中国人民大学附属中学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．如图，在边长为9的等边△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，点E 、F 分别是边AB 、AC 上的两个点，且AE=CF=4cm ，在CD 上有一动点P ，则PE +PF 的最小值是（ ）
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．8
2．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）
A ．16
B ．32
C ．64
D ．128
3．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交
,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．AD 是∠BAC 的平分线
B ．60AD
C ∠=︒ C ．点
D 在AB 的垂直平分线上
D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆= 4．下列命题正确的是（ ）
A ．全等三角形的对应边相等
B ．面积相等的两个三角形全等
C ．两个全等三角形一定成轴对称
D ．所有等腰三角形都只有一条对称轴 5．如图，在ABC 中，34B ∠=︒，BCA ∠的平分线CD 交AB 于点D ，若D
E 垂直平分BC 交BC 于点E ，则A ∠的度数为（ ）
A ．90°
B ．68°
C ．78°
D ．88°
6．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
7．如图所示的是A 、B 、C 三点，按如下步骤作图：①先分别以A 、B 两点为圆心，以大于12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ；②再分别以B 、C 两点为圆心，以大于12
BC 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，GH 与MN 交于点P ，若66BAC ∠=︒，则BPC ∠等于（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．132°
D ．140°
8．如图，在△ABC 纸片中，AB=9cm ，BC=5cm ，AC=7cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△ADE 的周长为是（ ）
A ．9cm
B ．11cm
C ．12cm
D ．14cm 9．如图，在ABC 与A B C ''△中，,90AB AC A B A C B B ==''='∠+∠'=︒，ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，则（ ）
A ．12S S >
B ．12S S
C ．12S S <
D ．无法比较1S 、2
S 的大小关系 10．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100︒∠+∠=，则3∠的度数为（ ）
A ．80︒
B ．70︒
C ．45︒
D ．30︒
11．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．4或5
D ．103
12．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（ ） A ．30 B ．60︒ C ．40︒或50︒ D ．30或60︒
二、填空题
13．如图，等腰ABC 的周长为36，底边上的高12AD =，则ABD △的周长为________．
14．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．
15．如图，在Rt ABC 中，BAC 90︒∠=，AB 2=，M 为边BC 上的点，连接AM ．如果将ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到
AC 的距离是________．
16．在△ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以A ，C 为圆心，以大于12
AC 的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．
请回答：若BC=DC ，∠B=100°，则∠ACB 的度数为____．
17．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数为______________ 18．如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=24，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若NM=6，则OM=______________．
19．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，AB =6，AC =14，∠ABC =3∠C ，则BE =____．
20．△ABC 中，∠A =50°，当∠B =____________时，△ABC 是等腰三角形．
三、解答题
21．如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD 是高，E 是AB 上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交AC 于点F ，连接EF ，交AD 于点G ．
（1）若6AB =，2AE =，求线段AF 的长；
（2）求证：AGF AED ∠=∠．
22．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，连接DE ．
（1）若7AC BC ==，求DE 的长；
（2）求证：BE CD BC +=．
23．（1）问题：如图①，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，AB BP BC +=．求证：90APD ∠=︒；
（2）问题：如图②，在三角形ABC 中，45B C ∠=∠=︒，P 是AC 上一点，PE PD =，且90EPD ∠=︒．求AE AP PC
+的值．
24．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CAP 和CBQ △都是等边三角形，BQ 和CP 交于点H ，求证：BQ CP ⊥．
25．如图，（1）在网格中画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；
（2）写出ABC ∆关于x 轴对称的222A B C ∆的各顶点坐标；
（3）在y 轴上确定一点P ，使PAB ∆周长最短．只需作图，保留作图痕迹． 26．如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，BC 的垂直平分线DG 交AD 于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ．求证：
（1）BE CF =．
