17.4.1复数三角形式的乘除法与棣莫弗定理
§17.4-棣莫弗定理与欧拉公式
学生小结教师补充
分析：积的辐角等于辐角的和，欲求+可利用 的乘积进行求解.
学生黑板练习
南通工贸技师学院教案用纸附页
教学内容、方法和过程
附记
解： (2+i)(3i)=5+5i=
由复数的乘法法则知，
又∵两个复数分别为2+i和3i
∴其辐角主值 <<， <<2，
∴2<+<3
∴+=2+ =
点评：利用复数的乘法法则求两辐角的和，关键要注意辐角和的范围，复数积的辐角主值不一定是两个复数辐角的和.分析：复数积的等于模的积，商的模等于模的商.
解：|z|=
点评：如果一个复数是由若干个复数相乘或相除而构成，则求其模时，不需要将该复数进行化简运算，而可利用复数三角形式的乘除运算法则，先求各自复数的模，再进行乘除运算.
【举一反三】
已知 ，则
【例3】已知复数 =2+i和 3i的辐角主值分别为、，求+的值
解：（1）原式=
（2）原式=
(3)原式=
(4)原式=
教师讲授
讲授
南通工贸技师学院教案用纸附页
教学内容、方法和过程
附记
点评：若复数是代数形式或非标准的三角形式，要先将复数化为标准的三角形式，然后再利用相应法则进行运算.
【举一反三】
计算：
（1）
(2) (cos +isin )÷ (cos isin )
【例2】求复数 的模.
南通工贸技师学院
教案首页
授课
日期
班级
15单招2
课题：§17.4棣莫弗定理与欧拉公式
教学目的要求：掌握复数三角形式的乘除法运算法则，能熟练运用法则进行三角形式的乘、除运算.
复数的棣莫弗定理
复数的棣莫弗定理1. 嘿，你知道复数的棣莫弗定理吗？它就像一个神秘的宝藏，等待着我们去挖掘。
想象一下，复数就像是一群在数学世界里跳舞的小精灵，而棣莫弗定理就是它们的舞蹈规则。
有一次我和同学一起讨论数学问题，提到了这个定理，我同学一脸疑惑地问：“这啥定理啊？听都没听过。
”我就笑着说：“别急，听我给你讲讲，你会发现它超级有趣的！”你是不是也很好奇呢？2. 哇哦！复数的棣莫弗定理可厉害了。
它就像一把神奇的钥匙，能打开很多数学难题的大门。
比如说，当我们遇到一些关于复数幂运算的问题时，这个定理就派上用场了。
有个学霸在给我们讲题的时候就用到了棣莫弗定理，他说：“你们看，用这个定理，一下子就能把这个复杂的复数幂运算简化了，就像变魔术一样。
”我们都惊讶地看着他，心里想：这定理也太神奇了吧！你觉得它像不像一个魔法工具呢？3. 嘿呀！复数的棣莫弗定理还和三角函数有密切的关系哦。
它就像一座桥梁，连接着复数和三角函数两个不同的世界。
你知道吗？通过这个定理，我们可以用三角函数来表示复数的幂。
我在学习的时候，一开始总是搞不清楚它们之间的关系，后来老师给我画了个图，解释说：“你看，就像两条不同的道路，通过棣莫弗定理，它们就交汇在一起了。
”你能想象出那个画面吗？4. 哇！理解复数的棣莫弗定理，就像是在解开一个神秘的密码。
当你真正掌握了它，那种成就感简直爆棚。
我记得有一次做数学作业，遇到一道很难的复数题，我绞尽脑汁都做不出来。
突然我想到了棣莫弗定理，试着用它去解题，结果还真做出来了。
我兴奋地对自己说：“我居然做到了，棣莫弗定理真是太好用了！”你有没有过这种通过努力掌握一个知识后的喜悦呢？5. 嘿，朋友们！复数的棣莫弗定理在物理学中也有应用哦。
它就像一个隐形的助手，默默地帮助物理学家解决问题。
比如说在研究振动、波动这些现象的时候，复数和棣莫弗定理就发挥了很大的作用。
我听一个物理大神说：“要是没有复数的棣莫弗定理，很多物理问题的研究可就没那么容易了。
中职数学教案：棣莫弗定理与欧拉公式
备课组别
数学
上课
日期
主备
教师
授课
教师
课题：
17.4-1棣莫弗定理与欧拉公式
教学
目标
1. 理解复数三角形式乘除法公式.
