强连通分量的定义
强连通分量的定义
强连通分量是图论中的一个概念，指的是在有向图中，若任意两个顶点都存在一条有向路径，则这个有向图就是强连通的。而强连通分量则指的是有向图中的极大强连通子图，即在该子图中任意两个顶点都是强连通的，并且该子图不能再加入其他的顶点或边使其仍然保持强连通。
在实际应用中，强连通分量有着广泛的应用。比如在电路设计中，可以将电路看作一个有向图，每个元件看作一个顶点，元件之间的电线则看作一条有向边。那么在这个电路中，如果存在一个强连通分量，则说明这些元件可以构成一个独立的电路模块，可以方便地进行测试和维护。此外，在社交网络分析、路网规划等领域，强连通分量也有着重要的应用。
在实际应用中，我们可以通过深度优先搜索（DFS）或者Tarjan算法来求解一个有向图的强连通分量。具体来说，DFS 算法可以通过遍历有向图来寻找所有的强连通分量；而Tarjan 算法则是一种更高效的算法，可以在O(V+E)的时间复杂度内求解一个有向图的所有强连通分量。
总之，强连通分量是图论中一个重要的概念，在实际应用中有着广泛的应用。通过深入学习和理解这个概念，我们可以更好地应用它来解决实际问题。
数据结构考试要点
第一章：数据结构包含：逻辑结构，数据的存储结构，对数据进行的操作。数据元素：相对独立的基本单位，即可简单也可复杂，简单的数据元素只有一个数据项，数据项是数据的不可分割的最小单位。数据对象：性质相同的数据元素的集合。数据结构：相互存在一种或者多种特定关系的数据元素的集合（集合，线性结构，树结构，图结构）。顺序存储结构：数据元素按照逻辑顺序依次存放在存储器的一段连续存储单元中。链式存储结构：存储在存储空间的任意位置上，包含一个数据域和至少一个指针域，要访问，必须从第一个元素开始查找。数据类型：一组值加一组操作。 第二章：线性表：有限多个性质相同的数据元素构成的一个序列，数据元素的个数就是长度。线性表的顺序存储结构：用一组地址连续的存储单元能随机存取的结构。链式存储结构：具有链式存储结构的线性表称为链表，是用一组地址任意的存储单元来存线性表中的数据元素。每个数据元素存储结构包括数据元素信息域和地址域，存放一个数据元素的存储结构称为结点，每个结点只定义一个指针域，存放的是当前结点的直接后记结点的地址（直接后继结点），线性表的最后一个结点指针域存放空（0，NULL）标志结束。不支持随机存取，访问必须从第一个结点开始，一次访问。双向链表：每个结点设置两个方向的指针（直接前驱和直接后继）。 第三章：栈：堆栈的简称，限定在表尾进行插入和删除的线性表。特点是后进先出。当栈定指针指向栈底时，为空栈。队列：限定只能在一端进行插入和在另一端进行删除的线性表，进行插入的是队尾，删除的是队头。特点是先进先出。队列的链式结构：用一个链表依次存放从队头到队尾的所有的数据元素。存放队头地址（队头指针）队尾地址（队尾指针），空链队列：有头结点，空队列条件是头结点存放0，无头结点为队头指针指向空。队列的顺序存储结构：用一组地址连续的存储空间依次存放从队头到队尾的所有数据元素，再用队头指针和队尾指针记录队头和队尾的位置。队头指针指向队头元素前一个数组元素的位置，队尾始终指向队尾，当队尾和队头指向同一位置，空队列。入队和出队，队尾指针都会向数组元素下标的增加方向移动，当队尾指针超出数组上界面无法进行操作（假溢出），解决方法是使用具有顺存储存结构的循环队列：将存放队列元素的数组首尾连接，形成一个环形结构。 第四章：数组的存储结构：一般为顺序存储结构，依次将数组元素存放在一段连续的存储区域中。通常有两种存放方式：1.以行序为主，2.列序为主。矩阵的压缩存储：对值相同的元素可以自分配一个存储空间，0不分配。对称的压缩存储：对于每一个位置对称的矩阵元素只分配一个存储单元。稀疏矩阵：若一个矩阵存在大量的0，就称为稀疏矩阵。稀疏矩阵的三元组表示若以顺序储存结构表示由非零元三元组构成的表，则得到稀疏矩阵的一种压缩储存方式，三元组表。稀疏矩阵的十字链表表示：链式表，每一个结点除了表示存储非零元素的三元组以外，还设置两个指针，分别指向同一行的下一个非零元素结点和同一列的下一个非零元素结点。 第五章：串：空串的长度为0，空格串的字符为空格。串的顺序存储结构（串的主要存储结构）：将字符串的所有字符依次存放在一段连续的存储单元中。非紧缩存储（访问方便）：以存储单元为单位依次存放所有字符。紧缩存储（节省空间）：根据机器字的长度尽可能的将多个字符存放在一个字中。静态数组：\0表示串终结。动态数组：用new和delete动态分配空间和释放空间。串的链式存储结构：用一个线性表来一次存储串值。 第六章：广义表：在线性表中，每个数据元素都是结构上不能分割的原子元素，如果放宽这个限制，允许表中的数据元素既可以是数据元素又可以是原子元素，也可以是一个表，这种数据结构就是广义表。子表：某个元素本身是表。广义表的长度：最外层元素的个数。空表：没有元素。广义表的表尾：将第一个元素除去之后剩下全部元素构成的表，广义表的表尾一定是广义表。层：（a,(b,(c,e))）a和(b,(c,e))第一层，b和(c,e)第二层。广义表的深度：广义表的最大层数，其值与广义表书写形势中括号的最大嵌套层数相同。 第七章：树: 树是由n（n>=0）个结点组成的有限集，若n=0，则为空树，n>0,则树满足：有且仅有一个根节点；其他的结点划分为m个互不相交的有限集，每个有限集本身是一棵树，称为根的子树。基本术语：结点：存放数据元素的逻辑单元。分支：节点之间的二元关系。结点的度：结点拥有的子树棵数。叶子的结点：度为0的结点。分支的结点：度不为0的结点。树的度：树内各结点度的最大值。结点的层次：根为第一层，对其他任何结点，若其父亲是k层结点，它就是K+1层。树的深度(高度)：树中结点的最大层次。有序数：任意一个结点的各棵子树从左到右是有序的，其次序不能任意颠倒。森林：m棵互不相交树的集合。