空间向量法解决立体几何问题PPT优秀课件
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321空间向量在立体几何中的应用3-PPT课件
E A 1 , 2 ， 1 ， ( 3 ) 解 ： E G 0 ,2 ， 0 ， 11
E G E A 0 1 2 2 0 1 4 , 1 1 | E G | 2 , | E A | 6 . 11 E G E A 4 6 1 1 c o s E G , E A . 1 1 x 3 26 | E G || E A | 1 1
变式2: F是AA1的一个四等分点， 求证：BF⊥DF1.
A
x
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点， zD F C 变式3: G是BB1的一个四等分点， E B H为AA1上的一点，若GH⊥DF1， A 试确定H点的位置. 1 H 解 ： 设 H 点 坐 标 为 ( 1 , 0 , a ) , 又 G 1 , 1 , , D 4 G Cy O 1 所以 GH 0, 1 ,a A B 4 x 1 又 D F 0 , ， 1 ， 且 G HD F 1 1 4 1 1 所 以 G H D F 0 - a 0 1 4 4 1 解得a , 2 即当H为AA1 的中点时，能使GH⊥DF1.
3.2.1空间向量在立体几何中的 应用
一、用向量方法证明平行
二、用向量方法证明两条直线垂直 或求两条直线所成的角
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点，求： BE1与DF1所成角的余弦值. (1) 建立直角坐标系，
解：设正方体的棱长为 1，分别以 DA 、DC 、 DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系 (2)把点、向量坐标化， Oxyz ，则 A 1 3 (0,0,0), F 1 B ( 1 ,1 ,0 ),E , ,1 ,D 1 0, ， 1 1 4 4 3 1 B E 1 , , 1 ( 1 , 1 , 0 ) 0 , , 1, 1 4 4
E G E A 0 1 2 2 0 1 4 , 1 1 | E G | 2 , | E A | 6 . 11 E G E A 4 6 1 1 c o s E G , E A . 1 1 x 3 26 | E G || E A | 1 1
变式2: F是AA1的一个四等分点， 求证：BF⊥DF1.
A
x
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点， zD F C 变式3: G是BB1的一个四等分点， E B H为AA1上的一点，若GH⊥DF1， A 试确定H点的位置. 1 H 解 ： 设 H 点 坐 标 为 ( 1 , 0 , a ) , 又 G 1 , 1 , , D 4 G Cy O 1 所以 GH 0, 1 ,a A B 4 x 1 又 D F 0 , ， 1 ， 且 G HD F 1 1 4 1 1 所 以 G H D F 0 - a 0 1 4 4 1 解得a , 2 即当H为AA1 的中点时，能使GH⊥DF1.
3.2.1空间向量在立体几何中的 应用
一、用向量方法证明平行
二、用向量方法证明两条直线垂直 或求两条直线所成的角
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点，求： BE1与DF1所成角的余弦值. (1) 建立直角坐标系，
解：设正方体的棱长为 1，分别以 DA 、DC 、 DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系 (2)把点、向量坐标化， Oxyz ，则 A 1 3 (0,0,0), F 1 B ( 1 ,1 ,0 ),E , ,1 ,D 1 0, ， 1 1 4 4 3 1 B E 1 , , 1 ( 1 , 1 , 0 ) 0 , , 1, 1 4 4
高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法三ppt课件
GEF的距离。
z
G
d|nBE| 2 11.
n
11
xD
C
F
A
E
B
y
练习3:
正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的
距离
Z D1
DD 1 n C1 d
A1
B1
n
G D
A X
C Y
B
三、求平面与平面间距离
例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C
与平面A1BC1的距离
Z D1
A1
B1
AD n C1 d n
ABC 是D正 方 SB 形 面 A ，BC ，DS 且A 与 面 ABC 所D成 的 45， 角S 点 为 到A 面BC 的D 距 离 1， 为A 求C 与 SD 的 距 离 。
z S
B
Ay
xC
D
结论1
点 P 到平面的距离可以通过，
在平面内任取一点 A，求向量PA在
平面的法向量n上的投影来解决.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n .