2..能根据复数三角形式乘除法公式进行计算。
重点
复数三角形式乘除法；
难点
利用复数三角形式乘除法公式进行计算
教法
讲练结合数形结合
教学设备
由此可见，复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和.
二 巩固数学
例1
解
由此可见，复数的商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
例2计算：
解：
例3若 那么 与 的值分别为多少？
解:
三 理解数学
计算：
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
【思考提升】
1.深入理解复数三角形式的乘除法运算法则.
2.体会在计算乘除法时，三角形式比代数形式要简便.
三、 小结
通过本节课的学习，我们进一步学习了复数三角形式
的乘除法运算，在计算乘除法时，三角形式比代数形式要简
便.
四 、作业
P77练习
板
书
设
计
教后札记
多媒体一体机
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内ห้องสมุดไป่ตู้
容
【课堂导学】
复数的代数形式 可以进行加、减、乘、除等运算.
17.4棣莫弗定理及欧拉公式
证明：
6、复数指数形式乘方法则：
若 则
证明：
7、复数的极坐标形式：
表示模为，辐角为的复数。即 =
复数的极坐标形式的运算法则：
（1） =
（2） （其中 ）
（3）
例题讲解
例2、将下列复数化为指数形式：
（1） （2）
（3） （4）
（4）（5） （6） （7） （8）0
将下列复数的指数形式化为三角形式和代数形式：
课题序号
授课班级
养殖班/艺术班
授课课时
2
授课形式
讲授式
授课章节
名称
17.4棣莫弗定理及欧拉公式
使用教具
黑板、PPT
教学目的
1、掌握复数三角形式的乘除法运算和棣莫弗定理、欧拉公式，知道在进行复数的幂运算时采用三角形式和指数形式会使计算变得简便。
2、会进行复数的代数形式、三角形式和指数形式之间的互化。
3、了解复数的指数形式和极坐标形式在电工学中的应用。
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
第一课时一、知识链接：1 Nhomakorabea若 ， ，则
因此，复数的积的模等于，积的辐角等于
证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：
2、若 ， ，则
因此，复数的商的模等于，商的辐角等于
证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：
注意：运用复数的三角形式的乘除法运算时，首先要使每个复数是三角形式。
2、例题讲解
例1、利用复数的三角形式计算下列各式：
（1）
（2）
（3）（3）
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
3、棣莫弗定理
若 ，则
§17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式
3 1 4 计算： (1)(cos 5 i sin 5 ) ; (2)( i) . 2 2
6
问题解决
当n取什么正整数时，z= 1 3i 是一个实数？
n
n 3k , k Z .
本节课 学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
何处还需要注意？
归纳
乘法：
复数的积的模等于模的积，
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
n n
[r (cos isin )] r (cos n isin n ). 棣莫弗定理：
计算： (1)(cos 40 i sin 40 )9 ; (2)(1 3i) 2012 . 1 cos360 i sin 360 (1)原式 解： 2012 (2)原式 [2(cos i sin )] 3 3 2012 2012 2012 2 (cos i sin ) 3 3 2 2 2012 2 (cos i sin ) 3 3 1 3 2012 2 ( i) 22011 22011 3i 2 2
由此可见， 复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的 差 ．
计算：[6(cos 70 isin 70 )] [3(cos 40 isin 40 )].
原式 2[ cos(70 40 ) isin(70 40 )] 解：
2(cos30 isin 30 ) 3 i.
2 3
;
21 2
i i 2 6i
.
关键点拨：如果我们要求几个复数积或商或幂的模，那么可以利用 z1 z1 n n z1 z2 = z1 z2 、 = 和 z z 进行计算，而不需要 z2 z2 先算出积、商、幂之后再求模.
