第2章算法效率分析基础
算法设计与分析基础
2023/12/21
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LingJie/GDUT
1.2.6 详细表述该算法的方法
• 可以用到的工具有自然语言（nature
language）、伪代码（pseudocode）以及程序 流程图（flow chart）等。
• 当对一个问题有了概要的理解后，下面的工作
就是把这个问题的想法进行细化。所谓的细化 就是把它们表示成算法的步骤。
令执行顺序以及同步等问题。并行算法的设计 有相应的理论，这里仅考虑串行算法。
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LingJie/GDUT
1.2.3 选择精确或者近似的算法
• 解决问题下一步要考虑的是使用精确的还是近
似的算法。并不是每一个可解的问题都有精确 的算法，例如求一个数的平方根，求非线性方 程的解等。有时候一个问题有精确的解法但是 算法的执行效率很差，例如旅行家问题。因此 如果待处理的问题涉及到上述那些方面，则要 考虑是选择精确的还是近似的算法。
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-- 2* 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
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第一步：找出m的所有质因数。 第二步：找出n的所有质因数。 第三步：从第一步求得的m的质因数分解式和第二步求得的n
的质因数分解式中，找出所有公因数。 第四步：将第三步找到的公因数相乘，结果为所求的
算法-第2章-算法效率分析基础
The Big-O and Related Notations
2.2.7 基本的效率类型
1 log n n n log n n2 n3 2n n! constant logarithmic linear n log n quadratic cubic exponential factorial
思考
2.2.2 符号О
定义1 我们把函数t(n)属于O(g(n)) ，记作t(n) ∈ O(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界由g(n) 的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的常数c和非负 的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， t(n) ≤c g(n)
cg(n)
2.2 渐进符号和基本效率类型
2.2.1 非正式的介绍
O(g(n)) 是增长次数小于等于g(n) (以及其常数倍，n趋 向于无穷大)的函数集合。 n∈O(n2),100n+5∈O(n2), n(n-1) /2 ∈O(n2),n3∈/ O(n2), Ω(g(n))，代表增长次数大于等于g(n)(以及其常数倍,n趋 向于无穷大)的函数集合。 n3∈ Ω(n2)， n(n-1) /2 ∈ Ω(n2)，但是100n+5 ∈/ Ω(n2) Θ(g(n))是增长次数等于g(n) )(以及其常数倍,n趋向于无 穷大)的函数集合。因此，每一个二次方程an2+bn+c在 a>0的情况下都包含在Θ(n2)中，除了无数类似于n2+sin n和n2+log n的函数（你能解释原因吗？）。
t(n) cg(n)
n0之前的情 况无关重要
n n0 符号Ω：t(n)∈Ω(g(n))
2.2.4 符号Θ
定义 3 我们把函数t(n)属于Θ(g(n)) ，记作t(n) ∈Θ(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界和下 界都由g(n)的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的 常数c1，c2和和非负的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， c2g(n) ≤t(n) ≤ c1g(n)
第2章 算法分析基础(《算法设计与分析(第3版)》C++版 王红梅 清华大学出版社)
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2.1.2 算法的渐近分析
常见的时间复杂度：
Ο(1)＜(log2n)＜(n)＜(nlog2n)＜(n2)＜(n3)＜…＜(2n)＜(n!)
多项式时间，易解问题
算
法
指数时间，难解问题
设 计 与
分
析
（
第
时间复杂度是在不同数量级的层面上比较算法
版 ）
清
华
大
学
时间复杂度是一种估算技术（信封背面的技术）
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2.1.2 算法的渐近分析
3
每条语句执行次数之和 = 算法的执行时间 ＝ 每条语句执行时间之和
基本语句的执行次数 for (i = 1; i <= n; i++)
单位时间
算
法
设
计
与
执行次数 × 执行一次的时间
分 析 （
第
for (j = 1; j <= n; j++)
版 ）
x++;
指令系统、编译的代码质量
算法设计：面对一个问题，如何设计一个有效的算法
算
法
设
检
指
验
导
评
计 与 分 析 （ 第 版
改
估
） 清
进
华 大
学
出
版
算法分析：对已设计的算法，如何评价或判断其优劣
社
3
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2.1.1 输入规模与基本语句
如何度量算法的效率呢？
事后统计：将算法实现，测算其时间和空间开销
缺点：（1）编写程序实现算法将花费较多的时间和精力 （2）所得实验结果依赖于计算机的软硬件等环境因素
第2章 算法分析基础ppt课件
最新课件
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1）事前分析
• 目的：试图得出关于算法执行特性的一种形式描 述，以“理论上”衡量算法 “好坏”。
• 如何给出反映算法执行特性的描述？
最直接方法：统计算法中各种运算的执行情况：
算法的数量级从本质上反映了一个算法的执行特性。 例：求解同一问题的三个算法分别具有n, n2 , n3数量级。 若n=10，则可能的执行时间将分别是10，100，1000 个 单位时间——与环境因素无关。
最新课件
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• 计算时间/频率计数的表示函数 通过事前分析给出算法计算时间（频率计数）
的一个函数表示形式，一般记为与输入规模n有关 的函数形式：f(n)
则记作 f(N)=(g,(N))
含义：
• 算法在最好和最坏情况下的计算时间就一个常数因子范 围内而言是相同的。可看作：
既有f(N)=Ω(g(N))，又有f(N)=Ο(g(N))
最新课件
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最新课件
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算法分析方法
• 例：顺序搜索算法
template<class Type> int seqSearch(Type *a, int n, Type k) {
最新课件
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算法的时间复杂性
• （1）最坏情况下的时间复杂性 • Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n } • （2）最好情况下的时间复杂性 • Tmin(n) = min{ T(I) | size(I)=n } • （3）平均情况下的时间复杂性
• Tavg(n) =
p(I)T(I)
算法分析基础
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程序(Program)
• 程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。 • 程序可以不满足算法的有限性的性质。例如操作系统，是一个
在无限循环中执行的程序，因而不是一个算法。 • 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由操作
