9.3.1 空间两条直线所成的角
9.4.1空间两条直线垂直的判定与性质
3
2.如图所示长方体中，判断直线AB与DD1是否垂直？ 请：把右边中与左边垂直的直线连接起来。
AB
CD
D1
C1
BB1 A1D1
DD1 B1C1
A1 D
B1 C
A
B
AB1
CC1
4
3.垂直于同一条直线的两条直线是否垂直？
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c
m n
l
5
3.垂直于同一条直线的两条直线是否垂直？
a c
b
6
4.经过空间一点作与已知直线垂直的直线能做几条？
第九章 立体几何 9.4 线-线、线-面、面-面垂直的判定与性质
a ⊥ b 1. 空间两条直线所成的角是90°
2. 直线a与b互相垂直：a ⊥ b
2
1.如图所示长方体中，找与直线AB垂直的棱并分类
D1
C1
A1
相交垂直
D
B1
C 异面垂直
A
B
AA1 A1D1
BB1 B1C1
AB
AD D1D
BC C1C
ED1 A1
C1
B1
答：能做无
数多条？都
l
在过这点并
且跟直线垂
D
C 直的平面内
A
7
F
B
下一节：9.4.2 直线与平面垂直的判定与性质
2020年2月25日2时2分
8
一体化课程培训——空间两条直线及所成的角教学设计
空间两条直线及所成的角教学设计【设计理念】：中职学校立体几何课程以培养学生的逻辑思维和空间想象力为主要目标。
根据我校学生特点，坚持教学课堂的先做后学，先学后教，以教促学的“生本理念”，在处理方式上采用削干强枝，淡化形式的教学原则，通过多媒体应用，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动获得教学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式。
注重对典型实例的观察、分析，给学生提供动手操作的机会，引导学生进行归纳、概括活动，在经历观察、实验，猜想等合情推理活动后，再进行演绎推理、逻辑论证。
另外，通过“观察、思考、探究”等向学生提出问题，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动在进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程，注重探索空间图形性质的过程。
一、教学目标知识目标：（1）理解异面直线的概念，掌握空间两条直线的位置关系（2）理解异面直线夹角的定义，熟练掌握求异面直线夹角的的方法能力目标：（1）采用情景、对话、探讨等教学模式，通过动手画图，分析总结，空间想象等小结出异面直线的概念，得出空间里面两条直线的位置关系。
（2）通过平移的方法，得出夹角的定义，并熟练求异面直线的夹角（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．情感目标：（1）培养学生善于提出问题、分析问题的思维品质，理解事物之间相互关系、相互转化的辩证唯物主义思想。
（2）努力创造一种和谐、平等、宽松的课堂氛围，让学生乐于学习，敢于表达、交流自己的看法和想法。
二、教学重点和难点：教学重点: （1）异面直线概念的定义，判断异面直线所成的角。
（2）如何求异面直线的夹角。
教学难点：异面直线所成的角【教法分析】在教学内容的处理上，按照“直观感知—操作确认—思辨应用”的认识过程展开。
采用合作讨论法，实践学习法等教学方法，先通过直观感知和操作确认的方法，概括出异面直线的概念。
采用多媒体教学等有效手段，通过对图形的观察、实验和画图，使学生进一步了解空间的直线与直线夹角，学会准确的运用异面直线夹角知识解决一些简单的推理应用问题。
高二数学两条直线所成的角
两条直线所成的角一、教学目标(一)知识教学点一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式；两直线的夹角公式；能熟练运用公式解题．(二)能力训练点通过课题的引入；训练学生由特殊到一般；定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导；培养学生综合运用知识解决问题的能力．(三)学科渗透点训练学生由特殊到一般；定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．二、教材分析1．重点：前面研究了两条直线平行与垂直；本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到；教学时要讲请l1、l2的公式的推导方法及这一公式的应用．2；难点：公式的记忆与应用．3．疑点：推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况；对于两条相交直线；怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．(二)l1到l2的角正切两条直线l1和l2相交构成四个角；它们是两对对顶角．为了区别这些角；我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角；叫做l1到l2的角．图1-27中；直线l1到l2的角是θ1；l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．l1到l2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角；设已知直线的方程分别是l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2如果1+k1k2=0；那么θ=90°；下面研究1+k1k2≠0的情形．由于直线的方向是由直线的倾角决定的；所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32)；甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x 轴围成的三角形的外角．