幂函数图象及其性质
幂函数图像及性质总结幂函数九个基本图像幂函数比较大小的方法
幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
2025年高考数学一轮复习-2.4.2-简单幂函数的图象和性质【课件】
[基础自测]
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．( × ) (2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限，但可能出现在第二象 限．( √ ) (3)当幂指数α取 1,3，1时，幂函数 y＝xα是增函数．( √ )
2 (4)当幂指数α＝－1 时，幂函数 y＝xα在定义域上是减函数．( × ) (5)当α＝0 时，幂函数 y＝xα的图象是一条直线．( × ) (6)若幂函数 y＝xα的图象关于原点对称，则 y＝xα在定义域内 y 随 x 的增大而增大．( × )
2.4.2简单幂函数的图象和性质
[知识要点] 知识点一 幂函数的概念
一般地，形如__y＝__x_α___(α为常数)的函数，即底数是自变量、指 数是常数的函数称为幂函数．
知识点二 幂函数的图象和性质
函数
定义 域 值域 奇偶 性
y＝x
R R 奇函数
y＝x2
y＝x3
y＝x
1 2
y＝1x
R
R
_{_x_|_x_≥__0_} _{_x_|x_≠__0_}_
且在(0，＋∞)上单调递减，因此 A，B 错误；当 x＝1 时，f(1)＝1， 因此 C 正确，D 错误．故选 ABD. 答案：ABD
4．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(3， 3)，则 f(9)＝________.
解析：设幂函数 f(x)＝xα(α为常数)， ∵幂函数 y＝f(x)的图象过点(3， 3)， ∴ 3＝3α，解得α＝1，
2．若函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，则
m 的值为( )
A．1
B．－3
C．－1
D．3
解析：因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函
2.3 幂函数图像与性质
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
北师大版高中数学课件第二章 4.2 简单幂函数的图象和性质
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象
限内的图象(类似于 y=x 或
-1
1
y= 2 ,y=x3)来判断.
(4)当α>0时,幂函数在区间(0,+∞)上都单调递增;当α<0时,幂函数在区间
(0,+∞)上都单调递减.
变式训练 2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的
断a,b,c的大小关系.
解析由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.
答案A
反思感悟 对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
(1)恒过点(1,1).
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当
x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
设 g(x)=xb(b∈R).
1
∵点 -2, 4 在幂函数 g(x)的图象上,
1
∴4=(-2)b,解得 b=-2.∴g(x)=x-2.
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个
函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3)
2 --2
的图象不过原点,求实数m的取值.
解由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1,或m=2;
3幂函数图象及其性质
幂函数的图像与性质一: 核心梳理、茅塞顿开1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.n 为奇数 n 为偶数例2 （1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132b a ba b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(3)100.256371.5()86-⨯-+（三）幂函数 1、幂函数的定义形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ）A．y = B ．3y x = C ．2y x = D ．1y x -=答案：C例2．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
第12讲 幂函数的图象和性质(人教A版2019必修第一册)(解析版)初升高暑假预习讲义
