最值．【解答】解：某班共有40人，有围棋爱好者22人，有足球爱好者38人，同时爱好这两项的人数为m，如图，设围棋爱好者组成集合A，足球爱好者组成集合B，全体学生为全集U，当A∪B＝U时，同时爱好这两项的人最少，最少为：22+38﹣40＝20，当A⊆B时，A∩B＝A，同时爱好这两项的人最多，最多为22人．故所有m的可能值构成的集合A＝{20，21，22}．故答案为：{20，21，22}．【点评】通过V enn图来求解本题，会比较形象，从Venn图上就能看出两项都爱好的何时最多，何时最少，注意对交集、并集的理解．5．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：由于其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为，∴T＝，又ω＞0，|∴T＝＝π，∴ω＝2；又y＝sin（2x+φ）图象过点（0，），∴sinφ＝，∵|φ|＜，∴φ＝．∴其解析式是y＝sin（2x+）．故答案为：y＝sin（2x+）．【点评】本题考查由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定A，ω，φ的值是关键，φ的确定是难点，属于中档题．6．【考点】A8：复数的模．【解答】解：设z1对应的点为Z1，z2对应的点为Z2，由|z1|＝|z2|＝|z1+z2|＝1，可知Z1，Z2在单位圆上，且与所成角为120°，∴，则|z1﹣z2|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查余弦定理的应用，是基础题．7．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【解答】解：∵向量＝（k，2），＝（4，5），＝（6，k），∴＝（4，5）﹣（k，2）＝（4﹣k，3），＝（6，k）﹣（4，5）＝（2，k﹣5），∵⊥，∴＝（4﹣k）×2+3（k﹣5）＝0，解得k＝7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵sin（x+）＝，∴，且sin（）＝sin[π﹣（x+）]＝sin（x+）＝，∴sin（）+tan2（）＝+＝＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是中档题．9．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【解答】解：由题意，由函数f（x）＝|lnx|＝存在两个互不相等的实数a，b，满足f（a）＝f（b），设a＜b，那么：0＜a＜1，b＞1可得﹣lna＝lnb即lna+lnb＝0那么：lnab＝ln1．∴ab＝1故答案为：1【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，绝对值的函数图象，难度不大，属于基础题．10．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：∵a1＝2，a2＝4，a3＝7，a4＝11，注意到a n＝a n﹣1+n（n≥2），因为第n（n≥2）条直线与前n﹣1条直线都相交且不共点，则它被前n﹣1条直线分割成n段，每一段将它所在的原区域一分为二，即在原区域数上增加了n个，故a n＝a n﹣1+n（n≥2）；则a2＝a1+2，a3＝a2+3，a4＝a3+4，…a n＝a n﹣1+n将这n﹣1个式子累加得：a n＝a1+2+3+…+n＝1++1＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是合情推理﹣﹣归纳推理，其中根据已知分析出a n满足：a n ＝a n﹣1+n（n≥2），是解答的关键．11．【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：根据题意，＝，若f（a2﹣3a+1）≤f（a﹣2），必有，解可得：2≤a≤3，即a的取值范围[2，3]；故答案为：[2，3]．【点评】本题考查分段函数的应用，涉及函数单调性的应用，属于基础题．12．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：，，∴sin2α+2sinαsinβ+sin2β＝，cos2α+2cosαcosβ+cos2β＝，∴2+2sinαsinβ+2cosαcosβ＝，∴cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣，∴cos（α﹣β）＝﹣，∴cos（2α﹣2β）＝2cos2（α﹣β）﹣1＝2×﹣1＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了两角差的余弦公式和二倍角公式的应用问题，是基础题．13．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：以A为原点，AB和AD分别为x、y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D（0，2）、P（1，3）设E（a，2）、F（b，0）（0≤a≤2，0≤b≤2），则＝（a﹣1，﹣1），＝（b﹣1，﹣3），∴•＝（a﹣1，﹣1）•（b﹣1，﹣3）＝（a﹣1）（b﹣1）+3，∵0≤a≤2，0≤b≤2，∴﹣1≤a﹣1≤1，﹣1≤b﹣1≤1，∴﹣1≤（a﹣1）（b﹣1）≤1，∴2≤•≤4故•的取值范围是[2，4]【点评】本题考察了向量数量积、不等式性质、数形结合思想．属难题14．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：当x≥1时，方程f（x）﹣mx＝0 变为1﹣mx＝0，解得：x＝；当﹣1＜x＜1时，方程f（x）﹣mx＝0 变为x[log2（x+1）﹣m]＝0，解得：x＝0 或x ＝2m﹣1；因为f（x）﹣mx＝0恰好有3个零点，所以，且﹣1＜2m﹣1＜1解得：0＜m＜1故实数m的取值范围是：0＜m＜1．【点评】本题考查了函数的零点、方程的根．