紧致差分格式
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式1概述一维扩散反应方程是描述许多物理过程的数学方程之一，如化学反应、热传导等。
在求解这样的方程时，我们需要寻找适合的数值解法。
本文将介绍一种隐式高精度紧致差分格式，用于求解一维扩散反应方程。
2一维扩散反应方程一维扩散反应方程可表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\rho u(1-u)$$其中，$u(x,t)$表示物理量的变量，$D$为扩散系数，$\rho$为反应速率常数。
初始条件为$u(x,0)=u_0(x)$，边界条件为$u(0,t)=u(L,t)=0$，其中$L$为区间长度。
3差分方法为了求解上述方程的数值解，我们需要使用差分方法。
差分方法可以将连续的偏微分方程转化为离散的方程，从而得到数值解。
这里我们采用一阶差分法和二阶差分法分别对时间和空间进行离散化。
时间离散化：$$\frac{\partial u(x,t)}{\partialt}\approx\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$空间离散化：$$\frac{\partial^2u(x,t)}{\partialx^2}\approx\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Deltax,t)}{\Delta x^2}$$将上述两个式子带入到原方程中，得到离散化形式：$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}+\rho u_i^n(1-u_i^n)$$其中，$n$表示时间步长，$i$表示空间位置。
4隐式高精度紧致差分格式在上述差分方法中，我们采用了一阶差分法和二阶差分法，这种方法的精度有限。
为了提高求解的精度，可以采用更高阶的差分方法。
紧致差分格式报告
的求解方法。
记zz
n
2
k1 由（10）式可得 z u u 利用（ 2 zi 1 (2ui 1 11ui 2ui 1 ) [2(u xx )i 1 11(u xx )i 2(u xx )i 1 ] （13） (2ui 1 11ui 2ui 1 ) 3ui 2 48ui 1 102ui 48ui 1 3ui 2 , i 1,, n 2 4h
x1 80 2h, x0 80 h, xn2 120 h, xn3 120 2h
为了方便比较引入误差范数与守恒量，定义为：
n exact n 2 L2 h u j uj j 1
12
L max u j
j
exact
uj
n
I udx
u n 1 u n
n n 1 n 1 n u n 1u x u nu x u xxx u xxx 0 2 2
上式可改写为：
n n1 n1 n 2u n1 (u n1ux u nu x ) uxxx 2u n uxxx
（15）
对（15）式要做类似（13）式的处理，但是对于n+1时间层的 一阶导数项与三阶导数项应配备不同的系数，因此引入新变量
n 1 u 即可得到 ，到此完成求解。
3.算例数值结果的对比
考虑如下初始条件的RLW方程
u( x,0) 3d sec h 2 k ( x xc ), x [80,120]
其对应的方程的精确解为
u( x, t ) 3d sec h 2 k ( x xc vt)
其中 v 1 d , k
[(u x )in11 uin1 3(u x ) in 1 uin (u x ) in11 uin1 ]} 7 n 1 n 1 1 [ (vi 1 vi 1 ) (vin21 vin21 )] 3h 12h 2(uin1 3uin uin1 ) 2(vin1 3vin vin1 )
求解一维对流方程的高精度紧致差分格式___
应用数学MATHEMATICA APPLICATA2019,32(3):635-642求解一维对流方程的高精度紧致差分格式侯波,葛永斌(宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021)摘要：本文提出数值求解一维对流方程的一种两层隐式紧致差分格式,采用泰勒级数展开法以及对截断误差余项中的三阶导数进行修正的方法对时间和空间导数进行离散.格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即该格式在时间和空间上均可达到四阶精度.利用von Neumann方法分析得到该格式是无条件稳定的.通过数值实验验证了本文格式的精确性和稳定性.关键词：对流方程;高精度;紧致格式;无条件稳定;有限差分法中图分类号：O241.82AMS(2000)主题分类：65M06;65M12文献标识码：A文章编号：1001-9847(2019)03-0635-081.引言对流方程在生物数学、能源开发、空气动力学等许多领域都具有十分广泛的应用,因此求解该类方程具有非常重要的理论价值和实际意义.然而,由于实际问题通常十分复杂,往往难以求得精确解,因此研究其精确稳定的数值解法是十分必要的.针对对流方程国内外很多学者提出了很多的数值方法.如张天德和孙传灼[1]针对一维对流方程采用待定系数法,得到了两层四点格式和四阶六点格式,并且是无条件稳定的,该方法适用于在点数确定的前提下,得到精度高的差分格式;于志玲和朱少红[2]针对一维问题建立了中间层为两个节点的三层显格式,其截断误差为O(τ2+h2);曾文平[3]针对一维对流方程推导出了一种两层半显式格式，其截断误差为O(τ2+h2),该格式是无条件稳定的.姚朝辉等人[5]将二阶的迎风格式和中心差分格式进行加权得到了WSUC格式,该格式是无条件稳定的;但该格式时间方向和空间方向仅有二阶精度.汤寒松等人[6]通过立方插值拟质点方法(CIP方法),给出了一些保单调的CIP格式;Erdogan[9]针对一维的对流方程推导出了一种指数拟合的差分格式,其截断误差为O(τ2+h2);Bourchtein[10]构造了对流方程的三层五点中心型蛙跳格式,该格式的截断误差为O(τ4+h4);即该格式时间和空间均具有四阶精度,但是该格式是三层的,空间方向需要五个点,并且是条件稳定的;Kim[11]构造了多层无耗散的迎风蛙跳格式,即时间和空间分别具有二阶、四阶、六阶精度,但格式为三层甚至是四层的,并且六阶格式空间方向最多需要五个点,给靠近边界的内点的计算带来困难.综上所述,文献中已经有的数值计算方法大多为低阶精度的,而高精度方法涉及多个时间层,需要一个或多个时间启动步,或者空间方向的网格节点多于三个,这都给计算造成困难或不便.为此本文将构造一种紧致格式,这里紧致格式的定义为对时间导数项的离散采用不超过∗收稿日期：2018-08-10基金项目：国家自然科学基金(11772165,11361045),宁夏自然科学基金重点项目(2018AAC02003),宁夏自治区重点研发项目(2018BEE03007)作者简介：侯波,男,汉族,河南人,研究方向：偏微分方程数值解法.通讯作者：葛永斌.636应用数学2019三个时间层,而对空间导数项的离散采用不超过三个网格点,时间和空间即可以达到高阶精度（三阶及三阶以上）的格式.本文拟构造的格式时间方向仅用到两个时间层上的函数值,在每个时间层上仅涉及到三个空间网格点,格式时间和空间具有整体的四阶精度.该格式的优点是无须启动步的计算,并且在对靠近边界点的计算时,不会用到计算域以外的网格节点.此外该格式为无条件稳定的,可以采用比较大的时间步长进行计算.最后通过数值实验验证本文格式的精确性和稳定性.2.差分格式的建立考虑如下一维对流方程：∂u ∂t +a∂u∂x=f,b≤x≤c,t≥0,(2.1)给定初始条件为:u(x,0)=φ(x),b≤x≤c,(2.2)给定周期性边界条件为:u(b,t)=u(c,t),t≥0,(2.3)其中,u(x,t)为未知函数,f为非齐次项,a为对流项系数,φ(x)为已知函数.将求解区域[b,c]等距剖分为N个子区间：b=x0,x1,···,x N−1,x N=c,并且定义h=c−bN,时间也采用等距剖分,步长用τ表示.在本文中,我们利用u ni ,u n+1i,u n+12i分别表示u在(x i,t n),(x i,t n+1)和(x i,t n+12)点处的函数值.假设方程(2.1)在点(x i,t n+12)成立,简写表示为:(∂u ∂t )n+12i+a(∂u∂x)n+12i=f n+12i.(2.4)将u n+1i 和u ni在点(x i,t n+12)处做泰勒级数展开,可得:u n+1i=u n+12i+τ2(∂u∂t)n+12i+(τ2)22!(∂2u∂t2)n+12i+(τ2)33!(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4),(2.5)u ni=u n+12i−τ2(∂u∂t)n+12i+(τ2)22!(∂2u∂t2)n+12i−(τ2)33!(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4).(2.6)(2.5)-(2.6)可得:(∂u∂t)n+12i=δt u n+12i−τ224(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4),(2.7)其中,δt u n+12i =u n+1i−u n iτ.同理可得:(∂u∂x)n+12i=δx u n+12i−h26(∂3u∂x3)n+12i+O(h4),(2.8)其中,δx u n+12i =un+12i+1−u n+12i−12h.将(2.7)和(2.8)代入(2.4)整理可得:δt u n+12i −τ224(∂3u∂t3)n+12i+aδx u n+12i−ah26(∂3u∂x3)n+12i=f n+12i+O(τ4+h4).