第12讲幂函数的图象和性质【人教A版2019】·模块一幂函数的概念·模块二幂函数的图象与性质·模块三课后作业1．幂函数的概念(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数.只有同时满足这三个条件，才是幂函数.【考点1对幂函数的概念的理解】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为幂函数的是（）A．=22B．=22−1C．=2D．J2【解题思路】根据幂函数的定义即可求解.【解答过程】由幂函数的定义可知：J2是幂函数，=22，=22−1和=2的系数不为1，故不是幂函数，故选：D.【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（）A．=B．=3C．=3D．=−1【解题思路】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.【解答过程】对于选项A，==12，故它是幂函数．故A项正确；对于选项B，=3是幂函数，故B项正确；对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；对于选项D，=−1是幂函数，故D项正确.故选：C.【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）现有下列函数：①=3；②=；③=42；④=5+1；⑤=−12；⑥=；⑦=(>1)，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据幂函数的定义逐个辨析即可【解答过程】幂函数满足=形式，故=3，=满足条件，共2个故选：B.【变式1.2】（2023秋·云南德宏·高一统考期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（）A．=3B．=12C．=22D．=+1【解题思路】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.【解答过程】对于A，由幂函数的定义知=3=13是幂函数，由题意可知op的定义域为R,o−p= 3−=−3=−op，所以op是奇函数，符合题意；故A正确；对于B，由幂函数的定义知=12=−2是幂函数，由题意可知op的定义域为−∞,0∪0,+∞,o−p==12=op，所以op是偶函数，不符合题意；故B错误；对于C，由幂函数的定义知=22不是幂函数，不符合题意；故C错误；对于D，由幂函数的定义知=+1不是幂函数，不符合题意；故D错误；故选：A.【考点2求幂函数的函数值、解析式】【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2,2)，则f(9)＝（）A．−3B．−13C．3D．13【解题思路】代点的坐标求出α的值，得到函数op的解析式，即得解.【解答过程】由题意f(2)＝2α＝2=212，所以α＝12，所以f(x)＝，所以f(9)＝9＝3.故选：C.【例2.2】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知幂函数的图象过点4,=（）A．−12B．−2C．12D．2【解题思路】设幂函数=,将4,，即得答案.【解答过程】设幂函数=，由于的图象过点4,故4=12,∴=−12，即=−12，故选：A.【变式2.1】（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足o6)o2)=4，则）A．2B．14C．−14D．−2【解题思路】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【解答过程】依题意，设=，则o6)o2)=62=3=4，所以o13)=(13)=13=14.故选：B.【变式2.2】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点3,2在幂函数=−1的图象上，则（）A．=−1B．=212C．=3D．=13【解题思路】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.【解答过程】∵函数=−1是幂函数，∴−1=1，即=2,∴点8,2在幂函数=的图象上，∴8=2，即=13，故=13.故选：D.1．常见幂函数的图象与性质幂函数图象定义域R R R 值域R R奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上为增函数，增函数，减函数在R 上为增函数在上为增函数，减函数，增函数定点（1,1）温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a >0时，y ＝x α是增函数；当α<0时，y ＝x α是减函数．2．一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象：①当α=1时，y =x 的图象是一条直线.②当α=0时，y ==1(x ≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：（p 、q 互质）p ，q 都是奇数p是偶数，q是奇数p是奇数，q是偶数(2)一般幂函数的性质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.3．对勾函数的图象与性质参考幂函数的性质，探究函数的性质.(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.(2)(3)的值域为(-,-2]∪[2,+).(4)奇偶性：函数为奇函数.(5)单调性：由函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减.