日本东北大学2011年春季高考数学试题

日本东北大学2011年春季高考数学试题
（文科）
1.解答下面的问题：
（1）关于x 的不等式组
12331
x x x a -≥-⎧⎨⋅+⋅≤⎩ 有解，求实数a 的取值范围。

（2）当x ≥-1时，关于x 的不等式
33x x a a -+⋅≥
恒成立，求实数a 的取值范围。

2. 在△OAB 中，C 在边AB 上，AC ：CB=1∶2，动点D 满足(1)OD xOA x =≥ ，
直线CD 与OB 交于点E 。

（1）若实数y 满足OE yOB = ，则213x y
+=。

（2）若S 为△OAB 的面积，T 为△ODE 的面积，求S T
的最大值及此时x 的值。

3. 王老师和三位学生甲、乙、丙，欲从盒中摸球，已知盒中共有3个红球、7个白球。

摸球方法如下：当王老师掷出的骰子为1点时，甲生从盒中摸球；当王老师掷出的骰子为2或3点时，乙生从盒中摸球；当王老师掷出的骰子为其它点时，丙生从盒中摸球。

三位学生摸球后均不放回。

假定王老师掷出骰子点数的机会均等，学生从盒中摸到任何一球的机会相等。

本实验操作共进行2次。

请解答下面的问题：
（1）求学生A 恰好得到2块红玉的概率。

（2）求学生B 至少得到1块红玉的概率。

4. 直线l ，m 是抛物线2y x =的两条互相垂直的切线。

（1）若切线l 的切点坐标为()2,a a ，试用a 表示l ，m 的交点坐标。

（2）若直线l ，m 关于y 轴对称，求由直线l ，m 和抛物线2y x =所围成图形的面积。

【翻译：曲阜师范大学附属中学 孔凡代】
※原文：见附录
附录。