高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法

高中数学必修5常考题型：

一元二次不等式及其解法(总

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一元二次不等式及其解法(复习课)

【常考题型】

题型一、简单的分式不等式

【例1】 解下列不等式

(1)x ＋21－x <0；(2)x ＋1x －2

≤2. [解] (1)由x ＋21－x <0，得x ＋2x －1

>0， 此不等式等价于(x ＋2)(x －1)>0，

∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．

(2)法一：移项得x ＋1x －2

－2≤0， 左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2

≥0， 它的同解不等式为⎩⎪⎨

⎪⎧ x －2x －5≥0，x －2≠0， ∴x <2或x ≥5.

∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．

法二：原不等式可化为x －5x －2

≥0， 此不等式等价于⎩

⎪⎨⎪⎧ x －5≥0，x －2>0① 或⎩⎪⎨⎪⎧ x －5≤0，x －2<0，②

解①得x ≥5，解②得x <2，

∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．

【类题通法】

1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．

2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

【对点训练】

3 1．解下列不等式：

(1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －13－4x

>1. 解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋23－x ≥0，3－x ≠0，

即⎩⎪⎨⎪

⎧ x ＋2x －3≤0，x ≠3－2≤x <3.

∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}．

(2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －24x －3

<0. 等价于(3x －2)(4x －3)<0.

∴23

. ∴原不等式的解集为{x |23

}. 题型二、不等式中的恒成立问题

【例2】 关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．

[解] 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1＜0，对x ∈R 恒成立，

当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R 恒成立．

当m ≠0时，由题意，得

⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝m 2－4mm －1＜0⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，3m 2－4m ＞0

⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，m ＜0，或m ＞43m ＜0.

综上，m 的取值范围为m ≤0.

【类题通法】

不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R ，对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，它的解集为R 的条件为⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＞0，Δ＝

b 2－4a

c ＜0；

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一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0，它的解集为R 的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝b 2－4ac ≤0；

一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ≤0.

【对点训练】

2．若关于x 的不等式ax 2

＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．

解：当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去； 当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需

解得a ＞12. 综上，所求实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，＋∞. 题型三、一元二次不等式的实际应用

【例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．

(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．

[解] (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)．

依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%

＝150

a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．

依题意得，150

a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得x 2

＋40x －84≤0，

∴－42≤x ≤2.

又∵0＜x ＜10，

∴0＜x ≤2.

∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．

【类题通法】

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用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：

(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；

(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；

(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．

【对点训练】

3．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．

解：设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x ) m ，宽为(600－2x ) m ．根据题

意可得(800－2x )(600－2x )≥12

×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．

故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.

【练习反馈】

1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |

x －2x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0}

B ．{x |0＜x ≤1}

C ．{x |0≤x ≤2}

D ．{x |0≤x ≤1}

解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}，

∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．

2．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( )

A ．－4≤a ≤4

B ．－4＜a ＜4

C ．a ≤－4或a ≥4

D ．a ＜－4或a ＞4 解析：选A 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，

解得－4≤a ≤4，故选A.

3．不等式

x ＋1x ≤3的解集为________． 解析：x ＋1x ≤3x ＋1x －3≤02x －1x ≥0x (2x －1)≥0且x ≠0x <0或x ≥12

. 答案：⎩

⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜0或x ≥12 4．若函数f (x )＝log 2(x 2

－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．

解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0