（2）2AB AC CF -=．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
作点E关于AD的对称点G，所以连接FG，与CD的交点即为P点．此时PF+PE=FG最小，通过计算证明△AFG是等边三角形，从而得出结果．
【详解】
作点E关于AD的对称点G，连接FG与CD的交点即为P点，如图：
∴PG=PE，
此时PF+PE=PF+ PG有最小值，最小值为FG，
∵△ABC是边长为9等边三角形，且CD⊥AB，AE=CF=4，
∴AD=BD=1
AB=4.5，AF=AC-CF=9-4=5，∠A=60︒，
2
∴ED=GD= AD- AE=4.5-4=0.5，
∴AG=AE+ED+GD=5= AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴FG= AF=5，
∴PF+PE的最小值是5，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路径问题，等边三角形的判定和性质，掌握轴对称－最短路径的确定方法是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA1=B1A1=1，OA2=B2A2=2，
OA3=B3A3=224
=，…进而得出答案．
=，OA4=B4A4=328
【详解】
如图，
∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，∠2=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠MON=∠1=30°，
∴OA 1=A 1B 1=1，
∴A 2B 1= A 1A 2=1，
∵△A 2B 2A 3是等边三角形，
同理可得：OA 2=B 2A 2=2，
同理；OA 3=B 3A 3=224=，
OA 4=B 4A 4=328=，
OA 5=B 5A 5=4216=，
…，
以此类推：
所以OA 7=B 7A 7=6264=，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA 2=B 2A 2=2， OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而发现规律是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，即可判断A ；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，即可判断B ；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断C ；由30CAD ∠=︒，可得12CD AD =
，由AD DB =，可得12DC DB =．可得::DAC ABD S
S CD DB =，由12CD DB =，可得:1:21:3DAC ABD S S =≠，即可判断
D ．
【详解】
解：根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确；
∵90,30C B ∠=︒∠=︒，
∴60CAB ∠=︒．
∵AD 是BAC ∠的平分线，
∴30DAC DAB ∠=∠=︒．
∴60ADC ∠=︒．故B 正确；
过D 作DE ⊥AB
∵30,30B DAB ∠=︒∠=︒，
∴AD DB =．
∴AE=BE
∴点D 在AB 的垂直平分线上．故C 正确；
∵30CAD ∠=︒， ∴12CD AD =， ∵AD DB =， ∴12DC DB =
． ∴12DAC CD AC S
⋅=，12ABD DB AC S ⋅=， ∴::DAC ABD S
S CD DB =， ∴12
CD DB =， ∴:1:21:3DAC ABD S S =≠，故D 错误．
故选择：D ．
【点睛】
本题考查角平分线的作图方法及性质应用，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
分别利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质判断得出即可．
【详解】
解：A 、全等三角形的对应边相等，是真命题；
B 、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
C 、两个全等三角形不一定成轴对称，原命题是假命题；
D 、所有等腰三角形不一定都只有一条对称轴，如等边三角形有三条对称轴，原命题是假命题；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，熟练掌握几何性质与判定是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
由垂直平分线的性质，可得∠DCB=34B ∠=︒，由角平分线的定义得∠ACB=2∠DCB=68°，进而即可求解．
【详解】
∵DE 垂直平分BC 交BC 于点E ，
∴DB=DC ，
∴∠DCB=34B ∠=︒，
∵CD 是BCA ∠的平分线，
∴∠ACB=2∠DCB=68°，
∴∠A=180°-34°-68°=78°，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练垂直平分线的性质定理，是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是斜边AB 上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC ，在Rt △ABC 中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB ，再用线段的差求AD ．
【详解】
解：Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
CD 是斜边AB 上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD ＝4，
同理，AB=2BC=8，
AD=AB-BD=8-2=6，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于
斜边的一半是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据基本作图可判断MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，根据垂直平分线的性质可得PA PB PC ==，再利用等腰三角形的性质得到PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，最后根据三角形的外角性质可得∠BPC=2∠BAC ，据此求解即可．
【详解】
解:如图，连接AB 、AC 、BC 、BP 、PC 、PA ，
由作法可知MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，
∴PA PB PC ==，
∴PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，
∴PBA PCA PAB PAC BAC ∠+∠=∠+∠=∠，
∴2BPC PAB PAC PBA PCA BAC ∠=∠+∠+∠+∠=∠，