二叉树的定义：一种度小于或等于2的有序树。特点是树的每一个结点最多有两棵子树，且子树有左右之分，不能任意颠倒。满二叉树：一棵二叉树所有的结点都有非空的左子树和右子树，且所有的叶子结点都位于二叉树的最下面一层。完全二叉树：只有最下面两层结点的度可以小于2，且最下面一层的结点都集中在该层最左边的位置上。二叉树的性质：1.第i层上最多有2的i-1次方个结点。2.深度为k的二叉树最多有2的k次方减1个结点。3.若叶子结点数为n,度为2的节点数为m,则n=m+1.具有n个结点的完全二叉树的深度为log以2为底，n的对数再加上1.二叉树的顺序存储结构：将一棵完全二叉树的全部结点按层次从上到下，每层从左到右，依次存放在一组地址连续的存储单元中。对于一般的二叉树，可以增加一些不存在的虚节点变成二叉树。链式存储结构：二叉树一般采用链式存储方式存放，每一个树结点对应一个链结点，每个链结点除了存放数据元素以外，还要根据需要定义若干指针，分别存放当前结点的左孩子，右孩子，双亲结点地址。定义lchild和rchild指针指向当前结点的左右孩子，称为二叉链表，再定义一个parent,称为三叉链表。二叉树的遍历：按照某种搜索方式，访问二叉树中的每个结点，且每个结点只访问一次。访问还可以修改结点额的值，输出结点的内容。遍历方式：先序，中序，后序。先序遍历二叉树：若二叉树为空，则空操作；否则访问根结点，先序遍历根结点的左子树，先序变了根结点的右子树。中序遍历二叉树：若……中序遍历根节点的左子树，访问根结点，中序遍历根节点的右子树。后序遍历二叉树：若……后序遍历根结点的左子树，后序遍历根结点的右子树，访问根结点。树的存储结构：孩子兄弟表示法：每个树结点构成了链表中的一个链结点，每个链结点设置了三个域，一个是数据域，还有两个指针域，分别表示当前结点第一个孩子的地址和下一个兄弟的地址。任何一棵树，可以找到一棵唯一的二叉树，他们的存储结构完全相同。树，森林与二叉树的转换：任何一棵二叉树可以找到一棵唯一对应的二叉树，他们的存储结构完全相同，只是解释不同。树的根结点对应着二叉树的根结点，树上某结点的第一个孩子对应二叉树的上是相同的结点的左孩子，树上的某结点的下一个兄弟结点在对应二叉树上是用同结点的右孩子。任何一棵与树对应的二叉树，其根结点的右子树必然是空树。哈夫曼树：路径长度：从一个结点向下到达某子孙结点的分支，成称为这两个结点之间的路径，分支的数目称为路径长度。结点的权：赋予给结点的一个数值。结点的带权路径长度：从树根到该结点的路径长度与结点权的乘积。树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和。现在有N个数值，将他们作为n结点的权，以这n 个结点为叶子结点构造一个二叉树，其中带权路径长度最短的那颗二叉树为哈夫曼树（最优二叉树）。要使二叉树的带权路径长度达到最小，权值大的叶子结点尽量离根近些。 第八章：图是由若干个顶点和若干条边构成的数据结构。顶点是实际对象的抽象，边是对象之间的关系的抽象。有向图：若图中带表一条边的偶对
有向图的强连通分量
实验报告 课程名称数据结构 实验项目名称有向图的强连通分量 班级与班级代码14计算机实验班 实验室名称（或课室）实验楼803 专业计算机科学与技术 任课教师 学号： 姓名： 实验日期：2015年12 月03 日 广东财经大学教务处制
姓名实验报告成绩 评语： 指导教师（签名） 年月日说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。
一、实验目的与要求 采用邻接表存储的有向图。 二、实验内容 （1）创建N个节点的空图 DiGraph CreateGraph(int NumVertex)//创建一个N个节点的空图 { DiGraph G; G = malloc( sizeof( struct Graph ) ); if( G == NULL ) FatalError( "Out of space!!!" ); G->Table = malloc( sizeof( struct TableEntry ) * NumVertex ); if( G->Table == NULL ) FatalError( "Out of space!!!" ); G->NumVertex = NumVertex; G->NumEdge = 0; int i; for (i=0;i
求强连通分量的Kosaraju算法和Tarjan算法的比较 by ljq
求强连通分量的Kosaraju算法和Tarjan算法的比较 一、定义 在有向图中，如果两个顶点vi,vj间有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图的每两个顶点都强连通，则称该有向图是一个强连通图。非强连通的有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。 而对于一个无向图，讨论强连通没有意义，因为在无向图中连通就相当于强连通。 由一个强连通分量内的所有点所组成的集合称为缩点。在有向图中的所有缩点和所有缩点之间的边所组成的集合称为该有向图的缩图。 例子： 原图： 缩图： 上面的缩图中的 缩点1包含：1、2,；缩点2包含：3； 缩点3包含：4；缩点4包含：5、6、7。
二、求强连通分量的作用 把有向图中具有相同性质的点找出来，形成一个集合（缩点），建立缩图，能够方便地进行其它操作，而且时间效率会大大地提高，原先对多个点的操作可以简化为对它们所属的缩点的操作。 求强连通分量常常用于求拓扑排序之前，因为原图往往有环，无法进行拓扑排序，而求强连通分量后所建立的缩图则是有向无环图，方便进行拓扑排序。 三、Kosaraju算法 时间复杂度：O（M+N）注：M代表边数，N代表顶点数。 所需的数据结构：原图、反向图（若在原图中存在vi到vj的有向边，在反向图中就变成为vj到vi的有向边）、标记数组（标记是否遍历过）、一个栈（或记录顶点离开时间的数组）。 算法描叙： 步骤1：对原图进行深度优先遍历，记录每个顶点的离开时间。 步骤2：选择具有最晚离开时间的顶点，对反向图进行深度优先遍历，并标记能够遍历到的顶点，这些顶点构成一个强连通分量。 步骤3：如果还有顶点没有遍历过，则继续进行步骤2，否则算法结束。 hdu1269（Kosaraju算法）代码： #include