属难题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【解答】解：（1）∵ω2+2ω+4＝0，∴，又复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，∴；（2）∵z＝x+yi（x，y∈R），∴ω•z＝（﹣1+）（x+yi）＝﹣x﹣+（）i，∵ω•z为纯虚数，∴﹣x﹣，由|z|＝2，得x2+y2＝4，联立可得x＝﹣，y＝1或x＝，y＝﹣1．∴xy＝﹣．【点评】本题考查一元二次方程的解法，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．16．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【解答】解：（1）如图，角α的终边过点B（2，4），∴sinα＝＝，cosα＝＝．（2）又∠BOC＝，OC＝，设C（x，y），则x＝2cos（α+）＝2cosαcos﹣2sinαsin＝2•﹣＝﹣；y＝2sin（α+）＝2sinαcos+2cosαcos＝2•+2＝，故点C的坐标为（﹣，）．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．17．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）∵＝+＝+，∴•＝（+）＝（+•）＝40，∴•＝20，解得：cos C＝，0＜C＜π，∴sin C＝＝；（2）∵＝+＝﹣，＝+＝+，∴•＝（﹣）（+）＝﹣﹣•＝25﹣﹣＝．【点评】本题考查了向量的线性运算，考查三角函数问题，是一道常规题．18．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3R：函数恒成立问题．【解答】解：（1）根据题意，函数是奇函数，且在x＝0处有定义，则f（0）＝1﹣＝0，解可得m＝2；（2）由（1）的结论，f（x）＝1﹣，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（1+）﹣（1+）＝，又由x1＜x2，则+1＞0，+1＞0，﹣＜0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）是R上的增函数；（3）根据题意，f（sin x﹣a2）+f（a+cos2x+1）＞0⇒f（sin x﹣a2）＞﹣f（a+cos2x+1），⇒f（sin x﹣a2）＞f[﹣（a+cos2x+1）]，又由函数f（x）是R上的增函数，则（sin x﹣a2）＞﹣（a+cos2x+1），变形可得：a2﹣a＜sin x+2﹣sin2x，令t＝sin x+2﹣sin2x，分析可得：0≤t≤，若对一切实数x满足f（sin x﹣a2）+f（a+cos2x+1）＞0，必有a2﹣a＜sin x+2﹣sin2x对于任意的a、x恒成立，则有a2﹣a＜0，解可得0＜a＜1，即a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的性质以及应用，关键是求出m的值，属于中档题．19．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin x，将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得y＝f（2x）＝sin2x；再将所得函数图象向左平移个单位，得y＝sin2（x+），∴函数g（x）＝sin（2x+）＝cos2x；（2）若关于x的方程f（x）+g（x）＝m，可化为sin x+cos2x＝m，sin x+1﹣2sin2x＝m，其中x∈（0，π）；令sin x＝t，t∈（0，1]；当t＝1是方程2t2﹣t+m﹣1＝0的根时，只有3个根，不符合题意；∴关于x的方程f（x）+g（x）＝m，x∈（0，π）有4个不同的根，等价于关于t的方程2t2﹣t+m﹣1＝0在（0，1）上有两个不同的实数根，令h（t）＝2t2﹣t+m﹣1，则有，解不等式组得实数m的取值范围是1＜m＜．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了方程与函数的应用问题，是综合题．20．【考点】57：函数与方程的综合运用．【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，当a＝0时，f（x）＝|x|为偶函数；当a≠0时，函数f（x）＝ax3+|x﹣a|，f（﹣x）＝﹣ax3+|x+a|，可得f（x）﹣f（﹣x）＝2ax3+|x﹣a|﹣|x+a|，若f（a）﹣f（﹣a）＝2a4﹣2|a|＝0，可得|a|＝1；若f（2a）﹣f（﹣2a）＝16a4﹣2|a|＝0，可得|a|＝，则f（x）﹣f（﹣x）＝2ax3+|x﹣a|﹣|x+a|不可能为0，即f（x）不可能为偶函数；（2）先考虑x≥0，①当a＞0，f（x）＝ax3+|x﹣a|＝0无解；②当a＝0时，f（x）＝|x|，x＝0，显然f（x）＝0；③当a＜0时，f（x）＝ax3+|x﹣a|＝ax3+x﹣a＝0，由x＝1上式不成立，a＝＜0，可得x＞1；即当0＜x≤1时，f（x）≠0；再考虑x≤0，①当a＜0，f（x）＝ax3+|x﹣a|＝0无解；②当a＝0时，f（x）＝|x|，x＝0，显然f（x）＝0；③当a＞0时，f（x）＝ax3+|x﹣a|＝ax3+a﹣x＝0，由x＝﹣1上式不成立，a＝＞0，可得x＜﹣1；即当﹣1≤x＜0时，f（x）≠0；综上可得，D＝[﹣1，0）∪（0，1]．【点评】本题考查函数的奇偶性和函数方程的转化思想，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．。
