概率统计模拟试题1-4解答

概率统计模拟试题1-4解答

模拟试题（一）参考答案

一.单项选择题（每小题2分,共16分） 1.设

B A ,为两个随机事件,若0)(=AB P ,则下列命题中正确的是（ ）

(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或

(D) AB 未必是不可能事件 解 若AB 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.

2.设每次试验失败的概率为p ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ） (A) )1(3p -

(B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 21

3

)1(p p C - 解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为3p ,故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本

题应选C. 3.若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度,则下面说法中一定成立的是（ ）

(A)

)(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续

解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数,且满足⎰

∞+∞

-=1d )(x x f ,

所以A 一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]2

1

,31[

上的均匀分布的随机变量的概率密度 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,

0,

2

131,6)(x x f 在31=x 与21=x 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4.若随机变量

X 的概率密度为)( 21)(4

)3(2

+∞<<-∞=

+-

x e

x f x π

,则=Y （ ）)1,0(~N

(A)

23+X

(B)

2

3+X (C)

23-X (D)

2

3

-X 解

X 的数学期望3-=EX ,方差2=DX ,令2

3+=

X Y ,则其服从标准正态分布.故本题应选A.

5.若随机变量Y

X ,不相关,则下列等式中不成立的是（ ）

(A) 0)

,cov(=Y X (B) DY

DX Y X D +=+)(

(C) DY DX DXY ⋅= (D) EY EX EXY ⋅= 解 因为0=ρ,故 0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ, DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(, 但无论如何,都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.

6.设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X

,又

S X ,分别为样本均值及样本标准差,则（ ）

(A)

)1,0(~N X (B) )

1,0(~N X n (C)

)(~21

2n X n

i i χ∑=(D)

)1(~-n t S

X

解 )1

,0(~n

N X ,),0(~n N X n ,

)1(~-⋅n t S X n ,只有C 选项成立.本题应选C. 7.样本n X X X ,,,21Λ )3(≥n 取自总体X ,则下列估计量中,（ ）不是总体期望μ的无偏估计量

(A)

∑=n

i i

X

1

(B)

X

(C) )46(1.01n X X +

(D) 321X X X -+

四.(本题8分)

两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:

(1) 任取一个零件是合格品的概率,(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率. 解 设

21,A A 分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件.

(1) 由全概率公式可得

973.098.03

1

97.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=

+=A B P A P A B P A P B P .

(2) 247.0973.0102

.031

)

()

|()()()()|(2222≈-⋅===

B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)

袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以Y

X ,记第一次,第二次取得球上标

有的数字,求:

(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布；(3) Y X ,是否独立；

(4) )(XY E .

解 （1） Y

X 1 2 3

1 0 61 121

2 61 61 61

3 12

1 61

（2）41)1(==X P ,21)2(==X P ,41)3(==X P .41)1(==Y P ,21)2(==Y P ,4

1

)3(==Y P .

（3）因为)1()1(16

1

0)1,1(===≠===Y P X P Y X P ,故Y X ,不独立.

（4）613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+6

23

=

. 六.(本题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ,

试求:(1)

A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数.

解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0

214d e 2A x x A x

,从而4

1=A ; (2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20

201221d e 41d e 41d )()21(x x x x x x f X P x

x

12e 4

5

e 251----=;

(3) 当0≤y 时,0)(=y F Y ;当0≤y 时,

)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=,

所以,两边关于y 求导可得,.4

1

21412141)(y y y Y e y y e y y e y y f ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅=

故Y 的密度函数为