A O
∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
n
N
A
方法指导：若点P为平面α外一点，点A为平面α内任 一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式 为
如何用向量法求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
空间向量证明立体几何问题[ppt课件]
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向量的模
向量的模表示向量的大小，计算公 式为$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$， 其中x、y、z分别为向量在三个坐 标轴上的分量。
向量的加法与数乘
向量的加法
两个向量相加，对应坐标相加即可，例如： $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$。
04
空间向量的向量积
向量的向量积的定义与性质
总结词
了解向量积的定义和性质是解决空间几何问题的关键。
详细描述
向量积是两个向量通过一个角生成的第三个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方 向由右手定则确定。向量积具有反交换律、分配律等性质，这些性质在解决空间几何问题时非常重要 。
向量的向量积的运算律
向量的数量积的运算律
总结词
掌握向量的数量积的运算律，包括分 配律、结合律和交换律。
详细描述
向量的数量积满足分配律、结合律和 交换律，这些运算律有助于简化复杂 的向量运算。
向量的数量积的应用
总结词
了解向量的数量积在解决实际问题中的应用，包括力的合成与分解、速度和加速度的研究等。
详细描述
通过向量的数量积可以方便地解决力的合成与分解问题，以及研究速度和加速度等问题，为解决实际问题提供了 有效的数学工具。
性质
数乘运算满足结合律、交换律和分配律。
向量的共线与共面
定义
如果存在一个非零实数$k$，使得向量$vec{a}$可 以表示为向量$vec{b}$的$k$倍，则称向量 $vec{a}$与向量$vec{b}$共线。
向量的模表示向量的大小，计算公 式为$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$， 其中x、y、z分别为向量在三个坐 标轴上的分量。
向量的加法与数乘
向量的加法
两个向量相加，对应坐标相加即可，例如： $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$。
04
空间向量的向量积
向量的向量积的定义与性质
总结词
了解向量积的定义和性质是解决空间几何问题的关键。
详细描述
向量积是两个向量通过一个角生成的第三个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方 向由右手定则确定。向量积具有反交换律、分配律等性质，这些性质在解决空间几何问题时非常重要 。
向量的向量积的运算律
向量的数量积的运算律
总结词
掌握向量的数量积的运算律，包括分 配律、结合律和交换律。
详细描述
向量的数量积满足分配律、结合律和 交换律，这些运算律有助于简化复杂 的向量运算。
向量的数量积的应用
总结词
了解向量的数量积在解决实际问题中的应用，包括力的合成与分解、速度和加速度的研究等。
详细描述
通过向量的数量积可以方便地解决力的合成与分解问题，以及研究速度和加速度等问题，为解决实际问题提供了 有效的数学工具。
性质
数乘运算满足结合律、交换律和分配律。
向量的共线与共面
定义
如果存在一个非零实数$k$，使得向量$vec{a}$可 以表示为向量$vec{b}$的$k$倍，则称向量 $vec{a}$与向量$vec{b}$共线。
空间向量在立体几何中的应用 ppt课件
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
立体几何中的向量法 课件
如何用向量方法解决立体几何问题？
X
Y
Z
X
Y
Z
评注： 由于三种平行关系可以相互转化， 所以本题可用逻辑推理来证明。 用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化， 在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系， 方能减少运算量。本题选用了坐标法。
用空间向量证明“平行”， 包括线面平行和面面平行。
↑
→
↑
↑
三.用向量处理垂直问题
F
E
X
Y
Z
F
E
X
Y
Z
评注： 本题若用一般法证明， 容易证A’F垂直于BD， 而证A’F垂直于DE， 或证A’F垂直于EF则较难， 用建立空间坐标系的方法 能使问题化难为易。
线线垂直
A
B
C
D
M
X
Y
Z
利用向量解决 平行与垂直问题
用向量运算证明平行关系
一、直线与直线平行 ——理论依据及解题步骤
利用以上结论，可以较容易地处理立体几何中的线线平行的问题．
二、直线与平面平行
一、用向量处理平行问题
A
D
C
B
E
F
N
M
A
D
C
B
E
F
N
M
评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。
X
Y
Z
X
Y
Z
评注： 由于三种平行关系可以相互转化， 所以本题可用逻辑推理来证明。 用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化， 在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系， 方能减少运算量。本题选用了坐标法。
用空间向量证明“平行”， 包括线面平行和面面平行。
↑
→
↑
↑
三.用向量处理垂直问题
F
E
X
Y
Z
F
E
X
Y
Z
评注： 本题若用一般法证明， 容易证A’F垂直于BD， 而证A’F垂直于DE， 或证A’F垂直于EF则较难， 用建立空间坐标系的方法 能使问题化难为易。
线线垂直
A
B
C
D
M
X
Y
Z
利用向量解决 平行与垂直问题
用向量运算证明平行关系
一、直线与直线平行 ——理论依据及解题步骤
利用以上结论，可以较容易地处理立体几何中的线线平行的问题．
二、直线与平面平行
一、用向量处理平行问题
A
D
C
B
E
F
N
M
A
D
C
B
E
F
N
M
评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。
用向量方法处理立体几何PPT课件
＝1（1 －1＋ 1 －2）＝－ 1
42 2
2
| PE | 1,| BF | 1
A
C
cos
PE, BF
|
PE PE
• BF || BF
|
1 2 3
2 3
4
E B
所以，所求异面直线所成的角为arccos 2 3
第28页/共46页
异面直线所成的角
例：在正方体ABCD A' B'C' D'
z
D'
中，M，N分别是AA'，BB'的中
C
B
A
