小学数学教材中的化归法及其教学方法

小学数学教材中的化归法及其教学方法

作者：曹鹏

来源：《教学与管理(小学版)》2016年第02期

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容要反映社会的需求、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。”[1] 化归法是最重要、最基本的数学思想方法之一。化归即转化归结的意思，化归法就是把当前有待解决的问题，通过转化，归结为已经解决或容易解决的问题[2]。匈牙利著名数学家罗莎·彼得在她的名著《无穷的玩艺》中写到“数学往往不是对问题进行正面攻击，而是不断对它进行变形，直到把它转化成能够解决的问题”。[3]我国关于化归法最早的研究，起源于东汉时期成书的数学巨著《九章算术》，书中很多问题的解答都体现了化归法。

纵观小学数学教材，化归法贯穿于一年级到六年级始末，有着广泛应用。化归法符合小学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握。化归法有利于小学生形成完整的知识结构，从而提高自学能力。学生领会了化归法后，不仅能解决学习上碰到的问题，更能在生活中灵活运用。[4]如何进行化归法的教学，提高学生分析和解决问题的能力呢？本文在系统梳理和总结人教版小学数学教材中蕴含的化归法的基础上，对化归法进行分类，并提出一些化归法的教学策略。

一、小学数学教材中的化归法分类举隅

化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的和基本的知识为基础，将未知的化为已知的、复杂的化为简单的、抽象的化为具体的、一般的化为特殊的、非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。鉴于小学生的年龄和学习特点，小学数学教材中的化归法主要分为三类。

1.化抽象为具体

化抽象为具体，通俗地说就是把抽象枯燥的数学概念转化为具体形象的东西来理解的方法。这种方法在小学数学教材中普遍存在。众所周知，数学是研究数量关系和空间形式的科学，它的研究对象都是抽象的。比如数，现实生活中是没有1、2、3等数存在的，它是人脑抽象的产物，但一年级学生在认识100以内数的时候，并没有遇到障碍和困难，而是非常自然地接受和认识了这些数，这是因为教材已经用化归法把抽象的数转化为生活中具体的物体个数了。教材用大量生动形象、多姿多彩的图片，展示了很多生活中的实物。学生们从3只小猴、3个桃子、3块橡皮擦等很多具体的个数为3的物体中认识了数“3”，把抽象的数“3”转化为具体物体的个数。这就是最朴素、最简单的化归法。再比如图形，现实生活中也不存在长方形、正方形、平行四边形等几何图形。教材提供了一些生活中长方形、正方形、平行四边形等形状的实物，比如四年级上册，教材用图片给出了生活中的楼梯、窗格、停车位等，并要学生自己说说生活中包含平行四边形的物体，从这些物体中发现平行四边形的特征，并归纳概括出平行四边形的概念。实际上这也是化归法，化抽象的几何图形的认识为具体的生活实物的认识。

2.化未知为已知

化未知为已知就是把未知的数学问题转化为已知的数学问题来解决。这种方法在“数与代数”和“图形与几何”两大领域应用非常之多。

在数与代数领域，尤其是数的运算中，随处可见化未知为已知的化归法。20以内的退位减法和20以内的不进位加法都可用化归法计算解答。如计算15减9（退位）时，可以通过将15拆分成10加5，再用10减9得1，最后计算1加5，进而把未知的15减9的计算问题转化为已知的1加5的问题。

再如计算12加6时，可以通过将12拆分成10加2，再用2加6得8，最后计算10加8得18。通过巧妙的数的拆分，将未知的20以内的退位减法转化为已知的10减一位数和一位数加一位数的计算，将未知的20以内的不进位加法转化为已知的一位数加一位数和10加一位数的计算。整十数加减整十数也可转化为已知的一位数加减一位数来计算。将几百几十加、减几百几十的计算转化为已知的两位数加、减两位数的计算。同分母分数的加减法转化为分子的加减法，即已知的整数的加减法。

在图形与几何领域，化未知为已知的化归法应用也很多，主要集中在图形的测量。在求平行四边形面积时，可利用割补法将平行四边形的面积化归为已知的长方形的面积来计算。[5]而三角形的面积又可利用割补法或拼凑法将其化归为已知的平行四边形面积来计算。而梯形的面积也用割补法化归为平行四边形面积或三角形和平行四边形的面积之和来计算。这一系列平面图形面积的求法十分精妙地体现了化未知为已知的化归法思想。长方形的面积作为最初的已知条件，在长方形面积基础上求出平行四边形面积，在平行四边形面积基础上求出三角形面积和梯形面积，或者在平行四边形面积和三角形面积基础上求出梯形面积。这种化归法层层递进，环环相扣，让学生把这一系列平面图形面积的推导作为一个有机整体来看待，从而形成一个关于面积的完整的知识结构。