2017-2018年江苏省无锡市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本进行某项调查，则应抽取的男学生人数为．2．（5分）等比数列{a n}中，若a2＝1，a5＝8，则a7＝．3．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．4．（5分）如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒．若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为．5．（5分）已知某人连续5次射击的环数分别是8，9，10，x，8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为．6．（5分）如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是．7．（5分）已知实数x，y满足，则z＝9x•3y的最大值是．8．（5分）在等差数列{a n}中，a n＞0，a4＝5，则的最小值为．9．（5分）设，且，则n ＝．10．（5分）如图所示，墙上挂有一块边长为a的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是．11．（5分）在△ABC中，已知∠C＝，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2﹣13x+40＝0的两根，则AB的长度为．12．（5分）在R上定义运算a※b＝（a+1）b，若存在x∈[1，2]，使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4成立，则实数m的取值范围为．13．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，，若对任意实数λ∈[0，1]，总存在自然数k，使得当n≥k时，不等式（2λ﹣3）n2≥（2λ﹣4）a n a n+1+λ+3恒成立，则k的最小值是．14．（5分）已知x＞0，y＞0，则+的最大值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试，现从中等可能抽出n名学生的成绩作为样本，制成如图频率分布表：（1）求n的值，并根据题中信息估计总体平均数是多少？（2）若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”，试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”？16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．（1）求角B的值；（2）若△ABC的面积S＝，a＝5，求b的值．17．（14分）已知数列{a n}是首项为，公比为q（q≠1）的等比数列，且a1，，2a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝na n，记数列{b n}的前n项和为T n，求满足不等式16T n+n﹣30≤0的最大正整数n的值．18．（16分）如图所示，△ABC是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是比值的），其中两腰CA＝CB＝60米，cos∠CAB＝．为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等．（1）若水上观光通道的端点E为线段AC的三等分点（靠近点C），求此时水上观光通道EF的长度；（2）当AE为多长时，观光通道EF的长度最短？并求出其最短长度．19．（16分）已知函数f（x）＝x2﹣2mx﹣3m2（m∈R，m＞0）．（1）解关于x的不等式f（x）＞mx2+m2x；（2）若当x∈[1，4m]时，|f（x）|≤4m恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，公差d≠0，若a4，a6，a10成等比数列，S7＝14，数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，等式b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1＝﹣2n都成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：数列{b n}是等比数列；（3）若数列{c n}满足，试问是否存在正整数s，t（其中1＜s＜t），使c1，c s，c t成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（s，t）；若不存在，请说明理由．2017-2018学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本进行某项调查，则应抽取的男学生人数为60．【解答】解：分层抽样的抽取比例为：＝，∴男生中抽取的人数为1200×＝60．故答案为：60．2．（5分）等比数列{a n}中，若a2＝1，a5＝8，则a7＝32．【解答】解：等比数列{a n}中，若a2＝1，a5＝8，∴a5＝a2q3，∴q3＝8，∴q＝2，则a7＝a5q2＝8×4＝32，故答案为：323．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．【解答】解：由，a＝BC＝3，c＝，根据正弦定理＝得：sin C＝＝，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C＝．故答案为：4．（5分）如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒．若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为．【解答】解：有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒．基本事件总数n＝4×4＝16，每边每根木棒被选中的机会相等，两人选到同一根木棒包含的基本事件个数m＝4，∴两人选到同一根木棒的概率为p＝＝＝．故答案为：．5．（5分）已知某人连续5次射击的环数分别是8，9，10，x，8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为0.8．【解答】解：根据题意，数据8，9，10，x，8的平均数是9，则有（8+9+10+x+8）＝45，解可得：x＝10，则这组数据的方差S2＝[（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2]＝0.8；故答案为：0.86．（5分）如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是3．