(2.9)为了使该格式在时间方向和空间方向上均达到四阶精度,须对(2.9)式中的∂3u∂t3和∂3u∂x3项进行二阶的离散,同时为了保证本文格式的紧致性,即空间方向不超过三个网格点,我们对(2.1)式进行如下变形:∂u ∂t =−a∂u∂x+f,∂2u∂t2=a2∂2u∂x2−a∂f∂x+∂f∂t,第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式637∂3u ∂t 3=a 2∂3u ∂x 2∂t −a ∂2f ∂x∂t +∂2f ∂t 2,∂3u ∂x 3=−1a ∂3u ∂x 2∂t +1a ∂2f ∂x 2.(2.10)将上述∂3u ∂t 3和∂3u∂x 3的表达式(2.10)代入(2.9)并整理可得：δt u n +12i+aδx u n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t)n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+h 4).(2.11)如果对上式中的δx u n +12i 项采用时间方向算术平均,即δx u n +12i =δx u n +1i+u n i 2,则会导致格式时间退化为二阶精度,为此利用(2.5)+(2.6)可得：u n +12i =12(u n +1i +u n i )−τ28(∂2u ∂t2)n +12i +O (τ4).(2.12)从而可得:δx u n +12i =12δx (u n +1i +u n i )−τ28δx (∂2u ∂t2)n +12i +O (τ4).(2.13)将(2.13)代入(2.11)得:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28δx (∂2u ∂t 2)n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+h 4).(2.14)由于δx (∂2u ∂t 2)n +12i =(∂3u ∂x∂t 2)n +12i+O (h 2),所以可得:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28(∂3u ∂x∂t 2)n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t)n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4).又因为∂3u ∂x∂t 2=−a ∂3u∂x 2∂t +∂2f ∂x∂t ,所以有:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28(−a ∂3u ∂x 2∂t +∂2f ∂x∂t )n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4),即,δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )+(a 2τ212+h 26)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i −aτ212(∂2f ∂x∂t )n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4).由于(∂3u ∂x 2∂t )n +12i=δ2x (∂u ∂t )n +12i +O (h 2),所以有:u n +1i −u n i τ+a 4h(u n +1i +1−u n +1i −1+u ni +1−u n i −1)+(h 26+a 2τ212)δ2x u n +1i −u n i τ−τ224(f n +1i −2f n +12i +f n −1i (τ2)2)−h 212[(∂2f ∂x 2)n +1i +(∂2f ∂x 2)n −1i ]−aτ12[(∂f ∂x )n +1i −(∂f ∂x)n −1i ]=f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4),其中,δ2xu i =u i +1−2u i +u i −1h 2,舍去O (τ4+τ2h 2+h 4),等式两边同时乘以τ,并令λ=τ/h ,整理可得:u n +1i +aλ4(u n +1i +1−u n +1i −1)+(16+a 2λ212)(u n +1i +1−2u n +1i +u n +1i −1)638应用数学2019=u n i−aλ4(u n i +1−u n i −1)+(16+a 2λ212)(u n i +1−2u n i +u ni −1)+τ6(f n +1i −2f n +12i +f n i )+τ12(f n +1i +1−2f n +1i +f n +1i −1+f n i +1−2f n i +f n i −1)+aτλ24(f n +1i +1−f n +1i −1−f n i +1+f ni −1)+τf n +12i,即,(23−a 2λ26)u n +1i +(16+aλ4+a 2λ212)u n +1i +1+(16−aλ4+a 2λ212)u n +1i −1=(23−a 2λ26)u n i +(16−aλ4+a 2λ212)u n i +1+(16+aλ4+a 2λ212)u n i −1+(τ12+aλτ24)f n +1i +1(τ12−aλτ24)f n +1i −1+(τ12−aλτ24)f n i +1+(τ12+aλτ24)f n i −1+2τ3f n +12i .(2.15)由推导过程可知,该格式的截断误差为O (τ4+τ2h 2+h 4),即格式(2.15)在时间和空间上均可达到四阶精度.我们注意到,格式为两层格式,并且格式每层仅用到三个网格点,形成的代数方程组系数矩阵为循环三对角矩阵,可采用追赶法进行求解[8],同时由于要求未知时间层上(第n +1层)中间点的系数不能等于0,即23−a 2λ26=0,因此aλ=2.3.稳定性分析下面采用von Neumann 方法分析本文所推导的差分格式(2.15)的稳定性.对于(2.15)式,舍掉非齐次项f ,即假设f 项精确成立,令u n i =ηn e Iσx i,其中,η为振幅,σ为波数,I =√−1为虚数单位,有(23−a 2λ26)ηn +1e Iσx i +(16+aλ4+a 2λ212)ηn +1e Iσx i +1+(16−aλ4+a 2λ212)ηn +1e Iσx i −1=(23−a 2λ26)ηn e Iσx i +(16−aλ4+a 2λ212)ηn e Iσx i +1+(16+aλ4+a 2λ212)ηn e Iσx i −1.(3.1)两边同时约掉e Iσx i ,并整理可得：(23−a 2λ26)ηn +1+(16+a 2λ212)ηn +1(e Iσh +e −Iσh )+aλ4ηn +1(e Iσh −e −Iσh )=(23−a 2λ26)ηn+(16+a 2λ212)ηn (e Iσh +e −Iσh )−aλ4ηn +1(e Iσh −e −Iσh ).(3.2)利用Euler 公式,即e Iσh =cos σh +I sin σh,e −Iσh =cos σh −I sin σh ,可得:(23−a 2λ26)ηn +1+[(13+a 2λ26)cos σh ]ηn +1+(aλI 2sin σh )ηn +1=(23−a 2λ26)ηn +[(13+a 2λ26)cos σh ]ηn −(aλI 2sin σh )ηn .(3.3)对上式进行化简整理有[(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh +aλI sin σh 2]ηn +1=[(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh −aλI sin σh 2]ηn .(3.4)从而可得格式(2.15)的误差放大因子为:G =ηn +1ηn =(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh −aλI sin σh2(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh +aλI sin σh2.(3.5)由von Numann 稳定性定理可知当|G |≤1时,格式是稳定的,由(3.5)可得|G |=1,因此,格式(2.15)是无条件稳定的.4.数值实验第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式639为了验证本文格式(2.15)的精确性和稳定性,现考虑以下三个具有精确解的初边值问题.分别采用Crank-Nicolson(C-N)格式,文[7]中格式和本文格式(2.15)进行计算;其中,最大绝对误差及收敛阶的定义为:L∞=maxi |u n i−u(x i,t n)|,Rate=log[L∞(h1)/L∞(h2)]log(h1/h2)L∞(h1)和L∞(h2)为空间网格步长分别为h1和h2时的最大绝对误差.问题1[7]:∂u ∂t +∂u∂x=0,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=sin(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,该问题的精确解为:u(x,t)=sin[π(x−t)].