133函数的极值与最值的习题2PPT课件
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综上分析，a=0或a=4.
点评：函数有极值的必要条件是： f ′(x)=0，由此可转化得到相应的等式或 方程，再进一步转化为所需要的条件. 需要注意的是在此条件下得到的结论要 检验一下是否为极值.
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1 处的切线为l:3x-y+1=0.若x= 2 时，y=f(x)有极值.
注意 1) 函数的最值概念是整体性的； 2) 函数的最大值（最小值）唯一； 3) 函数的最大值大于等于最小值； 4) 函数的最值可在端点上取.
利用导数转化极值与最值条件
3. 设a为实常数，已知函数f(x)=(x2+ax+a)·e-x 有极小值0，求a的值. 解：f ′(x)=(2x+a)e-x+(x2+ax+a)·(-e-x) =-e-x［x2+(a-2)x］. 令f ′(x)=0，则x2+(a-2)x=0， 所以x=0或x=2-a. (1)当a=2时，f ′(x)=-e-x·x2≤0， 所以f(x)无极值.
3
当x变化时，y,y′的变化情况如下表：
x -3 (-3,-2) -2 (-2，23) 2 ( 2 ，1) 1
3
3
y′
+0
-
0
+
y 8 ↗ 13 ↘ 9 5 27
↗4
所以y=f(x)在［-3，1］上的最大值为13 ，最小值为 9 5 .
27
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
B．是增函数 D．有极大值
• 4.若函数 f x x2 a在x=1处取极值，
• 则a= 3 .
x1
• 解：由 fx2xx x112x2a.
• f13a0， 解得a=3.
4
知识小结：
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； （2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
15
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End 演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
(2)当a＜2时，在(-∞，0)上，f ′(x)＜0;
在(0，2-a)上，f ′(x)＞0;
在(2-a，+∞)上，f ′(x)＜0.
所以［f(x)］极小值=f(0)=a.由已知，a=0. (3)当a＞2时，在(-∞，2-a)上，f ′(x)＜0; 在(2-a，0)上，f ′(x)＞0; 在(0，+∞)上，f ′(x)＜0. 所以［f(x)］极小值=f(2-a). 由已知，f(2-a)=0. 所以(2-a)2+a(2-a)+a=0，解得a=4.
函数的极值与最值的习题课
4. 设a为实数，已知函数f(x)=x2（x-a)
（1）f ′(1)=3时，求a及f(x)在（ 1，f(1)） 处的切线方程。
（2）求y=f(x)在［0，2］上的最大值.
3．(2011年广州一模）函数
y
x ln x
在区间（1，+∞）
上
（ C）
A．是减函数 C．有极小值
3
(1)求a,b,c的值；
(2)求y=f(x)在［-3，1］上的最大值和最小值.
解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,
得f ′(x)=3x2+2ax+b.
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0;①
当x=
2 3
时，y=f(x)有极值，则f ′(
2)=0,
3Biblioteka Baidu
即4a+3b+4=0.②
由①②解得a=2,b=-4. 由于切点的横坐标为x=1,所以f(1)=3×1+1=4. 所以1+a+b+c=4,所以c=5. (2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5, 所以f ′(x)=3x2+4x-4. 令f ′(x)=0,得x=-2,x= 2 .
点评：函数有极值的必要条件是： f ′(x)=0，由此可转化得到相应的等式或 方程，再进一步转化为所需要的条件. 需要注意的是在此条件下得到的结论要 检验一下是否为极值.
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1 处的切线为l:3x-y+1=0.若x= 2 时，y=f(x)有极值.
注意 1) 函数的最值概念是整体性的； 2) 函数的最大值（最小值）唯一； 3) 函数的最大值大于等于最小值； 4) 函数的最值可在端点上取.
利用导数转化极值与最值条件
3. 设a为实常数，已知函数f(x)=(x2+ax+a)·e-x 有极小值0，求a的值. 解：f ′(x)=(2x+a)e-x+(x2+ax+a)·(-e-x) =-e-x［x2+(a-2)x］. 令f ′(x)=0，则x2+(a-2)x=0， 所以x=0或x=2-a. (1)当a=2时，f ′(x)=-e-x·x2≤0， 所以f(x)无极值.
3
当x变化时，y,y′的变化情况如下表：
x -3 (-3,-2) -2 (-2，23) 2 ( 2 ，1) 1
3
3
y′
+0
-
0
+
y 8 ↗ 13 ↘ 9 5 27
↗4
所以y=f(x)在［-3，1］上的最大值为13 ，最小值为 9 5 .
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写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
B．是增函数 D．有极大值
• 4.若函数 f x x2 a在x=1处取极值，
• 则a= 3 .
x1
• 解：由 fx2xx x112x2a.
• f13a0， 解得a=3.
4
知识小结：
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； （2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
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结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End 演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
(2)当a＜2时，在(-∞，0)上，f ′(x)＜0;
在(0，2-a)上，f ′(x)＞0;
在(2-a，+∞)上，f ′(x)＜0.
所以［f(x)］极小值=f(0)=a.由已知，a=0. (3)当a＞2时，在(-∞，2-a)上，f ′(x)＜0; 在(2-a，0)上，f ′(x)＞0; 在(0，+∞)上，f ′(x)＜0. 所以［f(x)］极小值=f(2-a). 由已知，f(2-a)=0. 所以(2-a)2+a(2-a)+a=0，解得a=4.
函数的极值与最值的习题课
4. 设a为实数，已知函数f(x)=x2（x-a)
（1）f ′(1)=3时，求a及f(x)在（ 1，f(1)） 处的切线方程。
（2）求y=f(x)在［0，2］上的最大值.
3．(2011年广州一模）函数
y
x ln x
在区间（1，+∞）
上
（ C）
A．是减函数 C．有极小值
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(1)求a,b,c的值；
(2)求y=f(x)在［-3，1］上的最大值和最小值.
解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,
得f ′(x)=3x2+2ax+b.
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0;①
当x=
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时，y=f(x)有极值，则f ′(
2)=0,
3Biblioteka Baidu
即4a+3b+4=0.②
由①②解得a=2,b=-4. 由于切点的横坐标为x=1,所以f(1)=3×1+1=4. 所以1+a+b+c=4,所以c=5. (2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5, 所以f ′(x)=3x2+4x-4. 令f ′(x)=0,得x=-2,x= 2 .