【解答】解：根据题中的程序框图，可得该程序经过第一次循环，因为s＝0＜15，所以得到新的S＝0+6＝6，n＝5；然后经过第二次循环，因为s＝6＜15，所以得到新的S＝6+5＝11，n＝4；然后经过第三次循环，因为s＝11＜15，所以得到新的S＝11+4＝15，n＝3；接下来判断：因为s＝15，不满足s＜15，所以结束循环体并输出最后的n，综上所述，可得最后输出的结果是3故答案为：37．（5分）已知实数x，y满足，则z＝9x•3y的最大值是27．【解答】解：画实数x，y满足可行域如图，z为目标函数z＝9x•3y＝32x+y，u＝2x+y 的纵截距取得最大值时，z取得最大值，画直线L：0＝2x+y，平移直线过A时z有最大值，由可得A（1，1），此时u＝3，z＝27．故答案为：27．8．（5分）在等差数列{a n}中，a n＞0，a4＝5，则的最小值为 1.6．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a n＞0，a4＝5，∴a2+a6＝2a4＝10，∴＝（）（a2+a6）＝（++10）≥＝1.6．当且仅当＝时，取等号．故的最小值为1.6．故答案为：1.6．9．（5分）设，且，则n＝10．【解答】解：＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，由，可得•＝＝，解得n＝10．故答案为：10．10．（5分）如图所示，墙上挂有一块边长为a的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是1﹣π．【解答】解：由题意正六边形木板的面积S＝a2，空白部分的面积S＝，故阴影部分的面积S＝，故满足条件的概率P＝1﹣π，故答案为：1﹣π．11．（5分）在△ABC中，已知∠C＝，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2﹣13x+40＝0的两根，则AB的长度为7．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣13x+40＝0的两根，∴a＝5，b＝8，或a＝8，b＝5，由余弦定理AB2＝c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝25+64﹣2×8×5×＝49，则AB＝7，故答案为：7．12．（5分）在R上定义运算a※b＝（a+1）b，若存在x∈[1，2]，使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4成立，则实数m的取值范围为﹣3＜m＜2．【解答】解：由题意知，不等式（m﹣x）※（m+x）＜4化为（m﹣x+1）（m+x）＜4，即m2+m﹣4＜x2﹣x；设f（x）＝x2﹣x，x∈[1，2]，则f（x）的最大值是f（2）＝4﹣2＝2；令m2+m﹣4＜2，即m2+m﹣6＜0，解得﹣3＜m＜2，∴实数m的取值范围是﹣3＜m＜2．故答案为：﹣3＜m＜2．13．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，，若对任意实数λ∈[0，1]，总存在自然数k，使得当n≥k时，不等式（2λ﹣3）n2≥（2λ﹣4）a n a n+1+λ+3恒成立，则k的最小值是5．【解答】解：由，可得，∴a n＝n﹣1，不等式（2λ﹣3）n2≥（2λ﹣4）a n a n+1+λ+3恒成立⇔（2n﹣1）λ+n2﹣4n﹣3≥0，令f（λ）＝（2n﹣1）λ+n2﹣4n﹣3，对任意实数λ∈[0，1]，不等式（2λ﹣3）n2≥（2λ﹣4）a n a n+1+λ+3恒成立，∵2n﹣1＞0，只需f（0）＝n2﹣4n﹣3＞0，解得n＞2+，∵n∈N+，∴n≥5，则k的最小值是5．故答案为：5．14．（5分）已知x＞0，y＞0，则+的最大值是．【解答】解：x＞0，y＞0，则+＝＝＝，可令t＝+，可得t≥2，则+＝＝，由y＝t+在t≥2递增，可得t+≥2+＝，可得≤8×＝，当且仅当x＝y时，上式取得等号，则+的最大值是，故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试，现从中等可能抽出n名学生的成绩作为样本，制成如图频率分布表：（1）求n的值，并根据题中信息估计总体平均数是多少？（2）若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”，试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”？【解答】解：（1）由频率分布表得第4组中的频数是12，频率是0.300，∴n＝＝40．数据[135，145）的频率为：1﹣（0.025+0.05+0.2+0.3+0.275+0.05）＝0.1，∴利用组中值估计平均数为：90×0.025+100×0.05+110×0.2+120×0.3+130×0.275+140×0.1+150×0.05＝122.5．（2）成绩不低于135分的同学的概率为：0.1+0.05＝0.15，∴估计该校学生能参加“数学竞赛集训队”的人数大约为：500×0.15＝75人．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．（1）求角B的值；（2）若△ABC的面积S＝，a＝5，求b的值．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．利用正弦定理：，整理得：sin（B+C）＝sin B cos C+，则：sin C cos B＝sin C sin B，由于sin C≠0，所以tan B＝，由于：0＜B＜π，解得：B＝．（2）△ABC的面积S＝，所以：，解得：ac＝20，由于a＝5，所以c＝4．则：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，＝25+16﹣20，＝21，解得：b＝．17．（14分）已知数列{a n}是首项为，公比为q（q≠1）的等比数列，且a1，，2a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝na n，记数列{b n}的前n项和为T n，求满足不等式16T n+n﹣30≤0的最大正整数n的值．【解答】解：（1）数列{a n}是首项为，公比为q（q≠1）的等比数列，且a1，，2a3成等差数列．