tgα1=k1； tgα2=k2．∵θ=α2-α1(图1-32)；或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)；∴tgθ=tg(α2-α1)．或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)．可得即eq \x( )上面的关系记忆时；可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．(三)夹角公式从一条直线到另一条直线的角；可能不大于直角；也可能大于直角；但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角；简称夹角)就可以了；这时可以用下面的公式(四)例题解：k1=-2；k2=1．∴θ=arctg3≈71°34′．本例题用来熟悉夹角公式．例2 已知直线l1： A1x+B1y+C1=0和l2： A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0)；l1到l2的角是θ；求证：证明：设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2；则这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0；底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0；点(-2；0)在另一腰上；求这腰所在直线l3的方程．解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等；并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等；并且与两腰的顺序无关．设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3；l1到l2的角是θ1；l2到l3的角是θ2；则．因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形；所以θ1=θ2．tgθ2=tgθ1=-3．解得 k3=2．因为l3经过点(-2；0)；斜率为2；写出点斜式为y=2[x-(-2)]；即 2x-y+4=0．这就是直线l3的方程．讲此例题时；一定要说明：无须作图；任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等；要为锐角都为锐角；要为钝角都为钝角．(五)课后小结(1)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；(2)l1到l2的角的正切公式；(3)l1与l2的夹角的正切公式；(4)等腰三角形中；一腰所在直线到底面所在直线的角；等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．五、布置作业1．(教材第32页；1．8练习第1题)求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角：∴θ1=45°．l2到l1的角θ2=π-θ1=arctg3．2．(教材第32页；1．8练习第2题)求下列直线的夹角：∵k1·k2=-1；∴l1与l2的夹角是90°．(2)k1=1； k2=0．两直线的夹角为45°．∴l1与l2的夹角是90°．3．(习题三第10题)已知直线l经过点P(2；1)；且和直线5x+2y+3=0的夹角为45o；求直线l的方程．即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0．4．等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是2x-y+4=0；底面所在的直线l2的方程是x+y-1=0；点(-2；0)在另一腰上；求这腰所在的直线l3的方程．解：这是本课例3将l1与l3互换的变形题；解法与例3相同；所求方程为：x-2y-2=0．六、板书设计。
9.3.1空间两条直线所成的角 课件
B1
（2）AA1与 BC1
90° 45°
D
C （3）AC与 BC1
A
B
60°
四、总结
本节课我们研究了什么？ 1.空间两条直线所成的角。
我们学会了什么？
2.两条异面直线所成的角求法－找平行 线或作平行线（对角线或中位线）
立体几何计算题的计算步骤有哪些
3.异面直线所成Βιβλιοθήκη 解题要有：作 →证→求→ 答。五、作业
探究空间中两条异面直线所成的角怎么定义
b
α
a
.O
定义：经过空间任意一点分别作与两条异面直
线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两
条异面直线所成的角。
n n′
m m′
O
n
o
m m′
m与n所成角的大小与点O的位置有关吗？
异面直线所成角的范围是什么？
两条直线垂直，它们一定相交吗？
D1 A1
C1 （1）AB1与CD
1、阅读本节教材
2、课本P102 A组 1、2；B 组（选做）
§9.3.1空间两条直线 所成的角
中等职业教育课程改革国家规划教材（高教版）
一、复习：
空间的两条直线的位置关系
a
１．两条直线平行
b
２．两条直线相交
A
a
共
b
面
３．两条直线异面 β
a Ab
异面
二、探究两条直线所成的角
a 我们规定：两条平行
b
直线的夹角为０o。
2
a 两条相交的直线所成的
3
1 b 角中最小的正角，叫两条
4
直线的夹角00 900
？
实验一： 在一张纸上画有两条能相交的直线a、b（但交点在纸外）。现 给你一副三角板和量角器，限定不延长纸上的线段，问如何能 量出a、b的夹角的大小？
优品课件之高三数学下册《空间角问题》知识点