《三角形式下复数的乘除运算》 讲义
《三角形式下复数的乘除运算》讲义一、复数的三角形式在深入探讨三角形式下复数的乘除运算之前，我们先来了解一下什么是复数的三角形式。
对于一个复数\（z ＝ a ＋ bi\），其中\（a\）为实部，＼（b\）为虚部。
它的三角形式可以表示为\（z ＝ r(＼cos\theta ＋ i\sin\theta)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），称为复数的模，＼（＼theta\）称为复数的辐角。
例如，对于复数\（z ＝ 1 ＋＼sqrt{3}i\），我们可以计算其模\（r ＝＼sqrt{1^2 ＋（＼sqrt{3}）＾2} ＝ 2\），辐角\（＼theta ＝＼arctan(＼frac{＼sqrt{3}｝｛1}）＝＼frac{＼pi}｛3}＼），所以其三角形式为\（z ＝ 2(＼cos\frac{＼pi}｛3} ＋ i\sin\frac{＼pi}｛3}）＼）。
二、复数三角形式的乘法当两个复数都以三角形式表示时，乘法运算变得相对简单。
设\（z_1 ＝ r_1(＼cos\theta_1 ＋ i\sin\theta_1)＼），＼（z_2 ＝r_2(＼cos\theta_2 ＋ i\sin\theta_2)＼）则\（z_1 ＼times z_2 ＝ r_1r_2(＼cos(＼theta_1 ＋＼theta_2) ＋i\sin(＼theta_1 ＋＼theta_2)）＼）简单来说，两个复数相乘，其模相乘，辐角相加。
为了更好地理解这一运算规则，我们来看一个具体的例子。
假设\（z_1 ＝2(＼cos\frac{＼pi}｛4} ＋i\sin\frac{＼pi}｛4}）＼），＼（z_2 ＝ 3(＼cos\frac{＼pi}｛6} ＋ i\sin\frac{＼pi}｛6}）＼）则\（z_1 ＼times z_2 ＝ 2×3(＼cos(＼frac{＼pi}｛4} ＋＼frac{＼pi}｛6}）＋ i\sin(＼frac{＼pi}｛4} ＋＼frac{＼pi}｛6}））＼）＼＼begin{align}＆＝6(＼cos(＼frac{3\pi ＋ 2\pi}｛12}）＋ i\sin(＼frac{3\pi ＋ 2\pi}｛12}））＼＼＆＝6(＼cos\frac{5\pi}｛12} ＋ i\sin\frac{5\pi}｛12}）＼end{align}＼通过这个例子，我们可以清晰地看到，在三角形式下进行复数乘法，能够直观地得到乘积的模和辐角。
数学第四册(综高)17.4棣莫弗定理与欧拉公式
备注§17.4 棣莫弗定理与欧拉公式教学目标：1.掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行三种 形式的互化；2.掌握复数的三角形式的乘、除和棣莫弗定理与欧拉公式。
教学重点：掌握复数的三角形式的乘、除和隶莫弗定理与欧拉公式。
教学难点：掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行 三种形式的互化。
新课讲授：棣莫弗定理与欧拉公式 一、复习导入在三角形式下对复数进行的运算主要是乘除。
二、探究设复数z 1= 2(cos6π+isin6π)，z 2= 4(cos3π+isin3π)，则z 1 ·z 2等于多少？三、知识链接(1)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)， 则有z 1 ·z 2= r 1 r 2 [cos(θ1 +θ2 )+isin （θ1+θ2）]由此可见，复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和。
(2)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)， 则有21z z = 21r r[cos(θ1 -θ2 )+isin （θ1-θ2）] 由此可见，复数的积的模等于模的商，积的辐角等于辐角的差。
四、典型例题 例1、计算 （1）3（cos6π+isin6π）·4（cos12π+isin12π）（2）2（cos 500+isin500）·3（cos400+isin400）例2、计算：[6（cos 700+isin700）]÷[3（cos400+isin400）]若3（cos6π+isin6π），那么z 2与z 3的值分别为多少？练习1.计算： （1）2（cos6π+isin6π）·2（ cos12π+isin12π）（2）2（cos83π+isin83π）·3（ 1+i ）（3）2（cos6π-isin6π）÷2（ cos12π+isin12π）课内练习：P77练习一、复习导入学习了复数三角形式的乘法后，接下来我们学习复数三角形式的 幂运算。
高中数学竞赛讲义复数
高中数学竞赛讲义复数一、基础知识1．复数的运算法则：三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+i sin θ1), z 2=r 2(cos θ2+i sin θ2)，则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]；11222(0),z r z z r ≠=[cos(θ1-θ2)+i sin(θ1-θ2)]，或记为z 1z 2=r 1r 212()i e θθ+；.)(212121θθ-=i e r r z z 2．棣莫弗定理：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos n θ+i sin nθ). 3．开方：若=nw r (cos θ+i sin θ)，则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=，k =0,1,2,…,n -1。
