广东省深圳实验学校高中部2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知角83πθ=的终边经过点(,3)P x ，则x 的值为（ ） A. ±2 B. 2C. ﹣2D. ﹣4【答案】C 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得x 的值． 【详解】∵已知角83πθ=的终边经过点(,3)P x ，∴82tantan tan 3333πππ==-=-=23x，则2x =-，故选C ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 2.在ABC ∆中，60A =︒，2AC =，6=BC C =（ ）A. 30B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理得sin sin AC BCB A=，先求出B ，进而可得到C 【详解】因为sin sin AC BC B A =，即26sin B = 所以1sin 2B =因为()0,180B ∈︒所以30B =︒或150B =︒（舍） 因为180A B C ++=︒ 所以90C =︒故选：D【点睛】本题考查的是正弦定理的应用，较简单. 3.下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ） A. ()f x x =B. ()f x x x =-C. ()1f x x =+D.()f x x =-【答案】C 【解析】试题分析：A 中()()2222f x x x f x ===，B 中()()2222f x x x f x =-=，C 中()()2212f x x f x =+≠，D 中()()222f x x f x =-=考点：函数求值4.函数2sin(2)3y x π=- ([0,])x π∈为增函数的区间是（ ）A. 5[0,]12π B. [0,]2πC. 511[,]1212ππ D.11[,]12ππ 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可． 【详解】2sin 22sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴求2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间，等价于求2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递减区间，由3222,232k x k k z πππππ+≤-≤+∈得511222,66k x k k z ππππ+≤≤+∈得511,1212k x k k z ππππ+≤≤+∈当k ＝0时，5111212x ππ≤≤， 即函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的递减区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及三角函数的单调性是解决本题的关键．根据y =sin t 和t x ωϕ=+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间.5.函数sin cos y x x =+，x ∈R 的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可选出答案 【详解】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图像如下：所以只看0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象即可排除A 、B 、C ，选D故选：D【点睛】由函数的解析式选图象，一般采用排除法，看函数的单调性、奇偶性、函数值或某一部分图象即可.6.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”，设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.若2sin 4sin c A C =，3B π=，则用“三斜求积术”求得的ABC ∆的面积为（ ）3 B. 2C. 23D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由2sin 4sin c A C =可得4ac =，然后由余弦定理可得2224b a c =+-，代入即可求出ABC ∆的面积【详解】因为2sin 4sin c A C = 所以24c a c =，即4ac =由余弦定理可得222222cos 4b a c ac B a c =+-=+- 所以2224a c b +-=所以S ===故选：A【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，较简单.7.ABC ∆的内角A ，C 的对边分别为a ，c ，若45C ∠=︒，c =有两个，则a 的取值范围为（ ）A. 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.)2C. ()1,2D. (【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理用a 表示出sin A ，由C 的度数及正弦函数的图象可知满足题意的A 的范围，然后得出sin A 的范围，进而可求出a 的范围【详解】由正弦定理得：sin sin c a C A =即sin 45sin aA=︒ 所以1sin 2A a =由题意得，当45135A ︒<<︒时，满足条件的三角形有两个所以1122a <<2a < 故选:B【点睛】本题考查了正弦定理及特殊角的三角函数，要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件，属于基本知识的考查.8.已知函数()f x 是奇函数，()g x 为偶函数，若()()xf xg x e +=，则()1f 等于（ ）A. 1e e+B. 1e e-C.122e e- D.122e e+ 【答案】C 【解析】 【分析】将()()x f x g x e +=中的x 换成x -可得()()xf xg x e --+-=，然后利用奇偶性可得()()x f x g x e --+=，从而可解出()f x【详解】因为()()xf xg x e +=①所以()()xf xg x e--+-=因为()f x 是奇函数，()g x 为偶函数 所以()()f x f x -=-，()()g x g x -= 所以()()xf xg x e--+=②由①②可得()=2x xe ef x --所以1122(1)=2e e f e e-=--故选：C【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，较简单 9.已知曲线1215:sin ,:cos()26C y x C y x π==-，则下列说法正确的是（ ） A. 把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移3π，得到曲线2C B. 把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移23π，得到曲线2CC. 把1C 向右平移3π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2CD. 