第6章 弹性分析预测法
六章市场需求的测量与预测
市场试验法
●多用于投资大、风险高和有新奇特色产品的预测。
时间序列分析法
●即把某种经济统计指标的数值，按时间先后顺序排成序 列，再将此序列数值的变化加以延伸，进行推算，预测未 来发展趋势。
●这种方法的根据是： ⒈过去的统计数据之间存在着一定的关系，而且这种关系
利用统计方法可以揭示出来； ⒉过去的销售状况对未来的销售趋势有绝对的影响，销售
5%
潜在市场
市场需求［1］
●某一产品的市场总需求，是指在一定的营销努力水平 下，一定时期内在特定地区、特定营销环境中，特定顾 客群体可能购买的该种产品总量。
市场需求
市场需求对产品价格、产品改进、促销和分销 等一般都表现出某种程度的弹性。
其影响力可以分为四个层次: ⑴市场营销支出水平； ⑵市场营销组合； ⑶市场营销配置； ⑷市场营销效率。
优点： ⑴预测过程迅速，成本较低； ⑵在预测过程中，各种不同观点都可以表达并加以调
和； ⑶如果缺乏基本数据，可以运用这些方法加以弥补； 缺点： ⑴专家意见法未必能反应客观现实； ⑵责任较为分散，估计值的权数相同； ⑶一般仅适用于总额的预测，而用于区域、顾客群、
产品大类等的预测时，可靠性较差。
德尔菲法及其特点
德尔菲法是在二十世纪60年代由美国兰德 （RAND）公司首创和使用的一种特殊的调 查方法，在西方非常流行。德尔菲是古西腊 的一个地名，因阿波罗神殿而闻名。由于传 说中的阿波罗有着非凡的预测未来的能力， 故德尔菲成了预言家的代名词。
德尔菲法是指按规定的程序，采用函询的方式， 依靠分布在各地的专家小组背对背地作出判断 分析，经过反复征询使不同意见趋于一致得到 调查结果。
意识到，就公司的长期生存能力而言，肯德基重新进行形象定位是至关重要的， 因为家庭是快餐行业最大且增长最快的一部分消费者。由此，肯德基营销管理 层即刻面临的问题是：如何使公司对英国的母亲们具有足够的吸引力，以及如 何使她们经常购买肯德基的食品作为家庭膳食。所以，英国肯德基面临的两个 主要问题是：①相似的“家庭宴会’是否会吸引英国的母亲们？②“家庭宴会的 推出是否会使肯德基的品牌在英国的整体形象及知名度有所提高？
第6章国际收支调节理论
四、弹性分析理论的评析
2. J曲线效应 “马歇尔—勒纳条件”的实现受到“J曲线效
应”(J Curve Effect)的制约。所谓的J曲线效应 是麦吉(Magee·S)在1973年提出的，它揭示了一国 货币贬值后，贸易收支变动对汇率变动做出反应的 过程或变动的轨迹。实证研究表明，汇率变动存在 着时滞效应(Time Lag)，一般地长期弹性(两年以上 )比短期弹性(0—6个月)要大出近一倍，短期弹性之 和达不到1，而长期弹性之和经常大于1。
二、货币分析理论的评析
1. 渊源： 可以追溯到大卫·休谟的“价格—现金流动机
制”，是休谟理论在现代条件下的新发展。它与休谟 理论的不同之处在于：休谟的分析强调货币流动、相 对价格与国际收支这三者之间的关系，而货币分析理 论则更多地强调货币供求对国际收支的直接影响。 2. 特点： 这一理论强调国际收支是基本的货币现象，它并不 强调贬值的作用，认为货币贬值对国际收支中有暂时 的有利影响。
一、货币分析理论的基本内容
货币分析理论认为，国际收支本质上是一种货币现 象，国际收支的不平衡，本质上是货币供求的不平衡： 一国对货币的需求大于供给，其结果就会导致该国国 际收支出现顺差；对货币的需求小于货币的供给，结 果就会导致国际收支逆差；对货币的需求与货币供给 处于平衡状态，就会使国际收支平衡。货币分析理论 认为，一国对货币的需求属于存量需求，国际收支的 不平衡意味着货币供求双方存量的失衡，但经济本身 具有最终自动纠正这种不均衡的作用，而传统的调节 手段，只有当它们消除了货币供求存量不均衡时才能 成功。
一、货币分析理论的基本内容
一国的货币供给有两个来源：第一个来源是国内 银行体系创造的信用；第二个来源是国际收支中由 经常项目顺差和资本项目顺差所形成的国外资金的 流入。 因此对货币的需求只能从这两个方面得到满足
第二章 经验预测法和弹性预测法
xk + xk x 下四 = x 下四
2 2
+1
2 = x k + 1 L n = 2 k ， k 为奇数；
2
L n = 2 k + 1， k 为偶数；
xk + xk x 下四 =
2 2
+1
2
L n = 2 k ， k 为偶数。
吔专家答数中的最大值与最小值之差称为 全距，表示调查结果的最大变动幅度， 全距，表示调查结果的最大变动幅度，是 各专家之间看法的分散程度的一种量度。 各专家之间看法的分散程度的一种量度。 用四分位点法描述专家们的调查结果， 中位数表示其期望值，下四分位数表示调 查期望值区间的下限，上四分位点则表示 其上限。 经几轮函询，若四分位数区间逐渐趋小， 则说明专家意见逐渐趋于一致。
作业（ ）（德尔菲法的应用）： ）（德尔菲法的应用 作业（3）（德尔菲法的应用）：
某地区商业集团公司拟增设销售网点，扩大经营范围。为了保证 这项决策的正确性，采用德尔菲法 德尔菲法对未来3年内当地社会消费品零 德尔菲法 售额进行预测。具体作法是： 第一，选择有关方面的专家11人，其中包括对市场商情有研究的 高等学校教授、研究单位的研究人员、政府部门的经济管理干部、 以及有丰富销售经验的经理。 第二，把该地区五年来的社会消费品零售额、人口总数、国内生 产总值以及居民货币收入等资料作为背景材料与调查表一起寄给 各位专家，请他们按0.2，0.6，0.2三个概率值分别作最低销售额、 最可能销售额和最高销售额三种情况的预测。 第三，进行三轮函询调查，其调查表1见下。求每轮函询后，预测 者对专家预测结果计算的中位数、四分位数？今后3年该地区社会 消费品零售额的预测值？
专家：是对所要预测的问题具有一定的专门知识， 专家 而且具有较高的理论水平或具有丰富实践经验、 能为解决预测问题提供某些较为深刻见解的人员。 可以是教授、研究员、工程师、经理、厂长，也 可以是工人、购销人员。 专家判断预测方法主要包括：专家个人判断法； 专家判断预测方法主要包括 专家会议法；德尔菲法。这里主要介绍德尔菲法。
初级经济师-运输经济-第六章货物运输需求
初级经济师-运输经济-第六章货物运输需求［单选题］1.构成现实货物运输需求的必备条件是OOA.运输供给者具有足够的运输产品和货主具有足够的购买能力B.货主具有实现货物位移的愿望并具有购买运（江南博哥）输产品的能力C.货主具有实现货物位移的愿望和运输供给者具有满足需求的能力D.货主具有实现货物位移的愿望和运输供给者具有提供运输服务的愿望正确答案：B参考解析：货物运输需求简称货运需求，是指针对某种货物运输服务，在一定的时间内，对于每一种可能的价格，消费者愿意购买并能够支付的货物位移服务数量。
货运需求必须具备两个条件，即具有实现货物位移的愿望和具备支付能力，缺少任一条件，都不能构成现实的货运需求。
［单选题］2.上海市有许多大型钢铁生产企业，需要通过铁路、水路运输大量运入铁矿石。
产生这种货物运输需求的原因是OOA.地区间商品品种和质量性能的差异B.生产力布局与消费群体的空间分离C.生产力布局与资源产地相分离D.地区间商品品种和价格上的差异正确答案：C参考解析：货物运输需求的产生有以下几个方面的原因：①自然资源地区分布不均衡，生产力布局与资源产地相分离；②生产力布局与消费群体的空间分离；③地区间商品品种、质量性能、价格上的差异。
题中，上海地区不生产铁矿石，但是冶炼技术先进，从外地运输原材料到上海生产，属于自然资源分布不均衡且生产力布局与资源产地相分离。
［单选题］3.货物运输需求的不平衡主要是指O的不平衡。
A.运量上和时间上B.方向上和运量上C.时间和空间方向上D.运距上和时间上正确答案：C参考解析：货物运输需求在时间和空间方向上往往存在不平衡性：①时间上的不平衡主要起因于农业生产的季节性，贸易活动的淡季、旺季等；②空间方向上的不平衡主要起因于资源分布、生产力布局、地区经济发展水平、运输网络布局等，如盛产煤炭的地方多为煤炭运输需求的起始地。
［单选题］4.货物运输需求与商品经济条件下的一般商品需求相比有其特殊性，下列属于其特殊性表现的是OOA.广泛性B.均衡性C.不可逆性D.互补性正确答案：A参考解京货物运输需求是交通运输需求中的一种类型，是一种服务需求。
第6章 趋势外推预测法讲解
【例6-1】 经测量某人从出生到成年之间的体重，得到年 龄与体重的数据如表6-1所示，试建立其关系。
年龄 （周岁）
0
0.5
1
体重 （千克）
3.5
5
6
3 6 8 12 15 18 9 14 20 26 40 60
x=[0 0.5 1 3 6 8 12 15 18]'; y=[3.5 5 6 9 14 18 26 40 60]'; p=polyfit(x,y,2) Y=polyval(p,x) plot(x,y,'o',x,Y) xlabel('年龄') ylabel('体重')
i 1
i 1
i 1
即得估计式为
aˆ
1 n
n i 1
yi
bˆ 1 n
n i 1
xi
n
n
n
n xi yi xi yi
bˆ
i 1 n
i1 i1 n
n xi2 ( xi )2
i 1
i 1
或得
bˆ
xi x xi
yi x 2
否则结果相反 .