4．方程10(2n x n n n -=≥为自然数，且）的个根 记为：22cossin (0,1,2,,1)k k k i k n n nππε=+=-称为1的n 次单位根。
由棣莫弗定理，全部n 次单位根可表示为112111-n εεε ，，，。
关于单位根，有如下常用性质：)20111211≥=++++-n n （εεε ；任意两个单位根j i εε,的乘积仍为一个n 次单位根，且（1）的余数）除以是其中时，当n j i k n j i k j i j i j i +=≥+=⋅++,(εεεεε； （2）设m 为整数，1≠n ，则⎩⎨⎧=++++-的倍数）不是的倍数），是n m n m n mn m m (0(1121εεε（3）1+z 1+z 2+…+z n -1=0；（4）x n -1+x n -2+…+x +1=(x -z 1)(x -z 2)…(x -z n -1)=(x -z 1)(x -21z )…(x -11n z -). 特别地：1的立方根有：1，ω＝－12＋32i ，-ω＝－12－32i（1）ω3＝-ω3＝1 （2）1＋ω＋ω2＝0或1＋-ω＋-ω2＝0 （3）ω-ω＝1 （4）ω2＝-ω，-ω2＝ω （5）(1±i )2＝±2i ，(3±4i )2＝－7±24i5．代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根。
复数 百度
复数百科名片复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。
由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。
它满足四则运算等性质。
它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。
目录复数的定义复数的四则运算法则：复数的加法乘法运算律：虚数单位i的乘方：复数的乘法法则复数的除法法则复数的其他表达复数三角形式的运算棣莫佛定理（复数的乘方）对于复数z=r(cosθ+isinθ),有z的n次幂复数的开方若z^n=r(cosθ+isinθ), 则复数集的分类复数的起源复数的应用系统分析信号分析反常积分量子力学相对论应用数学流体力学碎形数系理论的历史发展复变初等函数实变初等函数的推广复变指数函数复数的三角函数复数的双曲函数复数的定义复数的四则运算法则：复数的加法乘法运算律：虚数单位i的乘方：复数的乘法法则复数的除法法则复数的其他表达复数三角形式的运算棣莫佛定理（复数的乘方）对于复数z=r(cosθ+isinθ),有z的n次幂复数的开方若z^n=r(cosθ+isinθ), 则复数集的分类复数的起源复数的应用系统分析信号分析反常积分量子力学相对论应用数学流体力学碎形数系理论的历史发展复变初等函数实变初等函数的推广复变指数函数复数的三角函数复数的双曲函数展开图1编辑本段复数的定义数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。
比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。
定义：形如z=a+bi的数称为复数(complex number)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1（a，b是任意实数）我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部（real part)记作Rez=a实数b称为复数z的虚部（imaginary part)记作Imz=b.已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数；当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。
棣莫弗公式.
cost = 1 - t^22!+t^44!-t^66!+……-……
将t = ix 代入以上三式 ，可得欧拉公式
应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
最后可以由数学归纳法导出，对于n∈N，Z^n=r^n(cos nx+isin nx)
[编辑本段]在三角问题中的应用
在r=1时：
（cosx＋isinx）^n = cos(nx)+isin(nx)
有这个公式可以得到一个特别重要的结果。我们可以令n=3为例，此时
（cosx＋isinx）^3 =cos(3x)+isin(3x)
(k=0,1,2,......). n∈N.
这两条公式叫做棣莫弗公式
[编辑本段]证明
棣莫弗公式证明
先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx
将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^22! + t^33! + …… + t^nn！+ ……
其中θ为z的辐角，k=0,1,2,...,n-1
例如 解方程x^3=1
得x1=1 , x2=(-1/2)+i(√3)/2 , x3=(-1/2)-i(√3)/2 .