把1C 向右平移6π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2C 【答案】B 【解析】对于A ，1115sin sinsin cos 22626y x y x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=→=→=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ,1115sin sinsin =cos 22326y x y x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=→=→=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 对于C ，215sin sin sin 2cos 3326y x y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→=-→=-≠- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,对于D ，15sin sin sin 2cos 6626y x y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→=-→=-≠- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1511cos()cos sin ,2622323y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B.【方法点晴】本题主要考查诱导公式、函数三角函数函数图象的性质及变换，属于中档题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是先对函数图象经过“放缩变换”再“平移变换”后，根据诱导公式化简得到的. 10.已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ） A.12B.23C.32D. 2【答案】C 【解析】 【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ，然后由单调性建立不等式求出ω的范围. 【详解】因为()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数 所以(0)cos 0f ϕ==，所以2ϕπ= 所以()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭因为()f x 在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以sin y x ω=在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增所以242232k k ππωπππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得82()362k k Z k ωω≤-+⎧⎪∈⎨≤+⎪⎩因为0>ω，所以0k =时得302ω<≤所以ω的最大值为32故选：C【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和单调性的应用，对于函数sin(y A x ωϕ=+）有关问题的处理方法是把x ωϕ+当成整体.11.若sin 2α=，sin()βα-=，且[,]4παπ∈，3[,]2πβπ∈，则αβ+的值是（）A.94π B.74πC.54π或74πD.54π或94π 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，可求得[4πα∈，]2π，2[2πα∈，]π，进一步可知[2πβα-∈，]π，于是可求得cos()βα-与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【详解】[4πα∈，]π，[βπ∈，3]2π， 2[2πα∴∈，2]π，又10sin 22α<<， 52(6πα∴∈，)π，即5(12πα∈，)2π，(2πβα∴-∈，13)12π，cos2α∴==；又sin()βα-=， (2πβα∴-∈，)π，cos()βα∴-==cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()(αβαβααβααβα∴+=+-=---==又5(12πα∈，)2π，[βπ∈，3]2π， 17()(12παβ∴+∈，2)π，74παβ∴+=. 故选B【点睛】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题． 12.设0.1log 2a =，30log 2b =，则（ ） A. 322ab a b ab >+> B. 322ab a b ab <+<C. 32ab a b ab <+< D. 32ab a b ab >+>【答案】B 【解析】 【分析】0.121log 2=log 0.1a =，3021log 2log 30b ==，然后运用对数的运算性质分别判断出2a b ab +-和32a b ab +-的符号即可.【详解】由对数的性质得：0.121log 2=log 0.1a =，3021log 2log 30b == 所以22221log 122log 0.1log 0.1log 3030a b ab -+-=+⨯2222222log 0.1log 3log 0.1log 30log l 0.1log 32og 302+==⨯-⨯-因为222log 32,log 0.10,log 300<<> 所以20a b ab +->，即2a b ab +>22221log 3132log 0.12log 0.1log 3300a b ab -+-=+⨯22222222log 0.122log 32log 0.1log 302log l 0.1log 33og 303-+==⨯⨯-因为2223log 9log 802log 3-=->所以302a b ab +-<，即32a b ab +< 综上：322ab a b ab <+<故选：B【点睛】作差法是比较大小的常用方法，作为本题来说，要熟练掌握对数的运算性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，将三个相同的正方形并列，则AOB AOC ∠+∠=______.【答案】4π 【解析】 【分析】由图可得出tan AOB ∠和tan AOC ∠，然后算出()tan AOB AOC ∠+∠即可 【详解】由图可知1tan =3AOB ∠，1tan =2AOC ∠ 所以()11tan +tan 32tan =111tan tan 16AOB AOCAOB AOC AOB AOC +∠∠∠+∠==-∠∠- 因为()0AOB AOC π∠+∠∈， 所以=4AOB AOC π∠+∠故答案为：4π【点睛】本题考查的是两角和的正切公式，较简单.14.若三角形的一内角θ满足sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos sin cos θθθθ+=-______. 