首页
4）回归系数的显著性检验(t检验)
t检验是对回归系数是否显著性的一种假设检验。
n
ˆ1
(xi x )2
T
i 1
Q /(n 2)
当 | T | t1 (n 2) ，拒绝原假设H0 : 1 0，接受备选假设 H1 : 1 0 2
即 1 与0有显著性区别，所对应的变量x对y的影响不容忽视 即x作为y的解释变量，其线性关系是显著的；
首页
第六章橡胶弹性知识讲解
dU=TdS+fdl
f
(
U l
) T, V
T
(
S l
)
T,
V
等温等容条件的热力学方程：
f ( U ) T ( S )
l T,V
l T,V
物理意义:
橡胶的张力是由于变形时，内能发生变化 和熵变化而引起的。
f (U ) T (S )
l T, V
l T, V
将
(
S l
) T, V
变为容易测得的物理量
λ2
Z
λ3
第i个网链第i个网链变形前的构 象熵
Siu C ki2(xi2 yi2 zi2 )
Y
变形后的构象熵
Sid C ki2(12xi2 22yi2 23zi2 )
(xi,yi,zi) (λ1xi,λ2yi,λ3zi)
X
第i个网链变形前后的熵变
Si Sid Siu ki2[(12 -1)xi2 (22 -1)yi2 (32 -1)zi2 ]
3.温度升高，模量增加。 4.形变时有明显的热效应。 5.形变具有时间依赖性（称为力学松弛）。
6.2 橡胶的热力学分析
热力学体系： 橡皮试样 环境： 外力（单轴拉伸） 依据： 热力学第一定律dU＝dQ+dW
热力学第二定律dQ＝TdS
dU=dQ+dW
dQ=TdS
dW=fdl-pdV
dU=TdS+fdl-pdV, dV≈0 ，
第6章 橡胶弹性
6.1描述力学行为的基本物理量 6.2橡胶弹性的热力学分析 6.3橡胶弹性的统计理论
6.1 材料力学基本物理量 （理解）
应变
材料受到外力作用，它的几何形状发生变化，这 种变化叫应变。 附加内力 材料发生宏观形变时，使原子间或分子间产生附 加内应力来抵抗外力，附加内力与外力大小相等， 方向相反。 应力 单位面积上的附加内力为应力，单位Pa。
第6章 橡胶弹性
6．2 橡胶弹性的热力学分析
T>Tg高聚物处于高弹性
高聚物高弹性的特点：
• 弹性模量 E 很小；形变ε 很大；可逆 • 弹性模量 E 随温度↑而↑
• 弹性形变的过程是一个松弛过程形变总是随着时间逐渐发展的 即形变 需要一定的时间
橡胶高弹性的分子机制
• 温度提高——高弹模量增大 * 温度 分子热运动激烈 对于可逆过程：弹性回缩的作用力 即维持相同形变所需的作用力 则 高弹性模量E
• 松弛特性 链段运动单元比小分子大， 所以其运动受到的阻碍较大 运动需要时间较长——松弛特性
• 高弹形变的热效应 原因——高弹形变的本质——熵弹性
• 式(6—28)、式(6—29)均称为交联橡胶的状态方程。
交联网的状态方程
（应力~应变关系）
橡胶状态方程 (应力~应变关系)
状态方程的偏差及其修正
• λ＜1.5时（小变形）实验与理论相吻合
2 1 e2 1 2e 3e 2 4e3 1 2e
代入状态方程得： σ= 3N1KTε σ ∝ε 符合虎克定律
橡胶交联网形变过程的熵变
理想交联网模型：
• 两交联点之间的网链符合高斯链的特征， 其末端距符合高斯分布
• 交联点无规分布 • 网链的构象熵具有加和性，即交联网的构象熵
为各网链构象熵之和 • 交联网的形变符合“仿射”形变的假设
橡胶交联网形变过程的熵变
形变过程：
1×1×1=1 λ 1×λ 2×λ 3 =1 (λ =l/l0)
•
④形变时有明显的热效应。当把橡胶试样快速拉伸(绝热过程)，温
度升高(放热)；回缩时，温度降低(吸热)。而金属材料与此相反。
管理学第6章 预测与决策
6.1.1预测的含义与分类
1.预测的含义
预测（Forecasting）是根据过去和现在的已知因素，对研究对象的未来状态，运用知识、经验和科学方法，进行估计和推测，即由过去和现在推测未来，由已知推测未知。这一概念包括两方面的含义：一是根据过去已有的相关历史资料和现在的实际情况，运用科学的理论和方法去分析、推测未来可能出现的情况；二是对已知事件的未来趋势做出估计。这一估计是以对过去的观察和对这种观察可能做出的理论解释以及这一解释在将来继续生效的假设为根据的。预测反映的是主观对客观的认识，是为计划、决策服务的。预测是计划、决策的基础，预测质量直接影响计划、决策的科学性。
一般来说时间范围的长短要能保证预测质量即在表61预测内容与预测用途的比较预测种类预测内容预测用途经济预测宏观经济预测最终产品的社会需要量非生产性的社会需求在生产的社会条件财政税收信贷储蓄等的变动国民生产总值国民收入社会总需求劳动力的需求与供给等等为制定国民经济规划经济计划和经济政策提供依据与参考微观经济预测产品销售市场物资供给市场人力资源市场同行业竞争趋势企业核心竞争力产品市场寿命周期等等为企业制定计划决策服务技术预测经济发展趋势替代技术发展趋势技术市场寿命周期技术创新速度产品换代速度等等为企业制定计划服务社会和政治预测生态环境变化环境保护及环境污染状况人口增长家庭结构变化生活消费结构变化个人理财变化趋势教育需求宗教信仰价值观道德观变化等等为政府企业计划决策服务计划时间点上所预测的事件能够影响优化行为选择或者换句话说预测要能够在计划这一时间点上对行为选择的排列顺序产生影响
20世纪70年代，健康运动市场蓬勃兴起，其中成长最快的细分市场是慢跑。据统计，到1980年有2500万～3000万美国人加入慢跑运动，还有1000万人是为了休闲而穿跑鞋。尽管如此，为了保护其在竞技市场中的传统地位，阿迪达斯并没有大规模地进入慢跑市场。
管理会计第六章 全面预算
按照预算期可预见的各种业务量水平，编制能够适应不同业务
量预算的方法。按弹性预算方法编制的预算不再是只适应一个
业务量水平的一个预算，而是能够随业务量水平的变动作机动
调整的一组预算。
24
（2）特点：扩大了预算适用范围，便于预算指标调整；便于考 评实际业绩。 （3）适用：所有与业务量有关的预算。如：成本、费用、利润
财务预算是指反映企业预算期现金收支、经营成果和
财务状况的各项预算，主要包括现金预算、预计利 润表和预计资产负债表。
6
企业的全面预算是以战略目标为出 发点，以市场预测为依据，以销售预算 为主导，再进行生产、成本费用和现金 收支等方面预算，预计的财务报表是整 个预算的终结。
从三大类预算看，业务预算和专门
(二）生产预算 重点
生产预算是全面预算体系中唯一不使用价值计量单位的预 算，它应根据预算期的销售量并按产品品种分别编制。
预计生产量=预计销售量+ 预计期末存货量 - 预计期初存货量
(三）直接材料预算
直接材料预算应在生产预算的基础上编制。 9
例题 1：某企业 2002 年度销售收入及预计现金收入计算表 单位：元
项目 销售收入
-：变动销售成本 变动性销售费用
贡献边际 -：固定性制造费用
固定性销售费用 全部管理费用
全部财务费用 利润总额 -： 所 得 税 （ 33% ） 净利润
某年度的预计利润表 金额
资料来源 销售预算 成本预算 销售及管理费用预算
制造费用预算 销售及管理费用预算 销售及管理费用预算
21
(十一）预计资产负债表
105
195
155
190
接 单位产品材料用量
10
10
姜波克《国际金融新编》第6版考研章节题库(国际收支和国际收支平衡表)【圣才出品】
