初几2 斯特瓦尔特定理

设ABC外一点P在其三边BC, CA, AB上的射影 分别为L, M , N , 则P, A, B, C四点共圆的充要条 件是L, M , N共线.
例5
延长凸四边形ABCD的 对边AB与DC，
AD与BC分别相交于E, F，求证：BCE, CDF, ADE, ABF的四个外接圆共点。
7、蝴蝶定理
定ຫໍສະໝຸດ Baidu8
任意三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与 顶点的三条连线的中点，这九点共圆。
证明 设 AD, BE, CF为ABC的高，垂心为H，L、M、N
分别是BC、CA、AB的中点，P、Q、R分别为AH、BH、 CH的中点。
证明
设 AD, BE, CF为ABC的高，垂心为H，L、M、N
分别是BC、CA、AB的中点，P、Q、R分别为AH、BH、 CH的中点。
例4
在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，
在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC 于G，求证 : GAC EAC.
6、西姆松定理
定理6 三角形外一点在三角形外接圆 上的充要条 件是该点在三角形三边 所在直线上的射影共线 。
设ABC外一点P在其三边BC, CA, AB上的射影 分别为L, M , N , 则P, A, B, C四点共圆的充要条 件是L, M , N共线.
2 2
推论：
(1)若AB AC，则AP 2 AB 2 BP PC; 1 1 1 2 2 2 （2）若P为BC中点，则AP AB AC BC 2 ; 2 2 4 （3）若AP平分BAC，则AP 2 AB AC BP PC; （4）若AP平分BAC的外角，则 AP 2 BP PC AB AC.
例3
在 ABC中，AB AC, 点O是外心，两条
高BE, CF交于H点，点M , N分别在线段BH , HF上， 且满足BM CN .求证 : MH NH 3 OH 的充要条件是A 60 .
5、张角定理
定理5 设 B, P, C依次分别为从A点引出的三条 射线AB, AP, AC上的点，线段BP, PC对点A的张 角分别为 , ，且 180 ，则B, P, C共线的 充要条件是 sin( ) sin sin AP AC AB
4、斯特瓦尔特定理
定理4 设 B, P, C依次分别为从A点引出的三条 射线AB, AP, AC上的点，B, P, C共线的充要条件是 2 2 PC 2 BP AP AB AC BP PC BC BC
PC 2 BP AP AB AC BP PC BC BC
9、四心共线定理： 三角形的外心、垂心、 重心、九点圆圆心共 线；且九点圆圆心在 外心与垂心连线的中 点，重心在外心与垂 心的三分点处。
9、四心共线定理： 三角形的外心、垂 心、重心、九点圆圆 心共线；且九点圆圆 心在外心与垂心连线 的中点，重心在外心 与垂心的三分点处。
定理7 设 AB, CD, EF是交于
⊙ O 内一点M的三条
不同的弦，CF , DE交AB于P, Q两点，则M平分AB 的充要条件是M平分PQ。
定理7
设 AB, CD, EF是交于
⊙ O内一点M的三条
不同的弦，CF , DE交AB于P, Q两点，则M平分AB 的充要条件是M平分PQ。
8、九点圆定理