二阶常微分方程的解法及其应用毕业论文

目录

1 引言 ................................ - 4 -

2 二阶常系数常微分方程的几种解法.................... - 4 - 2.1 特征方程法........................... - 4 -

2.1.1 特征根是两个实根的情形...................... - 5 - 2.1.2 特征根有重根的情形....................... - 5 -

2.2 常数变易法........................... - 7 -

2.3 拉普拉斯变换法.......................... - 8 -

3 常微分方程的简单应用......................... - 9 -

3.1 特征方程法........................... - 10 -

3.2 常数变易法........................... - 12 -

3.3 拉普拉斯变换法.......................... - 13 -

4 总结及意义............................. - 14 -

参考文献. .......................... - 15 -

二阶常微分方程的解法及其应用

摘要：本文主要介绍了二阶常系数微分方程的三种解法：特征方程法、常数

变异法和拉普拉斯变换法，并着重讨论了特征方程根为实根、复根及重根的情形针对这三种解法的特点，分别将其应用到求解弹簧振子系统的振子的运动方程。

关键词：二阶常微分方程 ; 特征根法；常数变异法；拉普拉斯变换

METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS

APPLICATION

Abstract:This paper mainly introduces three kinds of solution for order differential equation with constant coefficients: characteristic equation method, the method of variation of constant and Laplasse transform method, and discusses the characteristics of Fang Chenggen is the real root, complex roots and root. According to the characteristics of the three solution, were applied to the equations of motion of vibrator for spring oscillator system.

Keywords: second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform two the

1引言

数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。人所共知，常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解方法却各有不同，因此•二阶常系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究的热点问题之一。而本文正是在这一背景下对于二阶常系数常微分方程的解法和应用做出研究。

2二阶常系数常微分方程的几种解法

通常来说，纵观二阶常系数常微分方程的解法来看，其中比较有代表性的是特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种解法，因为篇幅和个人能力有限，本文则选取这三种具备代表性的解法进行分析。

2.1特征方程法

所谓特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因研究对象的不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程, 积分方程特征方程等等。

d2 x dx

求微分方程笃• p邑* qx = 0的通解.

dt2 dt

解特征方程扎2+ ph + q =0的根人,入2,

(1)若这是两个不等实根,则该方程有两个实值解elej故通解为

x = c1e A^H C2e^t( G, C2 为任意常数).

(2)若这两个根相等，则该方程有二重根，因此方程的通解具有形状

x = c,/ + qte^t ( C i,C2 为任意常数).

(3) 若这两个根为共轭复根z = a f bi ,则该方程的通解具有形状

x = e at (c s in bt c 2

cosbt) ( c 1,c 2 为任意常数). 数学的许多公式与定理都需要证明，下面本文给出上面前两个解答的理论依据

2.1.1特征根是两个实根的情形

设'1, '2是上面特征方程的两个不相等的实根，从而相应的方程有如下两个解

e lt ,e'2t

我们指出这两个解在a ◎乞b 上线性无关，从而它们能够组成方程的基本解组.事 实上,这时

(Vandermond©行列式,它等于(扎2 -人).由 ,从而w(t)

= 0,于是e'^e 2线性无关,这就

是所要证明的.而此方程的通解可表示为

x = Ge 血(其中GG 为任意数).

如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭出现.设

=:i 是一特征根,则— ~i'也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方 程有两个复值解

e ( - |)t =e-t (cos : t isin : t),

e (z 八=e -t (cos -isin : t).

根据定理可知，复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来，对应于特征方

程的一对共轭复根:,我们可求的方程雪• p-dX

• qx =0的两个实值解 dt dt e A cos : t,e' sin t .

2.1.2特征根有重根的情形

设特征方程有k 重根’二’i,则众所周知

e >J e^ 沁t 1 1

人e 川 為e'2 =e 〉-2

w(t)= 而最后一个行列式是著名的范德蒙德 于假设'i,故此行列式不等于零