【考点1幂函数的定义域、值域】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）给出5个幂函数：①=−2；②=45；③=14；④=23；⑤=−45，其中定义域为R的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案.【解答过程】①=−2=12的定义域为U≠0，不符合.②=45=54的定义域为R，符合.③=14=4的定义域为U≥0，不符合.④=23=32的定义域为R，符合.⑤=−45=的定义域为U≠0，不符合.所以符合的是②④.故选：C.【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数op=的图像过点(8,4)，则op=的值域是（）A．−∞,0B．−∞,0∪0,+∞C．0,+∞D．0,+∞【解题思路】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.【解答过程】∵幂函数op=的图像过点(8,4)，∴8=4，解得=23，∴op=23=32≥0，∴op的值域是0,+∞.故选：D.【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）函数=−1+12的定义域为（）A．−∞,+∞B．−∞,0∪0,+∞C．0,+∞D．0,+∞【解题思路】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【解答过程】因为=−1+12=1+，则≠0≥0，可得>0，故函数的定义域为0,+∞.故选：D.【变式1.2】（2023秋·北京·高一校考期末）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（）A．=13B．=−12C．=53D．=23【解题思路】由幂函数性质可得解.【解答过程】A中定义域和值域都是；,定义域和值域都是(0，+∞)；B中=−12=C中定义域和值域都是；D中=23=(13)2定义域为R，值域为[0，+∞)故选：D.【考点2幂函数的图象】【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A．①=−1，②=12，③=13B．①=−1，②=13，③=12C．①=13，②=12，③=−1D．①=13，②=−1，③=12【解题思路】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.【解答过程】由函数=−1=1是反比例函数，其对应图象为①；函数=12=的定义域为(0,+∞)，应为图②；因为=13的定义域为R且为奇函数，故应为图③.故选：A.【例2.2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点4,2在幂函数的图象上，则的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案．【解答过程】设幂函数op=，将点4,2代入，得4=2，解得=12，所以op=12，定义域为[0,+∞)，且在定义域内单调递增，大致图像为B，故选：B．【变式2.1】（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数=（s∈且p与q互质）的图像如图所示，则（）A．p、q均为奇数且<0B．p为奇数，q为偶数且<0C．p为奇数，q为偶数且>0D．p为偶数，q为奇数且<0【解题思路】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.【解答过程】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定<0，又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D.【变式2.2】（2023·全国·高一假期作业）如图所示，图中的曲线是幂函数=在第一象限的图象，已知取±2，±12四个值，则相应于1，2，3，4的依次为（）A．−2，−12，12，2B．2，12，−12，−2C．−12，−2，2，12D．2，12，−2，−12【解题思路】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.【解答过程】解：根据幂函数=的性质，在第一象限内的图象:当>0时，越大，=递增速度越快，故1的=2，2的=12；当<0时，越大，曲线越陡峭，所以曲线3的=−12，曲线4的=−2.故选:B.【考点3由幂函数的图象与性质求参数】【例3.1】（2023·全国·高一假期作业）幂函数=2−3在第一象限内是减函数，则=（）A．2B．2C．−2D．−2【解题思路】先根据幂函数定义求出m的可能值，再结合函数的单调性即可得解.【解答过程】由幂函数的定义可知2−3=1，解得=±2，由幂函数的单调性可知<0，所以=−2．故选:D．【例3.2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知幂函数op=2−2−2K2的图象经过原点，则=（）A．－1B．1C．3D．2【解题思路】令2−2−2=1求解，再根据函数图象经过原点判断.【解答过程】解：令2−2−2=1，解得=−1或=3.当=−1时，=−3的图象不经过原点.当=3时，=的图象经过原点.故选：C.【变式3.1】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知幂函数=2+2−2⋅2−2在0,+∞上是减函数，则n的值为（）A．−3B．1C．3D．