高三数学下册《空间角问题》知识点高三数学下册《空间角问题》知识点一、直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
二、直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为。
②平面的垂线与平面所成的角：规定为。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：一作，二证，三计算。
在作角时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，三、解题技巧在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
(3)二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。
④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角。
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角。
优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。
高三数学下册空间角问题知识点
高三数学下册空间角问题知识点空间角的计算方法都是转化为平面角计算。
要充分挖掘图形的性质，寻求平行关系，比如利用“中点”等性质，直线与平面所称的角是平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角。
那么同学们赶快一起来看看空间角问题知识点！一、直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
二、直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为。
②平面的垂线与平面所成的角：规定为。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：一作，二证，三计算。
在作角时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，三、解题技巧在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
(3)二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。
④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角。
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角。
练习题：1．下列命题正确的序号是________．①若a∥b，〈b，c〉＝π4，则〈a，c〉＝π4.②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝B．③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c.【解析】①〈a，c〉＝π4或3π4，①错；②a∥b；②错；③当c＝0时，推不出a∥c，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】④2．在棱长为1的正方体中，S表示所有顶点的集合，向量的集合P＝{a|a＝P1P2→，P1，P2∈S}，则在集合P中模为3的向量的个数为________．【解析】由棱长为1的正方体的四条体对角线长均为3知：在集合P中模为3的向量的个数为8.【答案】 8以上就是我们给同学们整理的空间角问题知识点啦！想要了解更多精彩的内容，大家可点击【原创专栏】来看~~。
空间中直线与平面所成角的范围
空间中直线与平面所成角的范围一、引言空间中直线与平面所成角的研究是几何学中的重要内容，涉及到许多实际问题的求解。
本文将对空间中直线与平面所成角的范围进行详细探讨，以期提高大家对几何知识的理解和应用能力。
二、空间中直线与平面所成角的定义与性质1.定义空间中直线与平面所成角是指直线与平面内任意一条直线所成的最小角。
这个角度可以用直线与平面内直线之间的夹角来表示。
2.性质（1）直线与平面平行时，所成角为0°。
（2）直线与平面垂直时，所成角为90°。
（3）直线与平面斜交时，所成角的范围为0°～90°。
三、空间中直线与平面所成角的变化范围1.直线与平面平行时，所成角为0°。
2.直线与平面垂直时，所成角为90°。
3.直线与平面斜交时，所成角的范围为0°～90°。
四、应用与实例1.几何问题求解在几何问题中，了解空间中直线与平面所成角的范围有助于快速判断线面关系，进而解决问题。
例如，在解决立体图形的表面积和体积问题时，可以通过计算直线与平面所成角来确定几何体的形状。
2.工程实践中的应用在工程实践中，空间中直线与平面所成角的应用也十分广泛。
例如，建筑设计师在设计建筑物的空间结构时，需要了解直线与平面所成角的大小，以确保建筑物的稳定性。
此外，机械工程师在设计机械零件时，也需要考虑直线与平面所成角的影响，以保证零件的装配精度。
五、总结与拓展本文对空间中直线与平面所成角的范围进行了详细探讨，从定义、性质、变化范围等方面进行了分析。
通过对这一知识点的掌握，大家可以在几何问题求解和工程实践中发挥重要作用。
此外，对于空间几何中的其他知识点，如直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线之间的角度问题，也可以采用类似的方法进行研究和探讨。
两条直线所成的角PPT教学课件
初三语文组
基本目标
• 感受诗词经典，追溯文化渊源; • 提高审美品位，积蓄典雅语言。
要点与方法：
• 节律是特征，朗读以凸显之。 • 意象是风景，想像以再现之。 • 情感是灵魂，体验以沟通之。 • 语言是珍品，玩味以珍藏之。
五个环节