∴2266132BPC BAC ∠=∠=⨯︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的基本作图及线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质，三角形的外角性质．
8．B
解析：B
【分析】
根据折叠的性质得到：DE=CD ，BE=BC=5cm ，求出AE=4cm ，根据△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE 代入数值计算即可得解．
【详解】
由折叠得：DE=CD ，BE=BC=5cm ，
∵AB=9cm ，
∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm ，
∴△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm ，
故选：B ．
【点睛】
此题考查折叠的性质：折叠前后对应边相等，正确理解折叠的性质是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
分别做出两三角形的高AD ，A′E ，利用题干的条件证明△ABD ≅△A′B′E 即可得到两三角形的面积相等；
【详解】
分别做出两三角形的高AD ，A′E ，如图：
90B B '+=∵∠∠，90B A E B '''+=∠∠，90BAD B ∠+∠=,
∴∠B=∠B′A′E ，∠B′=∠BAD ，
又AB=A′B′，
∴△ABD ≅△A′B′E ，
同理△ACD ≅△A′C′E ；
∴ABD A B E S
S ''=，ACD A C E S S ''=， 故ABD ACD A B E A C E S S S S ''''+=+，
又ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，
∴12S S
故选：B ．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定及性质：两三角形全等，则对应边对应角相等，面积也相等．
10．A
解析：A
【分析】
由平角的性质可得∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°，将∠1＋∠2＝100°代入可求解．
【详解】
∵∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°=360°，
∵∠4＋∠5＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3=360°-180°=180°，
∴∠3＝180°−（∠1＋∠2）＝80°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据等腰ABC 的两边长为5，7，得到ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；之后根据全等分2x-3=5，2x-3=7，3x-5=5，3x-5=7四种情况分类讨论，舍去不合题意的即可求解．
【详解】
解：∵等腰ABC 的两边长为5，7，
∴ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；
由题意得另一个等腰三角形的两边为23x -，35x -，且与等腰ABC 全等
（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；
（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；
（3）当3x-5=5时，解得103
x =
，则2x-3=113，不合题意； （4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；
综上所述：x 的值为4．
故答案为：B
【点睛】 本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键． 12．D
解析：D
【分析】
由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．
【详解】
解：如图，分两种情况：
①如图，当三角形的高在三角形的内部时，
AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，
∴∠A=60°，
∴∠C=∠ABC=1802
A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，
AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°， ∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，
∴∠C=∠ABC=
180302
BAC ︒-∠=︒． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键． 二、填空题
13．30【分析】根据等腰三角形的性质可求得AB+BD=18再结合AD=12即可求得的周长【详解】∵△ABC 为等腰三角形AD 为底边上的高
∴AB=ACBD=DC ∵△ABC 的周长等于36∴AB+BD+DC+A
解析：30
【分析】
根据等腰三角形的性质可求得AB+BD=18，再结合AD=12，即可求得ABD △的周长．
【详解】
∵△ABC 为等腰三角形，AD 为底边上的高，
∴AB=AC ，BD=DC ，
∵△ABC 的周长等于36，
∴AB+BD+DC+AC=36，即AB+BD=18，
∵AD=12，
∴△ABD 的周长等于=AD+BD+AB=12+18=30．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形三线合一（底边上的中线、底边上的高线，顶角的平分线重合）是解题关键．
14．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键
解析：87︒
【分析】
根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；
【详解】
∵DE 垂直平分BC ，
∴DB DC =，
∴∠=∠DBC C ，
∵31C ∠=︒，
∴31DBC ∠=︒，
∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，
∵BD 平分ABC ∠，
∴31ABD DBC ∠=∠=︒，
∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．
故答案是87︒．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．
15．【分析】过点M 作MP ⊥ACMQ ⊥AB 首先证明MP ＝MQ 求出AC 的长度运用S △ABC ＝S △ABM ＋S △ACM 求出MP 即可解决问题【详解】如图设点B 的对应点为N 由题意得：∠BAM ＝∠CAMAB ＝AN ＝2 解析：43
【分析】
过点M 作MP ⊥AC ，MQ ⊥AB ，首先证明MP ＝MQ ，求出AC 的长度，运用S △ABC ＝S △ABM ＋S △ACM ，求出MP 即可解决问题．
【详解】
如图，设点B 的对应点为N ，由题意得：
∠BAM ＝∠CAM ，AB ＝AN ＝2；
过点M 作MP ⊥AC ，MQ ⊥AB ，
则MP ＝MQ ，
设MP ＝MQ=x ，
∵AN ＝NC ，
∴AC ＝2AN ＝4；