1或−3【解题思路】先由函数是幂函数，得到=−3或=1，再分别讨论，是否符合在0,+∞上是减函数的条件.【解答过程】因为函数是幂函数，则2+2−2=1，所以=−3或=1.当=−3时，=15在0,+∞上是增函数，不合题意.当=1时=−1在0,+∞上是减函数，成立.故选：B.【变式3.2】（2023秋·广西贵港·高一统考期末）若幂函数=−2+2r259的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数,在−∞,0上单调递减，则=（）A．19B．19或499C．−13D．−13或73【解题思路】由题意知是偶函数，在−∞,0上单调递减,可得−2+2+259为正偶数，再根据−2+2+259的范围可得答案.【解答过程】由题意知是偶函数，因为在−∞,0上单调递减,所以−2+2+259为正偶数，又−2+2+259=−(−1)2+349≤349，∴−(−1)2+349=2，解得=73或−13．故选：D．【考点4比较幂值的大小】【例4.1】（2023春·浙江·高一校联考期中）记=0.20.1,=0.10.2,=(2)−0.5，则（）A．>>B．>>C．>>D．>>。
第四单元_第三节_幂函数的图像及其性质
像 及
正向逐渐上升；当 0时，幂函数 y x 的图
性
像沿 x 轴的正向逐渐下降。
质
函数性质：（1） x 1时， y 1。
（2）当 0 时，幂函数 y x 在 (0, ) 上单调增加；
当 0时，幂函数 y x 在 (0, ) 上单调减少。
作业布置 巩固练习
巩固练习
2.53 2.63
1
逐渐下降。
新课探究 启发解疑
图像性质
（1） x 1时， y 1。
（2）当 0时，幂函数 y x 在(0, ) 上单 调增加；当 0时，幂函数 y x 在(0, )上
单调减少。
温馨提示 小结反思
知识点小结
函 图像性质：（1）图像都经过点 (1,1) 。
数 图
（2）当 0 时，幂函数 y x 的图像沿 x 轴的
1 x2
，所以
y
x2的定义域为,0 (0, ) 。
列表如下：
x … 2 1 1 1 1 2 … 22
y…1
1
4
4
1
1
…
4
4
以表中的每一组 x ， y 的值为点的坐标， 描出相应的点，用光 滑的曲线联结这些 点，得到函数 y x2 的图像，如图所示。
新课探究 启发解疑
归纳提升
仿例 1、例 2 在同一坐标系中画出函数 y x3、 y x2 、y x 、
1
3.7 5 3.8 5
比较下列每组中两个数的大小：
（1）2.53和2.63； 答案
（2）3.7
1 5
和3.8
1 5
；
答案
1
1
7.53 7.63
1
1
（3）7.53 和7.63；
北师大版242简单幂函数的图象和性质课件(29张)
[练习2]图中的曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图象，已知α取±2，±
1 2
四个值，则相
应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为( B )
A．－2，－21，21，2
B．2，21，－12，－2
C．－12，－2,2，12
D．2，12，－2，－21
解析：由题意知，C3，C4的函数对应的α值为负值，而C1，C2的函数对应的α值应为 正值．且由x＞1时，C1的图象在C2的上方，C3的图象在C4的上方，可知选B．
作幂函数的图象的原则与方法 (1)原则：联系函数的定义域、值域、单调性、对称性等函数的性质． (2)方法：先画第一象限，然后根据对称性和定义域画其他象限． ①指数大于1，在第一象限的图象，类似于y＝x2的图象； ②指数等于1，在第一象限为上升的射线； ③指数大于0且小于1，在第一象限的图象，类似于y＝ x的图象； ④指数等于0，在第一象限为水平的射线； ⑤指数小于0，在第一象限类似于y＝x－1的图象．
1 3
＜14
1 3
D．15
1 3
＜14
1 3
＜
1 2
1 3
解析：∵y＝x
1 3
在(0，＋∞)上是增函数，且51＜41＜
1 2
，∴15
1 3
＜14
1 3
＜
1 2
1 3
，故选
D．
3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－4的图象不过原点，则m的值是___1_或__2__． 解析：由题意得mm2－－43≤m0＋，3＝1， 解得m＝1或m＝2.
[防范措施] (1)在解题时要认真分析题目条件，选准解题的入手点，最后要注意根 据题目的要求用准确的数学语言将其表述出来．
(2)本题综合性较强，解题的关键是准确把握幂函数的图象，抓住了幂函数的图象就 抓住了性质，也就有效地克服了应用中的难点．
幂函数的图像与性质
提高训练
例3.若m 4
1 2
3 2m , 则求 m的取值范围 .
1 2
解: 幂函数f ( x) x 的定义域是(0,) 且在定义域上是减函数 , 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围 . 3 2
1 2
重点三、幂函数性质应用：
a<0
a=0
a>1
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
a=1
0<a<1
a=0
2.3 幂函数（2）（77-78页）
y x ( R)
例4 用不等号填空：
＞ （1）5.1－2 ____ 5.9－2； ＞ 1.73.5 ____ 1.73； （ 2） ＞ 0。 （3）若3a＞2a，则a ____ ＞ （4）1.30.5 ____ 0.51.3；
0
1
＝1
0 1