再根据式子sin^2 x+cos^2 x=1,代入并整理后得
cos 3x=4cos^3 x-3cos x
sin 3x=-4sin^3 x+3sin x
复数的三角形式及运算
（ 5） 7
（ 7）
（6） 1 3i
（8） 8 （10） 3 3i
3 i
（9） 6i
作业: 求下列复数的模和幅角主值：
（ 1）
2i
（2）
5
（3） 3 3i
（4）
1 i
(5) 5
(6) 3i 1
复数的三角形式
由右图可以看出，对于复数 Z a bi 有
精品精品任务目标会进行复数三角形式的乘除运算精品学习内容复数三角形式的除法精品复数的模由于不等于0的复数可以用向量表示如图把向量的长度叫做复数的模数简称模或绝对值记作omom且有精品叫做复数的幅角如图oxom复数的幅角1不等于0的复数的幅角有无数多个这些值相差的整数倍
任务目标
知道复数的模和幅角的定义 会求复数的模和幅角主值 能求出复数的三角形式 会进行复数三角形式的乘除运算
（2）当 Z1 Z 2 Z n Z 时，即
r1 r2 rn r , 1 2 n ，有 Z n [r (cos i sin )]n r n (cosn i sin n )
这就是复数三角形式的乘方法则，即： 模数乘方，幅角 n 倍
（3） [2(cos50
i sin 50 )]
4
8 [cos( ) i sin( )] （4） 4 4
课堂小结
2 2 r a bi a b 1、复数的模
2、复数的幅角及幅角主值 arg Z
3、复数的三角形式 r (cos i sin )
学习内容
复数的模的定义 复数的幅角的定义 复数的模和幅角主值的求解 复数的三角形式及其求解 复数三角形式的乘法 复数三角形式的除法
乘法中的棣莫弗定理应用
乘法中的棣莫弗定理应用在数学中，棣莫弗定理是一条广为人知的重要定理，被广泛运用于代数和其他相关领域。
其中，乘法中的棣莫弗定理是指在乘法中，可以通过分配律简化计算的过程。
这个定理在数学中有着广泛的应用，下面我们将深入探讨乘法中的棣莫弗定理的应用。
乘法中的棣莫弗定理简介首先，让我们回顾一下乘法的基本概念。
在数学中，乘法是一种基本的运算，用于计算两个或多个数的乘积。
而棣莫弗定理则是指将乘法中的加法和乘法进行结合，从而简化计算的过程。
棣莫弗定理的数学表达式如下：(a + b) × c = a × c + b × c这个定理告诉我们，在乘法中，可以先将加法部分进行乘法，然后再进行加法运算，从而简化整个计算过程。
下面我们将通过几个实际例子来说明乘法中的棣莫弗定理的应用。
实际应用举例例1：商品价格计算假设有一家商店要购买A、B两种商品，它们的单价分别为1元和2元，需要买3个A商品和4个B商品。
我们可以用乘法中的棣莫弗定理来计算总价：(3A + 4B) × 单价 = 3A × 单价 + 4B × 单价 = 3 × 1 + 4 × 2 = 11因此，总价为11元。
例2：代数表达式简化考虑一个代数表达式 (3x + 2y) × 4，我们可以利用乘法中的棣莫弗定理来简化计算：(3x + 2y) × 4 = 3x × 4 + 2y × 4 = 12x + 8y这样，我们就得到了简化后的代数表达式。
结语通过以上例子，我们可以看到乘法中的棣莫弗定理在日常生活和数学计算中的重要性和广泛应用。
在实际问题中，我们经常可以通过运用这个定理来简化计算过程，提高效率。
因此，深入理解和熟练掌握乘法中的棣莫弗定理对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用乘法中的棣莫弗定理。
复数三角形式的乘法法则
复数三角形式的乘法法则引言在复数的数学世界中，乘法是一种非常重要的运算。
复数的乘法法则有多种形式，其中之一便是三角形式的乘法法则。
本文将探讨复数的三角形式如何应用于乘法运算，以及它的特点和计算方法。
复数的三角形式复数可以用不同的表示形式，包括代数形式（a + bi）和三角形式（r(cosθ + i sinθ)）。
在复数的三角形式中，r表示模，θ表示幅角。
复数的三角形式可以更直观地表示复平面中的位置和方向，从而简化复数的运算。
三角形式下的复数乘法法则两个复数（r1(cosθ1 + i sinθ1)）和（r2(cosθ2 + i sinθ2)）相乘可以按照以下步骤进行： 1. 将两个复数的模相乘，得到结果的模：r1 * r2。
2. 将两个复数的幅角相加，得到结果的幅角：θ1 + θ2。
3. 将结果的模和幅角组合，得到相乘后的复数：r1 * r2 (cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2))。
示例若需要计算复数z1 = √2(cos(π/6) + i sin(π/6))和复数z2 = 2(cos(π/3) + isin(π/3))的乘积，按照三角形式的乘法法则进行计算： 1. z1 = √2，θ1 = π/6，z2 = 2，θ2 = π/3。
2. z1 * z2 = √2 * 2 = 2√2。
3. θ1 + θ2 = π/6 + π/3 = π/2。
4. 因此，z1 * z2 = 2√2(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 2√2i。
结论复数的三角形式的乘法法则提供了一种简便的方式来进行复数的乘法运算，通过将复数表示为模和幅角的形式，可以更直观地理解和计算复数的乘法结果。
熟练掌握复数的三角形式乘法法则将有助于在数学和工程领域中更有效地处理复数运算问题。
高中数学的复数运算的公式分析
高中数学的复数运算的公式分析数学的学习中也有些的知识点是需要学生记忆的，下面是店铺给大家带来的有关于高中数学的复数运算的公式的介绍，希望能够帮助到大家。
高中数学的复数运算的公式1.知识网络图2.复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的重点(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.4. ⑴复数的单位为i，它的平方等于-1，即.⑵复数及其相关概念：①复数—形如a + bi的数(其中);②实数—当b = 0时的复数a + bi，即a;③虚数—当时的复数a + bi; ④纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.⑤复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数)⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若为复数，则若，则.(×)[为复数，而不是实数]若，则.(√) ②若，则是的必要不充分条件.(当，时，上式成立) 5. ⑴复平面内的两点间距离公式：. 