系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程序得到输 出结果后便终止。
《算法设计技巧与分析》
第1章 算法分析基本概念
曹霑懋 caozhanmao@
Chapter 1 Basic Concepts in Algorithmic Analysis 内容
1.1 Introduction l.2 Historical Background 1.3 Binary Search 1.3.1 Analysis of the binary search algorithm 1.4 Merging Two Sorted Lists 1.5 Selectinn Sort 1.6 Insertion Sort 1.7 Bottom-Up Merge Sorting 1.7.1 Analysis of bottom-up merge sorting
最大搜索次数：满足Floor(n/2j-1)=1 时的ｊ 值
– 即：１n/2j-1 <2 – 也即： 2j-1n <2j
– j-1 log n <j
j=Floor(log n)+1
2020/6/10
华南师范大学 计算
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设随有堂序数练组习：
试搜索x=20, 以及 X =22. 1）拟用什么法？为什么？ 2）试给出用你想要得算法求解的过程。
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华南师范大学 计算
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1. 3 二分搜索及其时间复杂
计算机二级理论知识精华版
第一章数据结构与算法第一节算法一、算法的基本概念所谓算法是指解题方案的准确而完整的描述。
1、算法的基本特征:(1)可行性(2)确定性(3)有穷性(4)拥有足够的情报2、算法的基本要素(1)算法中对数据的运算和操作算术运算，逻辑运算，关系运算，数据传输(2)算法的控制结构：算法中各操作之间的执行顺序称为算法的控制结构。
一个算法可以用顺序、选择、循环三种基本控制结构组合而成。
2、算法设计的基本方法(1)列举法(2)归纳法(3)递推(4)递归(5)减半递推技术二、算法复杂度1、算法的时间复杂度：指执行算法所需要的计算工作量。
用算法在执行过程中所需基本运算的次数来衡量算法的工作量。
方法：平均性态，最坏情况复杂性2、算法的空间复杂度：指执行这个算法所需的内存空间。
第二节数据结构的基本概念一、什么是数据结构数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。
如：(1)春、夏、秋、冬(2)父亲、儿子、女儿(1)数据元素有共同的特征(2)各个元素之间存在着某种关系(联系)。
用前后件关系来描述。
如：夏是秋的前件，秋是夏的后件。
父亲是儿子和女儿的前件儿子和女儿都是父亲的后件1、数据的逻辑结构数据结构是指带有结构的数据元素的集合。
一个数据结构应包含以下两方面的信息：(1)表示数据元素的信息(2)表示各数据元素之间的前后件关系，前后件关系是逻辑关系，与它们在计算机中的存储位置无关。
数据的逻辑结构反映数据元素之间的逻辑关系。
2、数据的存储结构数据的逻辑结构在计算机中的存放形式称为数据的存储结构，也称数据的物理结构。
采用不同的存储结构，数据处理的效率不同。
一般情况下，数据的逻辑结构和存储结构是不同的。
二、数据结构的图形表示每一个数据元素用中间标有元素值的方框表示，称为数据结点，简称结点。
用一条有向线段从前件结点指向后件结点。
父亲丨在数据结构中，没有前件的结点称为根结点，没有后件的结点称为终端结—午—点(也称为叶子结点)。
其他结点一儿子女儿般称为内部结点。
算法设计与分析第二版课后习题解答
算法设计与分析基础课后练习答案算法设计与分析基础课后练习答案习题1.1 4.设计一个计算的算法，n 是任意正整数。
除了赋值和比较运算，该算法只能用到基本的四则运算操作。
能用到基本的四则运算操作。
算法求//输入：一个正整数n 2 //输出：。
step1:a=1；step2:若a*a<n 转step 3，否则输出a ； step3:a=a+1转step 2； 5. a ．用欧几里德算法求gcd （31415，14142）。
b. 用欧几里德算法求gcd （31415，14142）,比检查min ｛m ，n ｝和gcd （m ，n ）间连续整数的算法快多少倍？请估算一下。
a. gcd(31415, 14142) = gcd(14142, 3131) = gcd(3131, 1618) =gcd(1618, 1513) = gcd(1513, 105) = gcd(1513, 105) = gcd(105, 43) =gcd(43, 19) = gcd(19, 5) = gcd(5, 4) = gcd(4, 1) = gcd(1, 0) = 1. b.有a 可知计算gcd （31415，14142）欧几里德算法做了11次除法。
次除法。
连续整数检测算法在14142每次迭代过程中或者做了一次除法，或者两次除法，因此这个算法做除法的次数鉴于1·14142 和 2·14142之间，之间，所以欧几里德算法所以欧几里德算法比此算法快1·14142/11 ≈ 1300 与 2·14142/11 ≈ 2600 倍之间。
倍之间。
6.证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数对每一对正整数m,n 都成立. Hint: 根据除法的定义不难证明: l 如果d 整除u 和v, 那么d 一定能整除u ±v;l 如果d 整除u,那么d 也能够整除u 的任何整数倍ku. 对于任意一对正整数m,n,m,n,若若d 能整除m 和n,n,那么那么d 一定能整除n 和r=m mod n=m-qn n=m-qn；显然，若；显然，若d 能整除n 和r ，也一定能整除m=r+qn 和n 。
算法设计与分析课程设计
算法设计与分析 课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握基本的算法设计原理，包括贪心算法、分治算法、动态规划等，并能够运用这些原理解决实际问题。
2. 使学生了解不同算法的时间复杂度和空间复杂度分析方法，能够评估算法的效率。
3. 引导学生理解算法的优缺点，并能针对具体问题选择合适的算法进行解决。
技能目标：1. 培养学生运用所学算法原理设计解决实际问题的算法，提高编程实现能力。
2. 培养学生通过分析算法的时间复杂度和空间复杂度，对算法进行优化和改进的能力。
3. 提高学生运用算法思维解决问题的能力，培养逻辑思维和创新能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对算法学习的兴趣，培养主动探索、积极思考的学习态度。
2. 培养学生团队协作精神，学会与他人分享算法设计心得，共同解决问题。
3. 使学生认识到算法在现实生活中的重要性，提高对计算机科学的认识和兴趣。
课程性质：本课程为计算机科学领域的一门核心课程，旨在培养学生的算法设计与分析能力。
学生特点：学生已经具备一定的编程基础和逻辑思维能力，但对复杂算法的设计与分析仍需加强。
教学要求：结合实际案例，注重理论与实践相结合，引导学生通过自主探究、团队合作等方式，达到课程目标。
在教学过程中，注重分解目标，将目标具体化为可衡量的学习成果，以便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 算法基本原理：- 贪心算法：介绍贪心算法原理及其应用场景，结合实际案例进行分析。
- 分治算法：阐述分治算法的设计思想及其应用，举例说明。
- 动态规划：讲解动态规划的基本概念、原理和应用，分析典型问题。
2. 算法分析：- 时间复杂度分析：介绍大O表示法，分析常见算法的时间复杂度。
- 空间复杂度分析：阐述空间复杂度的概念，分析常见算法的空间复杂度。
3. 算法优化与改进：- 针对典型问题，分析现有算法的优缺点，探讨优化方向。
- 引导学生通过算法分析，提出改进方案，并进行实现。
4. 教学大纲安排：- 第一章：算法基本原理（贪心算法、分治算法、动态规划）- 第二章：算法分析（时间复杂度、空间复杂度）- 第三章：算法优化与改进5. 教材章节和内容列举：- 教材第3章：贪心算法及其应用- 教材第4章：分治算法及其应用- 教材第5章：动态规划及其应用- 教材第6章：算法分析（时间复杂度、空间复杂度）- 教材第7章：算法优化与改进教学内容确保科学性和系统性，结合实际案例进行讲解，使学生能够逐步掌握算法设计与分析的方法。
数据结构joseph课程设计