算法学习：图论之图的割点,桥,双连通分支
图的割点、桥与双连通分支 [点连通度与边连通度] 在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。一个图的点连通度的定义为，最小割点集合中的顶点数。 类似的，如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。 注：以上定义的意思是，即有可能删除两个或两个以上点的时候才能形成多个连通块！ [双连通图、割点与桥] 如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的(point biconnected)，简称双连通或重连通。一个图有割点，当且仅当这个图的点连通度为1，则割点集合的唯一元素被称为割点(cut point)，又叫关节点(articulation point)。 如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的(edge biconnected)，简称双连通或重连通。一个图有桥，当且仅当这个图的边连通度为1，则割边集合的唯一元素被称为桥(bridge)，又叫关节边(articulation edge)。 可以看出，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们之间是有着某种联系的，下文中提到的双连通，均既可指点双连通，又可指边双连通。 [双连通分支] 在图G的所有子图G’中，如果G’是双连通的，则称G’为双连通子图。如果一个双连通子图G’它不是任何一个双连通子图的真子集，则G’为极大双连通子图。双连通分支(biconnected component)，或重连通分支，就是图的极大双连通子图。特殊的，点双连通分支又叫做块。
强连通分量与模拟链表
强联通分量与模拟链表 作者：逸水之寒 1.强连通分量 强连通分量的定义是：在有向图中，u可以到达v，但是v不一定能到达u，如果u,v 到达，则他们就属于一个强连通分量。 求强连通分量最长用的方法就是Kosaraju算法，比较容易理解而且效率很高，本文对强连通分量的求法均采用Kosaraju算法。 其主要思想：首先对原图G进行深搜形成森林（树），然后选择一棵树进行第二次深搜，注意第一次是要判断节点A能不能通向节点B，而第二次要判断的是节点B能不能通向A，能遍历到的就是一个强连通分量。（附录给出伪代码） Kosaraju算法如果采用了合适的数据结构，它的时间复杂度是O(n)的。相关题目有很多，例如USACO 5.3.3，2009NOIP Senior No.3。下面将以USACO 5.3.3 schlnet 举例说明。 Preblem 1. Network of Schools (USACO 5.3.3 schlnet\IOI96 No.3) A number of schools are connected to a computer network. Agreements have been developed among those schools: each school maintains a list of schools to which it distributes software (the "receiving schools"). Note that if B is in the distribution list of school A, then A does not necessarily appear in the list of school B. You are to write a program that computes the minimal number of schools that must receive a copy of the new software in order for the software to reach all schools in the network according to the agreement (Subtask A). As a further task, we want to ensure that by sending the copy of new software to an arbitrary school, this software will reach all schools in the network. To achieve this goal we may have to extend the lists of receivers by new members. Compute the minimal number of extensions that have to be made so that whatever school we send the new software to, it will reach all other schools (Subtask B). One extension means introducing one new member into the list of receivers of one school.