则：，即：2q2﹣3q+1＝0，解得：q＝1或，由于q≠1，则：，所以：．（2）由于，则：b n＝na n＝，所以：+…+①，+…+②，①﹣②得：，解得：，则：不等式16T n+n﹣30≤0，转换为，即：，所以：2n﹣4≤1，解得n≤4．故最大整数为4．18．（16分）如图所示，△ABC是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是比值的），其中两腰CA＝CB＝60米，cos∠CAB＝．为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等．（1）若水上观光通道的端点E为线段AC的三等分点（靠近点C），求此时水上观光通道EF的长度；（2）当AE为多长时，观光通道EF的长度最短？并求出其最短长度．【解答】解：（1）在等腰△ABC中，过C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH中，由cos∠CAB＝，得，∴AH＝40，AB＝80，∴△AEF的四边形BCEF的周长相等，∴AE+AF+EF＝CE+BC+BF+EF，∴AE+AF＝（60﹣AE）+60+（80﹣AF），∴AE+AF＝100，∵E为线段AC的三等分点，（靠近C），∴AE＝40，AF+60，在△AEF中，EF2＝AE2+AF2﹣2AE•AF•cos∠CAB＝＝200，∴EF＝＝20．∴水上观光通道EF的长度为20米．（2）由（1）知，AE+AF＝100，设AE＝x，AF＝y，在△AEF中，由余弦定理得：EF2＝x2+y2﹣2xy cos∠CAB＝x2+y2﹣＝（x+y）2﹣，∵xy≤（）2＝502，∴EF2≥（100）2﹣＝，∴EF≥，当且仅当x＝y时，取等号，∴当AE＝50米时，观光通道EF的长度最短，其最短长度为米．19．（16分）已知函数f（x）＝x2﹣2mx﹣3m2（m∈R，m＞0）．（1）解关于x的不等式f（x）＞mx2+m2x；（2）若当x∈[1，4m]时，|f（x）|≤4m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得（m﹣1）x2+（m2+2m）x+3m2＜0，即[（m﹣1）x+3m]（x+m）＜0，当m＝1时，得x+1＜0，解得：x＜﹣1，当0＜m＜1时，得（x+）（x+m）＞0，∵﹣﹣（﹣m）＝＞0，∴﹣＞﹣m，解得：x＜﹣m，或x＞﹣，当m＞1时，得（x+）（x+m）＜0，∵﹣﹣（﹣m）＝，当m＞4时，﹣＞﹣m，解得：﹣m＜x＜﹣，当m＝4时，﹣＝﹣m，（x+4）2＜0，解集是∅，当1＜m＜4时，﹣＜﹣m，解得：﹣＜x＜﹣m，综上，0＜m＜1时，不等式解集是{x|x＜﹣m或x＞﹣}，m＝1时，不等式解集是{x|x＜﹣1}，1＜m＜4时，不等式解集是{x|﹣＜x＜﹣m}，m＝4时，不等式解集是∅，m＞4时，不等式解集是{x|﹣m＜x＜﹣}；（2）f（x）的图象是一条开口向上的抛物线，关于x＝m对称，由题意得m＞，若＜m≤1，则f（x）在[1，4m]递增，从而f（x）在[1，4m]上的最小值是f（1）＝1﹣2m﹣3m2，最大值是f（4m）＝5m2，由|f（x）|≤4m得﹣4m2≤x2﹣2mx﹣3m2≤4m，于是有，解得：，∴0＜m≤，又＜m≤1，∴＜m≤，若m＞1，此时f（4m）＝5m2＞4m，则当1≤x≤4m时，|f（x）|≤4m不恒成立，综上，使得|f（x）|≤4m，x∈[1，4m]恒成立的m的范围是（，]．20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，公差d≠0，若a4，a6，a10成等比数列，S7＝14，数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，等式b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1＝﹣2n都成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：数列{b n}是等比数列；（3）若数列{c n}满足，试问是否存在正整数s，t（其中1＜s＜t），使c1，c s，c t成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（s，t）；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）等差数列{a n}的前n项的和为S n，公差d≠0，若a4，a6，a10成等比数列，S7＝14，可得a62＝a4a10，即（a1+5d）2＝（a1+3d）（a1+9d），化为a1+d＝0，又7a1+21d＝14，解得a1＝﹣1，d＝1，则a n＝n﹣2；（2）证明：任意的n∈N*，等式b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1＝﹣2n都成立，可得b1a1＝﹣2，即b1＝2；由n≥2时，b1a n﹣1+b2a n﹣2+b3a n﹣3+…+b n﹣1a1＝﹣2（n﹣1），①b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1＝﹣2n，②两式②﹣①相减可得b1+b2+…+b n﹣1+b n a1＝﹣2，b1+b2+…+b n﹣1+b n＝﹣2+2b n，当n≥2时，b1+b2+…+b n﹣1＝﹣2+2b n﹣1，两式相减可得b n＝2b n﹣2b n﹣1，即b n＝2b n﹣1，则数列{b n}是首项和公比均为2的等比数列；（3）＝，假设存在正整数数组（s，t），使c1，c s，c t成等比数列，则lgc1，lg c s，lg c t成等差数列，于是＝+，所以t＝2t（﹣）（☆）．易知（s，t）＝（3，4）为方程（☆）的一组解．当s≥4，且s∈N*时，﹣＝＜0，故数列{}（s≥3）为递减数列，于是﹣≤﹣≤0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（s，t）＝（3，4），c1，c s，c t成等比数列．。