数据结构joseph课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解约瑟夫问题（Josephus problem）的背景和数学原理，掌握其与数据结构中循环链表的关系。
2. 学生能够掌握循环链表的基本操作，包括节点的插入、删除以及遍历。
3. 学生能够运用所学的循环链表知识解决约瑟夫问题，并理解其算法的效率。
技能目标：1. 学生能够运用编程语言（如C/C++/Java等）实现循环链表，并完成相应的约瑟夫问题求解程序。
2. 学生通过实际操作循环链表，提高逻辑思维能力和编程实践能力。
3. 学生能够通过分析、讨论和解决问题，培养团队协作能力和问题解决能力。
情感态度价值观目标：1. 学生通过解决实际问题，增强对数据结构学习的兴趣和热情，形成积极向上的学习态度。
2. 学生在团队协作中学会尊重他人，培养良好的沟通能力和合作精神。
3. 学生通过探究和解决约瑟夫问题，体会数学和计算机科学的实际应用价值，增强对科学的敬畏之心。
课程性质：本课程设计属于数据结构学科范畴，以实践操作和问题解决为核心，强调理论与实践相结合。
学生特点：考虑到学生已具备一定的编程基础和逻辑思维能力，课程设计将注重培养学生的实践能力、团队协作能力以及创新意识。
教学要求：教师应关注学生的个体差异，因材施教，引导学生通过自主探究、合作学习等方式达到课程目标。
在教学过程中，注重过程评价和结果评价相结合，全面评估学生的学习成果。
二、教学内容本节教学内容围绕数据结构中的循环链表及其应用——约瑟夫问题展开，具体安排如下：1. 循环链表基础知识回顾：- 循环链表的定义与特点- 循环链表的节点结构- 循环链表与普通链表的区别2. 循环链表的操作：- 节点的插入与删除- 循环链表的遍历- 循环链表的应用场景3. 约瑟夫问题介绍：- 约瑟夫问题的背景和数学原理- 约瑟夫问题与循环链表的关系4. 约瑟夫问题求解：- 算法设计思路- 编程实现步骤- 算法效率分析5. 实践环节：- 编写循环链表的基本操作函数- 编写求解约瑟夫问题的程序- 调试与优化程序6. 教学案例分析：- 结合实际案例，讲解循环链表在解决约瑟夫问题中的应用- 分析案例中的算法优化方法教学内容根据课本相应章节进行组织，确保学生能够在掌握循环链表基础知识的基础上，学会解决实际问题。
第2章算法效率分析基础
3. 若查找键位于表尾（最末元素）或不存在，该算法将比较 n 次。最差
4. 若查找键位于表中间，该算法比较次数不固定。平均效率
------------------------------------------------------------------------------------------------
T(n)C(n) 时间耗费即为基本操作数，为输入规模n的函数。
n的一次、二次函数分别称线性、二次增长率。2n 称指数增长率。
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❖增长次数（增长率）
基本操作数（时间耗费）是输入规模 n 的函数，记为T(n) 。T(n) 随着 n 次数的增加而增加。函数值T(n) 增加快慢，决定于这个增长函数特性； 也就是说，线性增长函数的函数值增加较慢，二次增长函数增加较快， 指数增长函数最快。因此，我们最关心的就是函数的增长率，它决定了 算法的时间耗费（效率）。若输入规模 n 很小，无论是高效的算法还是 低效的算法，时间耗费差距不明显，所以算法分析针对大规模输入。
通常，具备这种运行特性的算法是在一定程度上的具有“智能”的算法， 通过“学习”获得“知识”累积，再运用知识库中的有关知识对算法下
次 如何执行提供指导，从而提高以后运行的效率。一个例子：汉字拼音 输入法中的动态词频调整算法。它统计不同用户对某些字词的使用率 （学习积累过程），来动态调整这些字词下次出现的先后顺序，高频 先现，达到减少用户翻阅时间的目的，提高了该算法的执行效率。 ---------------------------------------------------------------------------------------------后续章节中，除非专门说明，都将最差情况下时间耗费的极限作为算法14
第2章 算法效率分析基础
一个显而易见的事实：几乎所有的算法，对于更大规模输入都需要运行 更长的时间（即算法耗费的时间随着输入规模的增大而增加） 。例如： 1. 更大的数组排序需要花费更多的运行时间； 2. 更大的矩阵相乘需要花费更多的运算时间。 因此，采用一个以算法输入规模 n 为参数的函数，来研究算法效率就是 非常合乎逻辑的。 输入规模的选择问题： 在大多数情况下，选择这样一个参数是非常直接的。例如，对于排序、 查找以及其他大多数与列表相关的问题来讲，这个参数就是列表长度； 对于 n 次多项式求值问题，这个参数是多项式次数或者系数个数。 4
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❖运行时间的度量：
接下来考虑运行时间的度量问题。我们为何不选择时间的标准度量单位 （秒、毫秒等）来度量算法的运行时间呢？其理由如下： 1. 它依赖于特定计算机的运行速度； 2. 它依赖于实现算法的代码质量；（程序员编程的水平问题） 3. 它依赖于编译器的好坏；（编译成机器码的质量，即指令条数） 4. 它还依赖于一些其他问题如操作系统的调度策略等。 鉴于此，希望找到一个不依赖于上述因素的时间度量。 问：是否统计算法的每步操作执行次数来作为算法的时间效率度量呢？ 答：无此必要且较困难。一个算法中有许多操作，决定算法时间效率的 是那些很耗费时间的操作步，因此只需关心这些操作即可评价一个算法 时间效率，这些最关键的操作步称为基本操作，它们对算法执行时间的 占用最大（基本操作即算法中最费时的操作）。所以，用基本操作执行 次数来作为时间效率的度量。
前述已知，我们用输入规模 n 的函数 T(n) 来度量算法的效率。若T(n) 随 n 增长快，则算法效率较差；若T(n) 随 n 增长较慢，则算法效率更好。 这里，没考虑算法效率与特定输入的关系。诸多算法的效率不仅与规模 有关，且与特定的输入有关。下面以顺序查找算法为例：
第三章算法基础(单元教学设计)高一信息技术同步教材配套教案练习(粤教版必修1)
三、教学重念和三要素，能够运用不同的描述方法表达算法。
4.思考题：结合自己的生活经验，列举至少3个可以用算法解决的问题，并简要描述解决思路。
5.阅读拓展：查阅资料，了解其他常用的排序算法（如冒泡排序、快速排序等），分析它们的原理和优缺点，并尝试用所学的编程语言实现。
作业要求：
1.作业需独立完成，不得抄袭他人成果。
2.提交的代码需注重编程规范，命名清晰，添加必要的注释。
2.逻辑推理能力：算法设计过程中，学生需要运用逻辑推理能力分析问题、设计解决方案，这对他们的逻辑思维提出了更高要求。
3.编程实践能力：算法的实现需要编程实践，学生需要在理论学习的基础上，动手编写程序，将算法转化为可执行的代码。
4.团队协作能力：在解决实际问题时，学生需要学会与他人合作，共同分析问题、设计算法，这要求他们具备良好的沟通与协作能力。
2.掌握顺序结构、选择结构、循环结构等基本控制结构的算法设计方法。
3.理解并分析算法的时间复杂度和空间复杂度，能够对简单算法进行优化。
4.运用所学的编程语言实现算法，解决实际问题。
难点解析：
（1）算法的抽象性：算法的抽象性是学生理解的难点，需要通过具体案例和实际操作，帮助学生逐步建立起对算法的直观认识。
3.小组合作的作业，需明确分工，每个成员都要参与讨论和编程。
4.思考题和阅读拓展作业，需以书面形式提交，要求字迹工整，表述清晰。
3.引出本章主题“算法基础”，强调算法在解决问题中的重要性。
（二）讲授新知（500字）
算法-第2章-算法效率分析基础(李静)
2.2.2 符号О
定义1 我们把函数t(n)属于O(g(n)) ，记作t(n) ∈ O(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界由g(n) 的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的常数c和非负 的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， t(n) ≤c g(n)
cg(n)
思考
• • • • P46 2T P46 4.bT P46 5T P46 6.aT
补充知识
• 渐近分析中函数比较
– f(n)∈ O(g(n)) a b; – f(n)∈ (g(n)) a b; – f(n)∈ (g(n)) a = b; – f(n)∈ o(g(n)) a < b; – f(n)∈ (g(n)) a > b.