表1问题1当λ=τ/h=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式文[7]本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate L∞误差Rate 1/510 2.217(-1) 4.865(-2) 1.993(-3)1/1020 5.752(-2) 1.95 1.263(-2) 1.95 1.208(-4) 4.041/2040 1.450(-2) 1.99 3.199(-3) 1.987.490(-6) 4.011/4080 3.631(-3) 2.008.038(-4) 1.99 4.672(-7) 4.001/801609.082(-4) 2.00 2.014(-4) 2.00 2.919(-8) 4.001/160320 2.271(-4) 2.00 5.041(-5) 2.00 1.824(-9) 4.00表2问题1当τ=λh,t=2时刻的最大绝对误差hτλC-N格式文献[7]本文格式1/160.050000000.8 5.290(-2) 1.292(-2) 1.574(-5) 0.10000000 1.69.013(-2) 5.095(-2) 3.198(-3) 0.20000000 3.2 2.307(-1) 1.941(-1) 6.055(-2) 0.40000000 6.4 6.874(-1) 6.597(-1) 1.746(-2)1/320.025000000.8 1.330(-2) 3.230(-3)9.814(-7) 0.20000000 6.4 2.041(-1) 1.950(-1) 1.575(-3) 0.4000000012.8 6.668(-1) 6.601(-1) 1.916(-2)图1问题1当N=32,τ=0.03125,t=0.2时刻的数值解与精确解640应用数学2019表1给出了针对问题1三种格式在不同空间步长h下,当λ=τ/h=0.5,t=1时的最大绝对误差和收敛阶.我们发现C-N格式在时间和空间上都为二阶精度,由于文[7]格式时间具有二阶精度,空间具有四阶精度,因此当取τ=O(h)时,格式空间仅有二阶精度,而本文格式时间和空间均为四阶精度.图1给出N=32,τ=0.03125,t=0.2数值解与精确解对比图,可以看出数值解与精确解吻合的很好.表2给出了当h=1/16和h=1/32时,τ=λh,t=2时刻对问题1采用三种格式计算的最大绝对误差.可以看出网格比λ最大取到12.8,计算仍然是稳定的,因此本文格式是无条件稳定的.并且本文格式在所有参数下,其计算结果比C-N格式和文[7]格式计算结果更加精确.问题2[7]:∂u ∂t +∂u∂x=0,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=e cos(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,该问题的精确解为:u(x,t)=e cos[π(x−t)].表3问题2当λ=τ/h=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式文[7]本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate L∞误差Rate 1/510 6.754(-1) 1.428(-1) 5.567(-2)1/1020 2.310(-1) 1.55 3.099(-2) 2.20 3.041(-3) 4.191/2040 6.027(-2) 1.94 6.825(-3) 2.18 1.904(-4) 4.001/4080 1.492(-2) 2.01 1.658(-3) 2.04 1.165(-5) 4.031/80160 3.705(-3) 2.01 4.115(-4) 2.017.252(-7) 4.011/1603209.250(-4) 2.00 1.028(-4) 2.00 4.527(-8) 4.00表4问题2当τ=λh,t=2时刻的最大绝对误差hτλC-N格式文[7]本文格式1/160.050000000.8 2.171(-1) 5.372(-2) 3.897(-4) 0.10000000 1.6 3.450(-1) 2.056(-1)7.795(-3) 0.20000000 3.2 6.810(-1) 6.111(-1) 3.416(-1) 0.40000000 6.4 1.220 1.198 2.017(-1)1/320.025000000.8 5.575(-2) 1.325(-2) 2.449(-5) 0.20000000 6.4 6.302(-1) 6.109(-1) 2.350(-2) 0.4000000012.8 1.204 1.199 2.201(-1)表3和表4给出了针对问题2利用本文格式和C-N格式以及文[7]格式的计算结果.表3考察了格式的精度,表4验证了格式的稳定性.可以看出本文格式在时间和空间上均可达到四阶精度,并且是无条件稳定的.问题3∂u ∂t +a∂u∂x=f,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=cos(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,f=π(1−a)sin[π(x−t)],该问题的精确解为:u(x,t)=cos[π(x−t)].第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式641表5问题3当λ=τ/h=0.5,a=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate1/510 1.124(-1) 4.244(-4)1/1020 3.520(-2) 1.67 2.744(-5) 3.951/20409.957(-3) 1.82 1.739(-6) 3.981/4080 2.551(-3) 1.96 1.134(-7) 3.941/80160 6.413(-4) 1.99 1.351(-8) 3.07问题3为非齐次问题,由于文[7]的方程模型为齐次方程,不能计算非齐次问题,因此该问题我们采用本文格式和C-N进行计算和比较,表5给出了两种格式在不同空间步长h下,当t=1时的最大绝对误差和收敛阶.可以看出当λ=τ/h=0.5,a=0.5时,C-N格式在时间和空间上都为二阶精度,而本文格式时间和空间均为四阶精度.5.结论本文针对一维对流方程提出了一种两层隐式高精度紧致差分格式,时间和空间均采用泰勒级数展开法以及截断误差余项修正法进行处理,格式截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即该格式在时间和空间上均可达到四阶精度.并通过von Neumann方法分析得到该格式为无条件稳定的.最后通过三个数值算例验证了格式的精确性和稳定性.通过上述研究,我们可以得出如下结论:1.文献(如[10-11])中的高精度格式往往是时间多层格式,需要另外构造启动步的计算格式,如果采用低精度格式启动,必然会影响以后时间层的计算精度.而本文格式仅为两层格式,无须启动步的计算,时间即可达到四阶精度.2.文献(如[1,10-11])中的高精度格式空间方向上往往超过三个网格节点,导致靠近边界的内点计算困难,需要采用特殊处理,而本文格式仅用到三个网格节点,可以有效避免这一问题.3.尽管本文格式要求aλ=2,这是本文格式的一个缺陷,但是由于本文格式是无条件稳定的,从理论上讲可以采用任意网格比,因此可以很容易避开aλ=2的条件限制,使得这一缺陷并不太影响格式的使用.4.由于本文方法推导过程中涉及到∂2u∂t2,∂3u∂t3,∂3u∂x3的计算,需要用原方程进行多次求导并进行反复代入计算,在考虑对流项为变系数问题时,将涉及到a(x,t)关于x和t的二阶导数,由于我们考虑在时间半点处,即(x i,t n+12)处的函数值,即要用到(∂2a∂t2)n+12i,如果采用中心差分,则时间仅具有二阶精度,因此本文方法不适用于变系数问题.5.本文方法可直接推广到二维和三维问题中去,我们将另文报道.参考文献：[1]张天德,孙传灼.对流方程的差分格式[J].计算物理,1995,12(2):191-195.[2]于志玲,朱少红.关于对流方程一类三层显格式[J].南开大学学报(自然科学版),1998,31(3):27-30.[3]曾文平.解对流方程的加耗散项的差分格式[J].应用数学,2001,14(S1):154-158.[4]陆金甫,关治.偏微分方程数值解法[M].北京:北京大学出版社,1987.[5]姚朝晖,张锡文,任玉新等.一种低耗散、无伪振荡的实用差分格式[J].水动力学研究与进展(A辑),2001,16(02):195-199.[6]汤寒松,张德良,李椿萱.对流方程保单调CIP格式[J].水动力学研究与进展(A辑),1997(02):181-187.[7]赵飞,蔡志权,葛永斌.一维非定常对流扩散方程的有理型高阶紧致差分公式[J].江西师范大学学报(自然科学版),2014,38(4):413-418.642应用数学2019[8]李青,王能超.解循环三对角线性方程组的追赶法[J].小型微型计算机系统,2002(23):1393-1395.[9]ERDOGAN U.Improved upwind discretization of the advection equation[J].Numer.Meth.PartDiffer.Equ.,2014,30:773-787.[10]BOURCHTEIN A,BOURCHTEIN L.Explicitfinite schemes with extended stability for advectionequations[J]put.Appl.Math.,2012,236:3591-3604.