【答案】17【解析】【分析】由sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得1sin cos 5θθ+=，然后利用()2sin cos 12sin cos θθθθ±=±即可求出sin cos θθ-【详解】因为sin cos 42210πθθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 所以1sin cos 5θθ+= 所以112sin cos 25θθ+=，即12sin cos 25θθ=- 所以()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-= 因为sin cos 0θθ<，所以,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 所以7sin cos 5θθ-= 所以1sin cos 157sin cos 75θθθθ+==- 故答案：17【点睛】本题考查的是同角的基本关系，较简单，但要注意符号的判断.15.已知sin10cos102cos140m +=，则m =__________．【答案】【解析】【分析】先将已知等式中m 分离出来，然后利用诱导公式以及两角和的余弦公式进行化简，由此求得m 的值.【详解】由题可得2cos140sin102cos40sin10cos10cos10m ---=== ()2cos 3010sin103cos103cos10-+--==-.【点睛】本小题主要考查方程的思想，考查诱导公式，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，给出下列命题：①若222a b c +<，则2C π>； ②若2ab c >，则3C π>；③若333a b c +=，则2C π<；④若()2ab a b c >+，则2C π>； ⑤若()222222a b c a b +<，则3C π<.其中正确的是______.（写出所有正确命题的编号）【答案】①③⑤【解析】【分析】①直接可以用余弦定理得出cos 0C <，②用余弦定理和222a b ab +≥可求出cos C 的范围，③中将333a b c +=变形为331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得33221a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即222a b c +>，可得出2C π<，④和⑤运用基本不等式可向②进行转化.【详解】①因为222a b c +< 所以余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=< 所以2C π>，故正确②因为2ab c >所以2222221cos 2222a b c ab c ab ab C ab ab ab +---=≥>= 所以03C π<<，故错误③因为333a b c += 所以331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以01,01a b c c<<<< 所以33221a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即222a b c +>，故2C π<，故正确④因为()2ab a b c >+，所以2ab c a b <+ 所以222222242ab a b c a b a b ab ⎛⎫<= ⎪+++⎝⎭因为222a b ab +≥， 所以22222224424a b a b c ab a b ab ab <≤=++ 由②知03C π<<，故错误 ⑤因为()222222a b c a b +< 所以222222a b a c b <+，因为222a b ab +≥ 所以2222222222a b a b a b c ab ab <=+≤ 由②知03C π<<，故正确故答案为：①③⑤【点睛】本题考查的是用余弦定理和基本不等式来判断三角形中角的范围，较难.三、解答题：共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.已知正实数x ，y 满足等式2520x y +=.（1）求lg lg u x y =+的最大值；（2）若不等式21014m m x y+≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）91,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1) 求lg lg u x y =+的最大值即求xy 的最大值，2520x y +=≥(2)先求出101x y +的最小值为94，然后解不等式2944m m +≤即可 【详解】(1)因为0x >，0y >，由基本不等式，得25x y +≥.又因为2520x y +=，所以20≤，10xy ≤，当且仅当252025x y x y +=⎧⎨=⎩，即52x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 此时xy 的最大值为10.所以lg lg lg 1g101u x y xy =+=≤=.所以当5x =，2y =时，lg lg u x y =+的最大值为1；(2)因为0x >，0y >， 所以101101251502252020x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1925204⎛≥+= ⎝， 当且仅当2520502x y y x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即20343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，所以101x y +的最小值为94. 不等式21014m m x y+≥+恒成立， 只要2944m m +≤，解得9122m -≤≤. 所以m 的取值范围是91,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】1.运用基本不等式需满足三个条件：一正二定三相等2.恒成立问题一般转化为最值问题处理.18.已知函数()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式和对称中心；（2）设()()28sin g x f x x =+，求()7g x ≤的解集. 【答案】（1）()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()5,012x k k Z ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；（2）()|23x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）由图象观察出()f x 的最大值、周期和过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，即可分别求出、、A ωϕ，然后再把对称中心解出来（2）先将()g x 化成基本型，然后解出来即可【详解】(1)由图可得2A =，22362T πππ=-=， 所以T π=，所以2ω=. 当6x π=时，()2f x =，可得2cos 226πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 因为2πϕ<，所以3πϕ=-.