高等数学(同济六版)下册期末总复习

2、直线方程： 1）对称式方程（点向式方程） ：方向向量 s = ( m, n, p ) ，点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L ，则
G
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
⎧ x = x0 + mt ⎪ 2）参数式方程： ⎨ y = y0 + nt ； ⎪ z = z + pt 0 ⎩
Δ
( Δx ) 2 + ( Δy ) 2
⎧ x = x(t ) ⎪ a、 若曲线 Γ 的方程为参数方程： ⎨ y = y (t ) ，点 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Γ ↔ t = t0 ，则 ⎪ z = z (t ) ⎩
切向量为 T = ( x′(t0 ), y′(t0 ), z ′(t0 )) ， 切线方程为
2） 求导法则：对 x 求偏导，暂时视 y 为常量；对 y 求偏导，暂时视 x 为常量 3） 复合函数的求导法则（链式法则） ：若 z = f (u , v ) 具有连续偏导数，而 u = g ( x, y ) 与 v = h( x, y ) 都具 有偏导数，则复合函数 z = f [ g ( x, y ), h ( x, y )] 的偏导数为：
by bz b G G ； a&b ⇔ x = = （对应坐标成比例） ax a y az
G G G G a ⊥ b ⇔ a ⋅b = 0 ；
G G a ⋅b G G n cos(a , b ) = G G ； | a || b |
G G G G n G b =| b | cos( a , b ) Prja
2） 方程组的情形： （隐函数求导法）
⎧ F ( x, y, z ) = 0 ⎩ z = z ( x ) dy dz 三元方程组确定两个一元隐函数： ⎨ ⇒ , ⎩G ( x, y, z ) = 0 对x求导 dx dx
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⎧ y= y( x) ⎨
四元方程组可确定两个二元隐函数：
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2
二、多元函数的微分学及其应用 （一） 极限（求法与一元函数的类似，洛必达法则除外） ：
( x , y ) → ( x0 , y0 )
Δ
lim
f ( x, y ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0,当0< ( x - x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 <δ 时,有|f ( x, y ) - A |<ε
（二）曲面、空间曲线及其方程
1、 曲面及其方程 Σ : F ( x, y, z ) = 0 ，旋转曲面【绕谁不换谁， 正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕 其轴旋转之】 ，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】 ，二次 曲面【截痕法与伸缩变形法作图】 ；要熟悉常见的曲面及其方程并会作图 2、 空间曲线及其方程：一般方程（面交式） 、参数方程； 3、 曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投 xOy 便消去 z ，其余类似 4、 会作简单立体图形
G
x − x0 y − y0 z − z0 ；法平面方程为 x′(t0 ) ⋅ ( x − x0 ) + y′(t0 ) ⋅ ( y − y0 ) + z ′(t0 ) ⋅ ( z − z0 ) = 0 = = x′(t0 ) y′(t0 ) z ′(t0 )
b、 若曲线 Γ 的方程为： ⎨ 法平面方程．
G
G
x y z + + =1 a b c
1
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4）平面束方程：过直线 ⎨
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 的平面束方程为 ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
注意：1）解题时，要注意偏导数以及导数的写法，并按顺序遍历每一个中间变量 2）其中 f1′ =
∂f (u, v) ∂u u = xy
= fu ( xy, 2 x + 3 y ) ；3） f , f1′ , f11′′ 等都具有相同的中间变量
v =2 x +3 y
2、 隐函数（要诀：两边同时对自变量求导；一个方程确定一个因变量） 1） 一个方程的情形：
2） 曲面的切平面与法线：
a、 若曲面 Σ 的方程为 F ( x, y , z ) = 0 ，点 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Σ ，则 法向量为： n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )) ， 切平面方程为： Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0 ； 法线方程为：
3）一般式方程： ⎨