[11]KIM C.Accurate multi-level schemes for advection[J].Int.J.Numer.Methods Fluids.,2003,41:471-494.A High-Order Compact Difference Scheme for Solving the1DConvection EquationHOU Bo,GE Yongbin(School of Mathematics and Statistics,Ningxia University,Yinchuan750021,China)Abstract:In this paper,a two-level implicit compact difference scheme for solving the one-dimensional convection equation is proposed.Taylor series expansion and correction for the third derivative in the truncation error remainder of the central difference scheme are used for the discretization of time and space.The local truncation error of the scheme is O(τ4+τ2h2+h4),i.e.,it has the fourth-order accuracy in both time and space.The unconditional stability is obtained by the von Neumann method. The accuracy and the stability of the present scheme are validated by some numerical experiments.Key words:Convection equation;High accuracy;Compact difference scheme;Unconditional sta-bility;Finite difference method。
10-高阶紧致格式
§10. 高阶紧致差分格式 10.1 高阶差分先考虑导数的差分近似。
若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 ()p h O 。
要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。
但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。
构造高阶格式需要用到导数的高阶差分近似。
通常情形，这需要更多的点。
例如：两点差分近似()()()f x h f x f x h+-¢»只有一阶精度。
而使用三个点，就可以构造出二阶近似()()()()2432f x h f x h f x f x h-+++-¢»精度越高，需要的点就更多。
对于导数的中心差分近似，也有类似的结果。
但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。
例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。
设 0a > 。
0duau dx+= （01x < ） ， ()0u =α取 M 个网格，空间步长 1h M=，网格点记作 j x jh =（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 ()j j u u x » 。
因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有10j j j u u au h--+= （1,2,3,,j M =L ）实际的计算方案为0u =α ， 111j j u u ha-=+ （1,2,3,,j M =L ）上述格式用到两个点，但只有一阶精度。
如果采用二阶差分近似，则成为12340j j j j u u u au h---++= （2,3,,j M =L ）这个格式具有二阶精度。
可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。
而初始条件只提供了 0u =α 。
因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。
紧致差分格式
紧致差分格式摘要：1.紧致差分格式的定义2.紧致差分格式的特点3.紧致差分格式的应用领域4.紧致差分格式的优缺点正文：紧致差分格式是一种数学工具，用于描述两个函数之间的差异。
它在微积分、概率论、数值分析等领域有广泛的应用。
本文将从紧致差分格式的定义、特点、应用领域以及优缺点四个方面进行介绍。
首先，紧致差分格式的定义是指，设f(x) 和g(x) 是两个在区间[a, b] 上有定义的函数，如果对于任意的ε>0，总存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-g(y)|<ε，则称f(x) 与g(x) 在[a, b] 上满足紧致差分格式。
其次，紧致差分格式具有以下特点：1) 对任意的ε>0，总存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-g(y)|<ε；2) 紧致差分格式满足三角不等式，即对于任意的x、y、z，有|f(x)-g(y)|≤|f(x)-f(z)|+|g(z)-g(y)|；3) 紧致差分格式满足单调性，即如果f(x) 在区间[a, b] 上单调递增（或递减），那么对于任意的g(x) 在区间[a, b] 上满足紧致差分格式。
再次，紧致差分格式的应用领域非常广泛，包括微积分、概率论、数值分析等。
例如，在微积分中，它可以用于研究函数的连续性、可微性等性质；在概率论中，它可以用于研究随机过程的性质，如马尔可夫性质等；在数值分析中，它可以用于设计各种数值算法，如数值积分、数值微分等。
最后，紧致差分格式具有以下优缺点：优点是它提供了一种研究函数性质的工具，可以描述函数在某个区间上的差异，有助于理解函数的局部性质；缺点是它的定义较为抽象，对于一些具体的函数，可能难以判断是否满足紧致差分格式。
紧致差分格式的构造和验证
摘要目前，紧致差分格式已逐渐成为差分方程的数值方法的主要方向。
具有良好特性的高精度的紧差分格式相继构造出来并能够应用到一些特殊的问题的数值求解，显现出了良好的效果。
本课题针对紧致差分格式这一研究方向，希望能够通过MATLAB等软件的辅助以及前人对紧致差分格式的研究帮助对紧致差分格式进行构造一种差分格式，并且通过解微分方程的数值解实验对紧致差分格式进行验证其稳定性、收敛性以及误差等特性，最终能够比较直观了解这类紧致格式差分方法的精度等。
关键词:有限差分；差分格式；构造ABSTRACTAt present,compact difference schemes have gradually become a main rese arch direction of the numerical method of differential equations,and the compac t difference schemes with high precision and good characteristics have been con structed one after another and applied to the numerical solution of some specific problems,and good results have been achieved.This topic for compact differenc e scheme,the research direction of hope can through MATLAB software such as aided and previous study of compact difference scheme to help to construct a co mpact difference scheme difference scheme,and by solving the differential equa tion numerical solution of experiments to verify its compact difference scheme f eatures such as stability,convergence and error,finally can more intuitive unders tanding of the compact format the precision of the finite difference method,etc.Key words：Finite difference; Difference scheme; Structure目录摘要 (1)ABSTRACT (2)1 引言 (4)1.1 有限差分方法简介 (4)1.2 紧致差分法研究概况 (4)1.2.1 抛物线方程 (4)1.2.2椭圆型方程 (5)1.2.3双曲线方程 (5)1.3 本文研究内容 (5)2 常见差分格式 (6)2.1 显式差分格式 (6)2.1.1 古典显式格式的推导 (6)2.2 隐式差分格式 (7)2.2.1 古典隐式格式的推导 (7)2.3 Crank-Nicolson隐式格式 (9)2.4 交替方向隐式格式 (10)2.4.1 Peaceman-Rachford格式 (11)2.4.2 Douglas-Rachford格式 (11)2.4.3 Mitchell-Fairweather格式 (11)2.4.4 交替方向隐式格式算法步骤 (11)3 紧致差分格式分析 (12)3.1 抛物线方程 (12)3.1.1 抛物线方程的一种高精度紧致差分方法 (12)3.2 椭圆型方程 (12)3.2.1一维椭圆型方程的解法 (12)3.2.2 二维椭圆型方程的解法 (13)3.3双曲型方程 (14)3.3.1双曲线方程一种解法 (14)3.3.2双曲线方程的常见数值解法 (15)4实例分析与结果分析 (16)4.1 数值算例 (16)4.1.1 已知有精确解的热传导问题 (16)4.1.2 未知精确解的热传导问题 (17)4.2 结果分析 (17)4.3 r变化对稳定性的探究 (18)4.3.1 P-R格式格式的稳定性 (18)4.4本文研究的热传导方程 (19)5 总结 (24)参考文献 (25)1 引言1.1有限差分方法简介重要的数值离散方法其中有有限差分方法（FDM），在研究、计算中有着广泛运用。
