高三一模试卷(理数)

高三一模试卷

数 学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项. 1. 已知集合{5}A x x =∈

（A ）(2,5)

（B ）[2,5)

（C ）{2,3,4}

（D ）{3,4,5}

2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 （A ）2x

y =

（B ）2

y x x =-

（C ）2y x = （D ）3

y x =

3. 设3log 2=a ，3log 4=b ，5.0=c ，则 （A ）a b c <<

（B ）b c a <<

（C ）c a b <<

（D ）b a c <<

4．设向量(1,sin )θ=a ，(3sin ,1)θ=b ，且//a b ，则cos2θ等于 （A ）3

1-

（B ）3

2-

（C ）

3

2 （D ）

3

1 5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

6.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是

（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4

π

-成中心对称 （B ）两个函数的图象均关于直线4

x π

=-成中心对称

（C ）两个函数在区间(,)44

ππ

-上都是单调递增函数

（D ）两个函数的最小正周期相同 7．已知曲线1

:(0)C y x x

=

>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>.过1A ，2A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么 （A ）3

12,

,2

x x x 成等差数列 （B ）3

12,

,2

x x x 成等比数列 开始

是

否

输出

结束

①

（C ）132,,x x x 成等差数列 （D ）132,,x x x 成等比数列

8．如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.

①不存在点D ,使四面体有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等

④存在无数个点D ,使点O 在四面体的外接球面上 其中真命题的序号是 （A ）①②

（B ）②③

（C ）③

（D ）③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在复平面内，复数

2i

1i

-对应的点到原点的距离为_____. 10.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知

22PA =，4PC =，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为

_____.

11.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ

=⎧∈⎨=⎩R 经过点1

(,)2m ，则m =______，离心率e =______.

12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.

13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.

14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有

1135,2n n n n

n n k

k a a a a a a +++⎧⎪

=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，

,当111a =时，100a =______； 若存在*

m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）

设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且5

4

cos =B ,2=b . （Ⅰ）当3

5

=

a 时，求角A 的度数；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值. ABCD ABCD ABCD P

A

B

C

O

•

O

A

B

D

C

正(主)视图 俯视图

侧(左)视图

3

4

4

3

3

3

16．（本小题满分13分）

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为

11,,23p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14

. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p 的值；

（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .

17.（本小题满分13分）

如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，

AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.

(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；

（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.

18. （本小题满分14分）

已知函数2

(1)

()a x f x x

-=

，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值； （Ⅲ）设2

()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.

（其中e 为自然对数的底数）

A B

C

D F

E