相对论简并电子气
金属中的电子气的理论
金属中的电子气的理论金属中的自由电子并非真正自由，而是要受到金属离子的周期势场的作用，因此一些自由电子理论并不能解释金属的全部性质。
由F。
布洛赫和L。
—N。
布里渊确立的单电子能带论解释了金属导电性与绝缘体和半导体的差别（见能带理论，半导体），并能定量计算金属的结合能,在考虑了金属离子的热运动的影响后，在描述金属的导电和导热等输运过程方面均取得了很大成功。
金属中自由电子之间有很强的相互作用,在低温下考虑了电子通过晶格推动相互耦合就能很好地解释单电子理论无法解释的超导电性。
近年来，研究合金中电子运动规律的合金电子理论也是金属电子论中的重要内容。
一、托马斯-费米近似方法在相互作用强度很大的情况下，相互作用能在系统能量中占主导地位，相比之下,处于基态的系统的粒子由于受到非常强的相互排斥作用，其运动范围受到了限制,因此，动能就会远小于相互作用能。
这时候，哈密顿量中的动能就可以忽略掉,被称为托马斯—费米(Thomas—Fermi）近似。
一维定态GP 方程变为则玻色子的密度分布为同时玻色子密度分布的边界满足，在外势为简谐势的情况我们得到凝聚体的半径为则系统的粒子数为将上式变换一下，得到化学势μ 满足其中单粒子基态的特征半径为边界R 满足化学势u 和边界R 都是随着粒子个数N 和相互作用强度U 1的增加而增加的.在处理多电子原子问题中，、通常采用Hartree-Fook 近似方法比较好，但是计算比较繁复,工作量大,在电子计算机使用以后，可以帮助人们进行大量的计算,减轻人们的负担,但用电子计算机计算有一个缺点，就是计算机只能进行数值计算，而不能解出一般形式，我们希望能找出一个普遍形式,这样对各种具体问题都能适用。
费米模型认为将金属中电子看作限制在边长为a 的立方体盒子中运动。
盒子内部势能为0。
盒外势能为无限大，这样通过解定态薛定谔方程,可得出金属中电子的许多性质，如电子能级，电子的最高能量，电子的平均能量，电子气的压强，电子气的能级密度和磁化率,而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处，可以推出原子核的质量公式，跟实验结果比较符合得很好.对于多电子原子应用如下的近似方法,即托马斯——费米方法，这是一个统计方法。
第七章 费米系统
7.5泡利顺磁性
在磁场中运动的非相对论性电子的哈密顿量为（只考虑顺磁性）：
当电子的μ与H平行或反平行时，电子的能量不同： N个粒子系统的能级为： 这里 记 则
7.6正常费米液体理论（一）
这里我们讨论的是原子热运动的德布罗意波长与液体中原子间距离可相比的情形，这时液体 的宏观性质由量子效应决定。虽然自然界中只有液 才是量子费米液体，但这里的理论 也可用于有相互作用的简并费米系统。 对有相互作用的粒子系来说，最困难的是确定宏观物体(系统)的能级，因此时单粒子能级已 失去意义。但在足够低温度下，我们只需考虑基态附近的弱激发（元激发）。 • 理论的基本出发点：宏观物体的弱激发态是一类有确定的能量ε(p)和动量p的元激发或准 粒子的集合。朗道假定原子间的相互作用是渐进地（绝热地）加入到系统中，此时系统 的能级类型不发生改变。因此从理想费米气体加入相互作用过渡到液体时，改变的只是 气体粒子被元激发所取代，元激发遵守费米统计，且其数目等于原来原子的数目。 费米型准粒子：每个准粒子有确定的动量p。设n(p)是其动量分布函数，我们有归一化条 件 ，但液体的总能量E并不等于各准粒子能量之和，E是n(p)的泛函: 元激发可近似看作一个在其它原子的自洽场中运动的原子(但这里不仅势能会变，动能对 动量的依赖关系也会变)。 • 准粒子的自旋：准粒子的能量也是其自旋算符 的函数。在均匀的各向同性液体里，最 低阶形式为 或 （因为 为赝标量不可能），准粒子能量和自旋算符无关， 且准粒子的能级都是二重简并的（对任何不为1/2的自旋，ε(p)有(2s+1)/2个分支，每个对 应于自旋为1/2的准粒子 ）。这时分布函数算符可写为： 其中α＝1/2, β=-1/2。总粒子数为： 准粒子的能量也是算符，由下式定义：
脉冲星的发现和意义
脉冲星的发现和意义北京大学天文系乌鲁木齐天文站吴鑫基脉冲星的四大发现一，中子星的预言1，中子星的预言：2，脉冲星主要产生于超新星爆发:2，脉冲星主要产生于超新星爆发:磁通量守恒.角动量守恒磁通量守恒.塌缩质量超过1.4太阳质量，形成中子星塌缩质量超过1.4太阳质量，形成中子星3，中子星形成的三个阶段第一步：中子化过程第二步：自由中子发射过程第三步：原子核破裂形成中子流体4，简并电子气和白矮星的形成恒星的热核反应停止，导致塌缩，密度增加，温度上升，原子核外电子全部电离，形成电子气。
根据泡利不相容原理，电子的能量状态是不连续的，只能取某些特定的值。
同一个状态，只能允许一个电子占有。