∵S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，
∴1
2AB•AC＝
1
2
AB•MQ＋
1
2
AC•MP，
∴2×4＝2x＋4x，解得：x＝4
3
，
故答案为4
3
．
【点睛】
该题主要考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用，解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形的面积公式来解答．
16．30°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠BDC的度数再根据线段垂直平分线的性质即可得出∠A的度数进而得到∠ACB的度数【详解】解：根据题意如图：∵BC=DC∠ABC=100°∴∠BDC=∠CBD
解析：30°
【分析】
依据等腰三角形的性质，即可得到∠BDC的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得出∠A的度数，进而得到∠ACB的度数．
【详解】
解：根据题意，如图：
∵BC=DC，∠ABC=100°，
∴∠BDC=∠CBD=180°-100°=80°，
根据题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A，
∴∠A=1(18080)50
⨯︒-︒=︒，
2
∴∠ACB=∠CBD-∠A=80°-50°=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
17．70°或110°；【分析】分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况【详解】解：①当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部如图1根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
解析：70°或110°；
【分析】
分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【详解】
解：①当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，如图1，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；
②当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图2，根据直角三角形两锐角互余可求顶角是90°-20°=70°．
故答案为70°或110°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
18．9【分析】过P作PD⊥OB交OB于点D在直角三角形POD中求出OD的长再由PM=PN利用三线合一得到D为MN中点根据MN求出MD的长由OD-MD 即可求出OM的长【详解】解：过P作PD⊥OB交OB于点
解析：9
【分析】
过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，在直角三角形POD 中，求出OD 的长，再由PM=PN ，利用三线合一得到D 为MN 中点，根据MN 求出MD 的长，由OD-MD 即可求出OM 的长．
【详解】
解：过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPD=30°，
∴OD =12
OP=12． ∵PM =PN ，PD ⊥MN ， ∴MD =ND =
12MN =3， ∴OM =OD ﹣MD =12﹣3=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查的是含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解本题的关键．
19．【分析】如图延长交于证明可得再求解再证明：可得从而可得答案【详解】解：如图延长交于AD 平分∠BAC 故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理三角形的外角的性质角平分线的定义等腰三角形的判定与性 解析：4.
【分析】
如图，延长BE ，
交AC 于G ， 证明,AGB ABG ∠=∠ 可得,AG AB = ,GE BE = 再求解CG ，
再证明：C CGB ∠=∠， 可得,BG CG = 从而可得答案． 【详解】
解：如图，延长BE ，
交AC 于G ，
AD 平分∠BAC ，
,GAE BAE ∴∠=∠
,BE AD ⊥
90AEG AEB ∴∠=∠=︒，
,AGB ABG ∴∠=∠
6AG AB ∴==，
,GE BE = 14AC =，
8CG ∴=，
,AGB C CBG ∠=∠+∠
2,ABC ABG CBG AGB CBG C CBG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠
3,ABC C ∠=∠
32,C C CBG ∴∠=∠+∠
,C CBG ∴∠=∠
8BG CG ∴==，
1 4.2
BE BG ∴== 故答案为：4.
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
20．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A 是顶角；②∠A 是底角∠B ＝∠A 时③∠A 是底角∠B ＝∠A 时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A 是顶角∠B ＝（180°−∠A ）÷
解析：50°或80°或65°
【分析】
由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A 是顶角；②∠A 是底角，∠B ＝∠A 时，③∠A 是底角，∠B ＝∠A 时，利用三角形的内角和进行求解．
【详解】
①∠A 是顶角，∠B ＝（180°−∠A ）÷2＝65°；
②∠A 是底角，∠B ＝∠A ＝50°．
③∠A 是底角，∠A ＝∠C ＝50°，则∠B ＝180°−50°×2＝80°，
∴当∠B 的度数为50°或65°或80°时，△ABC 是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．
三、解答题
21．（1）4；（2）见解析
【分析】
（1）证△ADE ≌△CDF （ASA ），得AE=CF=2，即可得出答案；
（2）由全等三角形的性质得DE=DF ，则△DEF 是等腰直角三角形，得∠DEF=∠DFE=45°，再由三角形的外角性质即可得出结论．
【详解】
（1）解：∵△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是高，
∴BD=CD=AD=
12BC ，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=12
∠BAC=45°， ∵DF ⊥DE ，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDF ，
在△ADE 和△CDF 中， ADE CDF AD CD
BAD C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADE ≌△CDF （ASA ），
