数学实验课件_插值方法

每一小段上应满足四个条件(方程)，可以确定四个待定参数。三次 多项式正好有四个系数，所以可以考虑用用三次多项式函数作为插 值函数，这就是所谓的分段三次埃尔米特插值 分段三次埃尔米特插值
三次样条插值
y
比分段线性插 值更光滑。 值更光滑。
a
xi-1
xi
b
x
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲 线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光 滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低 次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次 样条插值就是一个很好的例子。
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的 函数 通过全部节点, 构造一个 相对简单的)函数 y = f (x), 通过全部节点 即 相对简单的
f ( x j ) = y j ( j = 0 ,1, L n )
y * = f ( x * ). 计算插值， 再用 f (x) 计算插值，即
y
*
y1 y0
范例1、 估计水塔的水流量 范例2、船在该海域会搁浅吗？
引
言
在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 (xi,yi) ,i=0,1,…，揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用一 个近似的函数关系式：y=f(x)来表示。
函数f(x)的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可以采 用两种方法：一个是曲线拟合的方法，一个是插值的方法。 信息技术中的图象重建、建筑工程的外观设计、化学工程 实验数据与模型分析、地理信息数据的处理、社会经济现象的 统计分析等
‘nearest’ ：最邻近插值 线性插值； ‘linear’ ： 线性插值； 还有其它的插值函数，如 ‘spline’ ： 三次样条插 interp1q, interpft, spline, interp2, interp3, interpN. 值； 立方插值。 ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。 缺省时： 分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且 不 能够超过x的范围 的范围。 能够超过 的范围。
利用matlab进行插值计算
例 在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得环境温度数据 分别为（°C） 12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13 推测中午1点（即13点）时的温度？ 键入x = 0:2:24; y =[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13]; plot(x,y,'o') x1=13; y1=interp1(x,y,x1,’spline’)
n →∞
f(x)为被插值函数
分段线性插值
例 求F(2.3456789) 解 由标准正态分布函数值表可以得到： F(2.34)=0.99036; F(2.35)=0.99061 。采 用分段线性插值计算F(2.3456789) 。 分段线性插值在计算 插值时，只用到前后 两个相邻节点的函数 值，计算量小。在对 函数表作插值计算时， 经常用到 。
• •
•
•
•
x
*
x0 x1
xn
返回
分段多项式插值
1、分段线性插值 设函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值已知， 为 y0,y1,…,yn 。 要求一个分段( 共 n段)线性函数q(x)，使其满足： 要求 q(xi)=yi, i=0,1,…,n. y 这n+1个点 x0,x1,…,xn 称为节点，q(x) 称为插值基函数 o • • x0 • xj-1 xj xj+1 xn x • • •
解 下面就用二维三次插值方法，得到不同月份按纬度（可以认为 是连续）变化的气旋值（插值结果），然后再作出其可视化图形如 图4-2。相应的Matlab 程序如下 y=5:10:85;x=1:12; z=[2.4 1.6 2.4 3.2 1.0 0.5 0.4 0.2 0.5 0.8 2.4 3.6;...; 0.3 0 0 0.3 0 0 0.1 0.2 0.3 0 0.1 0.3] [xi,yi]=meshgrid(1:12,5:1:85); zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’cubic’); mesh(xi,yi,zi) xlabel(‘月份’),ylabel(‘纬度’),zlabel(‘气旋’), axis([0 12 0 90 0 50]) title(‘南半球气旋可视化图形图形’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
要求x0,y0单调； 要求x0,y0单调； x0,y0单调 可取为矩阵 为矩阵， x，y可取为矩阵，或 取行向量， x取行向量，y取为列 向量，x,y的值分别 向量，x,y的值分别 不能超出x0,y0 x0,y0的范 不能超出x0,y0的范 围。
‘nearest’ nearest 最邻近插值 linear’ ‘linear 双线性插值 cubic’ ‘cubic 双三次插值 缺省时, 缺省时, 双线性插值
数学建模与数学实验
Modeling and Experiments in Mathematics
实验四 插值方法
云南大学数学系
任课教师：朱娟萍
实验目的
[1] [2] [3] [4] ； [5] 了解插值的基本原理 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； 了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想； 掌握用MATLAB计算三种一维插值和两种二维插值的方法 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
三次样条插值
三次样条函数 记为S(x), 它是定义在区间[a, b] 上的函数， 满足以下两个条件： 1). S(x) 在每一个小区间[xi-1,xi]上是一个三次多项式函数 ； 2). 在整个区间[a,b]上，其二阶导数存在且连续。 即在每个节点处 的二阶导数连续。