• 无论是最差效率分析还是最优效率分析都不能提供一 种必要的信息：在“典型”或者“随机”输入的情况 下， 一个算法会具有什么样的行为。这正是平均效率 试图提供给我们信息。 • 摊销效率: 它并不适用于算法的单次运行，而是应用于 算法对同样数据结构所执行的一系列操作。
2.1.4 算法的最优、最差和平均效率
对于两个连续执行部分组成的算法，应该如何应 用这个特性呢？它意味着该算法的整体效率是由 具有较大的增长次数的部分所决定的，即它的效 率较差的部分.
பைடு நூலகம்
算法分析：加法规则
t(n, m)=t1(n)+t2 (m) ∈O(max (f (n), g (m)))
两个并列循环的例子 void example (float x[ ][ ], int m, int n, int k) { float sum [ ]; for ( int i=0; i<m; i++ ) { //x[][]中各行 sum[i] = 0.0; //数据累加 for ( int j=0; j<n; j++ ) sum[i]+=x[i][j]; } for ( i = 0; i < m; i++ ) //打印各行数据和 cout << “Line ” << i << “ : ” <<sum [i] << endl; } 渐进时间复杂度为O(max (m*n, m))
高中信息技术必修1第二章算法与程序实现教学设计
第二章算法与程序实现2.1解决问题的一般过程和用计算机解决问题【课程标准】通过解决实际问题，体验程序设计的基本流程。
【教学目标】●体会人工解决问题与计算机解决问题的不同特点。
（信息意识）●通过亲历项目“利用计算机编程模拟‘自助式人行过街红绿灯’”问题的解决过程，经历计算机解决问题的一般过程。
（计算思维）●通过经历项目问题分析、设计方案，能初步规划项目解决方案。
（计算思维）●认识Python语言，了解计算机程序的主要功能，能够修改简单的程序代码，体验程序设计的魅力。
（数字化学习与创新）【学业要求】依据解决问题的需要，设计和描述简单算法；利用程序设计语言实现简单算法，解决实际问题。
【学情分析】高中阶段的学生善于观察思考问题，具有较强的逻辑思维能力，但对于解决问题的方法和过程缺乏系统性的分析与梳理能力。
在义务教育阶段，学生已经掌握了信息技术的相关知识与技能，具备了一些程序设计的基础。
在高中阶段，要让学生理解隐藏在软件背后的数据加工方法与处理原理，以便能更自如地应用计算机创新性解决问题。
本章正是通过项目学习引领学生走进编程，学习通过计算机程序设计解决问题，培养计算思维。
【教学重点】用计算机解决问题的一般过程。
【教学难点】运用计算思维进行问题分析和分解。
【教学方法】教学方法：项目教学、小组合作。
软硬件资源：项目方案、Python 语言运行环境。
【教学过程】教学反思：2.2算法的概念及描述【课程标准】●从生活实例出发，概述算法的概念与特征，运用恰当的描述方法和控制结构表示简单算法。
●通过解决实际问题，感受算法的效率。
【教学目标】●根据项目需求分析设计算法，理解并熟悉利用自然语言、流程图和伪代码描述算法的方法。
（数字化学习与创新）●选用恰当的描述方法和控制结构表示算法，增强用算法解决问题的意识。
（计算思维、信息意识）●通过对生活中某一逻辑关系问题的对比探究，掌握枚举算法解决问题的方法，并比较数理思维方式与计算思维方式解决同一问题的效率差异，逐步养成用计算思维解决问题的习惯，提高工作效率。
浙教版五年级上册信息科技第4课《算法中的数据》(教学设计)
例题1：请简述数组在数据处理中的应用。
解答：数组是一种基本的数据结构，它用于存储具有相同数据类型的元素集合。在数据处理中，数组常用于以下场景：
1.存储大量数据，如学生成绩、商品库存等。
2.实现数据的快速查找，如二分查找法。
3.实现数据的排序，如冒泡排序、快速排序等。
4.实现数据的批量处理，如批量修改数组元素的值。
解答：树是一种非线性数据结构，它具有层级关系和分支结构。树在算法中的应用包括：
1.实现组织结构图，如公司的组织架构图。
（2）责任与伦理：五年级学生正处于道德观念形成的关键时期，应注重培养他们在信息科技领域的责任感和伦理意识。
教学资源
1.硬件资源：
-计算机教室
-投影仪
-学生每人一台计算机
2.软件资源：
-信息科技教学软件
-编程环境
-数据处理软件（如Excel）
3.课程平台：
-学校课程管理系统
-班级交流群
4.信息化资源：
2.知识方面：
（1）已有知识：学生在前期的学习中，对计算机的基本操作、简单的编程思维有了一定的了解，为本课程的学习奠定了基础。
（2）相关知识：学生对数据的概念和作用有一定的认识，但可能对数据类型、数据结构等概念较为陌生。因此，在教学中需要从已有知识出发，逐步引导学生掌握新知识。
3.能力方面：
（1）逻辑思维能力：五年级学生的逻辑思维能力逐渐增强，但仍有待提高。在本课程中，通过数据的学习和应用，有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
-利用在线资源和教育平台，如Khan Academy、Coursera等，学习数据科学和编程基础。
-访问科技博物馆或参加相关讲座，了解数据科学在现代社会中的广泛应用。
Algorithm 2
Analysis and Design of Computer Algorithms
分析框架——输入规模度量
输入规模度量
算法的时间效率和空间效率都用输入规模的函 数进行度量。 对于所有的算法，对于规模更大的输入都需要 运行更长的时间。 经常使用一个输入规模n为参数的函数来研究 算法的效率。 选择输入规模的合适量度，要受到所讨论算法 的操作细节影响。
斐波那契数列
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,……
F(n)= F(n-1)+F(n-2) , n>1 1 , n=1 0 ,n=0
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Analysis and Design of Computer Algorithms
算法的经验分析
对算法效率做经验分析的通用方案
了解试验的目的 决定用来度量效率的量度M和度量单位（单位时 间内的操作次数） 决定输入样本的特性 为实验准备算法的程序实现 生成输入样本 对输入样本进行计算，并记录观察到的实验数据 分析获得的实验数据
不是所有能计算的都有价值，不是所有有价值的都能被计算
——阿尔伯特.爱因斯坦 2
Analysis and Design of Computer Algorithms
教学内容
算法效率分析框架 算法效率的表示符号 非递归算法的效率分析 递归算法的效率分析 算法的经验分析 要求
掌握算法中近似时间的表示、非递归、递归算法 的效率分析方法，了解算法的经验分析
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Analysis and Design of Computer Algorithms
静态算法可视法
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Analysis and Design of Computer Algorithms
算法设计与分析习题解答(第2版)