电子能量从低到高排列，低能态的占满了，就只能到高能态去。
当电子密度很高时，必然有很多电子处在高能态。
具有非常高的速度，因此产生的简并电子气压非常高，可以与引力相抗衡。
形成稳定的白矮星。
当坍缩后的恒星质量超过一定的限度后，密度再加大，简并电子气就变为相对论性的了，就不可能形成稳定的白矮星。
相对论性非相对论性相对论性的物态方程得不到质量--半径关系，如果质量增加，不能通过调整半径使白矮星稳定。
白矮星有一个质量上限：1.44个太阳质量。
超过上限将演化为中子星或者黑洞。
3/5ρ∝P 3/4ρ∝p 白矮星质量上限5，简并中子气和中子星的形成6，中子星在哪里呢？7，蟹状星云能源之谜•8，帕齐尼预言（1967年发现脉冲星之前）“蟹状星云中有一颗中子星，每秒自转多次、具有很强磁场，提供蟹状星云所需的能量。
”勇气：9，休伊什发现蟹状星云中致密源二，1967年发现脉冲星1，剑桥大学的闪烁望远镜zz•2，贝尔和休伊什发现脉冲星休伊什的贡献zzzzz贝尔发现4颗脉冲星zz脉冲星观测发现高潮高潮迭起，但是不见休伊什和贝尔，为什么？射电望远镜不行.PSR 0329+54, P=0.715s来自宇宙天体的声音3，脉冲星就是自转磁中子星（1），脉冲星周期的主要观测特征 • 之一：稳定而短的周期 周期1.5毫秒～8.5秒。
统计力学
统计力学[填空题]1试分别从模型和统计表达式的角度，比较理想气体和光子气体的异同。
参考答案：理想气体物理模型：①粒子的能量描述：②态密度：服从量子相格统计的极限③粒子在态上的分布：服从玻尔兹曼分布光子气体普朗克模型：①粒子的能量描述：玻色粒子，能量服从德布罗意假设：②量子态密度：服从驻波条件③粒子在量子态上的分布：服从玻色分布（光子数不守恒，μ=0，α=0）[填空题]2 N个无相互作用的粒子在边长为L的容器中自由运动，试分别按照量子力学和经典描述方法计算系统的能量介于E～E+δE时，和宏观态（N，E，V）对应的微观态数。
（3N维球体积：，当N>>1时，有）参考答案：经典力学方法：能量为E的等能面所包围的相体积可表示为：[填空题]3计算绝对零度下极端相对论电子气（即ε=pc）的费米能和状态方程P （ρ）。
（P为压强，ρ为能量密度）参考答案：理想电子气体服从费米分布在体积V内，自由电子总数与总能量为：[填空题]4 设有N个独立可识别粒子组成的系统，每个粒子有两个可能状态：一个能量为0的状态，一个能量为ε的状态。
求系统的配分函数、内能和热容量，并证明当温度很高时，；当温度很低时，Cv→0。
参考答案：根据题意，配分函数Z满足可分解性，先求出单个可识别粒子的配分函数：由（3）式讨论极限温度下情况：[填空题]5 对一气体的膨胀系数和压缩系数进行测量的结果，得以下方程：其中α为常数，f（p）只是p的函数。
证明：（1）f（p）=R/p2（2）状态方程为pv=RT-ap/T。
参考答案：[填空题]6 考虑某种理想气体，其分子有平动和振动两种自由度的贡献，平动可看成经典运动，振动为量子力学描述的自由度，每个分子能量为求个分子气体系统的配分函数和定容热容量。
（积分）参考答案：[填空题]7 假定系统由N个相同的独立结点对组成（线性聚合体中有这种情况），每一结点对包括A结点和B结点，A，B结点分别最多只能被一个分子占有，A结点上吸附一个分子时，其能量为-εA ，B结点上吸附一个分子时，其能量为-εB。
天文学考试答案三
天文学考试答案三1、名词解释超导体正确答案：于某些物体，当温度降低到一定程度的时候，电阻值将会降为零，处于这种状2、问答题影响恒星光度的因素有什么？正确答案：恒星的温度和体积。
温度越高，发光能力越大，（江南博哥）则光度越大；体积越大，发光面积越大，则光度越大。
3、问答题研究人类认识宇宙的历史过程？正确答案：人类对宇宙的认识经历了：由近及远、由浅入深、由表及里、由简及繁、由另及整的过程。
4、名词解释第三宇宙速度正确答案：如果我们还想让人造卫星飞出太阳系，到其他星球去旅行，那就必须把速度加大到16．7公里/每秒，这个速度称为“第三宇宙速度”。
5、名词解释共振正确答案：两个周期运动相互同步的现象。
6、名词解释反射望远镜正确答案：利用反射镜将光汇聚到焦点上成像的望远镜系统。
7、问答题什么是引力红移？引起引力红移的原因是什么？什么星具有引力红移的特性？正确答案：引力红移：是爱因斯坦广义相对论的一个推论。
按照广义相对论，在远离引力场的地方观测引力场中的辐射源发射出来的光时，光谱线向红端移动，即同一条原子谱线比没有引力场的情况下，波长变长。
波长红移的大小与辐射源和观测者两处的引力势差成正比。
原因：由于白矮星半径很小，密度很大，引力场很强，光子离开表面克服引力要损失相当的能量，一个光子的能量为hν（h为普朗克常量）与它的频率成正比，能量减少频率就降低，所以波长变长。
