北师大版高中数学必修五第3章复习课

复习课不等式课时目标1.熟练掌握一元二次不等式的解法，并能解有关的实际应用问题.2.掌握简单的线性规划问题的解法.3.能用基本不等式进行证明或求函数最值．不等式—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—不等关系—⎪⎪⎪⎪—不等式的性质—实数比较大小—一元二次不等式—⎪⎪⎪—一元二次不等式的解法—一元二次不等式的应用—基本不等式—⎪⎪⎪⎪—算术平均数与几何平均数—基本不等式的应用—简单线性规划—⎪⎪⎪⎪—二元一次不等式(组)与平面区域—简单线性规划—简单线性规划的应用一、选择题1．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0B ．0<a b<1 C.ab <a ＋b2D ．ab >a ＋b2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解是[－12，－13]，则不等式x 2－bx －a <0的解是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．(13，12)D ．(－∞，13)∪(12，＋∞)3．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．404．不等式x －1x≥2的解为( )A ．[－1,0)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)5．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2(2＋1)B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2C ．ab 有最大值2＋1D ．ab 有最小值2(2＋1)6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．4二、填空题7．已知x ∈R ，且|x |≠1，则x 6＋1与x 4＋x 2的大小关系是________．8．若函数f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．9．若x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为____．10．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)． 三、解答题11．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M .(1)若3∈M，且5∉M，求实数a的取值范围．(2)当a＝4时，求集合M.12．当x>3时，求函数y＝2x2x－3的值域．能力提升13．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是( )A．1B．2C．3D．414．若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是________．1．不等式是高中数学的重要内容，其中蕴含着许多重要的思想方法，是高考考查的重点．2．本章内容主要有以下四个方面：①不等式的性质；②一元二次不等式的解法；③简单的线性规划问题；④基本不等式及应用．复习课不等式答案作业设计 1．C2．A [由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5.∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)．]3．C [作出可行域如图所示．由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.]4．A [x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x ≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0x ≠0⇔－1≤x <0.]5．A [∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b2)2，∴(a ＋b2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)．∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ， ∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式，解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2.]6．A [不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直 线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a ＝b ＝65时取等号)．]7．x 6＋1>x 4＋x 2解析 x 6＋1－(x 4＋x 2) ＝x 6－x 4－x 2＋1 ＝x 4(x 2－1)－(x 2－1)＝(x 2－1)(x 4－1)＝(x 2－1)2(x 2＋1)∵|x |≠1，∴x 2－1>0，∴x 6＋1>x 4＋x 2. 8．[－1,0]解析 由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 9．3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz 的最小值为3.10．15解析 设购买A 、B 两种铁矿石分别为x 万吨、y 万吨，购买铁矿石的费用为z 百万元，则z ＝3x ＋6y .由题意可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋710y ≥1.9，x ＋12y ≤2，x ≥0，y ≥0.作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z ＝3x ＋6y 在点A (1,2)处取得最小值，z min ＝3×1＋6×2＝15.11．解 (1)∵3∈M ，∴3a －59－a <0，解得a <53或a >9；若5∈M ，则5a －525－a<0，解得a <1或a >25.则由5∉M ，知1≤a ≤25，因此所求a 的范围是1≤a <53或9<a ≤25.(2)当a ＝4时，4x －5x 2－4<0.方法一 4x －5x 2－4<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0x 2－4<0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －5<0x 2－4>0.⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >54－2<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <54x <－2或x >2⇔54<x <2或x <－2. ∴M ＝{x |x <－2或54<x <2}．方法二 4x －5x 2－4<0⇔(x －54)(x ＋2)(x －2)<0由数轴穿根法知：x <－2或54<x <2.∴M ＝{x |x <－2或54<x <2}．12．解 ∵x >3，∴x －3>0.∴y ＝2x 2x －3＝2(x －3)2＋12(x －3)＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥22(x －3)·18x －3＋12＝24.当且仅当2(x －3)＝18x －3，即x ＝6时，上式等号成立，∴函数y ＝2x2x －3的值域为[24，＋∞)．13．D [a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取等号．]14．(259，4916]解析 由(2x －1)2<ax 2成立可知a >0，整理不等式可得(4－a )x 2－4x ＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a >0，即a <4，故0<a <4，解得不等式有2－a4－a <x <2＋a 4－a，即2－a (2＋a )(2－a )<x <2＋a (2＋a )(2－a )，亦即14<12＋a <x <12－a，要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么3<12－a≤4，解得259<a ≤4916.。