第1章算法引论11.1 算法与程序11.2 表达算法的抽象机制11.3 描述算法31.4 算法复杂性分析13小结16习题17第2章递归与分治策略192.1 递归的概念192.2 分治法的基本思想262.3 二分搜索技术272.4 大整数的乘法282.5 Strassen矩阵乘法302.6 棋盘覆盖322.7 合并排序342.8 快速排序372.9 线性时间选择392.10 最接近点对问题432.11 循环赛日程表53小结54习题54第3章动态规划613.1 矩阵连乘问题62目录算法设计与分析(第2版)3.2 动态规划算法的基本要素67 3.3 最长公共子序列713.4 凸多边形最优三角剖分753.5 多边形游戏793.6 图像压缩823.7 电路布线853.8 流水作业调度883.9 0-1背包问题923.10 最优二叉搜索树98小结101习题102第4章贪心算法1074.1 活动安排问题1074.2 贪心算法的基本要素1104.2.1 贪心选择性质1114.2.2 最优子结构性质1114.2.3 贪心算法与动态规划算法的差异1114.3 最优装载1144.4 哈夫曼编码1164.4.1 前缀码1174.4.2 构造哈夫曼编码1174.4.3 哈夫曼算法的正确性1194.5 单源最短路径1214.5.1 算法基本思想1214.5.2 算法的正确性和计算复杂性123 4.6 最小生成树1254.6.1 最小生成树性质1254.6.2 Prim算法1264.6.3 Kruskal算法1284.7 多机调度问题1304.8 贪心算法的理论基础1334.8.1 拟阵1334.8.2 带权拟阵的贪心算法1344.8.3 任务时间表问题137小结141习题141第5章回溯法1465.1 回溯法的算法框架1465.1.1 问题的解空间1465.1.2 回溯法的基本思想1475.1.3 递归回溯1495.1.4 迭代回溯1505.1.5 子集树与排列树1515.2 装载问题1525.3 批处理作业调度1605.4 符号三角形问题1625.5 n后问题1655.6 0\|1背包问题1685.7 最大团问题1715.8 图的m着色问题1745.9 旅行售货员问题1775.10 圆排列问题1795.11 电路板排列问题1815.12 连续邮资问题1855.13 回溯法的效率分析187小结190习题191第6章分支限界法1956.1 分支限界法的基本思想1956.2 单源最短路径问题1986.3 装载问题2026.4 布线问题2116.5 0\|1背包问题2166.6 最大团问题2226.7 旅行售货员问题2256.8 电路板排列问题2296.9 批处理作业调度232小结237习题238第7章概率算法2407.1 随机数2417.2 数值概率算法2447.2.1 用随机投点法计算π值2447.2.2 计算定积分2457.2.3 解非线性方程组2477.3 舍伍德算法2507.3.1 线性时间选择算法2507.3.2 跳跃表2527.4 拉斯维加斯算法2597.4.1 n 后问题2607.4.2 整数因子分解2647.5 蒙特卡罗算法2667.5.1 蒙特卡罗算法的基本思想2667.5.2 主元素问题2687.5.3 素数测试270小结273习题273第8章 NP完全性理论2788.1 计算模型2798.1.1 随机存取机RAM2798.1.2 随机存取存储程序机RASP2878.1.3 RAM模型的变形与简化2918.1.4 图灵机2958.1.5 图灵机模型与RAM模型的关系297 8.1.6 问题变换与计算复杂性归约299 8.2 P类与NP类问题3018.2.1 非确定性图灵机3018.2.2 P类与NP类语言3028.2.3 多项式时间验证3048.3 NP完全问题3058.3.1 多项式时间变换3058.3.2 Cook定理3078.4 一些典型的NP完全问题3108.4.1 合取范式的可满足性问题3118.4.2 3元合取范式的可满足性问题312 8.4.3 团问题3138.4.4 顶点覆盖问题3148.4.5 子集和问题3158.4.6 哈密顿回路问题3178.4.7 旅行售货员问题322小结323习题323第9章近似算法3269.1 近似算法的性能3279.2 顶点覆盖问题的近似算法3289.3 旅行售货员问题近似算法3299.3.1 具有三角不等式性质的旅行售货员问题330 9.3.2 一般的旅行售货员问题3319.4 集合覆盖问题的近似算法3339.5 子集和问题的近似算法3369.5.1 子集和问题的指数时间算法3369.5.2 子集和问题的完全多项式时间近似格式337 小结340习题340第10章算法优化策略34510.1 算法设计策略的比较与选择34510.1.1 最大子段和问题的简单算法34510.1.2 最大子段和问题的分治算法34610.1.3 最大子段和问题的动态规划算法34810.1.4 最大子段和问题与动态规划算法的推广349 10.2 动态规划加速原理35210.2.1 货物储运问题35210.2.2 算法及其优化35310.3 问题的算法特征35710.3.1 贪心策略35710.3.2 对贪心策略的改进35710.3.3 算法三部曲35910.3.4 算法实现36010.3.5 算法复杂性36610.4 优化数据结构36610.4.1 带权区间最短路问题36610.4.2 算法设计思想36710.4.3 算法实现方案36910.4.4 并查集37310.4.5 可并优先队列37610.5 优化搜索策略380小结388习题388第11章在线算法设计39111.1 在线算法设计的基本概念39111.2 页调度问题39311.3 势函数分析39511.4 k 服务问题39711.4.1 竞争比的下界39711.4.2 平衡算法39911.4.3 对称移动算法39911.5 Steiner树问题40311.6 在线任务调度40511.7 负载平衡406小结407习题407词汇索引409参考文献415习题1-1 实参交换1习题1-2 方法头签名1习题1-3 数组排序判定1习题1-4 函数的渐近表达式2习题1-5 O(1) 和 O(2) 的区别2习题1-7 按渐近阶排列表达式2习题1-8 算法效率2习题1-9 硬件效率3习题1-10 函数渐近阶3习题1-11 n !的阶4习题1-12 平均情况下的计算时间复杂性4算法实现题1-1 统计数字问题4算法实现题1-2 字典序问题5算法实现题1-3 最多约数问题6算法实现题1-4 金币阵列问题8算法实现题1-5 最大间隙问题11第2章递归与分治策略14 习题2-1 Hanoi 塔问题的非递归算法14习题2-2 7个二分搜索算法15习题2-3 改写二分搜索算法18习题2-4 大整数乘法的 O(nm log(3/2))算法19习题2-5 5次 n /3位整数的乘法19习题2-6 矩阵乘法21习题2-7 多项式乘积21习题2-8 不动点问题的 O( log n) 时间算法22习题2-9 主元素问题的线性时间算法22习题2-10 无序集主元素问题的线性时间算法22习题2-11 O (1)空间子数组换位算法23习题2-12 O (1)空间合并算法25习题2-13 n 段合并排序算法32习题2-14 自然合并排序算法32习题2-15 最大值和最小值问题的最优算法35习题2-16 最大值和次大值问题的最优算法35习题2-17 整数集合排序35习题2-18 第 k 小元素问题的计算时间下界36习题2-19 非增序快速排序算法37习题2-20 随机化算法37习题2-21 随机化快速排序算法38习题2-22 随机排列算法38习题2-23 算法qSort中的尾递归38习题2-24 用栈模拟递归38习题2-25 算法select中的元素划分39习题2-26 O(n log n) 时间快速排序算法40习题2-27 最接近中位数的 k 个数40习题2-28 X和Y 的中位数40习题2-29 网络开关设计41习题2-32 带权中位数问题42习题2-34 构造Gray码的分治算法43习题2-35 网球循环赛日程表44目录算法设计与分析习题解答（第2版）算法实现题2-1 输油管道问题（习题2-30) 49算法实现题2-2 众数问题（习题2-31) 50算法实现题2-3 邮局选址问题（习题2-32) 51算法实现题2-4 马的Hamilton周游路线问题（习题2-33) 51算法实现题2-5 半数集问题60算法实现题2-6 半数单集问题62算法实现题2-7 士兵站队问题63算法实现题2-8 有重复元素的排列问题63算法实现题2-9 排列的字典序问题65算法实现题2-10 集合划分问题（一）67算法实现题2-11 集合划分问题（二）68算法实现题2-12 双色Hanoi塔问题69算法实现题2-13 标准二维表问题71算法实现题2-14 整数因子分解问题72算法实现题2-15 有向直线2中值问题72第3章动态规划76习题3-1 最长单调递增子序列76习题3-2 最长单调递增子序列的 O(n log n) 算法77习题3-7 漂亮打印78习题3-11 整数线性规划问题79习题3-12 二维背包问题80习题3-14 Ackermann函数81习题3-17 最短行驶路线83习题3-19 最优旅行路线83算法实现题3-1 独立任务最优调度问题（习题3-3) 83算法实现题3-2 最少硬币问题（习题3-4) 