此红移不是光源移动引起的多普勒位移，而是引力场引起的红移，所以叫引力红移。
例如，由光谱观测，测出天狼B星的引力红移是89km/s，波江座40的引力红移是23.9km/s白矮星有一个奇异的特性，就是引力红移现象8、单选在温室气体还没有污染环境之前，大气中的二氧化碳含量大约是：（）A．百分之五B．百分之二C．百分之一D．百分之十正确答案：C9、名词解释黄道带正确答案：天球上黄道两边各8度（共宽16度）的一条带。
日、月和主要行星的运行路径都处在黄道带内。
古人为了表示太阳在黄道上的位置。
Einstein场方程的Schwarzschild求解——广义相对论经典算例
Einstein场方程的Schwarzschild求解——广义相对论经典算例陈英明;谭明涛;章志敏【摘要】Einstein场方程是一个难解的非线性二阶微分方程组,其解析求解广泛应用于广义相对论.求解了Einstein场方程的中心对称静态解,即Schwarzschild解,该解对于广义相对论的研究具有一定的指导作用.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(035)004【总页数】3页(P31-33)【关键词】广义相对论;Einstein场方程;Schwarzschild解;黑洞【作者】陈英明;谭明涛;章志敏【作者单位】淮北师范大学物理与电子信息学院,安徽淮北235000;电子科技大学物理电子学院,四川成都610054;吉首大学物理与机电工程学院,湖南吉首416000;淮北师范大学物理与电子信息学院,安徽淮北235000;电子科技大学物理电子学院,四川成都610054【正文语种】中文【中图分类】O412.1广义相对论是相对论性的引力理论[1]，强等效原理[1-2](对于一切自然规律，局域范围内无法区分引力与惯性力)则是广义相对论的基本假设之一.另一个基本假设是广义协变原理[2-3]，即所有的参考系都是平权的，在任意的坐标变换下，一切的物理规律都是协变的.因此，在广义相对论中，坐标系统的选取可以是任意的，习惯上称dx0为坐标时间，dxα(α=1,2,3)为坐标距离.Einstein在20世纪初建立起来的广义相对论使得人们对于引力和时空有了全新的认识，引力理论及其在相关领域的研究获得了空前的发展，不断地涌现新的观念.当人们在研究质量超过中子星临界质量的恒星时，发现简并的中子气体产生的简并压力无法抵抗非常强大的引力作用，从而使得恒星不断收缩，于是出现了由广义相对论所预言的一类由大质量恒星演化而来的特殊天体，即黑洞[2-3].笔者引入黑洞这一重要的概念，研究了在广义相对论中如何通过解析求解Einstein场方程的中心对称静态解.场的中心对称性要求度规或间隔ds在所有与中心等距离点处必须是一样的.当引力场存在时，时空是非Euclid的，因此这个距离不是坐标r.当作坐标变换φ→-φ或ϑ→-ϑ时ds不变；再考虑到静态引力场，t→-t时也有ds不变.于是中心对称静态度规的形式为[1-3]由于坐标的任意性，可以再作如下变换r′=r，ϑ′=ϑ，φ′=φ，t′=t.则略去(1)式中坐标的撇号(即重新标记坐标)，并令A′(r)=e2ν,B′(r)=e2λ,其中ν和λ都是r的函数，进而得到间隔为则协变度规gik的矩阵为相应的逆变度规张量为其中：x0=ct；x1=r；x2=ϑ；x3=φ.由(2)，(3)式可知完整的克里斯多菲符号为因为当i≠k时，总有gik=gik=0，所以容易验算，克里斯多菲符号的64个分量中只有13个分量不为零，其余的51个则均为0，即利用克里斯多菲符号还可以进一步计算里奇张量为将(4)式代入(5)式可知考虑Schwarzschild外部解，即引力源以外的区域，显然有将(7)式代入(6)式可得当r→时，时空是平坦的，黎曼空间度规退化为闵可夫斯基空间度规，从(8)式的微分方程组可以解得度规为相应的线元表示为(9)式即为Schwarzschild的外部解，描述了球对称物体外部的引力场. Schwarzschild外部解有2个奇点：一个是本性奇点r=0，另一个奇点r=rs=GM/c2为Schwarzschild半径.Schwarzschild半径与黑洞密切联系，黑洞为广义相对论的理论预言[1-3]，但是在早期的研究中，研究者认为宇宙中不可能有物体能够达到如此高的密度，即全部的质量M都集中在Schwarzschild半径rs=GM/c2之内.例如，太阳的Schwarzschild半径rs≈3 km，地球的Schwarzschild半径rs≈9 mm.rs是一个球面型界面，界面内外的时空特性完全不同，此界面被称作黑洞的视界.黑洞的认证十分困难，无光线发出，只能采用间接的方式来考察.如：双星系统中有一个是黑洞，则可以利用引力透镜效应来观察. 