分式的运算及题型讲解

分式的运算及题型讲解

在分式乘除法中，要注意分子分母的符号法则和多项式的因式分解，化简结果到最简形式；（3）分式的乘方要加上括号，同时在算式中含有乘方、乘法、除法时，先算乘方，再算乘除，有多项式时先进行因式分解，再约分；（4）同分母分

式相加减，分母不变，分子相加减，结果化到最简分式或整式；异分母分式相加减，先通分，再化为同分母分式相加减；（5）在分式的混合运算中，先乘方，再乘除，最后算加减，注意括号的运算顺序。

有理数的运算顺序和运算规律同样适用于分式运算。在计算过程中，需要灵活运用交换律、结合律和分配律。另外，分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。

例1：计算 x^2a^2-41 ÷ (a^-2) × (-x^-2)；

分析：根据分式的乘法和除法运算规则，先进行除法运算，再进行乘法运算。

解：x^2a^2-41 ÷ (a^-2) × (-x^-2) = x^2a^2(-a^2) × (-1/x^2) = -a^2/x^2

例2：计算 (a+2a-2x-2)/(a-2)；

分析：将分子展开，然后进行合并同类项和约分。

解：(a+2a-2x-2)/(a-2) = (3a-2x-2)/(a-2)

例3：计算 [1+(2x+1)/(x+4)]/[(2x)/(x-2)x];

分析：先将分子中的括号内的分式化简，然后进行除法和乘法运算。

解：[1+(2x+1)/(x+4)]/[(2x)/(x-2)x] =

[(x+4)/(x+4)+(2x+1)/(x+4)]/[(2x)/(x-2)x] = [(3x+5)/(x+4)] × [(x-2)/2x] = (3x+5)/(2x^2+8x)

在分式运算中，有一些技巧可以帮助简化计算：

1、先约分后通分技巧：如果分式中的分子和分母都有公

因数，可以先约分后再通分，这样可以减少计算量。

例如：计算 x^2+3x+2+x^2-4 / x(x-2)

解：x^2+3x+2+x^2-4 / x(x-2) = (2x^2-2) / x(x-2) = 2(x+1) / (x-2)

2、分离整数技巧：如果分式的分子和分母不能约分，可

以将分子中的整数部分和分母分开计算，然后再进行减法运算。

例如：计算 x^2-3x+2-x^2+5x-6-x^2+4x-3

解：x^2-3x+2-x^2+5x-6-x^2+4x-3 = (x^2-3x+2) + (-x^2+5x-6) + (-x^2+4x-3) = -x^2+6x-7

3、裂项相消技巧：如果分式中有相同的因式，可以将其

分解，然后进行约分和乘法运算。

例如：计算 x(x+1)+(x+1)(x+3)+(x+3)(x+6) /

(x+1)(x+3)(x+2)

解：x(x+1)+(x+1)(x+3)+(x+3)(x+6) / (x+1)(x+3)(x+2) = [(x+1)(x+2)+(x+3)(x+2)] / (x+1)(x+3)(x+2) = (x+2) / (x+3)

4、分组计算技巧：如果分式中有多个项，可以将其分组，然后进行加减运算。

例如：计算 a^-2+a+1-a^-1-a+2

解：a^-2+a+1-a^-1-a+2 = (a^-2-a+2) + (a+1-a^-1) = (a^2-

4)/(a^2)

a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3.因此，可以使用一个字母代替其

他字母来简化代数式。将abcd相加得到

a+a+1+a+2+a+3+b+c+b+c+a+a+3+a+1+a+2+1+a+2+a+3+a+a+3.

化简后得到aa+1a+2a+3+2a+33a+33a+62a+3和

a+a+3a+1a+2+2a+33(a+1)3(a+2)。最终结果为1+1133/5/3.

第二个例子中，XXX。分母中有分式，化简麻烦。可以

使用设值代入法，设x=z=x=k，y可以通过分式得到

y=k/(a+b+c)。将xy+yz+zx化简后得到akbk+bkck+ckak，将分

式化简后得到XXX。代入得到x2=k=2a/2.

第三个例子中，已知112a+3ab-2b/aba-ab-b的值为-3.如果

使用字母代入法，将用b代替a比较复杂，会增加化简的负担。可以将条件化简成乘积形式，得到2(a-b)+3abb-a/ab-ab-b(a-b)-ab-3ab-ab。分子中只有(a-b)和ab这两项，因此可以用ab代替

b-a，得到b-a=3ab。将分子化简后得到2a+3ab-2b/2(a-b)+3ab-

6ab+3ab/ab-b(a-b)-3ab-ab。化简后得到3.

探讨：使用整式代入法比使用字母代入法更优越，因为它能够很大程度地化简代数式。但是，要善于观察代数式的组成部分，例如本题中代数式包含ab和a-b这两项，刚好条件也

适当变形能得到a-b与ab的关系，因此很快就可以解出题目。

4）变形代入法

这类题需要最需要技巧的是变形再代入。我们将以下五类题型分析如下：

例4（方程变形）：已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc≠，求ab+bc+ca的值。

解析：对已知条件进行形变往往比对代数式进行形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。这道题已知条件是两个等式，三个字母，因此我们可以用一个字母表示其他字母。对已知条件进行变形得到方程组a+b+c=0和b=-2c，然后用c代替a、b代入到分式中，能够很快求解出来。

例5（非负变形）：已知a+b-8a+6b+25=2，求(a-4)^2/(a-4)b^2的值。

解析：观察已知条件，有平方项，因此可以化成平方的形式。将已知条件化简为(a-4)^2+(b+3)^2=22，然后根据(a-

4)≥(b+3)得到(a-4)=0和(b+3)=0.带入原式即可求解。