85算法实现题3-3 序关系计数问题（习题3-5) 86算法实现题3-4 多重幂计数问题（习题3-6) 87算法实现题3-5 编辑距离问题（习题3-8) 87算法实现题3-6 石子合并问题（习题3-9) 89算法实现题3-7 数字三角形问题（习题3-10) 91算法实现题3-8 乘法表问题（习题3-13) 92算法实现题3-9 租用游艇问题（习题3-15) 93算法实现题3-10 汽车加油行驶问题（习题3-16) 95算法实现题3-11 圈乘运算问题（习题3-18) 96算法实现题3-12 最少费用购物（习题3-20) 102算法实现题3-13 最大长方体问题（习题3-21) 104算法实现题3-14 正则表达式匹配问题（习题3-22) 105算法实现题3-15 双调旅行售货员问题（习题3-23) 110算法实现题3-16 最大 k 乘积问题（习题5-24) 111算法实现题3-17 最小 m 段和问题113算法实现题3-18 红黑树的红色内结点问题115第4章贪心算法123 习题4-2 活动安排问题的贪心选择123习题4-3 背包问题的贪心选择性质123习题4-4 特殊的0-1背包问题124习题4-10 程序最优存储问题124习题4-13 最优装载问题的贪心算法125习题4-18 Fibonacci序列的Huffman编码125习题4-19 最优前缀码的编码序列125习题4-21 任务集独立性问题126习题4-22 矩阵拟阵126习题4-23 最小权最大独立子集拟阵126习题4-27 整数边权Prim算法126习题4-28 最大权最小生成树127习题4-29 最短路径的负边权127习题4-30 整数边权Dijkstra算法127算法实现题4-1 会场安排问题（习题4-1) 128算法实现题4-2 最优合并问题（习题4-5) 129算法实现题4-3 磁带最优存储问题（习题4-6) 130算法实现题4-4 磁盘文件最优存储问题（习题4-7) 131算法实现题4-5 程序存储问题（习题4-8) 132算法实现题4-6 最优服务次序问题（习题4-11) 133算法实现题4-7 多处最优服务次序问题（习题4-12) 134算法实现题4-8 d 森林问题（习题4-14) 135算法实现题4-9 汽车加油问题（习题4-16) 137算法实现题4-10 区间覆盖问题（习题4-17) 138算法实现题4-11 硬币找钱问题（习题4-24) 138算法实现题4-12 删数问题（习题4-25) 139算法实现题4-13 数列极差问题（习题4-26) 140算法实现题4-14 嵌套箱问题（习题4-31) 140算法实现题4-15 套汇问题（习题4-32) 142算法实现题4-16 信号增强装置问题（习题5-17) 143算法实现题4-17 磁带最大利用率问题（习题4-9) 144算法实现题4-18 非单位时间任务安排问题（习题4-15) 145算法实现题4-19 多元Huffman编码问题（习题4-20) 147算法实现题4-20 多元Huffman编码变形149算法实现题4-21 区间相交问题151算法实现题4-22 任务时间表问题151第5章回溯法153习题5\|1 装载问题改进回溯法（一）153习题5\|2 装载问题改进回溯法（二）154习题5\|4 0-1背包问题的最优解155习题5\|5 最大团问题的迭代回溯法156习题5\|7 旅行售货员问题的费用上界157习题5\|8 旅行售货员问题的上界函数158算法实现题5-1 子集和问题（习题5-3) 159算法实现题5-2 最小长度电路板排列问题（习题5-9) 160算法实现题5-3 最小重量机器设计问题（习题5-10) 163算法实现题5-4 运动员最佳匹配问题（习题5-11) 164算法实现题5-5 无分隔符字典问题（习题5-12) 165算法实现题5-6 无和集问题（习题5-13) 167算法实现题5-7 n 色方柱问题（习题5-14) 168算法实现题5-8 整数变换问题（习题5-15) 173算法实现题5-9 拉丁矩阵问题（习题5-16) 175算法实现题5-10 排列宝石问题（习题5-16) 176算法实现题5-11 重复拉丁矩阵问题（习题5-16) 179算法实现题5-12 罗密欧与朱丽叶的迷宫问题181算法实现题5-13 工作分配问题（习题5-18) 183算法实现题5-14 独立钻石跳棋问题（习题5-19) 184算法实现题5-15 智力拼图问题（习题5-20) 191算法实现题5-16 布线问题（习题5-21) 198算法实现题5-17 最佳调度问题（习题5-22) 200算法实现题5-18 无优先级运算问题（习题5-23) 201算法实现题5-19 世界名画陈列馆问题（习题5-25) 203算法实现题5-20 世界名画陈列馆问题（不重复监视）（习题5-26) 207 算法实现题5-21 部落卫队问题（习题5-6) 209算法实现题5-22 虫蚀算式问题211算法实现题5-23 完备环序列问题214算法实现题5-24 离散01串问题217算法实现题5-25 喷漆机器人问题218算法实现题5-26 n 2-1谜问题221第6章分支限界法229习题6-1 0-1背包问题的栈式分支限界法229习题6-2 用最大堆存储活结点的优先队列式分支限界法231习题6-3 团顶点数的上界234习题6-4 团顶点数改进的上界235习题6-5 修改解旅行售货员问题的分支限界法235习题6-6 解旅行售货员问题的分支限界法中保存已产生的排列树237 习题6-7 电路板排列问题的队列式分支限界法239算法实现题6-1 最小长度电路板排列问题一（习题6-8) 241算法实现题6-2 最小长度电路板排列问题二（习题6-9) 244算法实现题6-3 最小权顶点覆盖问题（习题6-10) 247算法实现题6-4 无向图的最大割问题（习题6-11) 250算法实现题6-5 最小重量机器设计问题（习题6-12) 253算法实现题6-6 运动员最佳匹配问题（习题6-13) 256算法实现题6-7 n 后问题（习题6-15) 259算法实现题6-8 圆排列问题（习题6-16) 260算法实现题6-9 布线问题（习题6-17) 263算法实现题6-10 最佳调度问题（习题6-18) 265算法实现题6-11 无优先级运算问题（习题6-19) 268算法实现题6-12 世界名画陈列馆问题（习题6-21) 271算法实现题6-13 骑士征途问题274算法实现题6-14 推箱子问题275算法实现题6-15 图形变换问题281算法实现题6-16 行列变换问题284算法实现题6-17 重排 n 2宫问题285算法实现题6-18 最长距离问题290第7章概率算法296习题7-1 模拟正态分布随机变量296习题7-2 随机抽样算法297习题7-3 随机产生 m 个整数297习题7-4 集合大小的概率算法298习题7-5 生日问题299习题7-6 易验证问题的拉斯维加斯算法300习题7-7 用数组模拟有序链表300习题7-8 O(n 3/2)舍伍德型排序算法300习题7-9 n 后问题解的存在性301习题7-11 整数因子分解算法302习题7-12 非蒙特卡罗算法的例子302习题7-13 重复3次的蒙特卡罗算法303习题7-14 集合随机元素算法304习题7-15 由蒙特卡罗算法构造拉斯维加斯算法305习题7-16 产生素数算法306习题7-18 矩阵方程问题306算法实现题7-1 模平方根问题（习题7-10) 307算法实现题7-2 集合相等问题（习题7-17) 309算法实现题7-3 逆矩阵问题（习题7-19) 309算法实现题7-4 多项式乘积问题（习题7-20) 310算法实现题7-5 皇后控制问题311算法实现题7-6 3-SAT问题314算法实现题7-7 战车问题315算法实现题7-8 圆排列问题317算法实现题7-9 骑士控制问题319算法实现题7-10 骑士对攻问题320第8章NP完全性理论322 习题8-1 RAM和RASP程序322习题8-2 RAM和RASP程序的复杂性322习题8-3 计算 n n 的RAM程序322习题8-4 没有MULT和DIV指令的RAM程序324习题8-5 MULT和DIV指令的计算能力324习题8-6 RAM和RASP的空间复杂性325习题8-7 行列式的直线式程序325习题8-8 求和的3带图灵机325习题8-9 模拟RAM指令325习题8-10 计算2 2 n 