求强连通分量
求强连通分量 1、Kosaraju算法 对每个不在树中的点开始DFS一次，并记录离开各点的时间，这里是离开的时间，而不是到达时的，比如有图1->2 2->3 则1,2,3分别对应的时间是3 2 1,因为3没有出边，所以最先离开，其次是2,最后是1, DFS后，在同一棵树中的点，如果dfn[v]>dfn[u]则说明点从v有可能到达u,而这棵树中的dfn[]最大的点，肯定可以到达每个点，从而在原图的逆图中，每次都选没有访问过的最大的dfn值开始DFS,如果可达点x 则说明它们是强连通的void DFS_T(int u) { int i,v; if(used[u])return ; used[u]=1;id[u]=scc; for(i=q[u];i!=-1;i=Tedge[i].pre) { v=Tedge[i].d; if(!used[v])DFS_T(v); } } void DFS(int v){
int i,u; if(used[v])return ; used[v]=1; for(i=p[v];i!=-1;i=edge[i].pre) { u=edge[i].d; if(!used[u])DFS(u); } order[++num]=v; } int Kosaraju() { int i,j,k,v,u; memset(used,0,sizeof(used));num=0; for(i=1;i<=n;++i)if(!used[i])DFS(i); memset(used,0,sizeof(used)); memset(id,0,sizeof(id));scc=0; for(i=num;i>=1;--i)if(!used[order[i]])scc++,DFS_T(order[i]); } 2、Tarjan算法 dfn[v]记录到达点v的时间，跟上面的离开不同，low[v]表示通过它的子结点可以到达的所有点中时间最小值，即low[i]=min(low[i],low[u]),u为v的了孙，初始化时low[v]=dfn[u]。如果low[v]比dfn[v]小，说明v可以通过它的子结点u,u1,u2...到达它的祖先v',则存在环，这个环上所有的点组成的子图便是一个强连通分量。换一个角度看，如果当low[v]==dfn[v]时，则它的子树中所有low[u]==dfn[v]的点都与v构成一个环，维护一个栈，DFS过程中，每遍历一个点则把它放入栈中，当发现low[v]==dfn[v]则依次把栈里的元素都弹出来，当栈顶元素为v时结束，这些点便构成一个以v为树根的强连通分量。
数据结构总结知识点
第一章 数据结构概念——数据结构，数据元素，数据项，数据类型，抽象数据类型，算法，等。 数据结构定义——指互相有关联的数据元素的集合，用D_S=( D, S ) 或S=( D, R) 表示。 数据结构内容——数据的逻辑结构、存储结构和运算 算法效率指标——时间效率（时间复杂度）和空间效率（空间复杂度）
总结：数据的逻辑结构和存储结构 数据的逻辑结构是数据的机外表示，数据的存储 结构是数据的机内表示。 (2) 一种数据的逻辑结构可以用多种存储结构来存储。 (3) 数据结构的基本操作是定义（存在）于逻辑结构，计算机程序设计过程中实现于存储结构。 (4) 采用不同的存储结构，其数据处理的效率往往是不同的。 数据结构？有限个同构数据元素的集合，存在着一定的结构关系，可进行一定的运算。 算法--是对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列。 算法有5个基本特性： 有穷性、确定性、可行性、输入和输出 第二章 1. 数据的逻辑结构是指数据元素之间的逻辑关系， 是用户按使用需要建立的。对 2. 线性表的逻辑结构定义是唯一的，不依赖于计算机。对 3. 线性结构反映结点间的逻辑关系是一对一的。对 4. 一维向量是线性表，但二维或N维数组不是。错
5. “同一数据逻辑结构中的所有数据元素都具有相同的 特性”是指数据元素所包含的数据项的个数都相等。错 插入概率p(i)=1/(n+1) ，删除概率q(i)=1/n 插入操作时间效率（平均移动次数） 2)1(11)1(111 1 n i n n i n p E n i n i i is =+-+=+-=∑∑+=+=删除操作时间效率（平均移动次数） 21)(1)(11 -= -=-=∑∑==n i n n i n q E n i n i i dl 线性表顺序存储结构特点：逻辑关系上相邻的两个元素 在物理存储位置上也相邻； 优点：可以随机存取表中任一元素;无需为表示表中元素 之间的逻辑关系而增加额外的存储空间； 缺点：在插入、删除某一元素时，需要移动大量元素；表的容量难以确定，表的容量难以扩充。 顺序表采用顺序存储结构，即用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素，数据元素之间的逻辑关系通过存储位置来实现。 单链表采用链接存储结构，即用一组任意的存储单元存放线性表的元素。用指针来反映数据元素之间的逻辑关系。 按位查找： 顺序表的时间为Ｏ(1)，是随机存取； 单链表的时间为Ｏ(n)，是顺序存取。 插入和删除： 顺序表需移动表长一半的元素，时间为Ｏ(n)； 单链表不需要移动元素，在给出某个合适位置的指针后，插入和删除操作所需的时间仅为Ｏ(1)。 第六章 性质1 在二叉树的第i 层上至多有2i - 1个结点 第i 层上至少有 1 个结点
