空间向量法解决立体几何问题PPT优秀课件

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a α
b
习题讲解
1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C （1，1，0），求平面ABC的一个法向量。
解：设平面ABC的一个法向量 n(x,y,z)， 依题意得：A B ( 1 ,2 ,0 ) ,B C ( 1 ,0 , 1 )
n A B ,n B Cn ABxy0 n BCxz0
令 x 1 ， 则 y z 1 所以，平面ABC的一个法向量为 n(1,1,1)
求平面的法向量的坐标的步骤
• 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
• 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
xx21xx
y1y y2 y

z1z 0 z2z 0
y
x
直线的方向向量和法向量
2.平面的法向 如果表量示向量n的有向线段所在的直线垂直于平
面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n 叫做平面α的法向量.
n
α
利用空间向量决定点、直线和平面在空
间中的位置
P
1、如何确定一个点在空间的位置？
O
l
2、如何确定一条直线在空间的位置？ 3、如何确定一个平面在空间的位置？
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设
平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则
O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）
由O A 1 =（-1，-1，2）O，D 1 =（-1，1，2）A z
D
x y 2z 0
x 2z
得 x y 2z 0，解得
习题讲解
2、设 u , v 分别是平面 , 的法向量，根据下列条件 判断平面 , 的位置关系。
( 1 ) u ( 2 ,2 ,5 ) ,v ( 6 , 4 ,4 ) ( 2 ) u ( 1 ,2 , 2 ) ,v ( 2 , 4 ,4 )
( 3 ) u ( 2 , 3 ,5 ) ,v ( 3 , 1 , 4 )
例题讲解
定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。
已知：直线 l , m 和平面 , ，其中 l,m ，
l 与 m 相交， l / / ，m // 求证： //
• 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐 标呢? 如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平 面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平 面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α. 换句话说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥ α.
a
P
B
A
l
P
a

b
Oa

A
因为方向向量与法向量可以确 定直线和平面向量，所以我们可以 利用直线的方向向量和平面的法向 量表示空间直线、平面间的平行、 垂直、夹角等位置关系。
知识点
设直线 l , m 的方向向量为分别为 a , b ，平面 , 的法向量分别为 u , v
1 . l // m a // b a b l // a u a u 0 // u // v u v
为了用空间向量解决立体几何问题，首 先必须把点、直线、平面的位置用向量表示 出来。
直线的方向向量和法向量
1.直线的方向向量
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称 为直线的方向向量。如图，在空间直角坐标系中，由 A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是：
zB
A B (x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 ) A
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
空间向量法解决立体几何问题
立体几何问题的类型
1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系;
2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
利用空间向量解决立体几何问题，是利 用平面向量解决平面几何向量的发展。主 要变化是维数增加了，讨论的对象由二维 图形变为三维图形。
• 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.
• 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.
习题讲解
• 2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z
A1
D1
C1 B1
AA O
xB
y
D C
习题讲解
• 2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.

y

0
取z =1
B1 1
AA
xB
C1 1
y
OD C
得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2. l m a b a b 0 l a // u a u uv u v0
习题讲解
1、设 a , b 分别是直线 l 1 , l 2 的方向向量，根据下列条 件判断直线 l 1 , l 2 的位置关系。
( 1 ) a ( 2 , 1 , 2 ) ,b ( 6 , 3 , 6 ) ( 2 ) a ( 1 ,2 , 2 ) ,b ( 2 ,3 ,2 ) ( 3 ) a ( 0 ,0 ,1 ) ,b ( 0 ,0 , 3 )