5．国际收支自动调节 答：国际收支自动调节是指由国际收支失衡引起的国内经济变量变动对国际收支的自动 调节作用。在纯粹的自由经济中有货币-价格机制、收入机制及利率机制等国际收支自动调 节机制。 ①货币-价格机制（Money-price Mechanism），也称“价格-现金流动机制”，其描述 的是国内货币供给存量与一般物价水平变动以及相对价格水平变动对国际收支的影响。当一 国处于逆差状态时，对外支付大于收入，货币外流，物价下降，本国汇率也下降，由此导致
7．国际收支失衡 答：国际收支失衡也称“国际收支不平衡”，是指一国在一定时期内由于某种原因国际 收支所发生的顺差与逆差现象。国际收支失衡的主要原因可分为五类：①周期性不平衡，即 由于各国经济周期的国际传播引起的国际收支不平衡；②货币性不平衡，即由货币供给引起 的价格、利率或汇率的变动而引起的国际收支不平衡；③结构性不平衡，即由一国内部产业 结构与国际分工结构、国际需求结构失调引起的国际收支不平衡；④季节性和偶然性不平衡， 即由进出口的季节性、洪水和地震等自然灾害原因引起的国际收支不平衡；⑤外汇投机和资 本外逃造成的失衡。 国际收支失衡如果表现为顺差形式，外汇储备就增加，对外支付能力也增强；如果表现 为逆差，则会对本国经济产生不利影响。因此，各国对国际收支失衡特别是逆差尤为重视， 并采取一系列措施加以调节，以使之趋于平衡。
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本国出口商品的价格绝对或相对下降，从而出口增加，进口减少，贸易收入得到改善。国际 收支顺差的自动调节情况正好相反。
②收入机制（Income Mechanism）的调节作用表现为：当国际收支逆差时，表明国 民收入下降。国民收入下降引起社会总需求下降，从而进口需求也下降，进而改善贸易收支， 反之则反。
动量守恒实验：弹性和非弹性碰撞的观察
汇报人：XX
2024年X月
第1章 简介 第2章 弹性碰撞实验 第3章 非弹性碰撞实验 第4章 实验误差分析 第5章 拓展应用 第6章 总结
目录
● 01
第一章 简介
动量守恒实验简 介
动量守恒定律是物理 学中非常重要的基本 原理之一，影响着整 个物理世界的运动规 律。在实验中，我们 将观察弹性碰撞和非 弹性碰撞的区别，从 而更好地理解动量守 恒定律的实际应用。 实验的目的是通过测 量和计算，验证动量
总结
弹性碰撞实验是深入学习动量守恒定律的重要实 践。通过仔细设计实验步骤、认真处理数据，我 们能够全面理解动量守恒定律的实际应用。不断 探索实验中的挑战，可以帮助我们提升实验技巧 和科学思维能力。
● 03
第3章 非弹性碰撞实验
实验准备工作
在进行非弹性碰撞实 验前，需要进行一些 准备工作。首先，要 确保实验器材处于正 常状态，没有损坏或 松动的部分。其次， 需要确定小车的初始 速度，这将对实验结 果产生影响。最后， 要设置好实验参数， 例如碰撞物体的性质
动量的定义和计算方法
动量的定义
动量是物体运动状态的量 度，定义为物体的质量乘 以速度。
动量的方向和大小
动量的计算方法
动量与物体运动方向一致， 大小取决于物体质量和速 度的乘积。
动量的计算公式为pmv， 其中p为动量，m为质量， v为速度。
实验器材及原理
实验器材
弹簧、小车、测 量仪器
实验设置
记录数据，校准 仪器
题中。
进一步思考
对动量守恒定律 的深入思考可以 引导我们更好地 理解物体间的相 互影响，为未来 的研究提供指导。
意义和应用
第6章刚体力学基础物体的弹性
第6章 刚体力学基础 物体的弹性质点（particle ）是一个忽略了物体形状和大小的理想模型．它遵循质点力学的规律即牛顿运动规律．然而，一个实际物体是有一定形状和大小的，而且在力的作用下会发生形变．如果撤去作用力，能恢复原状态的物体称为弹性体，否则称为塑性体．如果在力的作用下，产生的形变极其微小，从而可以被忽略不计，这样的物体称为刚体（rigid body ）．刚体可以看成是由彼此间距离不变的大量质点组成的有一定形状和大小的物体．如果实际物体在受到力的作用时其形变很小，则可以把它近似看成刚体．因此，刚体也是一个理想模型．本章主要研究刚体作定轴转动所遵循的力学规律．首先导出刚体定轴转动定律，然后讨论力矩对空间的累积作用即刚体定轴转动动能定理，以及力矩对时间的累积作用即角动量定理和角动量守恒定律，最后将简单介绍物体的弹性．6.1 刚体的转动6.1.1 刚体的平动和转动刚体的运动可以分为平动（translation ）和转动，它们是刚体的两种最简单也是最基本的运动形式．刚体的任何复杂运动都可以看作是这两种运动的合成．1．平动如图6-1所示，刚体在运动过程中，组成刚体的所有质点都沿平行路径运动，即连接刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行，这种运动称为平动．如活塞的运动、电梯的升降等．刚体在作平动时，组成刚体的各质点的运动是完全相同的．因此，我们可以用刚体上的一个质点（质元）的运动来替代整个刚体的运动，这就是刚体作平动时，可用质点力学来处理的原因．2. 刚体的定轴转动如果刚体上各个质点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为刚体的转动（rotation ），这条直线称为转轴（rotation axis ）．如果转轴在刚体的运动过程中相对于参照系是静止的，则称为定轴转动（fixed-axis rotation ）．例如旋转式的门窗、钟表指针的运动，离心机的转动等都属于定轴转动．如图6-2所示，溜冰运动员在原地绕自身轴的旋转也可近似看作是定轴转动．不难发现，上述运动的共同特征是转动体上各点均绕固定轴作半径不同的圆周运动． 6.1.2 描述刚体定轴转动的物理量刚体绕固定轴转动时，刚体上所有各质量元都在各自的平面内绕轴作半径不同的圆周运动．这些质元的线量（线速度、线加速度等）各不相同．然而，它们的角速度（angular velocity ）、角加速度（angular acceleration ）等角量却是相同的．因此，类似于圆周运动，我们采用角量图6-2芭蕾舞演员的定轴转动图6-1 刚体的平动同济内部使用来描述刚体的定轴转动．如图6-3所示，在刚体上任选一点P ，P 点离转轴距离为r ．过P 点作垂直于转轴的平面，该平面称为转动平面．P 点在此平面内作圆周运动．以转动平面与转轴的交点O 为原点，在转动平面内建立相对于参考系静止的坐标轴Ox ，这样就可以用角量即角位置（angular position ），角位移（angular displacement ），角速度和角加速度来描述刚体的定轴转动．1. 角位移P 点对O 点的位置矢量（位矢）r 与Ox 轴方向的夹角θ称为角位置．在刚体的转动过程中，θ随时间发生变化，是时间的函数)(t θ．刚体在t ∆时间内转过的角度θ∆称为角位移．一般规定沿逆时针方向的角位移为正，沿顺时针方向的角位移为负．角位移的国际单位是rad （弧度）．2. 角速度我们将角位移对时间的变化率定义为角速度，以ω表示．数学表达式为 tθt θt d d lim0=∆∆=→∆ω 6-1 角速度是矢量，其方向由右手螺旋法则确定．使四指沿着刚体转动的方向弯曲，拇指所指的方向就是角速度矢量的方向，如图6-4所示．在国际单位制中，角速度的单位为1s rad −⋅．3. 角加速度 角加速度是描述角速度对时间变化率的物理量，以β表示．数学表达式为220t d d d d lim t t t θωωβ==∆∆=→∆ 6-2角加速度也是矢量，当ω变大时β与ω同方向，当ω变小时β与ω反方向．