的RAM程序325习题8-11 计算 g(m,n)的程序 326习题8-12 图灵机模拟RAM的时间上界326习题8-13 图的同构问题326习题8-14 哈密顿回路327习题8-15 P类语言的封闭性327习题8-16 NP类语言的封闭性328习题8-17 语言的2 O (n k) 时间判定算法328习题8-18 P CO -NP329习题8-19 NP≠CO -NP329习题8-20 重言布尔表达式329习题8-21 关系∝ p的传递性329习题8-22 L ∝ p 330习题8-23 语言的完全性330习题8-24 的CO-NP完全性330习题8-25 判定重言式的CO-NP完全性331习题8-26 析取范式的可满足性331习题8-27 2-SAT问题的线性时间算法331习题8-28 整数规划问题332习题8-29 划分问题333习题8-30 最长简单回路问题334第9章近似算法336习题9-1 平面图着色问题的绝对近似算法336习题9-2 最优程序存储问题336习题9-4 树的最优顶点覆盖337习题9-5 顶点覆盖算法的性能比339习题9-6 团的常数性能比近似算法339习题9-9 售货员问题的常数性能比近似算法340习题9-10 瓶颈旅行售货员问题340习题9-11 最优旅行售货员回路不自相交342习题9-14 集合覆盖问题的实例342习题9-16 多机调度问题的近似算法343习题9-17 LPT算法的最坏情况实例345习题9-18 多机调度问题的多项式时间近似算法345算法实现题9-1 旅行售货员问题的近似算法（习题9-9) 346 算法实现题9-2 可满足问题的近似算法（习题9-20) 348算法实现题9-3 最大可满足问题的近似算法（习题9-21) 349 算法实现题9-4 子集和问题的近似算法（习题9-15) 351算法实现题9-5 子集和问题的完全多项式时间近似算法352算法实现题9-6 实现算法greedySetCover（习题9-13) 352算法实现题9-7 装箱问题的近似算法First Fit（习题9-19) 356算法实现题9-8 装箱问题的近似算法Best Fit（习题9-19) 358算法实现题9-9 装箱问题的近似算法First Fit Decreasing（习题9-19) 360算法实现题9-10 装箱问题的近似算法Best Fit Decreasing（习题9-19) 361算法实现题9-11 装箱问题的近似算法Next Fit361第10章算法优化策略365 习题10-1 算法obst的正确性365习题10-2 矩阵连乘问题的 O(n 2) 时间算法365习题10-6 货物储运问题的费用371习题10-7 Garsia算法371算法实现题10-1 货物储运问题（习题10-3) 374算法实现题10-2 石子合并问题（习题10-4) 374算法实现题10-3 最大运输费用货物储运问题（习题10-5) 375算法实现题10-4 五边形问题377算法实现题10-5 区间图最短路问题（习题10-8) 381算法实现题10-6 圆弧区间最短路问题（习题10-9) 381算法实现题10-7 双机调度问题（习题10-10) 382算法实现题10-8 离线最小值问题（习题10-11) 390算法实现题10-9 最近公共祖先问题（习题10-12) 393算法实现题10-10 达尔文芯片问题395算法实现题10-11 多柱Hanoi塔问题397算法实现题10-12 线性时间Huffman算法400算法实现题10-13 单机调度问题402算法实现题10-14 最大费用单机调度问题405算法实现题10-15 飞机加油问题408第11章在线算法设计410习题11-1 在线算法LFU的竞争性410习题11-4 多读写头磁盘问题的在线算法410习题11-6 带权页调度问题410算法实现题11-1 最优页调度问题（习题11-2) 411算法实现题11-2 在线LRU页调度（习题11-3) 414算法实现题11-3 k 服务问题（习题11-5) 416参考文献422。
算法分析与设计基础
算法分析与设计基础（清华版）Taken from "Introduction to The Design and Analysis of Algorithms" by Anany Levitin节选自《算法设计与分析基础》潘彦译蛮力法就像宝剑不是撬棍一样，科学也很少使用蛮力。
——Edward Lytton (1830 - 1873)，leila，第二卷，第一章认真做事常常是浪费时间。
——Robert Byrne，撞球大师，台球选手和作家人们是这样描述它的：蛮力法是一种简单直接地解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。
这里的“力”是指计算机的能“力”，而不是人的智“力”。
我们也可以用“直接做吧！”来描述蛮力法的策略。
而且一般来说，蛮力策略也常常是最容易应用的方法。
虽然巧妙和高效的算法很少来自于蛮力法，但我们不应该忽略它作为一种重要的算法设计策略的地位。
第一，和其他某些策略不同，我们可以应用蛮力法来解决广阔领域的各种问题（实际上，它可能是惟一一种几乎什么问题都能解决的一般性方法）。
具体来说，蛮力法常常用于一些非常基本、但又十分重要的算法，比如计算n个数字的和，求一个列表的最大元素，等等。
第二，对于一些重要的问题来说（比如：排序、查找、矩阵乘法和字符串匹配），蛮力法可以产生一些合理的算法，它们多少具备一些实用价值，而且并不限制实例的规模。
第三，如果要解决的问题实例不多，而且蛮力法可以用一直能够接受的速度对实例求解，那么，设计一个更高效算法所花费的代价很可能是不值得的。
第四，即使效率通常很低，仍然可以用蛮力算法解决一些小规模的问题实例。
最后，一个蛮力算法可以为研究或教学目的服务，例如，它可以作为准绳，来衡量同样问题的更高效算法。
下列这些著名的算法可以看作是蛮力法的例子：基于定义的矩阵乘法算法；选择排序；顺序查找；简单的字符串匹配算法。
穷举查找是解组合问题的一种蛮力方法。
代数计算的高效算法研究
代数计算的高效算法研究第一章：引言代数计算是数学中非常重要的一个分支，它以符号为基础，通过使用各种代数结构进行计算和推导。
在各个领域，如计算机科学、物理学、金融学、化学等，都需要代数计算的支持。
因此，高效的代数计算算法是非常必要的。
本文将介绍代数计算的一些高效算法的研究进展。
第二章：多项式乘法在代数计算中，多项式乘法是一个基本而重要的问题。
因此，多项式乘法算法的效率直接关系到整个代数计算的效率。
传统的多项式乘法采用的是暴力方法，即使用 $n^2$ 次乘法运算，时间复杂度为 $O(n^2)$。
这样的算法对于多项式较小的情况下是可以接受的，但对于多项式较大的情况，则会耗费大量时间。
为了提高多项式乘法的效率，有很多高效的算法被提出。
其中较为著名的有 Karatsuba 算法、Toom-Cook 算法、Schönhage-Strassen 算法、Furer 算法等。
Karatsuba 算法是对传统多项式乘法算法的改进，它将两个多项式分别拆分成两个较小的多项式，然后通过递归方式进行计算。
Karatsuba 算法的时间复杂度为 $O(n^{log_2 3}) \approxO(n^{1.585})$，比暴力方法的时间复杂度更优。
Toom-Cook 算法是一种多项式扩展算法，它将多项式的点值组成一个矩阵，通过矩阵乘法计算多项式乘积。
Toom-Cook 算法的时间复杂度为 $O(n^{log_3 5}) \approx O(n^{1.465})$。
Schönhage-Strassen 算法是一种基于 FFT（快速傅里叶变换）的算法，它通过将多项式转化为整数，然后对整数进行 FFT 计算，再将 FFT 计算结果转化为多项式乘积。
Schönhage-Strassen 算法的时间复杂度为 $O(n log_2 n log_2 log_2 n)$。
Furer 算法是一种新的多项式乘法算法，它利用了数论的结论和复杂度分析技术，比传统多项式乘法算法更快。
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• 在某个特定计算机上的某个算法程序的运行时间 • T(n)≈copC(n)
基本操作的 执行时间
基本操作次数
11
• 对下面的三个时间效率函数表达式,
哪一个效率高?