所以函数()f x 的解析式为()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令()232x k k Z πππ-=+∈，则()512x k k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 的对称中心为()5,012x k k Z ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭； (2)()()228sin 2cos 28sin 3x g x f x x x π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭=()12cos 2241cos 22x x x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭23cos 24x x =-+243x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.()7g x ≤即为sin 232x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 所以()4222333k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈ 所以()23k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以()7g x ≤的解集为()|23x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查的是三角函数的综合知识，要求我们要掌握三角函数的公式、图象及其性质.19.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sinsin 2A C a b A +=. （1）若2b ac =，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若b=，求ABC∆周长l的取值范围. 【答案】（1）等边三角形，见解析；（2）(【解析】【分析】（1）由sin sin2A C a b A+=可推出3Bπ=，然后2b ac=结合余弦定理可得a c=，从而可推出ABC∆是等边三角形（2）法一：知道角B和边b，由余弦定理得226a c ac=+-，然后利用基本不等式可求出a c+的范围；法二：用正弦定理可得sin sin sina c bA C B===转化可得)sin sinl a b c a c A C=++=+=+，然后利用三角函数的知识求出范围即可【详解】（1）由题设sin sin2A Ca b A+=，及正弦定理得sin sin sin sin2A CA B A+=，因为sin0A≠，所以sin sin2A CB+=，由A B Cπ++=，可得sin sin cos222AC B Bπ+-==，故cos2sin cos222B B B=.因为cos02B≠，故1sin22B=，所以3Bπ=，因为2b ac=，又由余弦定理得222222cosb ac ac B a c ac=+-=+-，所以22a c ac ac+-=，即()20a c-=，所以a c=，故3A Cπ==，所以ABC∆是等边三角形；（2）解法一：ABC∆的周长l a b c a c=++=+，由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，()()()222226334a ca c ac a c ac a c+=+-=+-≥+-，故()224a c +≤，a c +≤所以l a b c a c =++=+≤，当且仅当a c ==.又在ABC ∆中a c b +>，所以2l a b c b =++>=，所以ABC ∆周长l 的取值范围为(.解法二：因为3B π=，b =，由正弦定理，得2sin sin sin a c b R A C B ====，所以ABC ∆的周长)sin sin l a b c a c A C =++=+=+2sin sin 3A A π⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭1sin sin 2A A A ⎫=+⎪⎪⎭3sin 26A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 因为203A π<<，所以5666A πππ<+<，1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，6A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.所以ABC ∆周长l 的取值范围为(.【点睛】本题较为典型，考查了两种求周长（面积）范围的方法.20.已知函数()()1381242x x x f x λ-=-+-≤≤. （1）当32λ=时，求函数()f x 的值域； （2）若方程0f x 有解，求实数λ的取值范围.【答案】（1）29,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)令 12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得()23()28t f x g t t λ=-+=，当32λ=时利用二次函数的知识即可求出值域(2) 将23280t t λ-+=变形为342t t λ=+，求λ的取值范围即求342y t t=+的值域. 【详解】（1）()2131183284222x x x x f x λλ-⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()2328t g t t λ=-+，124t ≤≤， 当32λ=时，()22129338324g t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，124t ≤≤， 所以()min 12924g g t ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()max 214g t g ==， 所以函数()f x 的值域为29,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）方程0f x 有解等价于函数()2328t g t t λ=-+在124t ≤≤上有零点， 也即342t t λ=+在124t ≤≤上有解， 函数83433()22y t t t t=+=+在14t ⎡∈⎢⎣⎦上单调递减在2t ⎤∈⎥⎣⎦上单调递增所以当t =当14t =时1318y =，当2t =时5y = 所以最大值为1318y =所以值域为1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以实数λ的取值范围为13126,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】含参的方程根的个数问题，常用分离变量法，方程()a f x =有根等价于a 要在()f x 的值域当中.21.如图，游客从某旅游景区的景点A 处上山至景点C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处出发，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m .