AB' AB BB' b a
BC'• AB' (c a b) • (b a)
9.5 空间向量及其运算
• 空间向量及其线性运算 • 共线向量和共面向量 • 空间向量的分解定理 • 两个向量的数量积
第12页/共46页
空间向量及其线性运算
• 空间向量的概念、表示、相同或相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
第13页/共46页
第22页/共46页
法向量例 题
例：已知 , AB, AD , AC ,
DAB 45, CAB 60,求AB与平面ACD
所成角的正弦 z
AD (0,1,1),
D
AC ( 3,1,0), AB (0,1,0),
n (1, 3, 3)
A
By
cos n, AB n • AB 3
n (x, y, z)
AB (4,6,1), AC (4,3,2)
4x 6y z 0 4x 3y 2z 0 x2 y2 z 2 1
第八章第六节立体几何中的向量方法课件共18张PPT
A．－
10 10
B．－210
C．210
D．
10 10
D [建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，
设 DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(0，12 ，1)，
则A→C ＝(－1，1，0)，D→E ＝(0，12 ，1)，
设异面直线 DE 与 AC 所成的角为 θ，
则 cos θ＝|cos〈A→C
(2)点到平面的距离 如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为|B→O |＝|A→B|n·| n| .
直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称A→B 为直线 l 的方向向量，与A→B 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量．
，D→E
〉|＝
10 10
.]
4．(选修 2－1P113 习题 T9 改编)如图所示，在空间直角坐标系中，有一 棱长为 a 的正方体 ABCD-A′B′C′D′，A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的 距离为________．
解析： 由图易知 A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A′(a，0， a)，所以 F(a，a2 ，0)，E(a2 ，a2 ，所成的角是这两个平面所成的角．( )
(4) 两 异 面 直 线 夹 角 的 范 围 是 0，π2 ， 直 线 与 平 面 所 成 角 的 范 围 是
0，π2 ，二面角的范围是[0，π].(
)
答案： (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面
所以 EF＝ （a－a2）2＋（a2－a2）2＋（0－a2）2
空间向量法解决立体几何证明PPT讲稿
n
α
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,_0_,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,_0_,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,_-1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
如何求平面的法向量
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
• 练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1
中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z A1 B1
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点， 求证：PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法
P
E
D
C Y
A
G
B
X
解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
证明： 依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E(0, 1 , 1), B(1,1，0) 22
22
DE (0, 1 , 1) DB =(1,1，0)
22
设平面EDB的法向量为 n (x, y,1)
D
则n DE, n DB
A
于是
1 2
y
1 2
0
n
1,
x y 0
1,
1 X
α
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,_0_,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,_0_,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,_-1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
如何求平面的法向量
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
• 练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1
中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z A1 B1
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点， 求证：PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法
P
E
D
C Y
A
G
B
X
解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
证明： 依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E(0, 1 , 1), B(1,1，0) 22
22
DE (0, 1 , 1) DB =(1,1，0)
22
设平面EDB的法向量为 n (x, y,1)
D
则n DE, n DB
A
于是
1 2
y
1 2
0
n
1,
x y 0
1,
1 X
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件1
8.a、b都是单位向量，则a·b=1；(×)
9.若|a·b|=0，则|a|=0或|b|=0；(×) 10.(a·b)·c=a·(b·c).(×) 尝试说明上述命题为假的理由.