在国际单位制中，角加速度单位为2s rad −⋅． 在刚体定轴转动中，角速度、角加速度的方向只有沿转轴的两个方向，所以计算中常作标量处理．6.1.3 角量与线量的关系由图6-5可知，线速度与角速度的关系为 ωθθR tR t R t s t t ==∆∆=∆∆=→∆→∆d d lim lim00v 6-3 线速度方向为P 点的切线方向．当P 点作变速圆周运动时，该点的加速度a 可分解为切向加速度t a 和法向加速度n a ，它们的大小分别为 βωωR tR t R t a ====d d d )(d d d t v 6-4 2222n ωωR RR R a ===v 6-5P 点加速度a 的大小为图6-3 刚体的定轴转动图6-5 角量与线量的关系图6-4 角速度的方向同济内部使用422222n 2t d d ωβ+=+ =+=R R t a a a v v 6-6 方向为tnarctana a =ϕ 6-7例题 6.1 卷扬机转筒的直径为cm 40，在制动的s 1.0内，转筒的运动方程为t t 42+−=θ（SI ）．试求（1）转筒边缘上一点P 的速度． （2）P 点的切向加速度及法向加速度．解 由题意，转筒在制动过程中的角速度和角加速度分别为1s rad 42d d −⋅+−==t tθω 2s rad 2d d −⋅−==tωβ 1s =t 时，1s rad 2.042−⋅=+−=t ω，所以（1）转筒边缘上一点P 的速度为11s m 04.0s rad 0.22m400.−−⋅=⋅×==ωr v （2）P 点的切向加速度及法向加速度分别为 22-t s m 04.0)s rad 2(2m40.0−⋅−=⋅−×==βr a 221-2n s m 80.0)s rad .02(2m04.0(−⋅=⋅×==ωr a 6.2 刚体定轴转动定律 转动惯量用角量描述刚体的定轴转动时，角位置和角速度是描述定轴转动的状态量，而角加速度则是描述定轴转动的状态改变量．那么，刚体运动状态改变的根本原因是什么？其遵循怎样的动力学规律呢？ 6.2.1力矩在外力作用下，一个具有固定轴的静止刚体（比如门或窗），可能发生转动也可能不发生转动．刚体是否转动以及转动的快慢，不仅与外力的大小有关，而且还与力的作用点位置和方向有关．力的大小、方向和作用点位置这三个因素组成了力矩（moment of force ）这一物理量，它是改变刚体转动状态的原因．如图6-6所示，设刚体所受外力F 在转动平面内，作用点为P 点．原点O 到力的作用线的垂直距离为d ，称为力F 对转轴的力臂（moment arm of force ）．力的大小与力臂的乘积，称为力对转轴的力矩，以M 表示，有ϕsin Fr Fd M == 6-8 式中r 为原点O 到力F 作用点P 的位矢大小，ϕ为矢径r 与力F 之间的夹角．图6-6 刚体所受的力矩同济内部使用如果外力不在转动平面内，则必须将外力分解成两个分力．一个是与转轴平行的分力，另一个是在转动平面内的分力．只有在转动平面内的分力才会影响刚体的转动状态．力矩是一个矢量．根据矢量的矢积定义，力矩M 为矢径r 与力F 的矢积，即 F r M ×= 6-9力矩的方向由右手螺旋法则确定：右手的四指由位矢r 的方向（经小于180°的角度）转到力F 的方向，拇指的指向就是力矩M 的方向，即M 的方向垂直于r 与F 组成的平面．力矩的大小则由式6-8给出．在定轴转动中，力矩的方向M 总是沿转轴的方向．因此，在定轴转动中，力矩可作为标量来处理．当有几个力同时作用在刚体上时，这几个力的合力矩就等于这几个力的力矩的代数和．在国际单位制中，力矩的单位为m N ⋅． 6.2.2 刚体定轴转动定律如图6-7所示，在刚体上任取一质元i m ∆，该质元到转轴的距离为i r ．质元所受到的合外力在转动平面内的分力为i F ，质元受到刚体内其它所有质元的合内力在转动平面内的分力为i f ．根据牛顿第二定律，沿运动切向分量的方程为βθϕi i i i i i r m f F ∆=+sin sin上式方程两边分别乘以i r ，可得βθϕ2sin sin i i i i i i i i r m r f r F =+式中，i i i r F ϕsin 是质元所受到的合外力i F 对转轴的力矩．而i i i r f θsin 则为质元所受的合内力i f 对转轴的力矩．由于质元所受的法向分量i i F ϕcos 和i i f θcos 的作用线均通过转轴，对转轴的力矩为零，故不作考虑．对于构成刚体的每一质元，均可列出上述方程，将所有方程相加，可得∑∑∑=+iiii iiii ii i rm r f r F βθϕ2sin sin 6-10式中∑ii i i r F ϕsin 是作用于刚体所有质元上的外力对转轴力矩的代数和，即刚体所受的合外力矩，用M 表示．∑ii i i r f θsin 是整个刚体所受的内力对转轴力矩的代数和．因内力总是成对出现，且等值反向，所以每一对内力矩的代数和均为零，即0sin =∑ii i i r f θ．而上述等式右边的∑ii i r m 2是由刚体本身性质决定的物理量，称为刚体对定轴的转动惯量（moment ofinertia ），以J 表示∑=ii i r m J 26-11于是，式6-10可写成βJ M = 6-12上式表明，对某定轴刚体所受的合外力矩等于刚体对该定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积．这就是刚体定轴转动定律（law of fixed-axis rotation ）．写成矢量形式为βM J = 6-13刚体定轴转动定律表述了力矩对刚体定轴转动的瞬时作用规律．式中力矩M 、转动惯量J 和角加速度β三个物理量都是同一时刻对应的同一个转轴．图6-7 刚体定轴转动定律同济内部使用6.2.3 转动惯量转动惯量是量度刚体转动惯性大小的物理量．由转动定律βJ M =可以看出，当刚体所受的合外力矩一定时，转动惯量J 愈大，则其角加速度β就愈小；反之J 愈小，β就愈大．对于质量连续分布的刚体，式6-10可写成∫∫==VmV r m r J d d 22ρ 6-14式中ρ为物体的质量密度．在国际单位制中，转动惯量的单位为kg ·m 2．在实际工程上，对规则形状刚体的转动惯量常从手册或表中直接查出．表1-1列出了几种常见刚体对特定转轴的转动惯量．表1-1 几种常见刚体的转动惯量例题6-2 有一质量为m ，长为l 的均匀细杆，如图6-8所示．试求对下列转轴的转动惯量． （1）转轴通过杆的质心并与杆垂直． （2）转轴通过杆的一端并与杆垂直．解 （1）如图6-8(a)所示，以杆中心为坐标原点O ，距离原点x 处，取长为x d 的质元m d ，其质量为x x lmm d d d λ==，其中λ为单位长度的质量，称为质量线密度．该质元对通过杆的质心并与杆垂直的转轴的转动惯量为x x x lmx m x J d d d d 222λ=== 图6-8 例题6-2用图(a)(b)内部整个杆对转轴的转动惯量为23222121121d d ml l x x J J l l ====∫∫−λλ （2）如图6-8(b)所示，同理可得整个细杆对通过杆的一端的转动惯量为23023131d ml l x x J l ===∫λλ例题6-3 如图6-9(a)所示，一质量为m 的物体与绕在定滑轮上的轻绳相连，轻绳与定滑轮之间无相对滑动．设定滑轮的质量为0m ，半径为r ，可视为均质圆盘．