1974年霍金在考虑量子效应的情况下已证明黑洞也可以存在辐射，缓解了广义相对论与热力学之间的矛盾，同时也揭示了热力学、量子力学[4]与广义相对论之间的一些联系[5].如今，黑洞物理学已经成为宏观世界的引力理论[6]与微观世界的量子理论相互联系的纽带，并向量子力学、热力学、弦理论[7]、统计物理学等学科与广义相对论相互交叉的研究领域发展[1,5,8].【相关文献】[1] 王永久.黑洞物理学[M].长沙:湖南师范大学出版社,2000：1-124.[2] CHANDRASEKHAR S.The Mathematical Theory of Black Holes[M].New York:OxfordUniversity Press,1983:1-97.[3] RUFFINI R，WHEELER J A.Introducing the Black Hole[J].Phys. Today,1971,76(1):30.[4] PERES A，TERNO D R.Quantum Information and Relativity Theory[J].Rev. Mod. Phys.,2004,76:93.[5] 史蒂芬·霍金，罗杰·彭罗斯.时空本性[M].杜欣欣，吴忠超，译.长沙:湖南科学技术出版社,1996：1-113.[6] MISNER C W,THORNE K S，WHEELER J A.Gravitation[M].San Francisco:Freeman,1973：1-89.[7] POLCHINSKI J.String Theory[M].Cambridge:Cambridge University Press,1998:1-45.[8] TEUKOLSKY S A.Rotating Black Holes:Separable Wave Equations for Gravitational Electromagnetic Perturbations[J].Phys. Rev. Lett.,1972(29):1 114.。
钱德拉塞卡极限
广义相对论和宇宙学课程论文钱德拉塞卡极限2012/6/8北京工业大学应用数理学院应用物理系 姓名：聂需辰 学号：09061125钱德拉塞卡极限聂需辰（北京工业大学应用数理学院应用物理系）摘要：根据现代恒星演化理论,白矮星是过去所有不到4倍太阳质量的恒星的演化结果。
电子简并压与白矮星强大的重力平衡，维持着白矮星的稳定。
在1931年钱德拉塞卡（Chandrasekhar）表明,当白矮星质量变大,支持它的重力的电子变成相对论性的,会有一个质量极限，当白矮星质量超过该极限电子简并压将抵抗不住自身的引力而收缩，白矮星会坍缩成密度更高的天体：中子星或黑洞。
这个极限质量是大约1.4倍太阳的质量,被称为钱德拉塞卡极限(以上翻译自文献【1】第一页的摘要)。
本文将讨论钱德拉塞卡极限的发现历史,详细推导出钱德拉塞卡极限，并简要介绍下钱德拉塞卡对科学所作出的巨大贡献。
关键词：白矮星、钱德拉塞卡极限1.引言恒星演化的历史，从诞生到死亡，是抵抗星体自身万有引力的历史。
参考文献【2】,我们可知恒星死亡之后，往往会留下一个致密的残骸。
白矮星就是恒星死亡的产物之一。
人类证认的第一颗白矮星是天狼星的伴星——天狼星B。
20世纪初，通过大量的观测积累，人们认识到天狼星有一颗伴星。
它的质量和太阳相仿，光度却是太阳的万分之一，表面温度比太阳还要高，大约是8000度。
这么高表面温度的天体，辐射主要集中在白色波段，又很暗；剑桥大学著名天文学家爱丁顿教授称它为“白矮星”。
白矮星这么暗，主要是它半径很小，只有地球这么大！白矮星的密度约是水密度的100万倍，这么致密的物质放在天上，引起了当时人们的广泛关注。
爱丁顿认为，在白矮星内部原子核和电子都成为自由粒子，从而使得白矮星半径这么小，物质处于高密状态。
如果认为这些自由粒子像经典理想气体一样提供压强，理论计算发现气体压强不足以抵抗白矮星自身的引力；因此在经典物理的框架内，很难理解白矮星。
这在当时被称为“白矮星之谜”。
浅谈宇宙的演变过程
浅谈宇宙的演变过程[摘要] 能量守恒定律是物理学中最基本的一个定律,本文从能量守恒角度结合相对论和量子力学探讨了宇宙的演变过程。
[关键词] 能量守恒物理学宇宙演变既不会凭空产生,也不会凭空消失,它只能从一种形式转化为别的形式,或者从一个物体转移到别的物体,在转化或转移的过程中其总量不变,这就是能量守恒定律。
从这个定律中可以看出,宇宙中的能量是不变的,只是它的载体(物质)和形态在不断地发生着变化。
宇宙的演变过程,就是能量的不断转化过程,从一种状态转化成另一种状态,并且一直延续下去。
宇宙有没有开始和消亡呢?既然能量不会凭空产生也不会凭空消失,那么宇宙就没开始和消亡。
虽然宇宙没有开始和消亡,但我们所处的宇宙(时间—空间)却存在着一个状态演变的过程。