求解波动方程的2种显式高精度紧致差分格式
求解波动方程的2种显式高精度紧致差分格式姜蕴芝;葛永斌【摘要】针对一维波动方程,空间采用四阶Padé逼近,时间采用中心差分离散得到了一种时间二阶、空间四阶精度的显式紧致差分格式,其截断误差为O(τ2+h4).之后采用截断误差余项修正的方法对时间离散进行改进,改进后的格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即格式具有整体四阶精度.然后,通过Fourier方法分析了2种格式的稳定性.最后,通过数值实验验证了本格式的精确性和可靠性.%In this paper,an explicit compact difference scheme is obtained for solving the one dimensional wave equation.The truncation error of the scheme is O(τ2 + h4).It's constructed by applying the fourth-order accurate Padé approximation in space and the second-order accurate central difference in time.Then,the remainder of the truncation error correction method is employed to improve the accuracy of the discretization of time,the truncation error of the improved scheme is O(τ4 + τ2 h2 + h4),which means the scheme has an overall fourth-order accuracy.And then,the stability conditions of the two schemes are obtained by the Fourier method.Finally,the accuracy and the reliability of the present two schemes are verified by numerical experiments.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)002【总页数】7页(P177-183)【关键词】波动方程;Padé逼近;紧致格式;显式差分;稳定性【作者】姜蕴芝;葛永斌【作者单位】宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021;宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】O242.1波动方程是一类重要的双曲型偏微分方程，在数学、物理、化学等领域内有着广泛的应用[1].对这类方程进行数值求解的方法主要有有限差分法、有限元法和有限体积法等.就有限差分法而言，对该类问题研究的理论成果有：文献[2]采用二阶中心差分格式和非均匀网格离散，提出了一种求解一维波动方程在非均匀时间网格上的三层显式差分格式，该格式具有一阶精度；文献[3]利用泰勒级数展开及待定系数法建立了一种求解一维波动方程的三层隐格式，该格式是条件稳定的，并且具有四阶精度；文献[4]将Runge-Kutta方法应用到哈密顿系统中并与辛格式相结合，提出了求解一维波动方程的一类显式辛方法，该方法具有二阶精度，并且是条件稳定的；文献[5]采用三次样条公式推导出精度分别为O(τ2+h2)、O(τ2+h4)、O(τ4+h2)和O(τ4+h4)的4种差分格式，并采用Fourier方法分析了格式的稳定性；文献[6]对一维二阶波动方程提出了具有二阶精度的精细时程积分法，该方法能够在时间方向上精确计算，空间方向的局部截断误差为O(h2)，并且该方法是无条件稳定的；文献[7]通过加权平均和紧致差分离散的思想提出了2种精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)的隐式紧致差分格式；文献[8]在Crank-Nicolson格式的基础上设计了重叠型区域分解的并行算法，该算法的最优逼近阶为O(τ2+h2)；文献[9]利用三次样条插值，提出了求解一维波动方程的一种三层隐式差分格式，该格式最优能够达到时间二阶，空间四阶精度，并且是无条件稳定的；文献[10]通过四次样条函数与广义梯形算法相结合的方法提出了一维波动方程的一类两层差分格式，其精度为O(τ2+h4)，当选择适当的参数时，其精度可提高到O(τ3+h4)；文献[11]采用四阶紧致差商逼近公式及加权平均思想，提出了2种精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)的交替方向隐式格式，前者是无条件稳定的，后者是条件稳定的；文献[12]提出了一种求解一维波动方程的高精度隐式差分格式，该格式是无条件稳定的，并且具有时间二阶、空间四阶精度.本文将建立2种显式紧致差分格式，为此，考虑如下一维波动方程的初边值问题:其中,u(x,t)是待求未知函数，a为波动系数，f(x,t)为非齐次项，φ(x)、ψ(x)、g0(t)、g1(t)为已知函数，且具有充分的光滑性.设时间步长为τ，空间步长为h，网格节点为(xj,tn)，其中xj=jh，tn=nτ，j=0,1,2,…,N，n>0，用表示u(xj,tn)的近似值.1.1 CTFS格式对初始时间层的离散.利用泰勒展开公式有将(2)式代入(4)式中，进行整理并舍去其截断误差项有计算的值.对空间内部节点采用文献[13]中的四阶紧致差分格式进行逼近，则有对于空间边界节点的处理，由(1)式与(3)式可得时间的推进.对时间方向上的推进，采用中心差分格式有对上式进行整理，并舍去其截断误差项有(10)式即为所构造的显式紧致差分格式，记为CTFS格式.等号右端的项采用(6)～(8)式通过追赶法进行计算，初始时间步由(5)式进行计算.通过差分格式的构造过程不难发现，该格式是显格式，其截断误差为O(τ2+h4).1.2 FTFS格式为了使时间精度与空间精度能够相匹配，使格式整体精度达到四阶，下面对上述差分格式进行改进，进一步提高时间精度，为此，对初始时间层的离散采用文献[7]中的方法，有其中λ=τ/h.对于时间二阶导数项的离散，采用中心差分格式离散后保留其截断误差主项，可得又由(1)式可得将上式代入(12)式中有对(14)式进行整理，并舍去其截断误差项有又由(1)式，对上式进行变形有(15)式即为整体四阶精度的显式紧致差分格式，记为FTFS格式.由格式的构造过程可知，该差分格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4).下面采用Fourier方法分析本文所提2种格式的稳定性.假设源项f精确无误差，令=ηneiωj，其中ξ、η为振幅，ω为相位角，为虚数单位.引理 1[1] 实系数二次方程μ2-bμ-c=0的根按模不大于1的充分必要条件为|b|≤1-c≤2.对于(6)式有对上式进行化简整理有对于CTFS格式(10)，令，将其写为矩阵的形式有令Uj=(uj,vj)T，并将(17)式代入进行整理有从而可得CTFS格式(10)的误差增长矩阵为令λ=τ/h，r=aλ,则得上述误差增长矩阵的特征方程为其中,，c=-1.因此，可得格式(10)稳定的充要条件为即.进而可得稳定性条件为|r|，即|a|.对于FTFS格式(15)，令，将其写为矩阵的形式有令代入上式，并进行整理有将(17)式代入(24)式进行整理，可得FTFS格式的误差增长矩阵为则误差增长矩阵的特征方程为其中，因此，可得该格式稳定的充要条件为上式等价于如下2个不等式:对于不等式(28)易得由于不等式对任意ω的取值都要成立，所以有即|a|.对于不等式(29)，由求根公式易得其等式解为令，则有在y∈[0,2]时，恒有<0，故有Smin=S(y)|y=2=2，此时cos ω=-1.又由于关于对称，故有另一解为1.进而可得第二个不等式的解为，与第一个不等式取交集即得差分格式(15)的稳定性条件为，即|a|].为了验证本文所提2种格式的精确性和可靠性，现考虑如下2个具有精确解的初边值问题.问题 1[7]:其精确解为u(x,t)=sin(πt)sin(πx).问题 2 :其精确解为u(x,t)=te-πtsin(πx).表1～3给出了问题1的计算结果.表1采用本文CTFS格式与文献[7]中的四阶格式进行了计算.