试求物体m 由静止开始下落的过程中， （1）绳子的张力． （2）物体的加速度．（3）物体下落的速度与时间的关系． 解 用隔离体法对每一物体进行受力分析，如图6-9(b)所示．滑轮顺时针方向转动，故力矩方向垂直页面向里，设此方向为正．根据牛顿第二定律和定轴转动定律，立出方程． 对物体m ： ma T mg =− 对滑轮0m : βr m Tr 2021=由于绳与滑轮之间无相对滑动，滑轮边缘上一点的切向加速度与物体的加速度相等，因此有βr a =联立上述方程组，得绳子的张力和物体的加速度分别为gm m m a gm m mm T 0222+=+=考虑到物体m 作匀加速直线运动，满足at =v ，故得物体下落的速度与时间的关系为gt Mm m+=22v由上述例题的解题过程可知，正确的受力分析是解题的关键．如果系统由刚体和质点共同组成，那么在列方程时，不但要同时应用牛顿运动定律和刚体定轴转动定律，而且还要考虑角量和线量的关系．6.3 刚体定轴转动的动能定理和功能原理6.3.1 刚体的转动动能和势能设刚体作定轴转动，在距离转轴为i r 处取一质元i m ∆．如某一时刻刚体角速度的大小为ω，则质元在该时刻的线速度大小为ωi i r =v ，按动能的定义，质元的动能为222k 2121ωi i i i r m m E i∆=∆=v (a) (b) 受力分析图6-9 例题6-3用图同济内部使用刚体的总动能为其所有质元的动能之和，即22k k )(21ωi i iir m E E i∑∑∆== 其中，2i i ir m ∑∆为刚体的转动惯量J ，所以上式可写为2k 21ωJ E =6-15 上式又称刚体的转动动能．类似分析，刚体重力势能应为刚体所有质元的重力势能之和．取任一质元i m ∆，其相对势能零点的高度为i z ，则刚体重力势能p E 为i i igz m E ∑∆=p刚体质心C 相对势能零点的高度C z 为∑∑∆∆=iiiii Cmz m z且刚体总质量∑∆=ii m m ，所以刚体的重力势能为C mgz E =p 6-16 即刚体的重力势能相当于刚体的质量m 集中在质心C 处的质点的重力势能． 6.3.2 刚体定轴转动的动能定理刚体转动动能的改变与外力矩做功有关，其关系可由转动定律导出．设在外力矩的作用下，刚体绕定轴转动的角速度由1ω变为2ω．在此过程中，相应于刚体转过了微小角位移θd ．此合外力矩所作的元功为ωωθωβd d d d d d d J tJθJ θM W ==== 当刚体从1t 时刻的1θ变化到2t 时刻的2θ时，合外力矩对刚体做的功为21222121d d 2121ωωωωθωωθθJ J J M W −===∫∫ 6-17 上式称为刚体定轴转动的动能定理．表明合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量，反映了力矩对空间的累积效应．6.3.3 刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律如果刚体在定轴转动的过程中除受外力矩外，还受到摩擦力矩和重力矩作用，则按式6-17，有21222121d )(21ωωθθθJ J M M M W −=++=∫非保内保内外 上式中，外M 是指合外力矩．保内M 是指具有保守力性质的内力矩．所谓保守力是指这样一种力，它对物体所做的功与物体运动的路径无关，只与物体的起点和终点的位置有关，如重力、弹性力、静电场力等均属于保守力．非保守力则是指它对物体所做的功与物体运动的路径有关，如摩擦力、爆炸力等属于非保守力．显然，式中非保内M 是指具有非保守力性质的内力矩．若将地球和刚体视为一个系统，重力矩对刚体做功可用重力势能增量的负值来表示，因同济内部使用此上式可写为)21()21(d )(12122221C C mgz J mgz J M M W +−+=+=∫ωωθθθ非保内外 6-18式6-18称为重力场中刚体定轴转动的功能原理．如果外力矩和非保守内力矩不做功或做功之和为零，那么系统的机械能守恒．即 C mgz J +221ω=常量 6-196.4 刚体的角动量定理和角动量守恒定律在合外力矩作用下，刚体绕定轴转动的转动定律βJ M =描述了合外力矩对刚体作用的瞬时效应，现在我们进一步讨论外力矩在一段时间内的累积效应对刚体定轴转动的影响． 6.4.1 刚体对定轴的角动量如图6-10所示，设某一瞬时刚体绕轴转动的角速度为ω．在离轴i r 处取质元i m ∆，该质元在自身转动平面内绕轴作圆周运动．如此时质元的线速度为i v ，则质元对转轴的角动量（angular momentum ）i L 可定义为ωr p r L 2i i i i i i i i r m m ∆=∆×=×=v 6-20 式中i p 称为质元的动量（momentum ）．它是描述物体运动状态的一个物理量，大小为物体质量与速度的乘积，方向沿速度方向．由此可理解，角动量是描述物体转动运动状态的一个物理量．式6-20表示的是刚体上某一质元的角动量，又称质点的角动量．刚体绕定轴的总角动量L 应等于刚体上所有质元对该轴角动量的总和，即 ωL L∆==∑∑ii i i i r m 2 6-21其中∑∆ii i r m 2为刚体的转动惯量J ，因此，刚体对定轴的角动量可写为ωL J = 6-22 上式表明，刚体对定轴的角动量L 等于刚体对该轴的转动惯量J 与角速度ω的乘积，方向和角速度一致，沿转轴的方向，其大小为J ωL = 6-23在国际单位制中，角动量的单位为12s m kg −⋅⋅． 6.4.2 刚体的角动量定理根据刚体角动量的表达式，刚体定轴转动定律可写成 tLt J t JM d d d )(d d d ===ωω 6-24 上式表示，刚体所受的合外力矩等于刚体角动量对时间的变化率．将上式改写为 L t M d d = 6-25 式中t M d 称为合外力矩对刚体的冲量矩（moment of impulse ），它反映了合外力矩对时间的累积效应．若刚体绕定轴转动过程中，合外力矩的作用时间从t 1到t 2，则将式6-25两边积分，得1221d L L t M t t −∫＝ 6-26图6-10 刚体对定轴的角动同济内部使用上式表明，在一段时间内作用在刚体上的合外力的冲量矩等于刚体在该段时间内的角动量的增量，这一结论称为刚体对该定轴的角动量定理（theorem of moment of impulse ）．在国际单位制中，冲量矩的单位为s m N ⋅⋅． 6.4.3 刚体的角动量守恒定律由角动量定理，如果刚体所受的合外力矩0=M ，则有=L 常量 6-26 即刚体的角动量保持不变．这一结论称为刚体对定轴的角动量守恒定律（law of conservation of angular momentum ）．刚体作定轴转动时，若转动惯量J 保持不变，则当刚体所受合外力矩等于零时，刚体将以恒定的角速度ω 绕定轴作匀速转动．如图6-11所示，轮船、飞机、火箭上用作导航定向的回转仪（gyroscope ）就是利用这一原理制成的．若物体上各质元相对于转轴的距离可发生变化，即物体的转动惯量是可变的．在物体所受合外力矩0=M 的情况下，物体绕定轴转动的角动量守恒，按式6-26，=ωJ 常量，ω与J 成反比关系．例如，一人站在能绕竖直轴转动的转台上，两手各握一个哑铃，如图6-12所示．开始时，他的两臂平举张开，在其他人推动下使他连同转台一起以一定的角速度转动．当他收拢双臂时，人和转台的转速将加快．这是因为在人收拢双臂的过程中，整个转动系统的转动惯量J 在变小．