强连通分量个数的最小值
强连通分量个数的最小值 1. 引言 在图论中，强连通分量是指图中的一组顶点，其中任意两个顶点都存在一条有向路径。强连通分量个数的最小值是指在一个有向图中，最少需要将多少个顶点组成一个强连通分量。本文将介绍强连通分量的概念、计算方法以及如何求解强连通分量个数的最小值。 2. 强连通分量的定义 在有向图中，如果从顶点A到顶点B存在一条有向路径，同时从顶点B到顶点A也存在一条有向路径，则称顶点A和顶点B是强连通的。如果一个有向图中的每个顶点都与其他所有顶点强连通，则该有向图被称为强连通图。而强连通分量则是指有向图中的一组顶点，其中任意两个顶点都是强连通的，且不与其他顶点强连通。 3. 强连通分量的计算方法 为了计算一个有向图的强连通分量，可以使用强连通分量算法，其中最常用的是Tarjan算法和Kosaraju算法。 3.1 Tarjan算法 Tarjan算法是一种深度优先搜索算法，用于寻找有向图的强连通分量。算法的基本思想是通过DFS遍历图中的每个顶点，并记录每个顶点的遍历次序和能够到达的最小顶点次序。通过这些信息，可以判断顶点是否属于同一个强连通分量。 具体步骤如下： 1.初始化一个空栈和一个空的遍历次序数组。 2.对于每个未遍历的顶点，进行深度优先搜索。 3.搜索过程中，记录每个顶点的遍历次序和能够到达的最小顶点次序，并将顶 点加入栈中。 4.当搜索完成后，根据遍历次序和能够到达的最小顶点次序，可以确定每个顶 点所属的强连通分量。 3.2 Kosaraju算法 Kosaraju算法是另一种用于计算有向图强连通分量的算法。算法的基本思想是通过两次深度优先搜索来确定强连通分量。 具体步骤如下： 1.对原始图进行一次深度优先搜索，记录顶点的遍历次序。
强连通分量的三种算法
有向图中, u可达v不一定意味着v可达u. 相互可达则属于同一个强连通分量(S trongly Connected Component, SCC) 最关键通用部分：强连通分量一定是图的深搜树的一个子树。 一、Kosaraju算法 1. 算法思路 基本思路： 这个算法可以说是最容易理解，最通用的算法，其比较关键的部分是同时应用了原图G和反图GT。(步骤1)先用对原图G进行深搜形成森林(树)，（步骤2）然后任选一棵树对其进行深搜(注意这次深搜节点A能往子节点B走的要求是EAB存在于反图GT)，能遍历到的顶点就是一个强连通分量。余下部分和原来的森林一起组成一个新的森林，继续步骤2直到没有顶点为止。 改进思路： 当然，基本思路实现起来是比较麻烦的(因为步骤2每次对一棵树进行深搜时，可能深搜到其他树上去，这是不允许的，强连通分量只能存在单棵树中(由开篇第一句话可知))，我们当然不这么做，我们可以巧妙的选择第二深搜选择的树的顺序，使其不可能深搜到其他树上去。想象一下，如果步骤2是从森林里选择树，那么哪个树是不连通(对于GT来说)到其他树上的呢？就是最后遍历出来的树，它的根节点在步骤1的遍历中离开时间最晚，而且可知它也是该树中离开时间最晚的那个节点。这给我们提供了很好的选择，在第一次深搜遍历时，记录时间i离开的顶点j，即numb[i] =j。那么，我们每次只需找到没有找过的顶点中具有最晚离开时间的顶点直接深搜(对于GT来说)就可以了。每次深搜都得到一个强连通分量。 隐藏性质: 分析到这里，我们已经知道怎么求强连通分量了。但是，大家有没有注意到我们在第二次深搜选择树的顺序有一个特点呢？如果在看上述思路的时候，你的脑子在思考，相信你已经知道了！！！它就是：如果我们把求出来的每个强连通分量收缩成一个点，并且用求出每个强连通分量的顺序来标记收缩后的节点，那么这个顺序其实就是强连通分量收缩成点后形成的有向无环图的拓扑序列。为什么呢？首先，应该明确搜索后的图一定是有向无环图呢？废话，如果还有环，那么环上的顶点对应的所有原来图上的顶点构成一个强连通分量，而不是构成环上那么多点对应的独自的强连通分量了。然后就是为什么是拓扑序列，我们在改进分析的时候，不是先选的树不会连通到其他树上（对于反图GT来说），也就是后选的树没有连通到先选的树，也即先出现的强连通分量收缩的点只能指向后出现的强连通分量收缩的点。那么拓扑序列不是理所当然的吗？这就是Kosaraju算法的一个隐藏性质。 2. 伪代码 Kosaraju_Algorithm: step1：对原图G进行深度优先遍历，记录每个节点的离开时间。
数据结构期末复习重点知识点总结
第一章绪论 一、数据结构包括：逻辑结构、存储结构、运算（操作）三方面内容。 二、线性结构特点是一对一。 树特点是一对多 图特点是多对多 三、数据结构的四种存储结构：顺序存储、链式存储、索引存储、散列存储 顺序存储结构和链式存储结构的区别？ 线性结构的顺序存储结构是一种随机存取的存储结构。 线性结构的链式存储是一种顺序存取的存储结构。 逻辑结构分类：集合线性树图，各自的特点。或者分为线性结构和非线性结构。 四、算法的特征P13 五、时间复杂度 (1) i=1; k=0;