三次样条插值
问题：给定函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值为 问题 y0,y1,…,yn 。求一个三次样条函数S (x)，使其满足：S (xi)=yi,i=0,1,…,n. 如何确定三次样条函数在每一个小区间上的三次多项式函数的系数 呢？ 参数个数与方程个数 参数：每个小段上4个，n个小段共计4n个。 方程：1) 每个小段上由给定函数值得到2个，n个小段共计2n个； 2) 光滑性要求每一个内部节点的一阶二阶导数连续，得出 其左右导数相等，因此，每个节点产生2个方程，共计2(n-1) 个 。 现在得到了4n-2个方程，还差两个。为此，常用的方法是对边界节 点除函数值外附加要求，这就是所谓的边界条件 边界条件。需要两个，正好 边界条件 左右两个端点各一个。
例3 气旋变化情况的可视化 下面是气象学家测量得到的气象资料：在南半球地区按不同纬度﹑ 不同月份的平均气旋数字。根据这些数据，绘制出气旋分布曲面图 形。
1月 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 2.4 18.7 20.8 22.1 37.3 48.2 25.6 5.3 0.3 2 1.6 21.4 18.5 20.1 28.8 36.6 24.2 5.3 0 3 2.4 16.2 18.2 20.5 27.8 35.5 25.5 5.4 0 4 3.2 9.2 16.6 25.1 37.2 40 24.6 4.9 0.3 5 1.0 2.8 12.9 29.2 40.3 37.6 21.1 4.9 0 6 0.5 1.7 10.1 32.6 41.7 35.4 22.2 7.1 0 7 0.4 1.4 8.3 33.0 46.2 35 20.2 5.3 0.1 8 0.2 2.4 11.2 31.0 39.9 34.7 21.2 7.3 0.2 9 0.5 5.8 12.5 28.6 35.9 35.7 22.6 7 0.3 10 0.8 9.2 21.1 32.0 40.3 39.5 28.5 8.6 0 11 2.4 10.3 23.9 28.1 38.2 40 25.3 6.3 0.1 12 3.6 16 25.5 25.6 43.4 41.9 24.3 6.6 0.3
引 例1 函数查表问题
求标准正态分布函数值F(2.3456789) 由标准正态分布函数值表可以得到： F(2.34)=0.99036; F(2.35)=0.99061 2.3456789接近2.35，故F(2.3456789)约等于0.99061
在对精度要求较高时，这种处理方法受到质疑
引例2：地图绘制问题 引例2
取区间[xi-1,xi]=[2.34,2.35] ，被插值函数f(x)=F(x) 。则 yi-1=F(xi-1)=F(2.34)=0.99036; yi=F(xi)=F(2.35)=0.99061. 利用如上分段线性插值公式得到： F(2.3456789)=q(2.3456789)=0.9905。
2、分段三次埃尔米特插值
除了要求在插 值节点的函数 值给定外，还 要求在节点处 的导数值为给 定值 q ′( xi ) = yi′
设函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的函数值为 ′ y0,y1,…,yn，导数值为 y 0 , y1′ ,L, y ′ 。 n
求一个分段( 共 n段)多项式函数q(x)，使其满足： q(xi)=yi, ，i=0,1,…,n.
三次样条插值
S (x m边界 条件 给定两个边界节点的一阶导数值：m0,mn, 即： ′ 0)=m0, 边界 S ′(xn)=mn。
M边界条件 给定两个边界节点的二阶导数值：M0,Mn, 即： 边界条件 S ′′(x0)=M0, S ′′ (xn)=Mn。 周期性边界条件 在两个边界的函数 值，一阶导数值以及二阶导数值均 相等：即
S′ S ′ (x0)= S ′ (xn)； ′(x0)=S ′′(xn)
特别地，当 M0和 Mn都为零时，称 为自然边界条件。
利用matlab进行插值计算 一维插值函数： 一维插值函数：
yi=interp1(x，y，xi，'metFra Baidu bibliotekod') ， ， ，
xi处的插 xi处的插 值结果 插值节点 被插值点 插值方法
分段线性插值
根据直线的点斜式方程变形得到q(x)在第i段 [xi-1,xi]上的表达式为：
x − xi x − xi −1 q( x) = yi −1 + yi xi −1 − xi xi − xi −1
xi −1 ≤ x ≤ xi ，i=1,2,…,n
可以证明，分段线性插值具有良好的收敛性，即
lim q ( x ) = f ( x )
地图的绘制最终涉及到对某一地区或国家，如何根据测绘部门测量 的数据绘制一张该地区的地图。 最简单的做法是：首先在平面上画出所有点（节点），然后用 线段依次将相临的节点两两连接起来，得到一条由折线段构成 的封闭曲线——地图的边界
对每段曲线上的未知函数值，用直 线段上相应的函数值来代替——分 段线性插值
范例1 估计水塔的水流量 范例1
1、问题背景 某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的 水塔供水，水塔高12.2米，直径17.4米。水 塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水， 一般每天水泵工作两次。现在需要了解该 居民区用水规律与水泵的工作功率。 按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动 加水；当水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作 试建立合适的数学模型，推算任何时刻的用水率，一天的总用水量 和水泵工作功率！
或者得到一天24小时的温度曲线： xi=0:1/3600:24;yi=interp1(x,y,xi,’spline’);plot(x,y,'o',xi,yi)
利用matlab进行插值计算
N维插值函数：interpN() N=2为二维插值： z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’) 其中：N可以为2，3，...,等。
通过自己动手作实验学习如何用插值方法解 决实际问题，提高探索和解决问题的能力。 通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按 逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式 表达自己思想形成的过程和理由。提高写作、 文字处理、排版等方面的能力。
主要内容
引言与引例
分段线性插值
插值基 本方法
拉格朗日插值 三次样条插值