奥数 六年级 千份讲义 380 第11讲——数论综合(一)

数论又叫数的整除理论，专门研究整数及其性质．数论模块按照一个数被另一个数除是
否有余数来划分，可以分为整除和余数两大类．
,5,2,19,1,11⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩奇偶分析（论证工具）可加减性数的整除性质传递性互质可积性整除问题末尾数系：2；45；825?…数字和系：3；数的整除特征数段系：713奇偶数位系：1整除最大公约数与最小公倍数的求法最大公约数与最小公倍数约数倍数最大公约数与最小公倍数的关系约数个数公式与约数和公式常见质数质数特殊质数：2质数合数与分解质因数数论,3,5⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩等质数的判定方法分解质因数：唯一分解定理除式转化成加乘式带余除法余数小于除数剩余类同余问题模的介绍可加可减余数定理可乘不可除余数弃九法末位数字周期余数周期乘方的余数周期特殊数列的余数周期（特别是斐波那契数列）多同余“物不知数”问题少同补中国剩余定理1010101010n n ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩（余数问题基本思路：消掉余数，转化成整除和约数倍数问题）性质：约数个数为奇完全平方数末尾数特征特征余数特征位值原理（分析工具）
进制化进制：位值原理进制的互化进制化进制：短除+倒取余数进制问题转化成进制进行计算和分析非进制的计算及分析仿照进制直接在原进制下进行计算和分析⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 第11讲
数论综合（一）
模块一：整除问题
例题5
5
例题4
4
例题3
3
例题2
2
例题精讲
例题1 1
两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B ．
在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小． (2008”数学解题能力展示”初赛)已知九位数2007122□□既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？ 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？ 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？
例题10
10
例题9
9
例题8
8
例题7
7
例题6
6
三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a 和b ，将它连续重复写2008次成为：20095555ab ab ab ab 个．如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab 是多少？
在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？
为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3．在密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3和16所整除．试问密码是多少？
某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？
在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a 能使2008+a 能被2007-a 整除．
【巩固】 有一个九位数abcdefghi 的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数ab 可被2整除，三位数
abc 可被3整除，四位数abcd 可被4整除，……依此类推，九位数abcdefghi 可被9整除．请问这个 九位数abcdefghi 是多少？
板块二 约数倍数问题
例题14
14
例题13
13
例题12
12
例题11
11
将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？
已知：23!2582067388849766000D C AB =．则DCB A ⨯=？
一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为”十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？
一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
【巩固】 数360的约数有多少个？这些约数的和是多少？
【巩固】 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数．
例题18
18
例题17 17
例题16
16
例题15
15
已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．
(2008年101中学考题)已知A 数有7个约数，B 数有12个约数，且A 、B 的最小公倍数[],1728A B =，则B = ．
已知m n 、两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m 有12个约数，n 有10个约数，求m 与n 的和．
已知正整数a 、b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a 、b 中较大的数是多少？
练习3
3
练习2
2
练习1
1
例题20
20
例题19
19
家庭作业
在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？
(2008年仁华考题)1001的倍数中，共有 个数恰有1001个约数．
若四位数98a a 能被15整除，则a 代表的数字是多少？
请求出最大的七位数，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位数字互不相同，这个七位数是多少？
为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而且密码能被3和4所整除．试求出这个密码．
7练习6
6练习5
5练习4
4
在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的
和是多少？
有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能
表示成5个连续自然数的和．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，
并简述理由．
已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
能被210整除且恰有210个约数的数有个．
练习7。