在甲出发1min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为100/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量得12cos 13C =，3cos 5A =. （参考数据：26013.6819≈，5209.8153≈，第（3）问结果精确到0.1）（1）求索道AB 的长；（2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少min ？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，问乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）500；（2）1min 13；（3）[]49.1,68.4 【解析】【分析】（1）先求出sin B ，然后由正弦定理即可求出AB（2）设乙出发min t ，甲、乙的距离为d ，由余弦定理得()225001325d t t =-+，即可求出最小值时t 的值（3）乙从B 出发时，甲还需走910m 才能到达C ，设出乙的步行速度，即可建立不等式.【详解】（1）在ABC ∆中，由12cos 13C =，3cos 5A =，可得5sin 13C =，4sin 5A =， 所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理sin sin AB AC C B=得 12605sin 50063sin 1365AC AB C B==⨯=； （2）设乙出发min t ，甲、乙的距离为d ，由余弦定理得，()()()()22235050100250501005d t t t t =++-+⋅⋅， 即()225001325d t t =-+，因为5000100t ≤≤， 即05t ≤≤，故当113t =时，d 最小， 所以当乙出发了1min 13时，乙在缆车上与甲的距离最短； （3）由正弦定理sin sin AB BC C A =得5004sin 10405sin 513AB BC A C ==⨯=， 乙从B 出发时，甲已经走了()50151350m ++=，还需走910m 才能到达C ，设乙步行的速度为/min v m ，则1040910350v -≤， 故10409103350v -≤-≤，解得520260555319v ⨯≤≤⨯， 即49.168.4v ≤≤，为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在[]49.1,68.4范围内.【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，将实际问题转化为数学问题是关键.22.如图，边长为2的等边三角形ABC 中，O 是BC 的中点，D ，E 分别是边AB ，AC 上的动点（不含端点），记BOD θ∠=.① ②（1）在图①中，120DOE ∠=︒，试将AD ，AE 分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD AE +为定值；（2）在图②中，60DOE ∠=︒，问此时AD AE +是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AD AE +的取值范围.【答案】（1）()sin 2sin 120AD θθ=-︒-，()()sin 602sin 60AE θθ︒-=-︒+，()0,60θ∈︒，理由见解析；（2）AD AE +不是定值，范围是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=得120BDO θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可用θ表示出BD 和CE ，然后就可得出AD +AE（2）先得出()()sin 120sin 4sin 120sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，然后转化为双勾函数求范围 【详解】（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，60COE θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得，()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE CO θθ=︒-︒+ 故()sin sin 120BD θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE θθ︒-=︒+， 所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-，()()sin 602sin 60AE θθ︒-=-︒+，()0,60θ∈︒. 从而()()()sin 60sin 4sin 120sin 60AD AE θθθθ︒-+=--︒-︒+ ()()()sin 60sin 4sin 60sin 60θθθθ︒-=--︒+︒+ ()()sin sin 604sin 60θθθ+︒-=-︒+1sin sin 43θθθ-==， 从而3AD AE +=为定值；（2）当60DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，120COE θ∠=︒-，CEO θ∠=，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得，()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()sin 120sin CE CO θθ=︒-， 故()sin sin 120BD θθ=︒-，()sin 120sin CE θθ︒-=， 所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-， ()sin 1202sin AE θθ︒-=-，()30,90θ∈︒︒， ()()sin 120sin 4sin 120sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，()30,90θ∈︒︒. 令()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-，()30,90θ∈︒︒， ()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-， 设()sin 120sin u θθ︒-=，则1y u u =+，()1cos sin sin 12022sin sin u θθθθθ+︒-==11tan 2θ=+， 由()30,90θ∈︒︒，tan θ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，(1tan θ∈，111,2tan 22u θ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 又1y u u =+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增， 而当12u =或2时，52y =，当1u =时，2y =，所以52,2y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 因此34,22AD AE y ⎛⎤+=-∈⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数的变换和函数的值域问题，难度较大.。