其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离. 由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.⑵曲线方程的复数形式：①为圆心，r为半径的圆的方程. ②表示线段的垂直平分线的方程. ③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程(若，此方程表示线段). ④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程(若，此方程表示两条射线).⑶绝对值不等式：设是不等于零的复数，则①. 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. ②. 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. 注：.6. 共轭复数的性质：，(a + bi)()注：两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零，此时两个复数是相等的]7⑴①复数的乘方：②对任何，及有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论. ②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若是1的立方虚数根，即，则 . 8. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：①. ②若，是纯虚数.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：. 9. ⑴复数的三角形式：. 辐角主值：适合于0≤<的值，记作. 注：①为零时，可取内任意值. ②辐角是多值的，都相差2 的整数倍. ③设则.⑵复数的代数形式与三角形式的互化：，，.⑶几类三角式的标准形式：10. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：①当时，若>0，则有二不等实数根;若=0，则有二相等实数根;若<0，则有二相等复数根(为共轭复数). ②当不全为实数时，不能用方程根的情况. ③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.11. 复数的三角形式运算：棣莫弗定理：高中数学的知识点的口诀高中数学口诀一、《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。
棣莫弗公式
棣莫弗公式棣莫弗定理1科学原理设两个复数（用三角形式表示）z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），则:z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].证：先谈一下复数的三角形式的概念。
在为丛藓科扭口藓平面c上，用向量z(a,b）去则表示z=a+bi.于是，该向量可以分为两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量z与实轴的夹角为θ，这两个分后向量的模分别等同于rcosθ,rsinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数z可以则表示为z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称作复数z的辐角.因为z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推展为通常形式：设n个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，zn=rn(cosθn+isinθn），则：z1z2……zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].4解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和欧拉（euler）公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参看《泰勒公式》，严苛的证明须要复分析）放到一起看看，则可以用以认知欧拉公式的意义。
利用棣莫弗定理存有：z1z2……zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]如果可以把所有的复数重写成指数的形式，即为：z1=r1e^iθ1,z2=r2e^iθ2，……，zn=rne^iθn,z1z2……zn=r1r2……rne^i（θ1+θ2+……+θn)这和指数的直和性一致.在一般形式中如果令z1=z2=……=zn=z，则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.棣莫弗，a．（demoivre，abraham)1667年5月26日出生法国维特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦．数学．棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，其父一生勤政，以行医税金勉力保持家人温饱．棣莫弗自幼拒绝接受父亲的教育，稍大后步入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不淡，学生们以求在一种随心所欲、民主自由的环境中自学，这对他的性格产生了关键性影响．随后，他返回农村，步入色拉的一所清教徒学院稳步念书，这里却戒律森严，令人窒息，学校建议学生誓词效忠教会，棣莫弗婉拒顺从，于是受了严苛制裁，被罚诵读各种宗教教义．那时，学校不注重数学教育，但棣莫弗常常偷偷地自学数学．在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的就是c．惠更斯（huygens）关于赌徒的著作，特别就是惠更斯于1657年出版发行的《论赌徒中的机会》（deratiociniisinludoaleae）一书，鼓舞了他的启发．1684年，棣莫弗来到巴黎，幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的j．奥扎拉姆（ozanam）．在奥扎拉姆的鼓励下，棣莫弗学习了欧几里得（euclid）的《几何原本》（ele-ments）及其他数学家的一些重要数学著作．