中考数学复习-专题一数与式-精品课件

元．请你以亿．元．为单位用科学记数法表示去年我国的国内生产总
值(结果保留两个有效数字)
(D )
A．3.9×1013
B．4.0×1013
C．3.9×105
D．4.0×105
│ 归类示例
科学记数法的表示方法： (1)当原数的绝对值大于或等于 1 时，n 等于原数的整 数位数减 1. (2)当原数的绝对值小于 1 时，n 是负整数，它的绝对 值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数(含小数点 前的 0)． (3)有数字单位的科学记数法，先把数字单位化去， 再用科学记数法表示．
例 2 当 0<x<1 时，x2，x，x1的大小顺序是
A. 1x<x<x2
B. x1<x2<x
C．x2<x<x1
D．x<x2<x1
( C)
│ 归类示例
[解析] 解法一：采用“特殊值法”来解：令 x＝12，则 x2 ＝14，1x＝2，∴1x>x>x2.
解法二：可用“差值比较法”来解：当 0<x<1 时，1－x>0， x－1<0，x＋1>0，∴x－x2＝x(1－x)>0，∴x>x2.又 x－1x＝x2－x 1 ＝x＋1xx－1<0，∴x<1x，∴x2<x<1x.
│ 归类示例
[解析] 纸环的个数为 5 的倍数，而前面有 8 个，最后又 有 4 个，把四个选项中的数加上12 能被 5 整除的是 2013，因 为 2013＋12＝2025，故选 D.
此类探究实数规律性问题的特点是给定一列数或等式或 图形，要求进行适当地计算，必要地观察、猜想、归纳、验 证，利用从特殊到一般的数学思想，分析特点，探索规律， 总结结论．
[注意] (1)常见的非负数的形式：|a|，a2， a(a≥0)． (2)非负数的性质：几个非负数之和为 0，则每一个非负 数都为 0.
│ 归类示例
归类示例
► 类型之一 实数的概念及分类
命题角度： 1．有理数与无理数的概念 2．实数的分类
例 1 实数272，sin30°， 2－1，π3，( 3)0，3 －8， 12，
│ 归类示例
► 类型之四 创新应用题
命题角度： 1．探究数字规律 2．探究图形与数字的变化关系
例 4 [2011·嘉兴] 一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺
序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图1－1 所示，
则被截去部分纸环的个数可能是
( D)
图 1－1 A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
两个实数的大小比较方法有：(1)正数大于零，负 数小于零；(2)利用数轴；(3)差值比较法；(4)商值比较 法；(5)倒数法；(6)取特殊值法；(7)计算器比较法等．
│ 归类示例
► 类型之三 实数与数轴 命题角度： 1．实数与数轴上的点一一对应关系 2．数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合 3．数轴与实数大小比较、实数运算结合
[辨析] 2.05 与 2.0500 的区别． 2．05 精确到 0.01，有效数字是 2,0,5；2.0500 精确 到 0.0001，有效数字是 2,0,5,0,0.两者的精确度和有效数 字均不同，所以小数点后的“0”不能随意舍去．
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考点3 非负数
__正__数__和__零___叫做非负数．
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3．商值比较法 设 a、b 是两正实数，则 ab>1⇔a>b；ab＝1⇔a＝b；ab <1⇔a<b. 4．绝对值比较法 设 a、b 是两负实数，则 |a|>|b|⇔a<b；|a|＝|b|⇔a＝b；|a|<|b|⇔a>b. 除此之外，还有平方法、倒数法等方法． [注意] 比较实数大小时，常常用到实数的减法和除 法运算．
图 1－4 [解析] 2< 7<3，所以能被墨迹覆盖的数是 7.
│ 实数的运算及实数的大小比较
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考点1 实数的运算
1．在实数范围内，加、减、乘、除(除数不为零)、乘方都可 以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进行开方运 算，而负实数只能开立方，不能开平方．
2．有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算． 3．实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加 减，有括号的要先算括号内的．若没有括号，在同一级运算中， 要从左至右依次进行运算．
无理数
正 负无 无理 理数 数无限不循环小数
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2．按正负分类 正实数正正无有理理数数正 正整 分数 数
实数零 负实数负 负有 无理 理数 数负负分整数数
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[注意] (1)任何分数都是有理数，如272，－131等． (2)0 既不是正数，也不是负数，但 0 是自然数． (3)常见的几种无理数：
|－3|,0.1010010001…中，无理数的个数是
( C)
A．2
B．3 C．4
D．5
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[解析] 272是分数，它是有理数；sin30°＝12，( 3)0＝1， 3 －8＝－2，|－3|＝3，这些都是有理数； 12＝2 3，是无理 数；无理数还有 2－1，π3，0.1010010001….
顺序进行．中考中常常把绝对值、锐角三角函数、根式结
合在一起考查．
(2)要注意零指数幂和负指数幂的意义．负指数的运算：
a－
p
＝
1 ap
(a≠0，
且
p
是 正 整 数 )， 零 指数 幂 的运算 ： a0 ＝
1(a≠0)．
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► 类型之二 实数的大小比较
命题角度： 1．利用实数的大小比较法则比较大小 2．实数的大小比较常用方法
例 2 填空题： (1)相反数等于它本身的数是____0____． (2)倒数等于它本身的数是___±_1____． (3)平方等于它本身的数是__0_或___1__． (4)平方根等于它本身的数是____0____． (5)绝对值等于它本身的数是_非__负__数___．
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[解析] 解决这类题最好的方法是借助于方程来求解， 可避免出错．设这个数为 x，则(1)－x＝x，x＝0；
4．利用数轴进行代数式的化简
例 3 [2012·中考预测] 已知实数 a 在数轴上的位置如图 2－
1 所示，那么化简|1－a|＋ a2的结果为
( A)
A．1 C．1－2a
图 2－1 B．－1 D．2a－1
│ 归类示例
[解析] ∵0<a<1，∴1－a＞0，|a|＝a，即|1－a|＋ a2＝ |1－a|＋|a|＝1－a＋a＝1，故选 A.