由于这2种格式的精度均为时间二阶、空间四阶，因此取τ=2h2，计算了t=0.5时刻取不同h时(τ也相应不同)的L∞和L2范数误差和收敛阶.eL∞和eL2范数及收敛阶的定义如下：由表1的数据可以看出，2种格式空间均达到了四阶精度，而本文的CTFS格式要比文献[7]中的四阶格式更为精确.表2给出了本文FTFS格式和文献[7]中的四阶格式的计算结果，由于2种格式均具有整体四阶精度，因此取τ=h，计算了t=0.5时刻取不同h时的L∞和L2范数误差和收敛阶.可以看出，2种格式几乎具有相同的精度.表3验证了本文2种格式的稳定性，取h=1/32,给出了不同时间步steps(不同时间t)、不同网格比λ的计算结果.可以看出，当λ=0.8时CTFS格式是稳定的，而当λ≥1时，CTFS格式是发散的，这与本文的理论分析结果|a|是吻合的.当λ=0.8、1.0、1.5、1.6、1.7时，本文FTFS格式是稳定的，这也验证了本文的理论分析结果.而文献[7]中的四阶格式的稳定性条件为因此，当|a|λ大过1之后，计算结果是发散的.表4～6给出了问题2的计算结果.表4采用了本文CTFS格式与文献[7]中的四阶格式进行了计算.取τ=h2，计算了t=1时刻取不同h时的L∞和L2范数误差和收敛阶.同样可以看出，本文的CTFS格式要比文献[7]中的四阶格式更为精确.表5给出了本文FTFS格式和文献[7]中的四阶格式的计算结果，取τ=h，计算了t=1时刻取不同时的L∞和L2范数误差和收敛阶.可以看出，2种格式均达到了四阶精度，但本文FTFS格式比文献[7]中的四阶格式的计算结果更加精确.与问题1齐次问题的结果相比较，说明了本文FTFS格式更加适用于求解非齐次问题.表6验证了本文2种格式的稳定性，取h=1/32，给出了不同时间步、不同网格比λ的计算结果.同样可以看出，当λ=0.8、1.0、1.5、1.6、1.7时，本文FTFS格式是稳定的，这与我们对该格式稳定性的理论分析结果|a|]是吻合的.本文针对一维波动方程提出了2种显式高精度紧致差分格式，2种格式的截断误差分别为O(τ2+h4)和O(τ4+τ2h2+h4)，并通过Fourier分析法分析了2种格式的稳定性，其中前一种CTFS格式的稳定性条件为|a|，后一种FTFS格式的稳定性条件为|a|].然后通过数值实验将本文格式与文献[7]中的格式的计算结果进行对比，可以看出本文格式计算结果更加精确.并且本文格式的精度、稳定性与理论分析相一致，验证了本文格式的精确性与可靠性.此外，文献[14]提出了数值求解二维波动方程的三层全隐式紧致差分格式，其精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)，为了加快迭代收敛速度，采用了多重网格方法进行加速.而本文的显式差分方法可以推广到二维，并且在二维情况下只需进行2次追赶法求解和一次显式递推计算，无需迭代，因此可望本文方法推广到二维后，在保有高精度的情况下会较文献[14]的方法具有更高的求解效率.目前，我们正在进行此方面的研究.另外，文献[15]提出了分数阶波动方程的一种差分方法，发展分数阶波动方程的显式高精度差分方法也是一个有意义的研究方向.致谢宁夏大学自然科学基金项目(ZR1407)和宁夏大学研究生创新项目(GIP2016032)对本文给予了资助,谨致谢意.【相关文献】[1] 戴嘉尊,邱建贤.偏微分方程数值解法[M].南京:东南大学出版社,2002.[2] CHO C H.Stability for the finite difference schemes of the linear wave equation with nonuniform time meshes[J].Num Meth Part Diff Eqns,2013,29(3):1031-1042.[3] 张天德,孙传灼.关于波动方程的差分格式[J].山东工业大学学报,1995,25(3):283-287.[4] 孙耿.波动方程的一类显式辛格式[J].计算数学,1997,19(1):1-10.[5] 齐远节,刘利斌.求解二阶波动方程的三次样条差分方法[J].大学数学,2011,27(1):59-64.[6] 金承日,吕万金.二阶双曲型方程的精细时程积分法[J].计算力学学报,2003,20(1):113-115.[7] 葛永斌,朱琳,田振夫.求解波动方程的高精度紧致隐式差分方法[J].宁夏大学学报(自然科学版),2005,26(4):297-299.[8] 田敏,羊丹平.波动方程的重叠型区域分解并行有限差分算法[J].山东大学学报(理学版),2007,42(2):28-38.[9] RASHIDINIA J,JALILIAN R,KAZEMI V.Spline methods for the solutions of hyperbolic equations[J].Appl Math Comput,2007,190(1):882-886.[10] LIU T,LIU L,XU H,et al.A new two level difference scheme for solving one-dimensional second-order hyperbolic equations[C]//2012 Fifth International Joint Conference on Computational Sciences and Optimization,2010:218-221.[11] 马月珍,李小刚,葛永斌.二维波动方程的高精度交替方向隐式方法[J].四川师范大学学报(自然科学版),2010,33(2):179-183.[12] 崔进,吴宏伟.一类波动方程初边值问题的高阶差分格式[J].应用数学,2014,27(1):166-174.[13] LELE S pact finite difference schemes with spectral-like resolution[J].J Comput Phys,1992,103(1):16-42.[14] 葛永斌,吴文权,田振夫.二维波动方程的高精度隐格式及其多重网格算法[J].厦门大学学报(自然科学版),2003,42(6):691-696.[15] 余跃玉.一种Caputo型时间分数阶波动方程的差分方法[J].四川师范大学学报(自然科学版),2014,37(4):524-528.2010 MSC：35A35; 65M99。
《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》范文
《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》篇一一、引言非线性分数阶偏微分方程在物理、工程、生物和金融等多个领域具有广泛的应用。
这些方程常常用于描述复杂系统中的复杂现象，如流体力学、量子力学和随机过程等。
因此，发展高效、高精度的数值方法来解决这些方程的求解问题具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将重点介绍一种高阶紧致差分格式，用于求解非线性分数阶偏微分方程。
二、非线性分数阶偏微分方程概述非线性分数阶偏微分方程是一种包含未知函数的高阶偏导数的非线性偏微分方程。
由于分数阶导数的引入，这类方程的解通常具有复杂的性质和较高的计算难度。
传统的数值方法往往难以满足高精度和高效性的要求。
因此，发展针对这类方程的数值方法具有重要的研究价值。
三、高阶紧致差分格式的构建为了解决非线性分数阶偏微分方程的求解问题，本文提出了一种高阶紧致差分格式。
该格式基于离散化思想和插值技术，将连续的分数阶导数离散化为差分形式，从而将原问题转化为求解一系列离散化后的差分方程。
在构建高阶紧致差分格式时，我们采用了以下关键步骤：1. 离散化：将求解区域划分为一系列离散的网格点，并确定每个网格点的空间位置和相邻网格点的关系。
2. 插值技术：在每个网格点上，利用插值技术将连续的分数阶导数近似为差分形式。
我们采用了高阶多项式插值技术，以获得较高的精度和较好的稳定性。
3. 紧致性：为了减小数值误差和计算量，我们采用了紧致差分格式。
该格式在保持足够精度的同时，减少了所需的计算量和存储空间。
4. 迭代求解：将离散化后的差分方程转化为迭代求解格式，并采用适当的迭代算法进行求解。
四、高阶紧致差分格式的优点相比传统的数值方法，高阶紧致差分格式具有以下优点：1. 高精度：由于采用了高阶多项式插值技术和紧致差分格式，该格式具有较高的精度和较小的数值误差。
2. 高效性：该格式将连续的分数阶导数离散化为差分形式，从而大大降低了计算量和存储空间需求。
此外，采用迭代求解方法可以进一步提高计算效率。
求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现
Key Words: Convection equation; High-order; Compact difference scheme; LOD method; Finite difference method
II
目录
第一章 绪论...................................................................................................................... 1
Finally, these schemes deduced in this paper are integrated into the software of "PHOEBESolver", which makes it easier for scholars in numerical solutions of partial differential equations to use these schemes in this paper.