(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调性； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单调性； (3) 当不能直接进行比较时，可数形结合找一个 中间数, 比较大小.
m 2
从而有 f ( x) x +∞）内是减函数.
3
是幂函数，且在区间（0，
提高训练
已知函数 f ( x) m 3m 3x 是幂函 数,并且是偶函数，求m的值。
2 m2 2
解:因为f ( x) m 3m 3 x
2
m2 2
是幂函数
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结幂函数是一种常见的函数类型，其图像及性质对于数学学习具有重要意义。
首先，我们来看一下幂函数的一般形式，y = x^n，其中n为常数，x为自变量，y为因变量。
接下来，我们将从图像、定义域、值域、增减性、奇偶性等方面对幂函数的性质进行总结。
首先，我们来看一下幂函数的图像特点。
当n为正偶数时，幂函数的图像呈现出开口向上的U形，且经过原点；当n为正奇数时，幂函数的图像同样经过原点，但在第一象限和第三象限分别呈现出斜直线的趋势；当n为负数时，幂函数的图像则呈现出开口向下的倒U形。
这些图像特点直观地展现了幂函数的形态。
其次，我们来看一下幂函数的定义域和值域。
对于幂函数y = x^n，其定义域为全体实数集R，而值域则取决于n的奇偶性和正负性。
当n为正偶数时，值域为全体非负实数集[0,+∞)；当n为正奇数时，值域为全体实数集R；当n为负数时，值域为全体正实数集(0,+∞)。
通过对定义域和值域的分析，我们可以更好地理解幂函数的取值范围。
接下来，我们来探讨幂函数的增减性和奇偶性。
对于幂函数y = x^n，当n为正偶数时，函数在整个定义域上为增函数；当n为正奇数时，函数在负实数轴上为减函数，在正实数轴上为增函数；当n为负数时，函数在整个定义域上为减函数。
而对于奇偶性，当n为偶数时，函数为偶函数；当n为奇数时，函数为奇函数。
这些性质的分析有助于我们更深入地理解幂函数的特点。
总的来说，幂函数的图像及性质总结如上所述。
通过对幂函数的图像、定义域、值域、增减性、奇偶性等方面的总结，我们对幂函数有了更清晰的认识。
希望本文所述内容能够帮助读者更好地理解幂函数的特点和性质。
幂函数的图象和性质高一数学总结练习含答案解析D
2.3.2 幂函数的图象和性质一、幂函数的概念一般地,函数① 叫作幂函数,其中x 是自变量,α是常数.二、幂函数的图象和性质幂函数 y=x y=x 2y=x 3y=x 12y=x -1图象定义域 R RR [0,+∞)②值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y∈R 且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇非奇非偶 奇 单调性 递增[0,+∞)上递增 (-∞,0)上递减递增递增(0,+∞)上递减 (-∞,0)上递减公共点都经过点③三、幂函数与指数函数的区别与联系函数 指数函数 幂函数 解析式 y=a x (a>0,且a≠1)y=x α(α≠0)相同点 等号右边都是幂的形式不同点幂函数的未知数是底数,而指数函数的未知数是指数;指数函数定义域为R,与a 无关,而幂函数y=x α的定义域随α的不同而不同一、幂值大小的比较方法 1.(2010安徽,7,5分,★★☆)设a=(35)25,b=(25)35,c=(25)25,则a,b,c 的大小关系是( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a思路点拨 根据幂函数与指数函数的单调性直接判断. 2.(2014陕西西安模拟,★★☆)比较下列各组数的大小:(1)(23)34,(34)23;(2)0.712,0.63,0.98-1.思路点拨 借助幂函数与指数函数的性质或中间量比较大小.二、幂函数的综合应用3.(2011陕西,4,5分,★★☆)函数y=x 13的图象是( )思路点拨 幂函数的图象特征应从特殊点、定义域、奇偶性、单调性及图象的凸性入手.4.(2014上海期末,★★☆)函数f(x)={x 13+3,x ≤0,3x +1,x >0,若f(a)>2,则实数a 的取值范围是 .一、选择题1.下列函数中既是偶函数又在(-∞,0)上是增函数的是( ) A.y=x 43 B.y=x 32C.y=x -2D.y=x -142.函数y=x -2在区间[12,2]上的最大值是( )A.14 B.-1 C.4 D.-43.函数y=x -12的图象大致是( )4.下列说法中正确的是( ) A.函数y=x 0的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C.幂函数的图象不可能出现在第四象限D.若幂函数y=x n 是奇函数,则y=x n 在定义域上是增函数 5.设函数y=x 3与y=(12)x -2的图象的交点为(x 0,y 0),则x 0所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)6.已知幂函数f(x)=x α,当x>1时,恒有f(x)<x,则α的取值范围是( ) A.0<α<1 B.α<1 C.α>0 D.α<0二、填空题7.比较大小(填“>”“<”或“=”): (1)(25)0.5(13)0.5;(2)(-π)3 (-3)3.8.已知幂函数f(x)=x n 满足3f(2)=f(4),则f(x)的表达式为 . 9.下列幂函数中是奇函数且在(0,+∞)上单调递增的是 .