1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，出席了愤慨欧洲的宗教暴乱，在这场暴乱中，他与许多人一起被监禁出来．正是在这一年，维护加尔文教徒的南兹敕令被撤消．随后，包含棣莫弗在内的许多存有才华的学者由法国移住英国．据教会的材料记述，棣莫弗一直被监禁至1688年才出狱，并于当年迁居伦敦．但据20世纪60年代辨认出的一份当时的材料，1686年时棣莫弗已经至了英国．随后，棣莫弗一直生活在英国，他对数学的所有贡献全系列就是在英国作出的．抵达伦敦后，棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作，于是如饥似渴地学习．一个偶然的机会，他读到i．牛顿（newton）刚刚出版的《自然哲学的数学原理》（mathematicalprinciplesofnaturalphilosophy），深深地被这部著作吸引了．后来，他曾回忆起自己是如何自学牛顿的这部重要著作的：他依靠搞家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子听课，因此时间很很紧，于是就将这部重要著作拆下，当他本学期一家的孩子后回去另一家的路上，赶紧写作几页，没多久便把这部书学完了．这样，棣莫弗很快就存有了扩充的学术基础，并已经开始展开学术研究．1692年1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书e．哈雷（halley），哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”（onnew-ton’sdoctrineofflux ions）在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意．1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员．棣莫弗的天才及成就逐新受了人们广为的高度关注和认同．哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》（thedoctrineofchances）呈交牛顿，牛顿对棣莫弗十分观赏．据传，后来碰到学生向牛顿求教概率方面的问题时，他就说道：“这样的问题必须去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入细致得多”．1710年，棣莫弗被委派参予英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会，可知他很受到学术界的认同．1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士．1754年，又被法国的巴黎科学院采纳为会员．棣莫弗终生未婚．尽管他在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒．自到英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师．他不时撰写文章，还参与研究确定保险年金的实际问题，但获得的收入却极其微薄，只能勉强糊口．他经常抱怨说，周而复始从一家到另一家给孩子们讲课，单调乏味地奔波于雇主之间，纯粹是浪费时间．为此，他曾做了许多努力，试图改变自己的处境，但无济于事．。
棣莫弗公式
棣莫弗公式复数乘方用三角表示式来解比较简便.复数r(cosθ+isinθ)的n次方是：z^n=[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)n∈N.复数开方也用三角表示式来解比较简便.复数r(cosθ+isinθ)的n次方根是：(n次根号r){cos[(θ+2kπ)n]+isin[(θ+2kπ)n](k=0,1,2,......). n∈N.这两条公式叫做棣莫弗公式[编辑本段]证明棣莫弗公式证明先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：e^t = 1 + t + t^22! + t^33! + …… + t^nn！+ ……sint = t - t^33!+t^55!-t^77!+……-……cost = 1 - t^22!+t^44!-t^66!+……-……将t = ix 代入以上三式，可得欧拉公式应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n=e^inx=cos(nx)+isin(nx)另外一种证法：根据两复数相乘的公式，设Z=r(cos x+isin x),Z'=r'(cos x'+isin x')则ZZ'=rr'(cos (x+x')+isin (x+x'))令Z=Z'，得Z^2=r^2(cos 2x+isin 2x)继续用Z乘这个式子，得Z^3=r^2(cos 3x+isin 3x)最后可以由数学归纳法导出，对于n∈N，Z^n=r^n(cos nx+isin nx)[编辑本段]在三角问题中的应用在r=1时：（cosx＋isinx）^n = cos(nx)+isin(nx)有这个公式可以得到一个特别重要的结果。
我们可以令n=3为例，此时（cosx＋isinx）^3 =cos(3x)+isin(3x)而等式左边根据二项式定理展开得到（cosx＋isinx）^3 =cos^3 x+3cos^2 x isinx+3cosx i^2 sin^2 x+i^3 sin^3 x =cos^3 x-3cos x sin^2 x+i(3cos^2 x sin x-sin^3 x)最后根据右边得到cos^3 x-3cos x sin^2 x+i(3cos^2 x sin x-sin^3 x)=cos(3x)+isin(3x)这相当于实数间的一对等式，因为复数相等的条件是实部和虚部分别相等，所以cos(3x)=cos^3 x-3cos x sin^2 xsin(3x)=3cos^2 x sin x-sin^3 x再根据式子sin^2 x+cos^2 x=1,代入并整理后得cos 3x=4cos^3 x-3cos xsin 3x=-4sin^3 x+3sin x以此类推，对于n∈N，可以用sin x 和 cos x的幂分别表示sin nx 和cos nx.棣美弗定理[编辑本段]定理法国数学家亚伯拉罕·棣·美弗(Abraham de Moivre, 1667-1754)于1707年创立该定理，并与1730年发表。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计算：[6(cos 70 isin 70 )] [3(cos 40 isin 40 )].