由于转动系统没有受到外力矩作用，因此系统的角动量守恒，ωJ 保持不变．当J 变小时，ω 随之增大．类似的例子有很多，如花样滑冰运动员、芭蕾舞演员以及跳水运动员等所做的许多令人叹为观止的优美旋转动作，都是角动量守恒定律的应用实例．例题6-4 一半径为R ，质量为0m 的均匀圆盘可绕垂直轴Oz 转动，角速度为0ω，如图6-13所示．设初始时刻质量为m 的人处于圆盘的中心O 处，求当此人走到圆盘的边缘时，圆盘相对地面的角速度ω．解 对圆盘和人组成的系统，其所受的合外力矩为零，因此系统角动量守恒．按题意，初始时刻系统角动量为020021ωR m L =当此人走到圆盘的边缘时，系统的角动量为ωω22021mR R m L +=因为0L L =，由上述关系可得图6-11 回旋仪图6-12 角动量守恒定律演示 图6-13 例题6-4用图同济内部使用0002ωωmm m +=6.4.4 陀螺的运动一个绕自身对称轴高速旋转的陀螺（top ），轴下端与地面的接触点O 为一定点，如图6-14(a)所示．当陀螺不转动时，由于作用于质心的重力对O 点的重力矩不为零，所以陀螺会因此而倾倒．但当它绕自身对称轴高速旋转时，尽管同样受到重力矩作用却不会倾倒，而是在绕自身对称轴旋转的同时，其对称轴还将绕通过固定点O 的铅直轴Oz 作回转运动．我们把刚体高速自转的同时，其自身对称轴还将绕竖直轴作回旋运动的现象称为旋进（precession ）或称为进动．现在我们用角动量定理来解释陀螺的旋进运动．在图6-14(b)中，设陀螺的质量为m ，对自身轴的转动惯量为J ，若陀螺自旋角速度为ω，则其绕自身轴的自旋角动量L 为ωL J =式中L 的方向沿陀螺自身的对称轴．以陀螺与地面的接触点O 为参考点，陀螺所受重力矩M 为g r M m C ×=其中C r 为陀螺质心位矢．M 的方向指向页面里，与陀螺的自旋角动量L 垂直．因此，重力矩不能改变L 的大小，而只能改变其方向．根据角动量定理，当重力矩作用于陀螺t d 时间后，陀螺自旋角动量L 的增量为t d d M L =L d 的方向与M 方向相同，即自旋角动量L 的方向将水平地转向L L d +方向，并不沿竖直方向向下倾斜．于是，自旋角动量L 在水平面内将连续偏转而形成绕竖直轴的旋进运动，即表现为沿一个圆锥面的转动．由图6-13(b)可以看出，陀螺自旋轴在t d 时间内转过的角度即旋进角为θϕsin d d L L =式中，θ为陀螺的自身轴与圆锥轴线之间的夹角．相应的旋进角速度Ω的大小为θϕsin d d L Mt Ω==6-27 上式说明，旋进角速度与外力矩M 成正比，而与自旋角动量L 成反比，亦即与自旋角速度ω成反比．回转效应有着广泛的应用．例如炮弹在飞行时，受到的空气阻力对其质心的力矩会使炮弹发生翻转．为了防止这种情况的发生，常在炮膛内壁刻有螺旋线（亦称来复线），使炮弹在射出时绕自己的对称轴高速旋转．这样，在空气阻力矩的作用下炮弹在前进中将绕自身的行进方向旋进而不至于翻转，如图6-15所示．(a) (b)图6-14 陀螺的选进图6-15 炮弹的旋进同济内部使用在微观领域，旋进的概念也经常用到．例如，原子中的电子同时参与自旋运动和绕核的运动，都具有角动量．当其处在外磁场中，电子受磁力矩的作用以外磁场方向为轴线作旋进．正是电子的这种旋进运动，导致了物质的抗磁性．地球本身就是一个很大的回转仪，因为地球有自转，又受到太阳及其他星体的引力，因而地球在运动中要旋进．6.5 物体的弹性前面我们研究了刚体的运动规律．然而，实际上真正的刚体是不存在的．任何一个物体在外力作用下，其形状和大小都会发生变化，即产生一定的形变（deformation ）．在物体的弹性限度内，如果撤去外力，物体能恢复原状，这种形变称为弹性形变（elastic deformation ），这样的物体称为弹性体．如果外力过大，物体的形变超出了弹性限度，物体便不能恢复原状，这种形变称为塑性形变（plastic deformation ），这样的物体称为塑性体．研究物体在外力作用下所产生的形变，在工程、生物和医学上都具有重要意义．6.5.1 应变 应力 弹性模量1．正应变和正应力如图6-16所示，设一原长为0l 、截面积为S 的匀质杆，当两端受到拉力F 作用时，杆伸长了l ∆．将杆的伸长量与原长度的比值称为应变（tensile strain ），用ε表示，即00l l l l l ∆=−=ε 6-28 ε是一个没有单位的纯数．当物体受到拉力（压力）时，其内部任一横截面处也会产生拉力（压力），所受拉力（压力）应该均匀分布在横截面上．将单位横截面上所受到的内力称为正应力（张应力）（tensile stress ），用σ表示，即S F =σ 6-29 在国际单位中，正应力的单位为2m N −⋅或Pa （帕斯卡）．根据胡克定律，材料在弹性形变范围内，正应力与正应变成正比．将正应力与正应变的比值称为弹性模量（elastic modulus ）（也称杨氏模量），用Y 表示，即因ε为纯数，所以弹性模量的单位与正应力相同，也为Pa ．杨氏模量只与材料的性质有关，而与外力及物体的形状无关．它反映了材料抵抗线性形变的能力，其量值越大，材料越不容易变形．2．切应变和切应力如图6-17所示，有一立方形物体，底面固定于台面上．现在其上表面施加一个与表面相切的作用力F ，由于物体处于平衡状态，可知在物体的下表面同时出现一个与表面相切，大小相等且方向相反的切向力F ′．设上下两表面的垂直距离为d ，两表面的相对位移为x ∆，则受到上述两个大小相等，方向相反的平行力（剪切力）作用所引起剪切形变的程度，可用切应变（shear strain ）来描述．用γ表示，即图6-16 物体的正应力 图6-17 物体的切应力济内部使用发生剪切形变时，物体中任意一个平行于底面的截面S 将物体分成上下两部分．两部分间具有与外力大小相等的切向内力的作用，使得它们之间也产生相对位移，我们把剪切力F 与截面S 之比称为切应力（shear stress ），用τ表示，即与正应变类似，当物体发生剪切形变时，在一定的弹性限度内，切应力与切应变成正比，我们将切应力与切应变的比值称为切变模量（shear modulus ），用G 表示，即实验表明，大多数金属材料的切变模量约为其杨氏模量的31～21．3. 体应变和体应力如图6-18所示，物体各部分在各个方向上受到同等压强时其体积发生变化而形状不变，我们把体积变化量V ∆与原体积0V 之比称为体应变（volume strain ），用θ表示，即当固体放在静止的液体或气体中时，固体将受到流体静压强的作用．静压强总是垂直于固体表面，且在固体内任一平面都有垂直于该平面的压强作用．这种压强也是一种应力，因此体应力（volume stress ）也可用压强p 表示．实验表明，当物体发生体应变时，在一定的弹性限度内，压强p 与体应变θ成正比，我们将压强与体应变的比值称为体变模量（bulk modulus ），用K 表示，即综上所述，应变是指物体在压力作用下的相对形变，也称为胁变．应力则反映了物体发生形变时其内部的受力情况，表示作用在单位面积上的内力，应力也称为胁强．表1-2给出了一些常见材料的弹性模量． 表1-2 几种常见材料的弹性模量 材料 杨氏模量Y （MPa ） 切变模量G （MPa ） 体变模量K （MPa ） 钢 20080 158 玻璃 7030 36 木材10 10 — 骨 16（拉伸）9（压缩）10 — 图6-18 物体的体应内用。
高分子物理-第六章 橡胶弹性
(1
2M c Mn