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85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
为A1B和AC上的点，A1M=AN=
2 a，则MN与平面 3
BB1C1C的位置关系是( B ) (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定
3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是圆 周上的任意一点(但异于A和B)，则平面PBC垂直于平
面___P_A_C____．
4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分
6．设n是平面α的单位法向量，AB是平面α的一条斜 线，其中A∈α，则AB与平面α所成的角为
arcsin AB n ；B点到 AB
平面α的距离为___A__B_·_n__.
【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角
时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱
的垂线.
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能力·思维·方法
1. 在 长 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中 ， AB=a ， BC=b ， AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值.
别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角
为( D ) (A)arccos
3
(B)arccos 10
2
10
9.若|a·b|=0，则|a|=0或|b|=0；(×) 10.(a·b)·c=a·(b·c).(×) 尝试说明上述命题为假的理由.
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85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
为A1B和AC上的点，A1M=AN=
2 a，则MN与平面 3
BB1C1C的位置关系是( B ) (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定
3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是圆 周上的任意一点(但异于A和B)，则平面PBC垂直于平
面___P_A_C____．
4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分
6．设n是平面α的单位法向量，AB是平面α的一条斜 线，其中A∈α，则AB与平面α所成的角为
arcsin AB n ；B点到 AB
平面α的距离为___A__B_·_n__.
【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角
时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱
的垂线.
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能力·思维·方法
1. 在 长 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中 ， AB=a ， BC=b ， AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值.
别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角
为( D ) (A)arccos
3
(B)arccos 10
2
10
《向量法解立体几何》课件
根据已知条件，确定各点的坐 标。
应用向量运算法则
利用向量的加、减、数乘、数 量积、向积等运算法则进行计 算。
建立空间直角坐标系
根据题意，选择合适的点作为 原点，确定x、y、z轴的方向 。
确定向量的坐标
根据点的坐标，计算相关向量 的坐标。
求解问题
根据具体问题类型，利用向量 法得出结论或求解未知数。
空间几何问题的实例解析
建立向量关系式
根据向量的运算规则，建立向量之间的关系式。
解方程组
通过解方程组，得到向量的坐标。
验证解的正确性
验证解是否符合题目的实际情况。
立体几何问题的实例解析
点线面位置关系的判断
利用向量法判断点、线、面之间的位置关系 ，如平行、垂直、相交等。
角度的计算
利用向量法计算线与线之间、面与面之间、 线与面之间的角度。
03
向量法解决空间几何问题
空间几何问题的分类
点线面位置关系问题：确定点、线、面之间的位 置关系，如平行、垂直、相交等。
角度和距离计算问题：计算两条线之间的夹角、 点到平面的距离、两平面之间的夹角等。
空间几何体的表面积和体积问题：计算给定几何 体的表面积和体积。
空间几何问题的解决步骤
确定点的坐标
适用范围
向量法适用于任何有方向的几何问题 ，特别是与方向和角度有关的问题， 而坐标法则更适用于有固定坐标系的 问题。
向量法与三角法的比较
角度与长度
向量法可以同时处理角度和长度问题，而三角法则主要关注角度问题。
运算方式
向量法在处理几何问题时，注重向量的线性运算，而三角法则涉及更多的三角函数运算。
向量法的优缺点分析
向量的数量积
两个向量的数量积是一个标量，记作$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}$，计算公式为$|overset{longrightarrow}{a}| cdot
应用向量运算法则
利用向量的加、减、数乘、数 量积、向积等运算法则进行计 算。
建立空间直角坐标系
根据题意，选择合适的点作为 原点，确定x、y、z轴的方向 。
确定向量的坐标
根据点的坐标，计算相关向量 的坐标。
求解问题
根据具体问题类型，利用向量 法得出结论或求解未知数。
空间几何问题的实例解析
建立向量关系式
根据向量的运算规则，建立向量之间的关系式。
解方程组
通过解方程组，得到向量的坐标。
验证解的正确性
验证解是否符合题目的实际情况。
立体几何问题的实例解析
点线面位置关系的判断
利用向量法判断点、线、面之间的位置关系 ，如平行、垂直、相交等。
角度的计算
利用向量法计算线与线之间、面与面之间、 线与面之间的角度。
03
向量法解决空间几何问题
空间几何问题的分类
点线面位置关系问题：确定点、线、面之间的位 置关系，如平行、垂直、相交等。
角度和距离计算问题：计算两条线之间的夹角、 点到平面的距离、两平面之间的夹角等。
空间几何体的表面积和体积问题：计算给定几何 体的表面积和体积。