由于宇宙没有开始和消亡,而是在每一个时间-空间以某种状态存在,在讨论宇宙的演变时,就不能用开始来描述宇宙,为了讨论方便,这里取一个点作为推演的开始,这个点就是“炁”。
在“炁”这个时刻,宇宙中的能量是以基本粒子的状态和形式存在,我们也可以把这种状态称为混沌。
用“时空坐标”表示,处于坐标“原点”。
此时的空间处于无穷大、时间处于无穷小,时空坐标的y轴(空间轴)上的任意点,既是时间的x轴的端点或原点“0”,时间为零态。
基本粒子是运动的,绝对静止是不存在的,但由于空间无穷大,虽然在空间中存在各种力,但这此力错综复杂,彼此作用,还没有形成质子、中子和电子等等更大的粒子。
现在所熟知的力一共有四种:第一种力是引力,这种力是万有的,也就是说,每一粒子都因它的质量或能量而感受到引力。
引力比其他三种力都弱得多。
另一种力是电磁力。
它作用于带电荷的粒子(例如电子和夸克)之间,但不和不带电荷的粒子(例如引力子)相互作用。
它比引力强得多。
第三种力称为弱核力。
它制约着放射性现象,并只作用于自旋为1/2的物质粒子,而对诸如光子、引力子等自旋为0、1或2的粒子不起作用。
第四种力是强作用力。
它将质子和中子中的夸克束缚在一起,并将原子中的质子和中子束缚在一起。
中子星磁场
通常恒星(包括产生中子星的前身星): 20-50 km/s
问题
1. 中子星强磁场(1011-1013 gauss)的起源? 2. 磁星(1014-1015 gauss)的物理本质?
通常认为: 中子星强磁场起源于超新星核心坍缩(磁通量守恒)而形成。 但是:
R B const
2
B(0) 1012
d N ( )
0
d
N ( )
6
(kT ) N ( )
其中
(in )
2 ln ) 2 (0) 2 N ( kT 20 B N ( ){1 (kT ) } B 6 N ( )
d 2 N ( ) N ( ) d 2
能级密度N(ε)
统计物理方法
在外加磁场下,Fermi系统的Pauli顺磁磁矩可以从热力学关系式推求
诱导磁矩:
( in )
ln kT B
ln k , ln(1 exp{ ( k 0 B)}
k ,
N ( ) ln(1 exp{ ( B)}d
4 V 2 N ( )d V 4 k dk 3 p dp h
2
V为体积
lnΞ 的计算
无论对电子气体，或中子气体，都有μ0B <<EF, 可以将lnΞ 中的
ln(1 exp{ ( 0 B)})
按μ0B展开级数，保留前三项。
ln(1 exp{ ( 0 B)}) ln(1 e
4 V 2 N ( )d 3 p dp h 对非相对论(强简并)中子系统
p2 2mn N ( ) V 2 2
1/ 2 1/ 2 (2 m ) m n n 3
第7章致密天体
2013-9-10
钱德拉塞卡极限：白矮星质量上限
假设星体密度是常量。长度为R，截面为单位面积 的圆柱体，所受到的总重力为：
4 r 4 2 1 Pg G 2 dr G R 2 0 3 r 2 2 33 2 2 3 2 Pg G 2 R 2 G 4 3 M 2 3 e 1 X 3 3 4 13
2013-9-10
xkong@
5
电子气体简并压：
Pe
Pe
1 pF 8 pF 3 pvfe ( p)dp 3 p vdp 3 0 3h 0 简并气体 5 3 (8pF ) /(15me h ) (v p/me ) 的压力与 4 3 温度无关 (2 (v ~ c) c pF ) /3h
2013-9-10 xkong@ 6
简并条件
系统中粒子的德布罗意波长大 于or等于粒子之间的平均距离： D
n
13
D h p
1
D D h p f e ( p)dp f e ( p)dp 0 0
h 2me kT1 2 2h 2me kT1 2 n1 3 1 2 D (hc 2kT) (hc 2kT) n1 3 1 相对论情况
M ch 2 M sun e
2013-9-10
5.8
2 1.4 M sun e
xkong@
2
dr
r
R 104 km
M, R
15
Subrahmanyan Chandrasekhar
1910年10月19日—1995年8月15日 印度裔美籍物理学家和天体物理学家 1983年获得诺贝尔物理学奖 钱德拉X射线天文台；小行星 1952～1971年天体物理学杂志主编 1935年皇家天文学会的会议上：一颗质量大的恒 星不会停留在白矮星阶段，我们应该考虑其他的 可能性。 爱丁顿称“荒谬的理论”。还把他论文撕成了两半 世界就是这样结束的，不是伴着一声巨响，而是 伴着一声呜咽。
致密星
g~ρM/R2~ M2/R5
→ 随着质量增大，引力比压力增大得更快 → 白矮星质量上限（Chandrasekhar极限质量） 对He白矮星，Mch≈1.44 M⊙ 对CO白矮星，Mch≈1.4 M⊙
为什么只有小于 ~8M⊙ 的恒星才能形成白矮星?
