第8讲 立体几何中的交线问题(解析版)

第8讲 立体几何的交线问题

一．选择题（共12小题）

1．（2020秋•庄河市校级期中）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的余弦值为( )

A B C D ．

12

【解析】解：如图，

//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，

可知，1//n CD ，11////m BD B D ，

△11CB D 是正三角形，m ，n 所成角就是1160CD B ∠=︒， 则m ，n 所成角的余弦值为1

2

． 故选：D ．

2．（2021春•南通月考）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面α⋂平面ABCD l =，则直线l 与直线11A C 所成的角为( )

A ．30︒

B ．45︒

C ．60︒

D ．90︒

【解析】解：如图所示，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，

平面//α平面1A BD ，平面α⋂平面ABCD l AF ==，平面1A BD ⋂平面ABCD BD =， //BD AF ∴，又

11//AC AC ，

则直线l 与直线11A C 所成的角即为直线BD 与直线AC 所成的角，为90︒． 故选：D ．

3．（2018春•五华区校级月考）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 的平面α与直线1AC 垂直，且平面α与平面11ABB A 的交线为直线l ，平面α与平面11ADD A 的交线为直线m ，则直线l 与直线m 所成角的大小为(

) A ．

6

π

B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π 【解析】解：如图，

11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，

1A B ∴⊥平面11AB C ，则11A B AC ⊥，

同理11A D AC ⊥，则1AC ⊥平面1A BD ，

过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 的平面α与直线1AC 垂直，

∴平面//α平面1A BD ，

平面1A BD ⋂平面111ABB A A B =，平面1A BD ⋂平面111ADD A A D =，

∴直线l 与直线m 所成角即为1A B 与1A D 所成角．

△1A BD 为等边三角形，∴直线l 与直线m 所成角的大小为3

π． 故选：C ．

4．（2020秋•宜春期末）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，1BC α⊥，点E 、F 分别为1AA ，1CC 的中点，112C G GD =，若α⋂平面ABCD m =，α⋂平面EFG n =，则直线m 与直线n 所成角的正切值为

( ) A

B

C

D

【解析】解：建立空间直角坐标系如图所示，设2AB =， 则(2E ，0，1)，(0F ，2，1)，(1B ，1，1)，1(0C ，2，0)， 因为112C G GD =，所以2

(0,,0)3

G ，

则14

(2,2,0),(0,,1),(2,0,2)3

EF GF C B =-==，

设平面EFG 的法向量为1(,,)n a b c =， 则11

2204

03n EF a b n GF b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1a =，则14

(1,1,)3

n =-，

已知平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =，

设直线m ，n 的方向向量分别为00000222(,,),(,,)m x y z n x y z ==， 因为α⋂平面ABCD m =，1BC α⊥， 所以010002

02200m C B x z m n z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，

令01y =，则0(0,1,0)m =， 又α⋂平面EFG n =，

所以012201222

2204

03n C B x z n n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩， 令21x =，07

(1,,1)3

n =--，

所以0000007||

|||cos ,|

||||1m n m

n m n -⋅<

>===⨯，

设直线m 与直线n 所成的角为θ，

则

cos θ=

，所以sin θ=

则sin tan cos θθθ===， 故直线m 与直线n 所成角的正切值为7

． 故选：B ．

5．（2021•全国一模）过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 作平面α，使/

/α平面11A B CD ，11

A D 和11D C 的中点分别为E 和F

，则直线EF 与平面α所成角的正弦值为( ) A ．

1

2

B C D 【解析】解：如图所示，//α平面11A B CD ，则EF 与平面α所成的角即为EF 与平面11A B CD 所成的角， 取AB 的中点G ，连结FG ，1A C ，设交点为O ， 由正方体的结构特征可得，O 为正方体的中心， 因为11C B B C ⊥，111C B A B ⊥，11

11A B B C B =，11

A B ，1B C ⊂平面11A B CD ，

所以1C B ⊥平面11A B CD ，因为F ，G 分别为11D C ，AB 的中点，所以1//FG C B ，