紧致差分格式
紧致差分格式
紧致差分格式是一种数值求解偏微分方程的方法，其主要特点是在离散化时使用了较少的节点，同时保持较高的精度。
在紧致差分格式中，我们将要求解的偏微分方程离散化为一个代数方程组，通过求解该方程组来得到数值解。
为了实现高精度，紧致差分格式通常会使用高阶的差分算子，例如二阶中心差分算子或者非中心差分算子。
常见的紧致差分格式包括：
1. 二阶中心差分格式：使用二阶中心差分算子来逼近偏微分方程中的导数项，从而得到一个二阶精度的差分格式。
2. 基于算子分裂的紧致差分格式：将整个偏微分方程分解为几个部分，在每个部分中采用不同的差分格式来逼近，然后通过交替迭代的方式求解。
3. 符号差分法：利用泰勒级数展开，将偏微分方程中的导数项用差分算子展开，然后通过合理的组合得到一个高精度的差分格式。
紧致差分格式一般适用于光滑的问题，并且需要在边界处进行一定程度的调整，以满足边界条件。
同时，紧致差分格式通常需要解一个线性方程组，因此对于大规模问题可能需要使用高效的求解算法。
方程utt-uxx-uxxtt=f(u)的紧致差分格式
方程utt-uxx-uxxtt=f(u)的紧致差分格式紧致差分格式是一种在数值计算中比较常用的方法，用于解决求解常微分方程的问题。
本文将讨论如何使用紧致差分格式来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程。
首先，我们来看看ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程的几何意义。
这个方程的左边表示的是一个变量u的二阶时间导数，其中u的二阶空间导数也参与其中。
右边的f(u)表示的是一个函数，我们可以认为它是外部的一个影响因素。
接下来，我们要使用紧致差分格式来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程。
首先，我们将方程进行分析，可以得出：$$u_{tt}-u_{xx}-u_{xxtt}=f(u)$$可以将上述方程分解为：$$u_{tt}-u_{xx}=g(u)$$$$g(u)=-u_{xxtt}+f(u)$$此时，我们可以使用紧致差分格式来求解上述方程，即：$$\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta x^2}-\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Deltax^2}=g(u_{i,j})$$其中，$u_{i,j}$表示的是时间和空间上的网格点的u值，$\Delta x$表示的是网格的间距，$g(u_{i,j})$表示的是外部影响因素f(u)在网格点$u_{i,j}$上的值。
最后，我们可以使用上述紧致差分格式来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程，其中$u_{i,j}$表示时间和空间上的网格点的u值，$\Delta x$表示的是网格的间距，$g(u_{i,j})$表示的是外部影响因素f(u)在网格点$u_{i,j}$上的值。
使用紧致差分格式，可以很容易地求解出ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程的解。
总的来说，紧致差分格式是一种比较常用的数值计算方法，可以用来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程。
一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式
一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式黄雪芳;郭锐;葛永斌【摘要】A high accuracy compact finite difference scheme with non-uniform grids is pro-posed to solve unsteady convection diffusion equations, which are used to describe boundary layer problems or locally large gradient problems, etc. The new method starts from the dis-cretization of the steady convection diffusion equation. Firstly, the spatial derivatives are discretized by using the Taylor series expansion on non-uniform grids. Then, the second order backward Eulerian difference formula is used to discretize the temporal derivative term. The three-level full implicit compact difference scheme on non-uniform grids for solving the one-dimensional unsteady convection diffusion equation is derived. The new scheme has the second order accuracy in time and the third to fourth order accuracy in space and is unconditionally stable. Finally, some numerical experiments are conducted to demonstrate the high accuracy and the advantages in solving boundary layer problems or locally large gradient problems.%本文在非均匀网格上给出了求解非定常对流扩散方程的一种高精度紧致差分格式，特别适合边界层和大梯度等问题的求解。
紧致差分格式
紧致差分格式
紧致差分格式是一种在数值计算和数值模拟中常用的数值解法。
它通过将连续的物理量分割成离散的点，并使用差分来近似导数，从而将求解微分方程的问题转化为求解代数方程的问题。
紧致差分格式的优势在于其高精度和较小的误差。
相比其他差分格式，紧致差分格式在相同离散点数的情况下能够提供更准确的解。
这是因为紧致差分格式通过使用更多的信息来近似导数，从而减小了离散误差。
紧致差分格式的核心是在相邻的离散点上使用高阶差分，以提高精度。
在一维情况下，一种常用的紧致差分格式是中心差分格式，它使用相邻的三个点来近似导数。
在二维情况下，紧致差分格式可以使用九点、五点或者七点的近似来计算二阶导数。
这些格式都可以通过解线性方程组的方式进行求解。
在应用紧致差分格式时，我们需要注意几个问题。
首先，边界条件的选择对于解的精度和稳定性至关重要。
通常，我们可以使用一阶导数的数值近似来设定边界条件。
其次，选择合适的离散点数和步长对于保证数值解的准确性也非常重要。
较小的步长会提高解的精度，但同时也会增加计算的复杂度。
总而言之，紧致差分格式是一种可靠且高精度的数值解法。
通过合理选择离散点和适当的近似方式，我们可以使用紧致差分格式对微分方程进行数值求解。
这种方法不仅可以应用于科学计算、工程仿真
等领域，还可以用于前沿科学研究中的模拟和模型验证。
因此，了解紧致差分格式的原理和应用，对于提高数值计算的准确性和效率具有重要的指导意义。
求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现
Then, For the two-dimensional and three-dimensional convection equations, using the LOD method to making the two-dimensional and three-dimensional problems split one-dimensional equations. The one-dimensional convection equations use taylor series expansion and correction for the third derivative in the truncation error remainder of the central difference scheme in discretization of time and space. We can establish some high-order compact LOD schemes for solving two-dimensional and three-dimensional convection equations. The stability are obtained by the von Neumann method.The accuracy and reliability of these schemes are validated by some numerical experiments.
新型紧致WENO5格式
新型紧致WENO5格式新型紧致WENO5格式是近年来在数值计算领域取得重要进展的一种算法，它在高阶精度和边界层处理方面具有明显的优势。
本文将详细介绍新型紧致WENO5格式的原理、应用和优点，以及该算法在科学计算和工程领域的潜在应用价值。
新型紧致WENO5格式是一种基于WENO（Weighted Essentially Non-oscillatory）方法的高阶精度差分格式，它采用了一种紧致的差分算子来近似偏微分方程的空间导数，并且结合了五阶WENO重构技术来获得高阶精度的空间离散。
相比于传统的有限差分方法，新型紧致WENO5格式在空间精度和边界层处理方面具有显著的优势，尤其适用于对激波、边界层和间断问题进行精确的数值模拟。
除了其原理和实现方法外，新型紧致WENO5格式在实际应用中也展现出了明显的优势。
该格式在数值模拟中能够有效地处理多尺度流动现象，例如激波和边界层现象，从而提高了数值求解的准确性和可靠性。
新型紧致WENO5格式还可以有效地减少数值耗散和数值弥散，提高数值模拟的精度和稳定性。
该格式还在处理间断问题和非光滑解方面表现出了良好的性能，能够产生较为平滑和精确的数值解。
新型紧致WENO5格式在科学计算和工程领域还具有许多应用价值。