江苏省无锡市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，，则______．【答案】【解析】∵，∴点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2.______．【答案】【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】．故答案为：【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3.若幂函数的图象过点，则______．【答案】4【解析】【分析】根据已知求出函数的解析式，将代入可得答案．【详解】设幂函数，幂函数的图象过点，，解得：，，，故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4.若向量，，且，则|______．【答案】【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】，，解得．．则．故答案为：．【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.函数的单调增区间是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，，即当时，，令，在上，，此时为增函数，也为增函数，则函数为增函数；当时，，令，在上，，此时为增函数，为减函数，则函数为减函数；故函数的单调增区间是；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．6.计算：=______．【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质即可得出．【详解】原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.已知圆心角是的扇形的面积是，则该圆心角所对的弧长为______cm．【答案】【解析】【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．【详解】设扇形的弧长为l，圆心角大小为，半径为r，扇形的面积为S，则：．解得，可得：扇形的弧长为cm．故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.已知函数是周期为2的奇函数，且时，，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的周期性可得，结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数是周期为2的函数，则，又由为奇函数，则，则；故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9.将函数向右平移个单位所得函数记为，当时取得最大值，则______．【答案】【解析】【分析】利用函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得的值．【详解】将函数向右平移个单位，所得函数记为，当时取得最大值，则，，令，可得，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10.若，______．【答案】【解析】【分析】由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得，两边平方得答案．【详解】，，即，，两边平方得：，．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．11.若，且，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】讨论在和的单调性，可得在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．【详解】，可得时，递减；时，递减，且，可得在R上递减，，可得，解得，故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．12.在中，已知，，点M在边BC上，，，则______．【答案】【解析】【分析】由向量加法及减法的三角形法则可得，，结合已知即可求解．【详解】，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题．13.函数，若，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】作出的图象，求得，m的范围及的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．【详解】作出函数的图象，可得，，则在递增，可得的范围是．故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.函数在R上有4个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，设，则，作出的草图，据此分析可得方程在区间有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，对于函数，设，则，的图象如图：若函数在R上有4个零点，则方程在区间有2个不同的根，则有，解可得：，即m的取值范围为；故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设集合，全集．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）求定义域得集合A，求出时集合B，再根据集合的定义计算即可；（2）由得出，由此列不等式求出实数a的取值范围．【详解】（1）集合，时，，，又全集，或，或；（2），又，，，解得实数a的取值范围是．【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题．16.在△ABC中，已知=（1，2），=（4，m）（m＞0）（1）若，求m的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，结合向量的数量积的性质即可求解m（2）由，结合向量数量积的性质可求m，然后结合，及向量夹角公式即可求.【详解】（1）若，则，，，．（2），，，，，，，而，，．【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17.