• C1(n)=n
• C2(n)=n3
• C3(n)= 10n
• n=1
•
11
• n=2
•
28
结论： 1 随n的递增，不同函数增幅 不同 2 某些函数在大规模时增幅显
t(n) g(n)
c
表明t (n)的增长次数比g (n)小 表明t (n)的增长次数和g (n)相同 表明t (n)的增长次数比g (n)大
25
2.2.7基本的效率类型
O(1)< O(logn)< O(n)< O(nlogn)< O(n2)< O(n3) <
O(2n)< O(n!)< O(nn)
常见的指数阶
1 log n
n n log n
n2 n3 2n n!
constant logarithmic
linear n log n quadratic cubic exponential factorial
26
关于渐进时间效率：
当比较两个算法的效率时,若两个算法是同阶的,必 须进一步考察阶的常数因子才能辨别优劣。
10 著，函数可以表示增幅的特点
3 我们希望选择大规模时，时 间效率增幅小的算法
100
• n=3
•
3 27 1000
• n=非常大
12
• 2.1.3增长次数（增长幅度）
• 特别考虑大规模的输入要强调执行次数 的增长次数呢？这是因为小规模输入在运 行时间上差别不足以将高效的算法和低效 的算法法区分开来。
较大的增长次数的部分所决定的，即它的效率较差
的部分.
24
2.2.6 利用极限比较增长次数
虽然符号O， Ω和Θ的正式定义对于证明它们的抽
象性质是不可缺少的，但我们很少直接用它们来比
较两个特定函数的增长次数。有一种较为简便的比
较方法，它是基于对所计论的两个函数的比率求极
限。有3种极限情况会发生：
0
n
lim
2.1.2 运行时间的度量单位
可以采用秒，分，小时吗？
可以统计算法每一步的操作次数吗？
一般的做法：
把基本操作（最重要的操作）次数作为算法运 行时间的度量单位。
思考下面算法的重要操作：
排序
矩阵乘法
10
• 建立一个算法时间效率的分析框架 • 对于输入规模为n的算法 • 统计基本操作执行次数C(n)，来对其效率进行度
13
•
图1－2 各种函数的曲线
14
2.1.4 算法的最优、最差和平均效率
一个算法的最差效率是指当输入规模为n时，算 法的最坏情况下的效率。这时，相对于其他规 模为n的输入，该算法的运行时间最长。
为什么要考虑最坏效率？
提供了对任何规模为n的实例，算法运行的上界
Cworst(n)
15
一个算法的最优效率是指当输入规模为n时，
• 算法的时间效率和空间效率都用输入规模的函数进 行度量。
• 我们用算法基本操作的执行次数来度量算时间效率。 通过计算算法消耗的额外存储单元的数量来度量空 间效率。
• 在输入规模相同的情况下，有些算法的效率会的显 著差异。对于这样的算法，我们需要区分最差效率， 平均效率和最优效率。
• 本框架主要关心，当算法的输入规模趋向于无限大
的时候，其运行时间（消耗的额外空间）函数的增 长次数。
18
2.2 渐进符号和基本效率类型 复杂度函数的阶
19
20
例题
21
22
注意
• 上面3个符号 O，θ，Ω 称为渐进符号
• 在问题的求解规模充分大的时候才成立。 – 如，N3<2N ,只有在N>c的时候才成立， 其中c是方程N3＝2N 的解。当N < c时， 前者反而有效。
第2章 算法效率分析基础
一个问题往往有多个算法，应当分析算 法的品性
–怎样评价一个算法？
–涉及的概念：问题的规模（大小）、基本
操作、计算复杂度、复杂度的量级、上下界 – 掌握循坏算法与递归算法的复杂度分析方法
1
•正确性 •工作量 •空间用量 •简单性 •最优型
2
3
在表A中查找关键字x
顺序查找：
算法在最优情况下的效率。这时，与其它
规模为n的输入相比，该算法运行得最快。
然而，无论是最差效率分析还是最优效 率分析都不能提供一种必要的信息：在 “典型”或者“随机”输入的情况下， 一 个算法会具有什么样的行为。这正是平均 效率试图提供给我们信息。
16
算法计算复杂度的定义
17
2.1.5 分析框架概要
什么是最坏情况 什么是最好情况
else return -1;
4
5
6
7
ห้องสมุดไป่ตู้
2.1 分析框架
如何评价时间效率？
2.1.1 输入规模的度量
一个事实：问题规模越大，算法运行时间越长。 将算法输入规模n为时间效率的参数。 选择哪个（些）参数作为输入规模？
8
• 一个算法好不好体现在运行该算法所需要的计算机资源 的多少上
–所需资源越少，该算法越好；
• 计算机最重要的资源是
–时间和空间
• 算法分析对算法利用这两种资源的效率做研究 • 时间效率：指出正在讨论的算法运行得有多快； • 空间效率：关心算法需要的额外空间。
• 研究实验告诉我们，对于大多数问题来说，我们在速度 上能够取得的进展要远大于在空间上的进展，
• 所以我们把主要精力集中在时间效率上。9
• SequentialSearch(A[0..n-1], x)
//输入：数组A[0..n-1],和查找关键字x //输出：返回第一个匹配x 的元素下标 //如果没有匹配的，返回-1
• i=0;
什么是基本运算
• while i<n and A[i]≠ x do i=i+1;
• If i<n then return i
27
2.3非递归算法的复杂度分析
如何用前面介绍的知识分析一个算法的效率
28
算法分析例题
29
例1 考虑从n个元素的列表中查找元素最大值的问 题. 假设列表是用数组实现的。
MaxElement(A[0..n-1])
//求给定数组中最大元素的值 //输入：实数数组A[0..n-1] //输出:A中最大元素的值
23
2.2.5渐进符号的有用特性
定理 如果t1(n) ∈O(g1(n)) 并且t2(n) ∈O(g2(n))， 则
t1(n)+ t2(n)∈O(max{g1(n), g2(n)}) (对于Ω和Θ符号， 类似的断言也为真)
对于两个连续执行部分组成的算法，应该如何应用
这个特性呢？它意味着该算法的整体效率是由具有