原式 2[ cos(70 40 ) isin(70 40 )] 解：
2(cos30 isin 30 ) 3 i.
由此可见， 复数的积的模等于模的积， 复数的积的辐角等于辐角的和．
i sin ） 4(cos i sin ). 6 6 12 12 原式 4 3[ cos( ) i sin( )] 解： 6 12 6 12 4 3(cos i sin ) 4 4 2 6 2 6i.
复数及其应用
§16.4.1复数三角形式的乘除法 与棣莫弗定理
学习目标
1、理解复数的三角形式的乘除法法则;
地进行复数的三角形式的乘、除、 乘方运算。
1、两角和、差的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
3 1 4 计算： (1)(cos 5 i sin 5 ) ; (2)( i) . 2 2
6
本节课 学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
何处还需要注意？
P77 T（1）
P78 T(1)
将下列复数的代数形式化成三角形式： (1) z1 5; (2) z2 1 i; 1 3 (3) z4 2i; (4) z5 i. 2 2
三角形式下复数的乘法！
设z1 r1 (cos 1 isin 1 ), z2 r2 (cos2 isin 2 ). 则z1 z2 r1 (cos 1 isin 1 ) r2 (cos 2 isin 2 ) r1r2 (cos 1 isin 1 )(cos 2 isin 2 ) r1r2 (cos 1 cos 2 i cos 1 sin 2 i sin 1 cos 2 i 2 sin 1 sin 2 ) r1r2 [cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i( cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 )] z1 z2 r1r2 [cos(1 2 ) isin(1 2 )]
计算：（ 3 cos
（ 1 ） 2 (cos50 i sin 50 ) 3(cos40 i sin 40 )
（ 2） （ 计算： 4 cos120 isin120）
3(cos30 isin 30).
复数的除法运算！ 设z1 r1 (cos 1 isin 1 ), z2 r2 (cos2 isin 2 ). z2 z2 z1 则 z1 z1 z1 r2 (cos 2 i sin 2 ) r1[cos(1 ) i sin(1 )] 2 z1 z2 r2 [cos( 2 1 ) i sin( 2 1 )] z1 r1
确定复数的三角形式，需要先明确什么？ 模和辐角 两个共轭复数的模和辐角有什么关系？ 模相等，辐角互为相反数
指出下列复数的模和辐角： (1) cos 210 i sin 210 ; (2)5(cos 3 i sin 3); (3) （ 2 cos
5
i sin
5
） ; (4)2(sin1 i cos1).
2、两角和、差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
复数的代数形式
复数的三角形式
z a bi z r (cos isin )
三角形式 有哪些特征？
其中r= z 0, . 且有r cos a, r sin b.
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
n n
[r (cos isin )] r (cos n isin n ). 棣莫弗定理：
计算： (1)(cos 40 i sin 40 )9 ; (2)(1 3i) 2012 . 1 cos360 i sin 360 (1)原式 解： 2012 (2)原式 [2(cos i sin )] 3 3 2012 2012 2012 2 (cos i sin ) 3 3 2 2 2012 2 (cos i sin ) 3 3 1 3 2012 2 ( i) 22011 22011 3i 2 2
6(cos 50 i sin 50） 计算： . 3(cos 20 i sin 20)
复数的乘方！
若z 3(cos
i sin )，求z 2与z 3的值. 6 6 2 2 解：z z z ( 3) [cos( ) i sin( )] 6 6 6 6 3 3 3 3(cos i sin ) i 3 3 2 2 3 3 z z z z ( 3) [cos( 3) i sin( 3)] 6 6 3 3(cos i sin ) 3 3i 2 2