• 一、朗读全诗，力求读准——感知作品 • 二、弄懂字词，理顺语句——疏通作品 • 三、揣摩意象，领略意境——领会作品 • 四、自我感受，独特体验——感悟作品 • 五、赏析技巧，品味语言——鉴赏作品
—骆宾王
触景生情：
昔人已乘黄鹤去， 此地空余黄鹤楼。 黄鹤一去不复返， 白云千载空悠悠。 晴川历历汉阳树， 芳草凄凄鹦鹉洲。 日暮乡关何处是？ 烟波江上使人愁。 —崔颢《黄鹤楼》
绘景言志：
东临碣石，以观沧海。 水何澹澹，山岛竦峙。 树木丛生，百草丰茂。 秋风萧瑟，洪波涌起。 日月之行，若出其中， 星汉灿烂，若出其里。 幸甚至哉，歌以咏志。 —曹操《观沧海》
y
x o
提问：１.解析几何中怎样判断两条直线的平 行和垂直？
直线的斜率 或 以方程的特点观察
２、区分以下两组直线的相交程度用什
么量刻画？
２
１
４３
两条直线所成的角
想一想 ？
观察下列两组相交直线，自己下定义以便区
分两组对顶角
l2
l4
2
3
1
4
甲
l1
2
3 1
4
乙
l3
一、概念的建立
1、l1到 l2角的定义
• 第二、“画意”揣摩。即探寻画面所蕴含 的意义及作者所要表达的思想感情，这是由画 面向画意的转化；越是客观本然，越是符合作 者本意就越好。
• 第三、“画源”追溯。一种情况是意象成 因的分析，如周振甫先生就曾对杜甫<春夜喜 雨>的意象形成，作过具体阐释。另一种情况 是对作者心路历程的追寻，即要知道作者是在 怎样的生活背景和心理情绪下写出这一作品的 。
直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：了解线线、线面、面面所成交的概念能力目标：（1）会找出线线、线面、面面所成的角；（2）利用线线、线面、面面所成的角，解释生活空间的一些实例；（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．情感目标：（1）经历对线线、线面、面面所成的角及对应直观图形的认知，发展空间想象思维．（2）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维．（3）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用．（4）经历合作学习的过程，尝试探究与讨论，树立团队合作意识．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】9.3.1题图在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察． 过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做所示，在二面角α−l 为垂足，在面α与面β内分别作就是这个二面角的平面角．创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因．动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此图9−40CD（2）（1）平面角是直角的二面角叫做直二面角继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例【教师教学后记】第9章立体几何（教案）。
空间中直线与直线所成的角(夹角)
感谢您的观看
THANKS
详细描述
当两条重合的直线在空间中相交，它 们之间的夹角是0度。这是因为重合的 直线实际上是同一条直线，所以它们 在任何点处的角度都是相同的。
05
直线与直线所成的角的计算 方法
利用三角函数计算角度
总结词
利用三角函数计算直线与直线所成的角度，需要知道直线的 倾斜角，然后通过三角函数关系计算出两直线之间的夹角。
详细描述
首先，我们需要确定两条直线的倾斜角。然后，使用三角函数 中的正切或余切函数，通过两条直线的斜率来计算它们之间的 夹角。具体地，设两直线的斜率为k1和k2，夹角为θ，则有 tan(θ/2) = |k2 - k1| / (1 + k1 * k2)。
利用向量计算角度
总结词
通过向量的点积和模长来计算直线与 直线所成的角度。首先，我们需要将 直线表示为向量，然后利用点积公式 和向量的模长来计算两向量之间的夹 角。
夹角的几何意义在解 析几何、射影几何等 领域有着广泛的应用。
夹角的大小反映了直 线之间的倾斜程度。
03
直线与直线所成的角的实际 应用
空间几何问题
确定物体位置关系
在空间几何问题中，通过 计算两条直线所成的角， 可以确定物体之间的相对 位置关系。
判断形状和性质
通过分析直线之间的夹角， 可以判断几何形状的性质， 如平行、垂直、相交等。
通过作出的几何图形，利 用量角器或三角板测量夹 角的度数。
利用向量计算
通过向量的点积和模长， 利用向量公式计算夹角的 余弦值，从而得出夹角的 度数。
02
直线与直线所成的角的性质
角度的范围
01
02
03
04
直线与直线所成的角， 其角度范围在0°到180° 之间。
9.3.1空间两条直线所成的角
【课题】9.3 空间两条直线所成的角【教学目标】知识目标：学习异面直线所成角的概念.能力目标：注重培养学生观察、分析、归纳、推理的能力.情感目标：通过对概念的学习研究，培养学生主动探究，勇于发现的求知精神. 【教学重点】异面直线所成角的概念.【教学难点】等求简单的异面直线所成的角的大小.【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(40分钟)【教学过程】一复习旧知引入新课先回顾之前所学的内容，两条直线的位置关系有几种？分别是什么？两条直线所成的角怎么样测量呢？不在同一个平面的两条直线怎样测量呢？所成的角度为多少度？二设疑激探自主学习1.什么是两条相交直线的夹角？2.什么是两条异面直线所成的角？3.两条异面直线所成角的范围是多少？1.两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．2.