高等代数

于是 a a 0 F, a a 1 F.
11 2,1 2 3,1 3 4,L , N F
1
0 1 1, 0 2 2, 0 3 3,L , Z F
对 x Q, x 0, x a , a,b Z,
多
b
故 xF,Q F.
项
式 问题：10、在判断一个数集是不是数域时，实际上
乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中
（代即数运运算算是：设否A封是闭一）个非。空集合，定义在A上的一个代数运算
1 运整算数封例的闭如商：两就这是都如个不个指有果集整存A集一中合在合数定一中一中的是个，个任和整元则法两、素数称则个与差，该，元之集、它素这对合使做积证应对A某仍明。中这一是整任个运整意数运算两数集算后个封，的对元闭结但加素。果两、A仍个减在A、
高 要检验几种运算？
等wenku.baidu.com
定理1.1.3：设F是一个含有非零数的数集，则F
代 是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除
数 数不为零）仍属于F。
问题：11、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C
之间是否有别的数域？
例：对任意素数P， QP a b p a,b Q
1 是一个数域。Q QP R
形式表达式。
1
后来又把多项式定义为R上的函数：
式
F1 F2 或 F2 F1 ）。
高 等 代 数
§1.2 一元多项式的定义和运算
1
多 项 式
高
一、多项式的概念
等
中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减
代 法运算的整式）的代数和叫多项式。
数
例： 4a+3b，3x2 2x 1, 3 y 1 .
25
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是
本章的重点和难点
重点:一元多项式的因式分解理论.
项
难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多
式
项式等概念之间的联系与区别.
高
§1.1 数环和数域
等
研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的
代 范围，学习数学也是如此。
数
比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、
有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分
等 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。
代
二、数域
数
定义2：设F是一个含有不等零的数的数集，如果F
中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中，
则称F是一个数域。
1
定义 2：设F是一个数环，如果 ① F内含有一个非
零数； ② 对 a,b F, 且 b 0 ，则 a b F
多 项
则称F是一个数域。 例如：有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，
乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集
多 项
对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭。
式
高 根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 等 数环和数域。
代
一、数环
数
定义1：设S是由一些复数组成的一个非空集合，
如果对 a,b S ，总有 a b, a b, a b S
在R与C之间不可能有别的数域。
多 项
设有数域F，使 R F C ，故
式
x F, x R, x C, 设x=a+bi，且 b 0
高（若b=0，则 x aR，矛盾）。
等 Q a,b R, a,b F, bi F, bi b i F 可见F=C。
代 问题：12、设 S1 和 S2 是数环，试问 S1 I S2, S1 U S2
高
第一章 多项式
等 代 学时：28学时
数 教学方法和手段
由于多项式与整数在许多方面有相似之处，因此在建 立多项式分解理论时要注意与整数理论作对比。
基本内容和教学目的
1
本章主要讨论一元多项式的概念和运算，建立多项式 因式分解理论，并讨论与之有密切关系的求根问题。
这是中学有关知识的加深和扩充。
多
当 d 0 2 c Q ，也矛盾）。于是
d
多 项 式
a b 2 a b 2 c d 2 c d 2
cd cd
2 2
a1 b1
2, a1, b1 Q
高 问题：8、一个数域必包含哪两个元素？
等
9、最小的数域是什么？
代 定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 数 证明：设F是一个数域，则 a F, a 0.
式 且是三个最重要的数域。
高问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数
等
集是不是数域？
代
7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？
数
例3：证明 Q 2 a b 2 a,b Q 是一个数域。
证明要点：先证 Q 2 有一个非零元 1 1 0 2 ，
对加、减、乘封闭。再证除法封闭：
1 设 c d 2 0 c d 2 0（否则当 d 0 c 0矛盾；
解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
1
x2 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
就可以分解。
多
x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就
项 有根。等等。
式
高 我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 等 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 代 这样的限制。 数 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减
则称S是一个数环。
例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 1 C都是数环。
问题：1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？
多
2、有没有最小的数环？
项
例1：设a是一个确定的整数。令 S na n Z
式
高 则S是一个数环。 等 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。
代 当a=0时，S 0，即只包含一个零组成的数
数 环，这是最小的数环，称为零环。
问题：3、一个数环是否一定包含0元？ 4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的
1
数环？
例2：证明 Z i a bi a,b Z,i2 1 是一个数环。
多 问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环
项
有没有其他简单的方法？
式
高
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充
数
是不是数环？若是，给出证明，
若不是举出反例。
若 S1和 S2 是数域情况又如何？
1 S1 US2不是数域,反例:S1 a b 2 a,bQ , S2 a b 3 a,bQ
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两
多 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。
项 （ F1, F2 是数域，则F1 U F2 是数域的充要条件是