浙江专升本高等数学真题

2018年浙江专升本高数考试真题答案

一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

1、设⎪⎩⎪

⎨⎧≤>=00,,sin )(x x x

x x x f ，则)(x f 在)1,1(-内（C ）

A 、有可去间断点

B 、连续点

C 、有跳跃间断点

D 、有第二间断点

解析：1sin lim )(lim ,0lim )(lim 0000====++--→→→→x

x

x f x x f x x x x

)(lim )(lim 0

x f x f x x +-→→≠ ，但是又存在，0=∴x 是跳跃间断点

2、当0→x 时，x x x cos sin -是2x 的（D ）无穷小 A 、低阶

B 、等阶

C 、同阶

D 、高阶 解析：02sin lim 2sin cos cos lim cos sin lim 0020==+-=-→→→x

x x x x x x x x x x x x ⇒高阶无穷小 3、设)(x f 二阶可导，在0x x =处0)(0<''x f ，0)

(lim 0

=-→x x x f x x ，则)(x f 在0x x =处（B ） A 、取得极小值 B 、取得极大值

C 、不是极值

D 、())(0,0x f x 是拐点

解析：0

000)()(lim )(,0)

(lim

00

x x x f x f x f x x x f x x x x --='∴=-→→ ，则其0)(,0)(00=='x f x f ，

0x 为驻点，又000)(x x x f =∴<'' 是极大值点。

4、已知)(x f 在[]b a ,上连续，则下列说法不正确的是（B ） A 、已知⎰=b

a dx x f 0)(2，则在[]

b a ,上，0)(=x f

B 、⎰-=x

x

x f x f dt t f dx d 2)()2()(，其中[]b a x x ,2,∈

C 、0)()(<⋅b f a f ，则()b a ,内有ξ使得0)(=ξf

D 、)(x f y =在[]b a ,上有最大值M 和最小值m ，则⎰-≤≤-b

a a

b M dx x f a b m )()()(

解析：A.由定积分几何意义可知，0)(2≥x f ，dx x f b

a

)(2⎰为)(2x f 在[]b a ,上与x 轴围

成的面积，该面积为0⇒0)(2=x f ，事实上若)(x f 满足

)(0)(0)(b x a x f dx x f b

a

≤≤=⇒⎪⎩⎪

⎨⎧=⎰非负连续 B. 有零点定理知结论正确

C. 由积分估值定理可知，()b a x ,∈，M x f m ≤≤)(， 则)()()()(a b M dx x f a b m Mdx dx x f mdx b

a

b

a

b

a

b

a

-≤≤-⇒≤≤⎰⎰⎰⎰

5、下列级数绝对收敛的是（C ）

A 、∑∞

=-+-111)1(n n n B 、∑∞=-+-11)1ln()1(n n n C 、∑∞=+139

cos n n n D 、∑∞

=11

n n

解析：A.1111

lim

=+∞

→n

n n ，由∑∞

=1

1n n 发散11+⇒n 发散 B. 011lim )1ln(lim )

1ln(11

lim =+=+=+∞→∞→∞→n n n n n n n n ，由∑∞=11n n 发散∑∞

=+⇒1

)1ln(1n n 发散 C.

9

19

cos 2

2

+≤

+n n n ，而2

3

2191

lim

n n n +∞

→=1，由∑∞

=1231n n 收敛⇒912+n 收敛⇒9cos 2+n n 收敛

D. ∑∞

=11

n n

发散

二、填空题

6、a x

x e x a =+→1

)sin 1(lim

解析：a x

a x a x

x a x a x

x x

x e e

e e

x a x x ====+⋅+++→→→→1

cos sin 11

lim )sin 1ln(lim )sin 1ln(1

10

00lim )sin 1(lim

7、3sin )

23()3(lim

=--→x

x f f x ，则23)3(='f

解析：3)3(22)

3()23(lim 2sin )23()3(lim

00='=---=--→→f x

f x f x x f f x x

8、若常数b a ,使得5)(cos sin lim 20=--→b x a

e x

x x ，则9-=b

解析：5)

(cos lim )(cos sin lim 2020=--=--→→a

e b x x b x a e x x x x x 所以根据洛必达法则可知：1,01==-a a

9、设⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(，则

11

==t dx dy

解析：

22

21)1(1111

1t t t t

t dt

dx

dt dy

dx dy

++=++-

=，11

==t dx dy

10、)(x f y =是012

2

=--y x 所确定的隐函数，则3

2

222y

x y dx y d -= 解析：方程两边同时求导，得：022='-y y x ，y

x y =

'， 方程022='-y y x 同时求导，得：0)(12=''-'-y y y ，将y

x

y =

'带入， 则得，0)(12

=''--y y y

x ，3

2232221y x y y x y y dx y d -=-=''= 11、求2

1x x

y +=

的单增区间是)1,1(- 解析：2

22

2

222)1(1)1(21x x x x x y +-=+-+=' 令0>'y ，则12

12、求已知⎰+=C e dx x f x 2

)(，则=⋅∑==∞→)(1lim 1

0n k

f n

n k n 1-e

解析：1)()()()(1lim 1010101

02-=+===⋅⎰⎰∑==∞→e C e dx x f dx x f n k

f n

x n k n 解析：1ln 1

ln )(ln 1)(ln 12

2=-==∞

++∞+∞

⎰⎰

e

e e

x

x d x dx x x