如图，在平面直角坐标系中，角的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若，，且点A的坐标为．（1）若，求实数m的值；（2）若，若的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，再利用两角和的正弦公式求得的值．【详解】（1）由题意可得，，或．，，即，．（2），，，，，．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.某公司对营销人员有如下规定：（i）年销售额x（万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x（万元）不大于64时，年终奖金y（万元）按关系式y＝log a x+b，（a＞0，且a≠1）发放；当年销售额x（万元）不小于64时，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x（万元）的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得在上是增函数，再结合已知列关于a，b的方程组，求解可得函数解析式；又时，y是x的一次函数，设，再由已知可得关于m，k 的方程组求解可得时，，则函数解析式可求；（2）当时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．【详解】（1），年销售额越大，奖金越多，在上是增函数．，解得．时，；又时，y是x的一次函数，设，由题意可得：，解得．时，．∴y关于x的函数解析式为；（2）当时，不合题意；当时，，解得．．当时，，解得，．综上，．所以该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.已知奇函数，函数，，，．（1）求b的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）当时，函数的最小值恰为的最大值，求m的取值范围．【答案】（1）0（2）在递增（3）【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得，解方程即可得到b；（2）在单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得的最大值，即可得到的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．【详解】（1）奇函数f（x），可得f（0）＝0，即b＝0；（2）f（x）在[0，1]单调递增，证明：设x1，x2是[0，1]上任意两个值，且x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）（）•，由x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，可得x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，即有f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），可得f（x）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f（x）在[0，1]递增，可得f（x）max＝f（1），可得g（t）的最小值为，令s＝cos t，所以s＝﹣s2+2s的最小值为，所以s，即cos t≤1，t∈[m，]，由y＝cos t的图象可得m．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.已知向量，，，，函数，的最小正周期为．（1）求的单调增区间；（2）方程；在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得++m（-）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2）或（3）存在，且m取值范围为【解析】【分析】（1）函数，的最小正周期为．可得，即可求解的单调增区间．（2）根据x在上求解的值域，即可求解实数n的取值范围；（3）由题意，求解的最小值，利用换元法求解的最小值，即可求解m的范围．【详解】（1）函数f（x）•1＝2sin2（ωx）cos（2ωx）﹣1＝sin（2ωx）cos（2ωx）＝2sin（2ωx）∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0∴，∴ω＝1．那么f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x）令2x，k∈Z得：x∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．（2）方程f（x）﹣2n+1＝0；在[0，]上有且只有一个解，转化为函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．∵x在[0，]上，∴（2x）那么函数y＝f（x）+1＝2sin（2x）+1的值域为[，2]，结合图象可知函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．那么2n＜1或2n＝2，可得或n＝1．（3）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）∴f（x2）min＝﹣2．实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，使得m（）+1＞f（x2）成立．即m（）+1＞﹣2成立令y m（）+1设t，那么（）2+2＝t2+2∵x1∈[﹣1，1]，∴t∈[，]，可得t2+mt+5＞0在t∈[，]上成立．令g（t）＝t2+mt+5＞0，其对称轴t∵t∈[，]上，∴①当时，即m≥3时，g（t）min＝g（），解得；②当，即﹣3＜m＜3时，g（t）min＝g（）0，解得﹣3＜m＜3；③当，即m≤﹣3时，g（t）min＝g（）0，解得m≤﹣3；综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。