)
③ 物理缠结和体积变化修正
❖ 物理缠结的贡献
G
( RT Mc
（) 1 - M c ） Mn
β2 经验参数
❖ 交联橡胶在形变时是要发生体积变化的需要进 行修正。
N1k T (
V V0
1
2
)
④ 仿射变形的修正
❖ 交联网的变形不是仿射变形，特别是在较高的应 变下。
❖ 一般交联点的波动要使模量减小 ❖ 作为一种简单的改正，在式中引入一个小于1的
单位体积的网链数 N0？
设网链的分子量为 Mc
试样密度为ρ
单位体积的网链数：
交联橡胶的状态方程一
R 气体常数
阿佛加德罗常数
K 波尔兹曼常数
N0KT (
1
2 )
NKT
Mc
(
1
2 )
RT
Mc
(
1
2 )
RT
Mc
(
1
2 )
交联橡胶的状态方程二
将拉伸比λ 换算成ε
l
l0
l
l0
△
l
l0
l0
1 1
C2则可作为对统计理论偏差的一种量度。
2(C 1
C 2（)
1)
2
/（
1)
2
2(C 1
C2 )
截距为2 C1 ， 斜率为2 C2。
统计理论
N0KT (
1
2 )
应是一水平线
实验证明，当拉伸比 在1~2之间， Mooney方程更好地描述了橡胶弹 性模量的伸长比依赖性。
1/
Rivlin 理论、Ogden理论等。
3. 仿射形变,形变前后交联点固定在平均位置上， 形变时按与宏观形变相同的比例移动
第八章 弹性分析预测法
=
− 2
ˆ Q = 1350
二、在价格预测中的应用 在经济生活中，企业经常遇到产品在不同的价格时， 有着不同的销售业绩，即在价格P1时的销售量是 Q1，当产品价格为P2时的销售量为Q2。 这时企业面对的问题是，企业应该制定什么样的价 格水平，才能实现企业的经营目标（销售收入最 大化或利润最大化）。
=
y1 − y0 y0 x1 − x0 x
.................................(9 ⋅ 2)
∆ 式中 ∆x，y —分别为函数与自变量的改变量； y 0 , y1 —分别为函数的初值与终值； x0 , x1 —分别为自变量的初值与终值。
2、特点 ⑴弹性总是针对两个相关变而言。
d 2TR = 2 P1Q1ε Q1P1 < 0 2 dX
【例题】
【例题】
习题
1、设某地区洁净牌双缸洗衣机价格为690元时，销 售量为2000台；降价到650元后，销售量为 2500台。试计算该洗衣机需求量的价格弹性， 并阐明其经济意义。
2、已知某化纤布的价格为1.2元每米时，月销量为 10000米，当价格为0.8元每米时，月销量为 16000米，试求其最优的价格是多少？并求最大 销售收入？
三、需求弹性的类别 按弹性绝对值的大小 1、|ε|>1需求富有弹性（弹性充足） 即价格变动百分比小于需求变动百分比，或者说需求量变动 百分比大于价格变动百分比。平缓的曲线 因此需求富有弹性时，降价会带来总收益增加。因此，富有 弹性的商品适合降价。需求富有弹性的商品在日常生活中 常见，如高级小汽车、高档彩电等家用电器，高档服装等 奢侈品和昂贵的享受型劳务等。
第八章 弹性分析预测法
一章需求弹性分析
/
Q1
Q2 2
Q2 Q1
P1 P2
P1
(P2
P1 )
/
P1
2
P2
P2 P1 Q1 Q2 P2
2024/9/28
Q1 Q2 , P1 P2
2
2
A
Q1 Q2
8
线性需求曲线上旳弹性变化
P
C点弹性无穷
C
弹性不小于1
A点弹性为1
2024/9/28
A
弹性不大于1
D点弹性为0
Q D
9
需求曲线旳两种极端情况
2024/9/28
24
替代与互补性商品旳弹性
• 若A和B两种商品为替代关系旳，则
EAB>0
• 若A和B两种商品为互补关系旳，则
EAB<0
• 若A和B两种商品相互独立，则
EAB=0
2024/9/28
25
交叉价格弹性与企业决策
• 问题：为何通用汽车企业要生产五种品牌 （Chevrolet, Pontiac, Buick, Oldsmobile, Cadillac）旳轿车？
210,392.0
2
Wal-Mart Stores
193,295.0
3
General Motors
184,632.0
4
Ford Motor
180,598.0
5
General Electric
129,853.0
6
Citigroup
111,826.0
7
Enron
100,789.0
8
Intl. Business Machines 88,396.0
D D
管理会计第6章(第三版).pptx
五、预算编制的方法
（一）固定预算与弹性预算 固定预算：又称静态预算，是按照预算期
内一种业务量水平编制的预算。 弹性预算：也称动态预算或变动预算，是
在成本性态分析的基础上，依据本量利之间的 关系，充分考虑到预算期内有关指标可能发生 的变化，按照多种业务量水平编制的预算。
（二）增量预算与零基预算 增量预算：以基期收入、成本及费用水平
主要适合公司制企业采用。
四、全面预算的编制程序
（1）自上而下的模式 （2）自下而上的模式 （3）自上而下、自下而上，再自上而下的上 下结合模式
我国财政部对企业全面预算的编制程序，建议 按上下结合的模式进行，具体分为五个步骤：
（1）下达目标 企业董事会或经理办公会根据企业发展战略，在预算
期经济形势预测和决策基础上，一般于每年9月底以前提出 下一年度企业全面预算目标，确定全面预算编制的政策， 由财务预算委员会下达各预算执行单位。
（4）审议批准 企业财务管理部门在有关预算执行单位修正调整的基
础上，编制出预算方案，报财务预算委员会讨论，最终提 交董事会或经理办公会审议批准。
（5）下达执行 企业财务管理部门对董事会或经理办公会审议批准
的年度全面预算，一般在次年3月底以前，分解成一系 列的指标体系，由财务预算委员会逐级下达各预算执行 单位执行。
（2）编制上报 各预算执行单位结合自身特点以及预算的执行条件，
提出详细的本单位预算方案，于10月底前上报企业财务管 理部门。
（3）审查平衡 企业财务部门对各预算执行单位上报的预算方案进行
审查、汇总、提出综合平衡建议。在这个过程中，财务预 算委员会应当进行充分协调，对发现的问题提出初步调整 意见，并反馈给有关预算执行单位予以修正。
管理会计学
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9- 6
Y E Y X X
Y和X取变动前后的最低值。
统计学
专业
Y E Y X X
第一节
弹性的基本概念及其计算
3、对数公式
在 中，令 X 0，取极限，则得到：
ln Y1 ln Y0 ln Y ln X ln X 1 ln X 0
dY Y d ln Y E dX d ln X X
E AB Q A QA PB PB
点弹性：
E AB
9- 13
Q A PB PB Q A
(QA f ( PA , PB ))
【例6】分析某省农民的各种消费品的需求交叉弹性。需求交叉弹 性由2004年至2005年农民家庭调查的截面资料来计算。
食品 食品 衣着 燃料 住房 用品
P0 1 P P0 P (1 ) 1 2 E
Q0 (1 E ) 2
Q1 Q0 Q
例如某种商品需求的价格弹性为 E＝－1.7，该商品现价
P0 ＝10元，年需求量 Q0＝1万件，预计价格订在多少时
销售收入最高。
9- 24
统计学
专业
第三节 弹性分析预测法的应用
【例14】已知某产品在价格为10元时，能销1000个件， 其对应的需求价格弹性值为－2（比例弹性）。如果降价 1元，问对企业是否有利?