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[注意] (1)要理解零指数、负整数指数的意义，防 止以下错误：①3－2＝－19；②2a－2＝21a2.
(2)遇到绝对值，一般要先去掉绝对值符号，再进 行计算．
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考点2 实数大小的比较
1．正数___大__于___零，负数___小__于___零，正数__大__于__ 一切负数．两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对 值大的反而小．
2．相反数：只有___符__号___不同的两个数互为相反数． [注意] (1)若 a、b 互为相反数，则有 a＋b＝0，a2n＝ b2n(n 为正整数), |a|＝|b|. (2)相反数等于它本身的数是零，即若 a＝－a，则 a ＝0.
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3．倒数：___乘__积___是 1 的两个数互为倒数．
AB 长为 1，OA 在数轴上，以原点 O 为圆心，对角线 OB 的长为半
径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数
(D )
A．2.5ຫໍສະໝຸດ 图 1－3B．2 2
C. 3
D. 5
[解析] 由勾股定理得 OB＝ OA2＋AB2＝ 22＋12＝ 5.
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2．[2010·河南] 若将三个数－ 3， 7， 11表示在数轴上， 其中能被如图 1－4 所示的墨迹覆盖的数是____7____．
(2)1x＝x，∴x2＝1，∴x＝±1； (3)x2＝x，x2－x＝0，x＝0 或 x＝1； (4)± x＝x，x2＝x，x＝0 或 x＝1(不合题意，舍去)； (5)|x|＝x，x≥0.
│ 归类示例
(1)求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负 号，有时需要化简得出．
(2)一个负数的绝对值等于它的相反数．反过来，一 个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数．
(2)如果把所有有理数都标到数轴上，那么数轴填不满．因 为有理数不包括 A 点．
[点评] 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数 轴上的点是一一对应的．
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中考变式
1．[2011·贵阳] 如图 1－3，矩形 OABC 的边 OA 长为 2，边
中考复习精品课件 专题一 数与式
专题一数与式
第1课时 实数的有关概念 第2课时 实数的运算及实数的大小比较 第3课时 整式及因式分解 第4课时 分式 第5课时 数的开方及根式
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考点1 实数的概念及分类
1．按定义分类
整数
正 零整数自然数
有理数
负整数
实数
分数 正 负分 分数 数有限小数或无限循环小数
[注意] 零是唯一没有倒数的数，倒数等于本身的数是 1 或－1.
4．绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的__距__离__，记 作|a|.
a a>0； [注意] |a|＝0 a＝0；
－a a<0.
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5．科学记数法：把一个数写成___a_×__1_0_n__的形式 (其中 1≤|a|＜10，n 为整数)，这种记数法叫做科学记 数法．
(1)一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断． (2)常见的几种无理数：①根号型： 2， 8等开方开不尽的； ②三角函数型：sin60°，tan30°等；③构造型：如 1.323223…； ④与 π 有关的：如π3，π－1 等．
│ 归类示例
► 类型之二 实数的有关概念
命题角度： 1．数轴、相反数、倒数等概念 2．绝对值的概念及计算
│ 归类示例
归类示例
► 类型之一 实数的运算
命题角度： 1．实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算 2．实数的运算在实际生活中的应用
例 1 [2011·滨州] 计算：
12－1－(π＋3)0－cos30°＋
12＋
23－1.
解：原式＝2－1－ 23＋2 3＋1－ 23＝2＋ 3.
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(1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数有关 的概念、性质、运算法则和运算律，要弄清按怎样的运算
(1)当原数的绝对值大于或等于 1 时，n 等于原数的 整数位数减 1.
(2)当原数的绝对值小于 1 时，n 是负整数，它的绝 对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数(含小 数点前的 0)．
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6．近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到 哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边 第一个不是 0 的数字起，到精确的数位止，所有的数字 都叫做这个数的有效数字．
①根号型： 2， 8等开方开不尽的数； ②三角函数型：sin60°，tan30°等； ③构造型：如 1.323223…； ④与 π 有关的：如π3，π－1 等．
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考点2 实数的有关概念 1．数轴：规定了___原__点___、_正__方__向___、单__位__长__度__的直
线叫做数轴． [注意] 数轴上的点与实数一一对应．
变式题 [2011·成都] 已知实数 m、n 在数轴上的对应
点的位置如图 2－2 所示，则下列判断正确的是 ( C )
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教材母题 [人教版八上] (1)如图 1－2，OA＝OB，数轴上 A 点对应的数是什么？它介 于哪两个整数之间？ (2)如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？
图 1－2
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解：(1)因为根据勾股定理得 OB2＝1＋1＝2，所以 OB＝ 2.OA＝OB，故 OA＝ 2，A 点对应的数是无理数，它介于整 数 1 和 2 之间．
(3)解绝对值和数轴有关问题时常用到字母表示数 的思想、分类讨论思想和数形结合思想．
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► 类型之三 科学记数法和近似数、有效数字
命题角度： 1．用科学记数法表示数 2．近似数与有效数字的概念
例 3 [2011·广安] 从《中华人民共和国 2011 年国民经济和社
会发展统计报告》中获悉，去年我国国内生产总值达 397983 亿
2．利用数轴：在数轴上表示的两个实数，右边的数 总是大于左边的数．
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考点3 比较实数大小的常用方法
1．数轴比较法 将两个实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数 大，两数表示在同一点则相等． 2．差值比较法 设 a、b 是任意两实数，则 a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b.