§3.2 中子星 (neutron stars)
1. 中子星研究简史 1054年中国北宋天文学家发现金牛座客 星（超新星） 《宋史．天文志》： 宋至和元年五月己丑（1054年7月4日）， 客星由天关东方可数寸，岁余稍没。 《宋会要》： 嘉祐元年（1056年）三月，司天監言：客 星没，客去之兆也。初，至和元年（1054 年）五月，晨出東方，守天关，书见如太 白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日。
灯塔效应 强磁场 → 辐射呈束状 倾斜转子 → 辐射周期性扫过 观测者产生脉冲图样
(4) 研究进展
广义相对论验证 1974年R. Hulse和 J. Taylor发现双星射电脉冲星PSR 1913+16（1995年获Nobel物理学奖）。 P = 59 ms，Mtot = 2.8 M⊙ (双中子星)，Porb = 7.75 hr ɺ Porb = −7.6 × 10 −5 syr −1 与广义相对论的预言一致： 双星中子星绕转 →引力波 →能量和角动量损失 →双星轨道收缩
脉冲星
自转磁中子星
脉冲周期 = 自转周期 ← 恒星坍缩时角动量守恒
1 2 辐射能源：中子星转动能 W = IΩ 2
dW ɺ = IΩΩ dt
能损率
dW ~ 4.7×1038 ergs-1 蟹状星云脉冲星 dt
≥蟹状星云辐射功率~1×1038 ergs-1
辐射机制 磁偶极辐射 → 磁场强度 ~ 108-1012 G 快速自转 + 强磁场 → 强电场 → 加速带电粒子 （沿磁力线向外运动） → 曲率辐射 → 高能光子 →e±的产生和湮灭 → 次级光子 → 次级e±的产生和湮灭 →…→射电辐射
中子星强磁场的物理本质解读
第九章、费米气体与费米液体
量子统计王延颋 2015年4月7日9. 费米气体与费米液体9.1. 理想费米气体的一般性质根据量子配分函数，曾经求得理想费米气体的状态方程为()()5/23B 3/23111P f z k T f z v λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (9.1)其中()()()()()()()()1225/25/20113/25/23/21exp 1d ln 1exp 1l l l l l l z z f z xx z x l z f z z f z z l λβμ+∞∞=+∞=⎧==⎪⎪⎪-⎪≡+-=⎨⎪⎪-∂⎪≡=∂⎪⎩∑∑ (9.2)数学上可以求得（证明见杨展如第147—148页）()()()23/21/23/2ln ln 8f z z z π-⎫=++⎪⎭(9.3)在低温和高密度条件下，有1/3vλ<<，此时状态方程的第二式为())33/23/2ln f z z vλ=≈(9.4)把λ的表达式代入上式，从而得到费米能（绝对零度时的化学势）()2/322F 160ln 2T z v mπεμβ⎛⎫≡=== ⎪⎝⎭(9.5)考虑每个单粒子能级有g 重简并，则2/322F 62gv mπε⎛⎫= ⎪⎝⎭(9.6)根据费米—狄拉克分布，在0T →时，()()F F F1lim limexp 110p p p p n βββεεεεεε→∞→∞=-+<⎧=⎨>⎩ (9.7)所以费米能的物理意义是：在绝对零度时，所有粒子从基态开始，依次占据最低能态，直至费米能F ε时止。
在动量空间中，粒子填充一个半径为1/32F 6p gv π⎛⎫== ⎪⎝⎭(9.8)的球，球的表面成为费米球（最简单的费米面）。
高温时由状态方程式(9.1)的第二项可得()()3233/23/22z f z z O z v λ=≈-+ (9.9)由此解得233333/22z O v v v λλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(9.10)因此高温下的化学势2333/211ln ln 2z v v λλμββ-⎛⎫⎛⎫ ⎪=≈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(9.11)以下求理想费米气体在有限低温下的热力学量。
白矮星的结构特点
2 极限质量
由上面的计算知，半径小的白矮星质量大，当半径最小时质量有最大值。现计算白矮星的极限质量。 当白矮星的质量大时半径小， 密度 ρ ≈ 1010 kg/m3， 中心温度 T ≈ 107 K， 而相应的费米温度 TF = 3 × 109 K， 白矮星上的电子气体是高度简并的，可看成是处在绝对零度时的理想费米气体。 dN ［３］（Ｐ２５８） 由 dN/dp 与 p 的关系曲线，可知在 p>pF 处 =０， 考虑到电子的自旋，则有： dp N = ∫ dN = V ⋅
0 pF ! 2 ρ 8πm p 2 8π pF 2 8πpF N ρ 3h3 3 ［４］（Ｐ３５８） = p , p d p = V 由 ρ = µ m 可得 p = ( ) F e p F µe 3h3 h3 ∫0 3h3 V µe 8πm p
［１］（Ｐ３０１）
其中 µe = 压强 Pe =
2