b Y a X
bX E Y
b E XY
b
Y a X
E b
bi X i Ei Y
b2 2 bn n
Y b0 b1 X 1 b2 X 2 bn X n
9- 11
Y b0 X X X
b1 1
Ei bi
统计学
专业
第二节 几种常用的比例弹性
一、需求弹性 （一）需求的价格弹性
9- 22
统计学
专业
第三节 弹性分析预测法的应用
即： P P0 X
Q EQ0 X
得到：
R P0 Q0 (1 X EX EX )
2
9- 23
统计学
专业
第三节 弹性分析预测法的应用
E 1 X 2E
由函数的极值原理得，当 ，此时最佳价格为： 销售量为：
时，销售收入最大
弹性的基本概念及其计算
dY X X X E Y f ( X ) dX Y Y Y
如果因变量Y与n个自变量有如下函数关系： Y=f (X1，X2，…，Xn) Y对Xi的点弹性公式为：
Xi Y X i Ei f Xi X i Y Y
9- 9
[例4]1998年至2004年某地区农村居民家庭收入与食品、衣着、燃料 支出如下（均为年人均数）：
9- 25
统计学
专业
结
束
9- 26
－0.02 －0.03 －0.02 －0.04 －0.04
－0.03
说明：弹性系数的计算方法采用点弹性方法，函数 关系式采用扩展的线性支出系统模型。
9- 14
统计学
专业
第二节 几种常用的比例弹性
（三）需求的收入弹性
Q Q E M M
M……消费者的收入； Q……某一种商品的需求量；
二、供给弹性 （一）供给的价格弹性 比例弹性公式：
弹性的基本概念及其计算
因变量变动的百分比 弹性系数 自变量变动的百分比
用符号可表示为：
Y E Y X X
[例1]某种牌号的电冰箱在某市的销售量为 7500台，价格为2800元，现降价为2600元，销 售量为8500台，若以销售量近似代替需求量则 9-电冰箱的需求对价格弹性为多少。 2
统计学
9- 4
统计学
专业
价 格
第一节
弹性的基本概念及其计算
P0
P1
9- 5
Q0
Q1
销售量
统计学
专业
第一节
弹性的基本概念及其计算
Q1 Q0 Q Q1 Q0 Q1 Q P1 P Q 2 E P P1 P0 P1 P Q1 Q0 P1 P0 P 2 2、低点公式
弹性系数
1.26
9- 17
统计学
专业
第二节 几种常用的比例弹性
影响供给价格弹性的因素： 1、生产成本受产量的影响程度。 2、资源的稀缺程度。 3、生产要素用途的可改变性。 4、时间的长短。 （二）供给的收入弹性 比例弹性公式： QS QS E I……代表销售者收入 I 9- 18 I
统计学
专业
第三节 弹性分析预测法的应用
一、预测商品的需求量 【例8】由住户抽样调查得到某地区居民家庭2005年 人均年收入为16800元，液晶电视机需求量为25.68万 台，经测算该地区2005年液晶电视机需求的收入弹 性为1.76，假定以后若干年此弹性系数不变，居民人 均年收入以15％的速度递增，试预测2010年该地区 的液晶电视机需求量。 【例9】某市从台湾进口的水果——莲雾的需求价格 弹性为－1.5，需求量为120吨，现价格下降20％，预 计需求量如何变动？
9- 19
统计学
专业
第三节 弹性分析预测法的应用
二、预测商品的价格 【例10】某市鲜蛋的需求价格弹性为－0.88，2005年 第二、三季度的需求量为1.2万吨，价格为每公斤5元 ，由于2005年第四季度及2006年第一季度鲜蛋生产 处于淡季，市场供应偏紧，需求量只能满足0.9万吨 ，试预测在不采用行政管理手段控制价格的情况下 ，这两个季度的鲜蛋价格可能上涨多少? 【例11】某地区2005年某种农副产品的供应量为12万 吨，价格为4.8元／公斤，供给的价格弹性为1.54。 根据市场调查分析，该产品的需求量仅为10万吨， 供给量大于需求量，据此估计价格将下跌多少? 9- 20
9- 21
统计学
专业
第三节 弹性分析预测法的应用
三、预测商品的最优价格 【例13】假定价格从 P0 变动到 P1 ，需求量从 Q0 变动 到 Q1 ，则价格变动后的销售收入为：
R P1Q1 ( P0 P)(Q0 Q)
P 令： X P0
Q 则需求的价格弹性为： E Q0 X
统计学
专业
第一节
弹性的基本概念及其计算
[例2]某市场苹果销售原价为每斤2.5元，需求量为50 万斤。当价格降为每斤2元时，需求量增至75万斤， 求需求的价格弹性。 [例3]苹果销售价格为每斤2元，需求量为75万斤，当 价格上涨到每斤2.5元，需求量减少到50万斤，求需 求的价格弹性。 （二）弧弹性 1、中点公式
QS QS E P 9- 15 P
QS、P分别代表某种商品的供给量、价格
【例7】某地区几种农副产品的供给价格弹性。农副产品 的供给量用社会收购量来代替，农副产品的价格用收购价 格指数（以1980年为100）来代替。 供给量
粮食 棉花 茶叶 鲜蛋 水产品 肥 猪 （万吨） （万吨） （万吨） （万吨） （万吨） （万头） 6129 261.0 26.2 99.1 239.3 14250 2000年 12092 407.1 48.9 232.4 426.9 18044.5 2005年
1998 收入（元） 食品支出 （元） 衣着支出 （元） 燃料支出 （元） 500.40
1999 535.32
2000 572.88
2001 660.12
2002 748.92
2003 909.96
2004 1012.2
9- 10
统计学
专业
第一节
弹性的基本概念及其计算
几种常见函数的点弹性：
Y a bX
文化服务
衣着 －0.05
燃料 －0.03 －0.05 －0.07 －0.07 －0.03
住房 －0.03 －0.05 －0.03 －0.06 －0.03
用品 －0.03 －0.05 －0.03 －0.06
文化服务
－0.61 －0.36 －0.74 －0.80 －0.32
－0.05 －0.11 －0.12 －0.05
价格指数（以1980年为100）
2000年 2005年
9- 16
粮食 364.6 619.8
棉花 203.6 225.1
茶叶 365.1 521.3
鲜蛋 264.6 510.8
水产品 241.4 686.5
肥 猪 257.5 408.1
统计学
专业
第二节 几种常用的比例弹性
中点公式计算 的结果
粮食 棉花 4.36 茶叶 1.72 鲜蛋 1.27 水产品 0.59 肥 猪 0.52
统计学
专业
第三节 弹性分析预测法的应用
【例12】设已知上海市场香蕉的需求的价格比例弹 性为－1.2，需求量为每月100吨，价格是1.5元/斤。 由于国台办接到台湾有关方面的请求，请求大陆方 面订购一批香蕉，经磋商最后大陆向台湾紧急采购 200吨香蕉。其中20吨调往上海销售。试预测在不采 用行政手段控制价格的情况下，香蕉的价格可能下 降到多少才能达到供需平衡?
Q Q E P P
【例5】某地区2005年商品房的价格提高20％，当年 商品房的销售量下降50％。 决定需求价格弹性大小的因素： 1、替代该种商品的商品数目及替代程度； 2、生活必需品的弹性系数小； 9- 12 3、商品的货币额在收入中所占的份额的大小；
统计学
专业
第二节 几种常用的比例弹性
4、时间的长短。 （二）需求的交叉弹性 比例弹性：
专业
第一节Βιβλιοθήκη 弹性的基本概念及其计算3、弹性系数的等级划分 （1） E 0 ，称之为零弹性。 （2）E ，称之为无穷大弹性。 （3）E ＜1，称之为弱效应弹性。 （4）E ＞1，称之为强效应弹性。
（5）E =1，称之为等效应弹性。 二、弹性系数的计算方法 Y （一）比例弹性 E Y X 9- 3 X