(填序号) ①y=x 2;②y=x;③y=x 12;④y=x 3;⑤y=x -1.10.函数y=(mx2+4x+2)-12+(x2-mx+1)的定义域是全体实数,则m的取值范围是.三、解答题11.已知幂函数f(x)=x a的图象经过点A(12,√2).(1)求实数a的值;(2)用定义证明f(x)在区间(0,+∞)内的单调性.12.已知幂函数f(x)=x1m2+m(m∈N+).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数图象经过点(2,√2),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.一、选择题1.(2015四川资阳期末,★☆☆)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2),则f(log216)=( )A.2B.√22C.√2 D.122.(2015四川凉山州期末,★☆☆)下列函数中在区间(0,+∞)上是减函数且在定义域上是奇函数的是( )A.f(x)=x 12 B.f(x)=x-1C.f(x)=x-2D.f(x)=x33.(2015四川雅安中学期末,★☆☆)已知幂函数f(x)=x m2-2m-3(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减函数,则m的值为( )A.0,1,2B.0,2C.1,2D.14.(2014湖北孝感调研,★☆☆)函数f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m 的值是( )A.-1B.2C.3D.-1或25.(2014广东惠州期末,★☆☆)函数y=x 43的图象是( )6.(2014重庆西南大学附中周考,★☆☆)下列关于函数f(x)=x-13的说法正确的是( )A.其图象关于原点对称B.其图象关于y轴对称C.其图象不具备对称性D.f(x)在定义域内单调递减二、填空题7.(2013山东青岛期中,★★☆)已知函数f(x)={2-x-1,x≤0,√x,x>0,则f(f(-2))= .知识清单①y=x α(α≠0) ②(-∞,0)∪(0,+∞) ③(1,1)链接高考1.A 由于幂函数y=x25在(0,+∞)上是增函数,且35>25,所以(35)25>(25)25,即a>c.由于指数函数y=(25)x在R 上是减函数,且25<35,所以(25)25>(25)35,即c>b. 综上可知,a>c>b. 2.解析 (1)因为函数y=x34在(0,+∞)上是增函数,且23<34,所以(23)34<(34)34.因为函数y=(34)x在R 上是减函数,且34>23,所以(34)34<(34)23,所以(23)34<(34)23.(2)因为函数y=x 12在[0,+∞)上是增函数,且1>0.7>0.6>0,所以1>0.712>0.612.因为函数y=0.6x 在R 上是减函数且12<3,所以0.612>0.63.又0.98-1>1,所以0.63<0.712<0.98-1.3.B 由幂函数y=x 13的性质知,图象过点(0,0),(1,1),故排除A,D.因为y=x α中0<α=13<1,所以图象在第一象限内上凸,排除C. 4.答案 (-1,+∞)解析 a>0时,f(a)=3a +1>2,∴3a >1, ∴a>0.a≤0时,f(a)=a 13+3>2,∴a 13>-1,∴a>(-1)3=-1,∴-1<a≤0. 综上,a>-1.基础过关一、选择题1.C 对于幂函数y=x α,如果它是偶函数,当α<0时,它在第一象限为减函数,在第二象限为增函数,则C 选项正确,故选C.2.C 函数y=x -2在区间[12,2]上为减函数,所以最大值为4,故选C.3.D 由幂函数的性质知函数y=x -12在第一象限为减函数,且它的定义域为{x|x>0}.故选D.4.C y=x 0的定义域为{x|x≠0},故y=x 0的图象不是一条直线,故A 错;y=1x 的图象不经过(0,0)点,故B 错;奇函数y=1x 在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数,故D 不正确.故只有C 项是正确的. 5.B 幂函数y=x 3在(0,+∞)上递增且过点(1,1),指数型函数y=(12)x -2在(-∞,+∞)上是减函数且过点(2,1),画出它们的图象,可知x 0∈(1,2).故选B.6.B 当x>1时,恒有f(x)<x,即当x>1时,函数f(x)=x α的图象在y=x 的图象的下方,作出幂函数f(x)=x α在第一象限的图象.由图象可知α<1时满足题意,故选B. 二、填空题7.答案 (1)> (2)<解析 (1)因为幂函数y=x 0.5在区间[0,+∞)上是增函数,且25>13,所以(25)0.5>(13)0.5.(2)幂函数y=x 3在区间(-∞,+∞)上是增函数,且-π<-3,所以(-π)3<(-3)3. 8.答案 f(x)=x log 23解析 由题意知3×2n =4n ,∴3=2n , ∴n=log 23. 故f(x)=x log 23. 9.答案 ②④解析 由奇偶性的定义知y=x 2为偶函数,y=x 12=√x 既不是奇函数也不是偶函数.由幂函数的单调性知y=x -1在(0,+∞)上单调递减,易知②④满足题意,故填②④. 10.答案 m>2解析 要使y=(mx 2+4x+2)-12+(x 2-mx+1)的定义域是全体实数,则需mx 2+4x+2>0对一切实数都成立, 即{m >0,42-4m ×2<0.解得m>2. 故m 的取值范围是m>2. 三、解答题11.解析 (1)∵f(x)=x a 的图象经过点A (12,√2), ∴(12)a=√2, 即2-a=212,∴a=-12.