∴AE=CF=2，
∵AC=AB=6，
∴AF=AC-CF=6-2=4；
（2）证明：由（1）得：△ADE ≌△CDF ，
∴DE=DF ，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF 是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∵∠AGF=∠DAE+∠AEG=45°+∠AEG ，∠AED=∠DEF+∠AEG=45°+∠AEG ，
∴∠AGF=∠AED ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（1） 3.5DE =；（2）见解析．
【分析】
（1）证明△ADE 为等边三角形，即可得结论；
（2）在BC 上截取BH=BE ，证明两对三角形全等：△EBF ≌△HBF ，△CDF ≌△CHF ，可得结论．
【详解】
（1）∵AC=BC=7，∠A=60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴AC=AB=7，
又∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，
∴D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴11=3.5,=3.522
=
=AD AC AE AB ， ∴AD=AE ，
∵∠A=60°，
∴△ADE 为等边三角形，
∴DE=AE=3.5；
（2）证明：在BC 上截取BH=BE ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
∵BF=BF
∴△EBF ≌△HBF （SAS ），
∴∠EFB=∠HFB=60°．
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，
∴∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE ，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，
∴∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∵∠BFE=∠CFD=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
∵CF=CF ，
∴△CDF ≌△CHF （ASA ）．
∴CD=CH ，
∵CH+BH=BC ，
∴BE+CD=BC ．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．（1）见解析；（2）1
【分析】
（1）先证明()ABP PCD HL ≅△△，从而得APB PDC ∠∠=，进而即可得到结论；
（2）过D 点做DF AC ⊥于点F ，易证()APE FDP AAS ≅△△，DPC △是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】
（1）∵BP PC BC +=，BP AB BC +=，
∴PC AB =，
在t R ABP △与t R PCD 中
∵AP PD AB PC =⎧⎨=⎩
， ∴()ABP PCD HL ≅△△，
∴APB PDC ∠∠=，
∴180APD APB DPC ∠=︒-∠-∠180()PDC DPC =︒-∠+∠18090=︒-︒90=︒； （2）过D 点做DF AC ⊥于点F ，
在ABC 中，18090A B C ∠=︒-∠-∠=︒，
∴
A PFD ∠∠=，
∵90APE DPF +=︒∠∠ ，90AEP APE ∠+∠=︒，
∴DPF AEP ∠∠=，
在APE 与FDP 中 A DFP DPE AEP PE PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()APE FDP AAS ≅△△，
∴AE PF =，AP DF =，
∵在DPC △中，90904545FDC C ∠∠︒︒︒︒=-=-=，
∴DF FC =，
∴AP FC =，
∴PC PF FC AE AP =+=+， ∴
1AE AP PC
+=．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三等角”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
24．见解析
【分析】
由已知条件证得∠BHC=90°即可得到解答．
【详解】
∵CAP 和CBQ △都是等边三角形；
∴60ACP CBQ ∠=∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，
∴30BCP ACB ACP ∠=∠-∠=︒
在BCH 中，18090BHC BCH CBH ∠=︒-∠-∠=︒
∴BQ CP ⊥
【点睛】
本题考查等边三角形和直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形、直角三角形的性质并灵活运用是解题关键．
25．（1）如图所示，见解析；（2）222(3,2)(4,3)(1,1)A B C -----、、；（3）如图所示，见解析．
【分析】
（1）直接利用关于y 轴对称点的性质得出答案；
（2）直接利用关于x 轴对称点的性质得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出P 点位置即可．
【详解】
解：(1)如图所示：
（2）∵A （-3，2），B （4-，3-），C （1-，1），
∴关于x 轴对称的点分别为：222(3,2)(4,3)(1,1)A B C -----、、；
（3）如图所示：
【点睛】
此题主要考查了利用轴对称求短路线以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 26．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）连接DB 、DC ，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF ，再证明△BDE ≌△CDF 就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△DAE ≌△DAF 就可以得出AE=AF ，进而就可以求出结论．
【详解】
（1）连接DB 、DC ，如图所示，
DG 垂直平分BC ，
DB DC ∴=，
又AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，
DE DF ∴=，90DEB DFG ∠=∠=︒，DAE DAF ∠=∠， 在Rt BDE 和Rt CDF 中，
DB DC DE DF
=⎧⎨=⎩， ()HL Rt BDE Rt CDF ∴≅，
BE CF ∴=．
（2）在Rt DAE 和Rt DAF △中，
DA DA DE DF =⎧⎨=⎩
， ()Rt DAE Rt DAF HL ∴≅，
AE AF ∴=，
AB AE BE -=，
AB AF CF ∴-=，
()AB AC CF CF -+=，
AB AC CF CF --=，
2AB AC CF -=．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．。