高考数学 数列压轴题放缩法技巧

2010高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑

=-n

k k 12

142

的值; (2)求证:35112

<∑

=n

k k

. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以12212111

4212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为

⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-

<1211212144

4

11

1222

n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n

k Λ 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=12112121444412

22n n n n n (2))

1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1

11)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅

=+r r r r r r n r n r n n

C T r r

r n r

(4)2

5

)1(12311

2111)11(<-+

+⨯+⨯++<+n n n

n Λ

(5)

n

n n

n 2

1

121)12(21--=- (6)

n n n -+<+22

1

(7))1(21

)1(2--<<

-+n n n n n

(8)

n

n n n n n n 2)32(12)12(12

13211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-

(9)⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !

)1(1!1!)1(+-

=+n n n n (11)

2

12121

21222)1212(21-++

=

-++=

--+

(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211

12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n

(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11

123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-

-=+-<

⋅=

n n n n n n n n n n n n 1111211111

1

+--<-++⋅

⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n

(13) 3

212132122)12(332)13(2221

n n n n

n

n

n

n

n <

-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-

+=+++++k k k k k k (15) )2(1)

1(1≥--<+n n n n n

(15) 11

1)

11)((112

2

2

22

222<++

++=

++

+--=

-+-+j i j i j i j i j i j i j i

例2.(1)求证:)2()12(21

67)

12(1513112

22≥-->-++++

n n n Λ (2)求证:n n

412141361161412-<++++Λ

(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n

n ΛΛΛ

(4) 求证：)112(2131211)11(

2-+<+

+++

<-+n n

n Λ

解析:(1)因为⎪⎭⎫

⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)

12(12

n n n n n ,所以

)

1

2131(211)12131(211)

12(1

1

2

--+>+-+>-∑=n n i n

i (2))1

11(41)1211(41413611614

1222n n

n -+<+++=++++

ΛΛ (3)先运用分式放缩法证明出1

212642)12(531+<

⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n

n ΛΛ,再结合

n

n n -+<+22

1进行裂项,最后就

可以得到答案

(4)首先n

n n n n

++=

-+>12)1(21

,所以容易经过裂项得到