空间几何问题的解决步骤
确定点的坐标
适用范围
向量法适用于任何有方向的几何问题 ，特别是与方向和角度有关的问题， 而坐标法则更适用于有固定坐标系的 问题。
向量法与三角法的比较
角度与长度
向量法可以同时处理角度和长度问题，而三角法则主要关注角度问题。
运算方式
向量法在处理几何问题时，注重向量的线性运算，而三角法则涉及更多的三角函数运算。
向量法的优缺点分析
向量的数量积
两个向量的数量积是一个标量，记作$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}$，计算公式为$|overset{longrightarrow}{a}| cdot
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a
P
B
A
l
P
a
b
Oa
A
因为方向向量与法向量可以确 定直线和平面向量，所以我们可以 利用直线的方向向量和平面的法向 量表示空间直线、平面间的平行、 垂直、夹角等位置关系。
知识点
设直线 l , m 的方向向量为分别为 a , b ，平面 , 的法向量分别为 u , v
1 . l // m a // b a b l // a u a u 0 // u // v u v
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
习题讲解
2、设 u , v 分别是平面 , 的法向量，根据下列条件 判断平面 , 的位置关系。
( 1 ) u ( 2 ,2 ,5 ) ,v ( 6 , 4 ,4 ) ( 2 ) u ( 1 ,2 , 2 ) ,v ( 2 , 4 ,4 )
( 3 ) u ( 2 , 3 ,5 ) ,v ( 3 , 1 , 4 )
n
a α
b
习题讲解
1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C （1，1，0），求平面ABC的一个法向量。
解：设平面ABC的一个法向量 n(x,y,z)， 依题意得：A B ( 1 ,2 ,0 ) ,B C ( 1 ,0 , 1 )
n A B ,n B Cn ABxy0 n BCxz0
2. l m a b a b 0 l a // u a u uv u v0
习题讲解
1、设 a , b 分别是直线 l 1 , l 2 的方向向量，根据下列条 件判断直线 l 1 , l 2 的位置关系。
( 1 ) a ( 2 , 1 , 2 ) ,b ( 6 , 3 , 6 ) ( 2 ) a ( 1 ,2 , 2 ) ,b ( 2 ,3 ,2 ) ( 3 ) a ( 0 ,0 ,1 ) ,b ( 0 ,0 , 3 )
y
0
取z =1
B1 1
AA
xB
C1 1
y
OD C
得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
y
x
直线的方向向量和法向量
2.平面的法向 如果表量示向量n的有向线段所在的直线垂直于平
面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n 叫做平面α的法向量.
n
α
利用空间向量决定点、直线和平面在空
间中的位置
P
1、如何确定一个点在空间的位置？
O
l
2、如何确定一条直线在空间的位置？ 3、如何确定一个平面在空间的位置？
为了用空间向量解决立体几何问题，首 先必须把点、直线、平面的位置用向量表示 出来。
直线的方向向量和法向量
1.直线的方向向量
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称 为直线的方向向量。如图，在空间直角坐标系中，由 A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是：
zB
A B (x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 ) A
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设
平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则
O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）
由O A 1 =（-1，-1，2）O，D 1 =（-1，1，2）A z
D
x y 2z 0
x 2z
得 x y 2z 0，解得
令 x 1 ， 则 y z 1 所以，平面ABC的一个法向量为 n(1,1,1)
求平面的法向量的坐标的步骤
• 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
• 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
xx21xx
y1y y2 y
z1z 0 z2z 0
例题讲解
定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。
已知：直线 l , m 和平面 , ，其中 l,m ，
l 与 m 相交， l / / ，m // 求证： //
• 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐 标呢? 如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平 面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平 面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α. 换句话说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥ α.
空间向量法解决立体几何问题
立体几何问题的类型
1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系;
2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
利用空间向量解决立体几何问题，是利 用平面向量解决平面几何向量的发展。主 要变化是维数增加了，讨论的对象由二维 图形变为三维图形。
• 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.
• 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.
习题讲解
• 2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z
A1
D1
C1 B1
AA O
xB
y
D C
习题讲解
• 2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.