(2)任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,由(1)知f(x)=x -12,则f(x 2)-f(x 1)=x 2-12-x 1-12=√x -√x =√x 1-√x 2√x x =12√x x ·(√x +√x ),∵x 2>x 1>0,∴x 1-x 2<0, 且√x 1x 2·(√x 1+√x 2)>0, 于是f(x 2)-f(x 1)<0, 即f(x 2)<f(x 1),∴f(x)在区间(0,+∞)内是减函数. 12.解析 (1)∵m 2+m=m(m+1),m∈N +, ∴m 与m+1中必定有一个为偶数, ∴m 2+m 为偶数, ∴函数f(x)=x1m 2+m(m∈N +)的定义域为[0,+∞).该函数在其定义域上为增函数. (2)∵函数f(x)的图象经过点(2,√2), ∴√2=21m 2+m,即212=21m 2+m,∴m 2+m=2,即m 2+m-2=0. ∴m=1或m=-2. 又∵m∈N +,∴m=1.∵f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴由f(2-a)>f(a-1)得 {2-a ≥0,a -1≥0,2-a >a -1,解得1≤a<32. 故m 的值为1,满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a 的取值范围为[1,32).三年模拟一、选择题1.A 设f(x)=x α,则2α=√2,∴α=12,∴f(x)=√x , f(log 216)=f(4)=√4=2,故选A.2.B A 中函数不是奇函数,C 中函数为偶函数,D 中函数是定义域上的增函数,只有B 适合.故选B.3.D 由函数在(0,+∞)上单调递减知:m2-2m-3<0,所以-1<m<3,而m∈Z,所以m=0,1,2,从而m2-2m-3相应的值分别为-3,-4,-3,而函数f(x)=x m2-2m-3(m∈Ζ)为偶函数,所以m=1.故选D.4.B f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数⇒m2-m-1=1⇒m=-1或m=2,又因为f(x)在x∈(0,+∞)上是增函数,所以m=2.5.A y=x 43的定义域为R,且为偶函数.又α=43>1,故图象在第一象限下凸,故选A.6.A f(x)=x-13为奇函数,故图象关于原点对称.二、填空题7.答案√3解析f(-2)=4-1=3, f(f(-2))=f(3)=√3.。
幂函数的图像和性质
幂函数的图像和性质（学习版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如英语单词、英语语法、英语听力、英语知识点、语文知识点、文言文、数学公式、数学知识点、作文大全、其他资料等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides various types of classic sample essays, such as English words, English grammar, English listening, English knowledge points, Chinese knowledge points, classical Chinese, mathematical formulas, mathematics knowledge points, composition books, other materials, etc. Learn about the different formats and writing styles of sample essays, so stay tuned!幂函数的图像和性质概念一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
幂函数图像与性质(有的有,有的没有)
幂函数的性质与图像1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2、函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。
3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0， +∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. （4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .：4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3y x =、12y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。
例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2223m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.7
，∴ 1 1.52
1
1.7 2
（ 2 ） ∵ y x3 在 R 上 是 增 函 数 ， 1.2 1.25 ， ∴
(1.2)3 (1.25)3
（ 3 ） ∵ y x1 在 (0,) 上 是 减 函 数 ， 5.25 5.26 ， ∴
Where there is a will,there is a way.