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
3、面面、线线、线面关系：确定了相应的法向量或方向向量之后，其夹角便转化为向量之间的夹角
G G | n1 ⋅ n2 | G G n 1)面面： cos θ =| cos(n1 , n2 ) |= G G = | n1 || n2 |
G ⎧ y = f ( x) ，点 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Γ ，则切向量为 T = (1, y′( x0 ), z′( x0 )) ，从而可得切线方程与 ⎩ z = g ( x) G ⎧ F ( x, y , z ) = 0 ，点 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Γ ，则切向量为 T = (1, y′( x0 ), z′( x0 )) （利用隐 ⎩G ( x, y, z ) = 0
（三）平面方程与直线方程：
1、平面方程： 1）一般方程： Ax + By + Cz + D = 0 ，其中 n = ( A, B, C ) 为其一法向量． 2）点法式方程：法向量 n = ( A, B, C ) ，点 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Π ，则 A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ． 3）截距式方程：
Fx dy ⎧ ⎪公式法：dx = − F →⎨ 二元方程可确定一个一元隐函数： F ( x, y ) = 0 ⎯⎯⎯ y ⎪隐函数求导法：方程两边对x求导，注意y = ⎩
y= y( x)
y ( x )为x的函数
Fy ⎧ F ∂z ∂z 公式法： =− x, =− ⎪ z = z ( x, y ) dx Fz dy Fz ⎪ 三元方程可确定一个二元隐函数： F ( x, y，z ) = 0 ⇒ ⎨ ⎪隐函数求导法：方程两边对x ( 或y ) 求偏导,注意z = z ( x , y )为x、y的函数 ⎪ ⎩
可用特殊方向法来证极限不存在 （二） 连续性：
Δ
( x , y ) →( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ) = f ( x0 , y0 )
⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0,当 ( x - x0 )2 + ( y − y0 )2 <δ 时,有|f ( x, y ) - f ( x0 , y0 )|<ε
{
F ( x , y ,u , v ) = 0 G ( x , y ,u , v ) = 0
⎧u = u ( x , y ) ⎨ ⎩ v =v ( x , y )
⇒
对x ( 或y ) 求偏导，视y ( 或x )为常量, 得
∂u ∂v , ∂x ∂x
（或 ∂u , ∂v ）
∂y ∂y
（四） 全微分：可微函数 z = f ( x, y ) 的全微分为： dz = z x dx + z y dy . 定义为： Δz[ = f ( x0 + Δx, y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 )] = AΔx + BΔy + o( ρ ) ，其中 ρ = （五） 应用： 1、 几何应用： 1） 曲线的切线与法平面：
（一）向量代数
JJJJ G
பைடு நூலகம்
G
G
G
JJJ G
G
G
G G G a ± b = (ax ± bx , a y ± by , az ± bz ) ； λ a = (λ ax , λ a y , λ az ) （ λ 为数） ； G G G G G G n a ⋅ b =| a | ⋅ | b | cos(a , b ) = ax bx + a y by + az bz ； G G G i j k G G G G G G G G G G G G G G n a × b = ax a y az ， (| a × b |=| a || b | sin(a , b ), a × b ⊥ b , a × b ⊥ a ) ； bx by bz
| A1 A2 + B1 B2 + C1C2 |
A + B12 + C12 A2 2 + B2 2 + C2 2
2 1
；
G G Π1 ⊥ Π 2 ⇔ n1 ⋅ n2 = 0 ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 ；
A B C G G Π1 / / Π（或重合） ⇔ n1 / / n2 ⇔ 1 = 1 = 1 2 A2 B2 C2 G G | s1 ⋅ s2 | | m1m2 + n1n2 + p1 p2 | G G n ； 2)线线： cos θ =| cos( s1 , s2 ) |= G G = | s1 || s2 | m12 + n12 + p12 m2 2 + n2 2 + p2 2 G G L1 ⊥ L2 ⇔ s1 ⋅ s2 = 0 ⇔ m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 ； m n p G G L1 / / L （或重合） ⇔ s1 / / s2 ⇔ 1 = 1 = 1 2 m2 n2 p2 G G | s ⋅n | G G m 3)线面： sin ϕ =| cos( s , n ) |= G G = | s || n | A B C G G L⊥Π⇔ s &n⇔ = = ； m n p