3.化复杂为简单

化复杂为简单就是把复杂的、困难的问题转化为简单的、容易的问题来解决。这种方法在数与代数、图形与几何领域皆有应用。两位数和三位数的加减法计算可以转化为简单的20以内的数的进位加法（退位减法）。异分母分数的加减法通过通分，转化为简单的同分母分数的加减法。形如5x+3=18的一元一次方程的求解，利用等式的性质，将其化为5x=15的形式，再利用等式的性质，将其化为简单的x=5的形式，从而求得其解。求多边形的内角和，可通过作辅助线，将多边形拆分成很多个三角形，从而将多边形的内角和转化为多个简单的三角形的内角和来计算。求有些不规则平面图形的面积，学生会遇到一定的困难，因为没有关于不规则图形的面积计算公式，但可以通过分割将不规则图形的面积分割为多个简单的规则图形的面积之和。

二、渗透化归法的课堂教学策略

化归法作为一种隐性的数学思想方法，隐含在小学数学教材和教学中。要让学生领略并掌握化归法，需要教师系统挖掘和整理教材中蕴含的化归法，精心准备化归法的教学设计，在课堂教学中有效渗透化归法。渗透划归法的教学策略有很多，要根据不同的学习内容和教学环节选择合适的教学策略。下面结合相关的教学案例，就课堂教学的几大环节，谈一谈化归法的课堂教学策略。

1.在复习环节用复习为化归法埋下伏笔

化归法是把待解决的问题转化为已经解决的问题，为了化归法能顺利实施，就一定要复习相关内容。例如，对于一年级下册第六单元的“两位数加一位数（不进位）、整十数”的新授课，就要复习一年级上册第四单元“整十数加一位数”的内容。具体来讲，为了讲授“25+2=”和“25+20=”，在创设情境引入新知识以前，教师可用PPT或者小纸板出示如下算式让学生回答“25=20+ ”“5+2= ”“20+7= ”“40+5= ”目的是为了提示学生可以通过拆分，把两位数加一位数（不进位）、整十数化归为已知的整十数加一位数来计算。

为了化归法的顺利实施，有时只需复习上一节课或者上一个单元的相关内容，有时需复习前几个单元或者前几册的相关内容。这种复习策略对教师的教材整体把握能力提出了较高的要求。教师必须熟悉一到六年级的教材，把前后知识点之间的联系了然于胸，用起化归法时才能游刃有余。

2.在引入新知环节用故事讲述化归法

在引入新知环节，可以用有趣的故事来讲述化归法。例如，在讲授二年级上册第二单元100以内数的连加这一知识点时，可以用我国古代曹冲称象的故事引入新课，并且把石头的重量用整数来表示。故事讲完了，提出问题：曹冲是用什么办法称大象的？然后引导学生发现，曹冲实际上是把有待解决的较难的大象体重问题转化为较易解决的石头重量和的问题，从而转化为整数的连加问题来解决，进而导入新课。再例如，学习四年级上册第四单元“三位数乘两位数”的内容时，可以为学生讲述德国数学王子高斯在小时候计算“1+2+…+100”的故事。引导学生发现，高斯就是把1到100这100个数的连加，转化为50个101的和，从而把复杂繁琐的100个整数的加法问题转化为简单的整数乘法问题。用古今中外生动形象的故事引入新课，让文学融入数学，实现文理交融，不仅让学生兴趣盎然，而且让学生对化归法有非常感性的认识，轻松愉快地接受化归法。

3.在讲授新知环节用动画演示化归法

在认识了等腰直角三角形的特征后，为了让学生对等腰直角三角形有更深刻、直观的印象，可以用动画演示古希腊数学家泰勒斯测量古代埃及金字塔高度的过程。古代埃及金字塔闻名于世，但由于太高，在泰勒斯之前，没有人能测量它的高度，那么泰勒斯是如何测量的呢？泰勒斯站在烈日下，隔一段时间就量一下自己的影子长度，等到他的影子长度恰好等于他身高的时候，他就立即命人去量金字塔的影子长度，这样就得到了金字塔的高度。通过动画演示，