度，因此白矮星的电子气体是高度简并的。电子的运动情况与白矮星的密度有密切关系，质量小的白矮 星平均密度 ρ ≤109kg/m3，简并电子运动远小于光速，是非相对论性的。质量大的白矮星，平均密度超 过 109kg/m3,简并电子的运动速度与光速相当，是相对论性的。因此白矮星内部电子运动的相对论程度取
r
r ［３］（Ｐ２２５） )， 半径为 r 的球的质量为： R
r 4 3 r4 4 3 3r )d r = π r ρ − ρ π = π r ρ c (1 − ) c c ∫0 R 3 R 3 4R R R 4 r 1 M = ∫ ρ ( r )d r = ∫ ρ c (1 − )4 π r 2 d r = ρ c π R 2 又因为 M = πR3 ρ ，因此可得 ρc = 4 ρ ，则： 0 0 3 3 R 4 π r 2 ρ c (1 − 16 3r π r 3 ρ (1 − ) 3 4R 16 3r r G π r 3 ρ (1 − )16 π r 2 ρ (1 − )d r R G M ( r )d m ( r ) 16 2 2 2 13 5 3 4R R R = −∫ = −∫ = −G π ρ 0 0 r r 3 840 3 M 2 16 × 13 × 5 3 GM 2 = − G = − × 1.24 5 R 840 5 R
热力学统计题型统计答案
三维6。
1 试根据式(6。
2.13）证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()()132232d 2d .VD m hπεεεε=解： 式（6。
2.13）给出，在体积3V L =内,在x p 到d ,x x y p p p +到d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为3d d d .x y z Vp p p h（1) 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为234πd .V p p h（2) 上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ,动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而得到的状态数。
自由粒子的能量动量关系为2.2p mε= 因此d .p p p md ε==将上式代入式(2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为()132232π()d 2d .VD m hεεεε= （3）一维 6.2 试证明，对于一维自由粒子,在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()122d d .2L m D h εεεε⎛⎫=⎪⎝⎭解： 根据式（6.2。
14)，一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为d d .xx p h在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向)的量子态数为2d .Lp h(1） 将能量动量关系22p mε= 代入，即得()122d d .2L m D h εεεε⎛⎫=⎪⎝⎭（2） 极端6。
4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为.cp ε=试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数。
解：式（6。
2.16)已给出在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d .V p p hπ （1） 将极端相对论粒子的能量动量关系cp ε=代入，可得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内,极端相对论粒子的量子态数为()()234πd d .VD ch εεεε=（2）二维 6。
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星等系统可以从人的生理学上找 到依据，人对外界刺激的生理反应 是和刺激因素的对数成正比的。 星等和亮度的关系
E2 m1 m2 2.5 lg E1
星等差5等，亮度差100倍 （ 5＝2.5 lg 100）
取零星等的亮度（E）为单位
E0 1 m m0 2.5 lg 2.5 lg E E / E0
现代天文学
（诺贝尔奖天文学奖项回顾） 讲授提纲
第四章 恒星演化和白矮星
1，恒星星等、视亮度和光度
2，恒星的颜色、光谱和温度
3，恒星演化赫罗图 4，白矮星的发现 5，恒星晚期演化 6，白矮星的形成和质量上限 7，行星状星云 8，白矮星的质量上限的争论
1，恒星星等、视亮度 和光度
星等
公元前2世纪古希腊希帕恰斯 首先用肉眼估计了星的亮度 按明暗程度分成等级（6级） 星的亮度越大，星等越小 肉眼能见到的约有6000颗恒星
星际云