幂函数 y＝xα 有下列性质：(1)单调性：当 α
＞0 时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当 α＜0
时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂
函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶
函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．
例
3．已知幂函数
y
（ xm2 2m3
mZ
）的图象与
x
轴、
y 轴都无交点，且关于原点对称，求 m 的值．
B．y x3
C．y 2x
D．y x1
答案：C
例 2．已知函数 f x m2 m 1 x5m3 ，当 m 为何值时， f x： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是 0, 上的 增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；
（5）是二次函数；
简解：（1）m 2 或 m 1（2）m 1（3）m 4（4）m 2
幂函数图象及其性质
幂函数图象及其性质
幂函数的图像与性质
1、幂函数的定义 形如 y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中 x
是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的
位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数
函数的自变量在指数位置。
例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ）
A．y x
y xa
y xb y xc
x
3
幂函数图象及其性质
解：取 x 1 ，
2
由图像可知：
1 2
c
1 2
d
1 2
b
1 2
a
，
a b d c ，应选 (C) ．
综合训练：
1．在函数 y 1 , y 3x2, y x2 x, y x0 中，幂函数的个数 x3
3
幂函数图象及其性质
； 5.251 5.261
∵ 是增函数， ，∴ ； y 5.26x
1 2
5.261 5.262
综上， 5.251 5.261 5.262
（4）∵ ， ， ，∴ 0 0.53 1 30.5 1 log3 0.5 0
log3 0.5 0.53 30.5
5.幂函数的性质及其应用
3
幂函数图象及其性质
不等式求解。 2.幂函数的图像
幂函数 y＝xα 的图象由于 α 的值不同而不 同．
α 的正负：α＞0 时，图象过原点和(1,1)，在 第一象限的图象上升；α＜0，图象不过原点，在 第一象限的图象下降，反之也成立；
注：在上图第一象限中如何确定 y=x3，y=x2，y=x，
y
1
x2
时，幂函数是
．
例 1、右图为幂函数 y x 在第一象限的图
y
像，则 a,b,c, d 的大小关系是 （
）
( A) a b c d (B) b a d c
(C) a b d c (D) a d c b
O
Where there is a will,there is a way.
3
幂函数图象及其性质
3、幂函数的性质 y= y=x2 x
定义域 R R 值域 R [0， ） 奇偶性 奇 偶
y= 1 y x2
y=x-1
x3
R [0， ） x | xR且x 0
R [0， ） y | yR且y 0
奇 非奇非 奇
偶
单调性 增 x∈[0， ）增 增 时，增；
x∈(0,+ ) 时，减；
解：∵幂函数 y xm22m3（ mZ ）的图象与 x 轴、 y 轴
都无交点，
∴ m2 2m 3 0 ，∴ 1 m 3；
∵ mZ ，∴ (m2 2m 3) Z ，又函数图象关于原点对称，
∴ m2 2m 3是奇数，∴ m 0或 m 2 ．
例
7.已知点 (
2，2)
在幂函数
f
(：一般地，我们把形如
为幂函数，其中
是自变量，
的函数称 是常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
2.性质：
（1）幂函数的图象都过点
函数都不过
象限；
；任何幂
（2）当 a 0时，幂函数在[0,) 上
幂函数在 (0,)上
；
；当 a 0时，
（3）当 a 2,2时，幂函数是
；当 a 1,1,3, 1 3
数 f(x);
（2）讨论 F（x）=a
的奇偶性. f（x）
b xf（x）
6.规律方法 （1）．幂函数 y＝xα(α＝0,1)的图象
（2）.幂函数 y xa (a q , p, q N , q 为最简分式）的图象
p
p
Where there is a will,there is a way.
3
幂函数图象及其性质
x ∈ (,0] 时，减
x ∈ (- ,0) 时，减
定点 （1，1） 例 2．比较大小：
1
1
（1） （2） （3） （4） 1.52 ,1.72
(1.2)3, (1.25)3
5.251, 5.261, 5.262
0.53, 30.5 , log3 0.5
解：（1）∵
y
1
x2
在[0,
)
上是增函数，1.5
5
5
（5） m 1
变式训练：已知函数 f x m2 m ，当 xm22m3 m 为何值
时， f x在第一象限内它的图像是上升曲线。
简解： 解得： m2 m 0 m2 2m 3 0
m , 1
3,
小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或
Where there is a will,there is a way.
2，1 4
，
在幂函数 g(x) 的图象上．问当 x 为何值时有：（１）
；（２） ；（３） ． f (x) g(x)
f (x) g(x)
f (x) g(x)
Where there is a will,there is a way.
3
幂函数图象及其性质
变式：已知幂函数 f(x)=x m22m3（m∈Z）为偶函数， 且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函
，y=x-1
方法：可画出
x=x0；
当 x0>1 时，按交点的高低，从高到低依次为 y=x3，
y=x2，
y=x，
y
x
1 2
，
y=x-1；
当 0<x0<1 时，按交点的高低，从高到低依次为
y=x-1，
y
x
1 2
，y=x，
y=x2，y=x3
。
Where there is a will,there is a way.