while(i 二、线性表的特点。 三、顺序表的插入、思想、时间复杂度o(n)、理解算法中每条语句的含义。 （1）插入的条件：不管是静态实现还是动态实现，插入的过程都是从最后一个元素往后挪动，腾位置。静态是利用数组实现，动态是利用指针实现。不管静态还是动态，在表中第i个位置插入，移动次数都是n-i+1。 四、顺序表的删除、思想、时间复杂度o(n)、理解算法中每条语句的含义。 （1）删除的条件：不管是静态实现还是动态实现，删除的过程都是从被删元素的下一位置向前挪动。静态是利用数组实现，动态是利用指针实现。不管静态还是动态，删除表中第i个元素，移动次数都是n-i。 五、顺序表的优缺点？为什么要引入链表？ 答：顺序表的优点是可以随机存取，缺点是前提必须开辟连续的存储 数据结构课设有向图强连通分量求解 强连通分量（Strongly Connected Components）是有向图中的一种特殊的连通分量，指的是图中任意两个顶点之间都存在有向路径。 求解有向图的强连通分量可以使用Tarjan算法，该算法基于深度优先搜索（DFS）。 具体步骤如下： 1. 初始化一个栈，用于存储已访问的顶点； 2. 对于图中的每个顶点v，如果v未访问，则进行DFS遍历； 3. 在DFS遍历中，对于当前访问的顶点v，设置v的索引号和低链接号为当前索引值，并将v入栈； 4. 遍历v的所有邻接顶点w，如果w未访问，则进行DFS遍历，并将w的低链接号更新为min(当前顶点的低链接号, w的低链接号)； 5. 如果当前顶点v的低链接号等于索引号，则将v出栈，并将v及其出栈的顶点组成一个强连通分量。 示例代码如下： ```python class Graph: def __init__(self, vertices): self.V = vertices self.adj = [[] for _ in range(vertices)] self.index = 0 self.lowlink = [float("inf")] * vertices self.onStack = [False] * vertices self.stack = [] self.scc = [] def addEdge(self, u, v): self.adj[u].append(v) def tarjanSCC(self, v): self.index += 1 self.lowlink[v] = self.index self.stack.append(v) self.onStack[v] = True for w in self.adj[v]: if self.lowlink[w] == float("inf"): self.tarjanSCC(w) self.lowlink[v] = min(self.lowlink[v], self.lowlink[w]) elif self.onStack[w]: self.lowlink[v] = min(self.lowlink[v], self.lowlink[w]) if self.lowlink[v] == self.index: scc = [] w = -1 while w != v: [有向图强连通分量] 在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。 下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。 直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。 [Tarjan算法] Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。 定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出， Low(u)=Min { DFN(u), Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)} Low(u)=Min{ DFN(u), Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)} 当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。 