有的星际云具有非常大尺度和质量， 直径可达一千光年，十个至一千个太 阳质量。但密度很低，成分主要是氫。 没有干扰时，它们可以千载不变。 但是，来自星系碰撞、星系所產生的 密度波、超新星爆發的激波，或在附 近誕生的恆星的干扰会使它们发生变 化。
星际云和原恒星
在星际云收縮之前，它非常冰冷， 位於赫罗图上一個极右的位置。当 星际云收縮，它会变得越来越热， 而它在赫 ─罗图上的位置亦会向 左移动。原恒星也在赫罗图的右边。
• 天狼星的视星等是-1.45等 距离为2.7秒差距， 绝对星等＋1.5等 • 太阳离我们最近，光辉夺目 它的目视星等达到-26.7等 绝对星等才只有＋4.83等
光度
• 光度单位：尔格/秒
适用于光学，红外、紫外、射电、Χ
及γ 射线波段 • 恒星之间的光度差别非常大
超巨星的光度比太阳强几万倍
天狼星的伴星是一颗白矮星
• 眼睛看起来最为明亮： 1等星 • 看起来比1等星稍暗一些： 2等星 • 再暗一些的：3等星，依此类推 • 眼睛刚能看到的：6等星
恒星的亮度（视亮度）
看起来有多亮？可以精确测量。
恒星在观测点上和视线垂直的平
面上每单位面积所通过的光通量来
表示（照度）。（单位为勒）
1850年，普森注意到，古希腊天 文学家定出的一星等比六等星大约 亮100倍。为此，他规定星等相差5 等，亮度之比精确为100。于是星等 差一等，亮度之比等于 1/ 5 (100) 2.512 亮度差2.512倍
光谱型
光谱型和元素的含量有关，还和恒 星大气的温度压力有关。 根据恒星的温度以及谱线特征，把 恒星分成如下的类别： O型为蓝星 B型为蓝白星 A型为白星 F型为黄白星 G型为黄星 K型为橙红星 M型为红星
恒星的颜色和温度
•蓝光：表面温度绝对温度3万K以上 •蓝白：3万至1万K •纯白：1万至7500K •黄白色：7500至6000K •黄：6000至5000K •红橙：5000到3500K •红：3500至2000K
电离
吸收线
发射线
氢原子能级、发射线、吸收线和电离
太阳光谱
太阳光谱（连续谱、发射线和吸收 线）可给出太阳大气的结构、物理状 态、化学成分以及太阳活动的性质等。
测量天体磁场的方法
塞曼效应：19世纪末物理学家发现在 均匀磁场中，原子辐射产生的某一条 发射谱线要分裂为两条或三条，分裂 程度与磁场强弱有关。天文学家利用 塞曼效应设计出观测太阳和恒星磁场 的设备。太阳是唯一的一颗能给出表 面磁场分布的恒星。
塞曼效应
•电子从高能级跃 到低能级，发射 一定频率的谱线 •有磁场时，能级 分裂导致谱线分 裂 •分裂程度与磁场 强度成正比，因 此可以测磁场
观测到的谱线
3，恒星演化赫罗图
赫罗图
恒星的光度和温度（光谱型）的关系 1，光度高而温度低的巨星和超巨星在 右上角； 2，光度低而温度高的白矮星在左下角 3，90％的恒星在左下自左上到右下的 斜线左右，称左下主序星。
其光度
不到太阳的万分之一
光度和体积、温度的关系
• 恒星的光度由其温度和表面积决定 温度愈高光度愈大 表面积愈大光度也愈大 • 光度大的恒星叫做巨星 光度比巨星更强的叫超巨星 光度小的称为矮星 • 光度大的巨星，体积也大 • 光度小的矮星，体积也小
2，恒星的颜色、光谱 和温度
基尔霍夫光谱的三条定律
（1870年，德国物理学家基尔霍夫发现）
1，炽热的物体发出连续光谱； 2，低压稀薄炽热气体发出某些单独的 明亮谱线； 3，较冷的气体在连续光源前面产生吸 收谱线。
吸收线和发射线
吸收线：在太阳连续光谱的上面 有许许多多的粗细不等、分布不均 的暗黑线，共有2万多条。 发射线：在连续光谱上还有成千 上万条明亮的谱线。
普森公式：
m=-2.5×lg(E/E0)
天文学上的星等和物理学上的 照度有确定的关系。1勒相当于视 m 星等－13.98 。 不再是1～6等了！ 满月-12.7m ；天狼星-1.45m 非常暗的星27m
照相星等
• 用照相底片代替肉眼观测 星光亮度越大 照相底片感光黑度越浓 • 按照相底片上感光强度 定出的星等叫照相星等 • 照相底片对红光不敏感，对蓝光敏感 用照相底片测定星等 红星显得暗，星等大 蓝星显得亮，星等小
原恒星的诞生
弥漫的星际云在引力作用下不断收缩，导 致中心的密度加大，体积缩小。 在收缩过程中，大量物质向中心下落，引 力势能转换为动能，导致温度升高，开始辐 射红外线。高温产生向外的辐射压力逐步增 强与引力相对抗的能力。不再收缩，原恒星 就形成了。
2 mgh=1/2mv
原恒星：发生热核反应之前 主序星：开始热核反应后
绝对星等
• 视星等不是恒星真实发光能力 • 把恒星移到10秒差距(32.6光年)处 再比较它们的亮度（目视星等） 其目视星等叫做绝对星等
E1 r ＝ 2 E 10 (秒差距）
E m （ m 2.5 lg 1 M） E1
视星等和绝对星等的关系
M＝ m＋ 5－ 5lg r
M 绝对星等，m 视星等，r 距离
• 热核反应（聚变）：4个氢原子核聚
变为1个氦原子核，放出能量。（第七 章介绍）
• 热核反应条件：1000万K
如果一个星体的质量小于0.08个太 阳质量，其核心的温度不可能达到 1000万K，也就永远引发不了热核反 应。就像太阳系中的木星一样。 如果星体的质量超过100个太阳质 量，不稳定，要分解。