在流体力学中，该格式可以用于模拟复杂流动现象，如激波、湍流和多相流动等，从而为工程设计和科学研究提供重要的数值模拟工具。
在计算物理学中，新型紧致WENO5格式也可以用于求解各种偏微分方程，如波动方程、热传导方程和量子力学方程等，从而为科学家们研究自然现象提供了重要的数值工具。
新型紧致WENO5格式是一种具有很高应用潜力的数值计算方法，它在高阶精度和边界层处理方面具有明显的优势，并且在科学计算和工程领域有着广泛的应用前景。
相信随着该算法的进一步研究和应用，它将为解决科学与工程领域中的复杂数值问题提供更为有效的数值模拟工具，为人类的科学探索和工程创新发挥重要作用。
《2024年非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》范文
《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》篇一一、引言非线性分数阶偏微分方程在物理、工程、生物和金融等多个领域有着广泛的应用。
然而，由于这类方程的复杂性和非线性特性，其求解往往面临巨大的挑战。
近年来，随着计算科学和数值分析的快速发展，差分方法作为一种有效的数值求解方法，被广泛应用于求解这类方程。
本文旨在研究非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式，以期为该类方程的求解提供新的思路和方法。
二、非线性分数阶偏微分方程的描述非线性分数阶偏微分方程通常具有复杂的非线性特性和分数阶导数项。
这类方程在描述物理现象、生物过程和金融模型等方面具有广泛的应用。
然而，由于其复杂的数学特性和非线性特性，直接求解往往非常困难。
因此，我们需要借助数值方法对其进行求解。
三、高阶紧致差分格式的构建为了求解非线性分数阶偏微分方程，本文提出了一种高阶紧致差分格式。
该格式基于分数阶导数的离散化方法，通过将连续的分数阶导数近似为离散的差分形式，从而将原方程转化为一个离散的代数方程组。
在构建差分格式时，我们采用了高阶紧致的方法，以减小数值解的误差。
具体而言，我们通过选择适当的离散点、构建差分公式和确定差分格式的阶数等方式，构建了高阶紧致的差分格式。
四、差分格式的求解与性质分析在构建了高阶紧致差分格式后，我们需要对离散的代数方程组进行求解。
由于该方程组具有非线性和分数阶导数项等复杂特性，我们采用了迭代法和预处理技术等方法进行求解。
同时，我们还对差分格式的稳定性和收敛性等性质进行了分析。
结果表明，该高阶紧致差分格式具有良好的稳定性和收敛性，能够有效地求解非线性分数阶偏微分方程。
五、应用实例与结果分析为了验证本文提出的高阶紧致差分格式的有效性，我们将其应用于几个典型的非线性分数阶偏微分方程的求解中。
通过与已知结果进行比较，我们发现该差分格式能够得到与已知结果相符合的数值解。
同时，我们还分析了不同参数对数值解的影响，并探讨了该差分格式在实际应用中的可行性。
8-高阶紧致格式
§10. 高阶紧致差分格式先考虑导数的差分近似。
若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 ()p h O 。
要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。
但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。
通常情形，构造高阶格式需要更多的点。
例如：两点差分近似()()()f x h f x f x h+-¢»只有一阶精度。
而使用三个点，就可以构造出二阶近似()()()()2432f x h f x h f x f x h-+++-¢»精度越高，需要的点就更多。
对于中心差分近似也有类似的结果。
但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。
例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。
设 0a > 。
0duau dx+= （01x < ） ， ()0u =α 取 M 个网格，空间步长 1h M= ，网格点记作 j x jh=（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 ()j j u u x » 。
因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有10j j j u u au h--+= （1,2,3,,j M =L ）实际的计算方案为0u =α ， 111j j u u ha-=+ （1,2,3,,j M =L ）上述格式用到两个点，但只有一阶精度。
如果采用二阶差分近似，则成为12340j j j j u u u au h---++= （2,3,,j M =L ）这个格式具有二阶精度。
可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。
而初始条件只提供了 0u =α 。
因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。
对于更为复杂的流动控制方程以及更复杂、精度更高的数值格式，这种问题就更加严重。
一类tvd型的迎风紧致差分格式
一类tvd型的迎风紧致差分格式TVD型的迎风紧致差分格式是一种使用固定尺寸格子来完成数值推断的技术，它也被称作Total Variation Diminishing（TVD）。
它是一种在求解航空和气象流场方面被广泛使用的差分数值方法。
该方法由哈里·斯塔拉斯(Harry S.Starr)在1962年设计，开发了一种空间上可变形正六边形网格，它可以实现最小变量的变分传输。
这种方法的用途特别适合求解一维aero-geostationary环境的浪涌结构。
它比以往的迎风差分方法更专业，能够更好地模拟流场的空间变化。
TVD迎风紧致差分格式的特点：第一，TVD迎风紧致差分格式保证了有限元素的数量相对较少变分，这种方法能够捕捉流场变化的速度较大的地方。
它可以有效地模拟物理过程中地形特别复杂的地方。
真正的特点是，它可以更加准确地表达和模拟气象过程中的动态变化。
第二，它的技术优势在于低解释度以及对数据的准确表示，并提供了准确的数据模型，可以明确定义出来了。
它可以在低解释度和低内存下提供高精度模型，尤其适合迅速变化的气象过程。
第三，TVD迎风紧致差分格式具有更强的迎风特性，当它遇到恶劣的迎风环境时，可以产生更好的精确性，更少的干扰。
它将能够在低内存下实现最佳的迎风推断精度，而不需要考虑恶劣条件下的数值问题。
TVD迎风紧致差分格式的适用范围TVD迎风紧致差分格式的适用范围非常广泛，它主要用于：高空和低空的航空机动应用，航空气象学研究，城市空气势分析以及环境研究，全球流场的研究，以及地质气象学研究等。
TVD迎风紧致差分格式的实施方法TVD迎风紧致差分格式主要利用四面体元素空间切片来实现有限元传递，以直接解决流场非线性方程。
首先，它使用有限元素来表达空间上一定数量的点，引入格点布置得更加整齐，更加均匀。
接着，利用有限元素技术，向空间中添加更多的信息，增强网格的能量，以便计算流场的方向，速度，以及压力梯度。
然后，解决方程以及进行精确的能量调整，以准确模拟流场。
对流扩散问题的一种紧致差分方法答辩模板
程组൝
0 = 0, 1 = sin 1
这是一个N-1阶的线性方程组，当 = 0.1，ℎ = 0.1时,
我们可以得到各个节点处的数值解：
U1 = 1.5506 ∗ 10−3 , U2 = 5.0559 ∗ 10−3 , U3 =
1.2458 ∗ 10−2 ,
U4 = 2.7223 ∗ 10−2 , U5 = 5.5262 ∗ 10−2 , U6 =
൞
1+
0 = 0, 1 = sin(1)
′′
方程的精确解为：
x =
值。
1+ 1
1 1
( ) − ( ) ൗ(1
2
2
0.1
0.3
0.5
0.7
−
1 1
( ) )
2
我们可以算出u在各个节点的准确
= 1.5554 ∗ 10−3 , 0.2 = 5.0691 ∗ 10−3 ,
= 1.2485 ∗ 10−2 , 0.4 = 2.7270 ∗ 10−2 ,
෨2 的进行修正，使其更加近似1 , 2 , 1 , 2 .
方程左端系数修正思路为：不在将()看作常
数，从(2.21)式出发，取序列 ( = 1,2, … )的
1
第一项和第三项，即含有 −1 和(−2)(−1)
−3 ′
2
的项，省略其余项作为的近似，代入(2.11)，
(2.20)
其中：i =
2
，1
1
= 1 ( )，2 = 2 ( )
1 = 1 ( ),2 = 2 ( )
在上述方程的导出过程中我们未做任何近似处理，但
式中涉及的系数以及右端量均是无穷项组成，在实际
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紧致差分格式
紧致差分格式（Compactly Supported Finite Difference Formulation）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数
值解。
它的特点是既能有效地处理高阶精度问题，又能保证数值解的
稳定性和收敛性。
紧致差分格式最大的特点是它的数值计算节点只限于离散空间范
围内的邻近节点。
也就是说，只有最近的节点之间进行计算，而不受
整个空间范围的限制。
这种局部性的计算方式使得紧致差分格式具有
较高的计算效率和灵活性。
在实际应用中，紧致差分格式广泛应用于流体力学、热传导等领
域的数值计算中。
例如，在模拟流体的传输过程中，可以通过紧致差
分格式将流体动力学方程转化为有限差分方程，从而得到流体在空间
和时间上的数值解。
紧致差分格式的求解过程主要包括两个步骤：离散化和迭代求解。
首先，通过将原始的偏微分方程转化为差分方程，将问题在空间和时
间上离散化。
其次，通过迭代求解逼近数值解。
在迭代求解的过程中，需要设置适当的边界条件和初始条件，以确保数值解的准确性。
紧致差分格式的优点是可以获得较高的数值精度和稳定性。
由于
它的节点计算只限于离散空间范围内的邻近节点，可以在不增加计算
复杂度的情况下提高数值解的精度。
与其他数值方法相比，紧致差分
格式更加准确和可靠。
然而，紧致差分格式也有一些限制。
首先，它对初始条件和边界条件较为敏感，不同的条件可能会导致不同的数值解。
其次，紧致差分格式对问题的网格剖分要求较高，过于粗糙或者过于细致的网格都可能导致数值解的不准确性。
总之，紧致差分格式是一种重要的数值计算方法，广泛应用于偏微分方程的数值求解中。
它的局部性计算方式使得其具有较高的计算效率和灵活性，同时能够保证数值解的准确性。
但在使用时需要注意初始条件和边界条件的设置，以及合理选择网格剖分，以获得更为可靠和准确的数值解。