算法伪代码如下 tarjan(u) { DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值 Stack.push(u)// 将节点u压入栈中 for each (u, v) in E // 枚举每一条边 if(v is not visted)// 如果节点v未被访问过 tarjan(v)// 继续向下找 Low[u]= min(Low[u], Low[v]) else if(v in S)// 如果节点u还在栈内 Low[u]= min(Low[u], DFN[v]) if(DFN[u]== Low[u])// 如果节点u是强连通分量的根 repeat v = S.pop// 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点 print v until (u== v) tarjan(u){ DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值Stack.push(u) // 将节点u压入栈中for each (u, v) in E // 枚举每一条边if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过tarjan(v) // 继续向下找Low[u] = min(Low[u], Low[v]) else if (v in S) // 如果节点u还在栈内Low[u] = min(Low[u], DFN[v]) if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根repeat v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点print v until (u== v)} 接下来是对算法流程的演示。 从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。 一、单选题 C01、在一个图中，所有顶点的度数之和等于图的边数的倍。 A)1/2 B)1 C)2 D)4 B02、在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的倍。 A)1/2 B)1 C)2 D)4 B03、有8个结点的无向图最多有条边。 A)14 B)28 C)56 D)112 C04、有8个结点的无向连通图最少有条边。 A)5 B)6 C)7 D)8 C05、有8个结点的有向完全图有条边。 A)14 B)28 C)56 D)112 B06、用邻接表表示图进行广度优先遍历时，通常是采用来实现算法的。 A)栈 B)队列 C)树 D)图 A07、用邻接表表示图进行深度优先遍历时，通常是采用来实现算法的。 A)栈 B)队列 C)树 D)图 A08、一个含n个顶点和e条弧的有向图以邻接矩阵表示法为存储结构，则计算该有向图中某个顶点出度的时间复杂度为。 A)O(n) B)O(e) C)O(n+e) D)O(n2) C09、已知图的邻接矩阵，根据算法思想，则从顶点0出发按深度优先遍历的结点序列是。 A)0 2 4 3 1 5 6 B)0 1 3 6 5 4 2 C)0 1 3 4 2 5 6 D)0 3 6 1 5 4 2 B10、已知图的邻接矩阵同上题，根据算法，则从顶点0出发，按广度优先遍历的结点序列是。 A)0 2 4 3 6 5 1 B)0 1 2 3 4 6 5 C)0 4 2 3 1 5 6 D)0 1 3 4 2 5 6 D11、已知图的邻接表如下所示，根据算法，则从顶点0出发按深度优先遍历的结点序列是。 A)0 1 3 2 B)0 2 3 1 C)0 3 2 1 D)0 1 2 3 A12、已知图的邻接表如下所示，根据算法，则从顶点0出发按广度优先遍历的结点序列是。 A)0 3 2 1 B)0 1 2 3 C)0 1 3 2 D)0 3 1 2 A13、图的深度优先遍历类似于二叉树的。 A)先序遍历 B)中序遍历 C)后序遍历 D)层次遍历 D14、图的广度优先遍历类似于二叉树的。 A)先序遍历 B)中序遍历 C)后序遍历 D)层次遍历 B15、任何一个无向连通图的最小生成树。 A)只有一棵 B)一棵或多棵 C)一定有多棵 D)可能不存在 A16、对于一个具有n个结点和e条边的无向图，若采用邻接表表示，则顶点表的大小为，所有边链表中边结点的总数为。 A)n、2e B)n、e C)n、n+e D)2n、2e C17、判断有向图是否存在回路，可以利用___算法。 A)关键路径 B)最短路径的Dijkstra C)拓扑排序 D)广度优先遍历 A18、若用邻接矩阵表示一个有向图，则其中每一列包含的“1”的个数为。 A)图中每个顶点的入度 B)图中每个顶点的出度 C)图中弧的条数 D)图中连通分量的数目 C19、求最短路径的Dijkstra算法的时间复杂度是___。 0一．是非题 1. 数据结构(应该是抽象数据类型)可用三元式表示（D，S，P）。其中：D是数据对象，S 是D上的关系，P是对 D的基本操作集。(f) 2 简单地说,数据结构是带有结构的数据元素的集合。(t) 3 判断带头结点的非空循环单链表（头指针为L）中指针p所指结点是最后一个元素结点 的条件是：p->next==L。(t) 4 线性表的链式存储结构具有可直接存取?表中任一元素的优点。(f) 5 线性表的顺序存储结构优于链式存储结构。(f) 6. 在单链表P指针所指结点之后插入S结点的操作是： P->next= S ; S-> next = P->next;。(顺序弄反了)(f) 7 对于插入、删除而言，线性表的链式存储优于顺序存储。