经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角，就是两条异面直线所成的角.3.两条异面直线所成角的范围(0°，90°]如图所示，∥、∥，则与的夹角就是异面直线与所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点当两条异面直线所成的角为直角时称为这两条异面直线垂直.直线m与直线n垂直，记为m ┴ n三合作讨论共同探究例1 如图9−32所示的长方体中，，求下列异面直线所成的角的度数：(1) 与； (2) 与 .解（1）因为∥，所以为异面直线与所成的角．即所求角为.（2）因为∥，所以为异面直线与所成的角．在直角△中，，所以，即所求的角为.图9－32四学生展示教师点评在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）与；（2）与．五巩固提高强化练习如图正方体中，直线AD与B1C是直线，直线AD与B1C所成的角为；直线B1 B与D1D是直线，直线B1 B与D1D所成的角为；六归纳总结作业布置1.两条异面所成的角的概念？2.两条异面直线垂直？1.读书部分：阅读教材相关章节2.书面作业：指导与练习60-61页3.实践调查：寻找生活中的两条异面所成的角七情感升华在生活的空间中，目标给了我们生活的目的和意义，看似两个不同的含义，都会在目标面前相交，这两条线所形成的角度，会释放出灿烂的火花，所以当我们发现有些事情没有在一个平面中共同发展的时候，不要惊慌，不要迷茫，用心去平移，用心去描绘，让我们换个角度看待我们的生活，你会发现不一样的收获。
高中数学知识点：空间角问题
高中数学知识点：空间角问题一、直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
二、直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为。
②平面的垂线与平面所成的角：规定为。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，三、解题技巧在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角。
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1.回顾 空间两条直线的位置关系：
位置关系
图形
所成的角
平行
00
相交
00 900
异面
？
2.常见异面直线的画法:平面衬托法
a
b
b
a
b
a
实验 创设情境 兴趣导入
在如图所示的长方体中,直线 BC1和直线AD是异面直线，度量 CBC1 和DAD1 ，发现它们是相等的．
如果在直线AB上任选一点P,过点P分别作与直线 BC1 与直线AD
平行的直线，那么它们所成的角是否与 CBC1相等？
9．3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
异面直线所成角:
设a、b是异面直线，过空间任一点O作
a//a，b//b ，则a， b 所成的锐角(或直角)，
叫做异面直线a、b所成的角.
b
b'
b
a
a'
o
o
a' a
平行移动法
一、定义
经过空的夹角叫做两条 异面直线所成的角。
A1
B1
（2）AB1与CC1
D
C 解(1) ∵DC∥AB, 2.说明
A
B
∴∠BAB1为异面
1.平移
直线AB1与CD所 成的角，
3.解答
即所求角为30°。
(2) AB1B 90 30 60，
例题2 如图：正方体ABCD A1B1C1D1
求异面直线BA1和CC1所成的角。
D1 A1
D A
C1
B1 所以B A1和 CC1所成的角为450
90° 45°
D
C （3）AC与 BC1
A
B
60°
2、已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体
D1
A1 D
A
1、正方体的哪些棱所在直
C1 线与直线BC1是异面直线？
2、求异面直线AA1与BC所 成的角？
B1
3、求异面直线BC1与AC所
成的角？
F
C
E
B
4、E、F分别是棱BC、DC
的中点，求异面直线AD1 与EF所成角的大小？
3、在正方体ABCD-EFGH中AE=a （1）求EB与HF所成的角 （2）求AG与BD所成的角
H
G
E
F
D
C
A
B
3、在正方体ABCD-EFGH中AE=a
（2）求AG与BD所成的角
小结：找异面直线
所成角的方法是：
利用平行四边形或
三角形中位线平移
至端点，中点。
H
G
小结：找异面直线所成角 的方法是：利用平行四边 形或三角形中位线平移至 端点，中点。
C B
求异面直线所成角的步骤:
一作(找)：作（或找）异面直线所成角； 二证：证明所作(或找)的角为所求的异
面直线所成的角； 三求：在一恰当的三角形中求出角。
三、课堂练习
1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求下列各对异面直线所成的角的度数。
D1 A1
C1 （1）DD1与BC
B1
（2）AA1与 BC1
n n′
m m′
O
n
o m m′
m与两n所异条成面直角直线的线垂大所直小成，与角它点的们O范一的围定位是相置什交有么吗关？？吗？(0,
两条异面直线所成的角为直角时称这两条异面直线垂直
] 2
二、例题1
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAB1=30°
求下列异面直线所成角的度数。
D1
C1 （1）AB1与CD
E
FP
D
C
O
A
B
四、当堂训练(学案P124)
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节
作业
书面作业：数学学案P124-125（必做）
9．3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角