(t) 8. 顺序存储方式的优点是存储密度大，且插入、删除运算效率高。(f) 9. 栈和队列是操作上受限制的线性表。(t) 10. 队列是与线性表完全不同的一种数据结构。栈和队列是操作上受限制的线性表(f) 11. 队列是一种操作受限的线性表，凡对数据元素的操作仅限一端进行。对列不是(f) 12. 栈和队列也是线性表。如果需要，可对它们中的任一元素进行操作。(f) 13. 栈是限定仅在表头进行插入和表尾进行删除运算的线性表。(f) 14. 二叉树中每个结点有两个子结点，而对一般的树，则无此限制，所以，二叉树是树的 特殊情形。(f) 15 二叉树是一棵结点的度最大为二的树二叉树和树相互独立。(f) 16 赫夫曼树中结点个数一定是奇数。(t) 17 在二叉树的中序遍历序列中，任意一个结点均处在其左孩子结点的后面。(t) 18 假设B是一棵树，B′是对应的二叉树。则B的后根遍历相当于B′的后序遍历后根遍历相当于中序遍历。(f) 19. 通常，二叉树的第i层上有2i-1个结点。应该为1~2i-1个(f) 20. 中序线索二叉树的优点是便于在中序下查找直接前驱结点和直接后继结点。(t) 21 二叉树的先序遍历序列中，任意一个结点均处在其孩子结点的前面。(t) 22 由树结点的先根序列和后根序列可以唯一地确定一棵树。 (t) 23 邻接多重表可以用以表示无向图，也可用以表示有向图。只能表示无向图，有向图用十字链表(f) 24 可从任意有向图中得到关于所有顶点的拓扑次序带环图没有。(f) 25 有向图的十字链表是将邻接表和逆邻接表合二为一的链表表示形式。(t) 26 关键路径是AOE网中源点到汇点的最短路径。(f) 27 连通图G的生成树是一个包含G的所有n个顶点和n-1条边的子图。(f) 28 一个无向图的连通分量是其极大的连通子图。(t) 29 十字链表可以表示无向图，也可用以表示有向图。(f) 30 邻接表可以表示有向图，也可以表示无向图。（t ） 31. 二叉排序树的平均查找长度为O(logｎ)。(t) 32. 二叉排序树的最大查找长度与（LOG2N）同阶。(f) 33 选用好的HASH函数可避免冲突。哈希函数有几种处理冲突的方法(f) 34 折半查找不适用于有序链表的查找。(t) 35. 对于目前所知的排序方法，快速排序具有最好的平均性能。(t) 36 对于任何待排序序列来说，快速排序均快于冒泡排序。(f) For personal use only in study and research; not for commercial use 强连通分量 一个有向图中，如果节点i能够通过一些边到达节点j，就简写成i能到达j。如果对于任意两个节点i,j均有i能到达j或j能到达i，则说此图是连通的。如果对于任意两个节点i,j均有i能到达j且j能到达i，则说此图是强连通的。 对于一个无向图，说强联通没有意义，因为此时强连通就是连通。而对于一个有向图，它不一定是强连通的，但可以分为几个极大的强连通子图（“极大”的意思是再加入任何一个顶点就不满足强连通了）。这些子图叫做这个有向图的强连通分量。在上图中，强连通分量是A{1},B{2,4},C{3,5,6,7}。 在一个强连通分量中的节点由于有着相似的拓扑性质，所以我们可以将其紧缩为一个节点（这让我想到了什么？化学里的“族”），于是就大大减小了图的规模。比如上图紧缩为A,B,C 三个节点后，整个图就成为了B←A→C的简单形式。所以强连通分量是一个很有意义的东西。然而如果根据定义，对每个节点进行一次O(n2)的DFS以求出它所能到达的顶点的话，整个算法的时间复杂度就是迟钝的O(n3)。下面将介绍两种用O(n2)求强连通分量的算法：Kosaraju算法和Tarjan算法。 Kosaraju算法 Kosaraju算法基于以下思想：强连通分量一定是某种DFS形成的DFS树森林。Kosaraju 算法给出了更具体的方式： ①任意进行一次DFS，记录下每个节点的结束时间戳f[i]。 ②按f[i]的大小对节点进行排序（从小到大）。 ③以②的排序结果为顺序再进行一次DFS，所得的DFS树森林即为强连通分量。这次DFS 可以用Floodfill进行，把每个强连通分量标上不同序号。 （这就是OI界传说中的“求强连两遍DFS的算法”） 比如上图，我们可以得到： d[1]=1 f[1]=14 d[2]=2 f[2]=5 d[3]=6 f[3]=13 d[4]=3 f[4]=4 d[5]=7 f[5]=8 d[6]=9 f[6]=12 d[7]=10 f[7]=11 根据f[i]排序得：④②⑤⑦⑥③①（发现了什么？就是后序遍历），再按照这个顺序进行DFS即可。 程序： var a:array[1..1000,1..1000]of longint; b,flag:array[1..1000]of longint; n,i,j,m,k:longint; procedure dfs(x:longint); var j:longint; begin数据结构课设有向图强连通分量求解
有向图强连通分量
数据结构第7章-答案
必看!!!!!数据结构期末复习题及部分答案解析
有向图的强连通分量