频率域图像增强
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第4讲频率域图像增强
F(u)e j2ux/ M
aue j 2ux/ M
u
u
（3）离散形式
F(u)
1
M 1
f (x)e j2ux/ M
M x0
M 1
f (x) F(u)e j2ux/ M
u0
系数1/M也可以放在反变换前， 有时也可在傅立叶正变 换和逆变换前分别乘以(1/M )1/2。
• 对高频成分的通过使图像锐化——高通滤波 • 高通和低通的关系
– Hhp(u,v) = 1 - Hlp(u,v) – 即低通阻塞的频率是能够通过高通的
• 理想高通滤波器的定义
– 一个二维的理想高通滤波器（ILPF）的转换函数满足 （是一个分段函数）
其中：D0 为截止频率
D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
– 低通滤波器 – 高通滤波器 – 同态滤波器
低通滤波器的基本思想
•
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
– F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式
– H(u,v)是选取的一个滤波器变换函数
– G(u,v)是通过H(u,v)减少F(u,v)的高频部分来 得到的结果
– 运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。
二阶GLPF 无振铃
• 高斯LPF r=30
ILPF r=30
第4讲 频率域图像增强
• 4.1 卷积 • 4.2 傅立叶变换 • 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 • 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 • 4.5 同态滤波器
2
频率域锐化滤波器
• 对F(u,v)的高频成分的衰减使图像模糊——低 通滤波
• 一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth 低通滤波器（BLPF）的变换函数：
第四章频率域图像增强
图像傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空 间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示 空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图 像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表 示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。 为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱 图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并 不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶 频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域 点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么 理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来 讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立 叶变换后的频谱图，也叫功率图
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
➢图像的频率指什么？
✓ 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面
Mx0
u=0,1,2,…,M-1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f(x)
1
M1
j2ux
F(u)e M
Mu0
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换及反变换
✓ 从欧拉公式 e j cos j sin
F (u)
1
M 1
第四章频率域图像增强
一、频率域介绍
低通滤波器
低通滤波函数
原图
低通滤波结果：模糊
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑 过渡而突出边缘等细节部分
对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波函数
原图
高通滤波结果：锐化
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
最后将G(u,v)进行IDFT变换即可得到频域滤波后 的图像
频域滤波的步骤
具体实施步骤如下: （1）用(-1)x+y乘以输入图像f(x,y)来进行中心变换;
f ( x, y)(1)x y F (u M / 2, v N / 2)
（2）由(1)计算图像的DFT,得到F(u,v); （3）用频域滤波器H(u,v)乘以F(u,v); （4）将(3)中得到的结果进行IDFT; （5）取(4)中结果的实部; （6）用(-1)x+y乘以(5)中的结果,即可得滤波图像。
uv
理想低通滤波器举例
500×500像素的原图 图像的傅里叶频谱
圆环具有半径5,15,30,80和230个像素 图像功率为92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径越小，模糊越大；半径越大，模糊越小
原图
半径是5的理想低通 滤波,滤除8%的总功 率，模糊说明多数尖 锐细节在这8%的功率 之内
二、频率域平滑滤波器
理想低通滤波器
总图像功率值PT
M 1 N 1
PT P(u, v)
u0 v0
P(u, v) | F (u, v) |2 R(u, v)2 I (u, v)2
图像增强 第四讲-频域增强
j=-1
=
1 9
F(Zm
,
Zn
)
1 i = -1
Zmi
1
Znj
j=-1
H(Zm , Zn
)
=
G(Zm , Zn ) F(Zm , Zn )
=
1 9
(1 +
Zm
+
Zm-1
)(1 +
Zn
+
Zn-1 )
以 Zm = e 和 jωm Zn = ejωn 代入上式,
图4.4.2 加权平均模板的频率响应
f(x,y)和h(x,y)卷积定义为：
f (x, y) * h(x, y)
1
M 1 N 1
f (m, n)h(x n, y n)
MN m0 n0
有： f (x, y)*h(x, y) F(u, v)H(u, v) f (x, y)h(x, y) F(u,v)* H(u,v)
15
设 g(x, y) f (x, y) * h(x, y)
得到傅立叶变换式:
1 H(ωm ,ωn ) = 9 (1 + 2cosωm )(1 + 2cosωn )
”分量当即ω图m 像= ω的n 灰= 0度平时均，|值H |处具理有前最后大不值变1；，当这ωm说明或“ωn直= 23流π 时，具有最小值0，即高频得到最大程度的抑制。
低通滤波法举例
(a) 原图像； (b) 频谱（r=5,11,45,68）； (c)(f) 低通滤波(r=5,11,45,68)
4.4 频域图像增强
图像增强的目的主要包括：①消除噪声， 改善图像的视觉效果；②突出边缘，有利于 识别和处理。前面是关于图像空间域增强的 知识，下面介绍频率域增强的方法。
=
1 9
F(Zm
,
Zn
)
1 i = -1
Zmi
1
Znj
j=-1
H(Zm , Zn
)
=
G(Zm , Zn ) F(Zm , Zn )
=
1 9
(1 +
Zm
+
Zm-1
)(1 +
Zn
+
Zn-1 )
以 Zm = e 和 jωm Zn = ejωn 代入上式,
图4.4.2 加权平均模板的频率响应
f(x,y)和h(x,y)卷积定义为：
f (x, y) * h(x, y)
1
M 1 N 1
f (m, n)h(x n, y n)
MN m0 n0
有： f (x, y)*h(x, y) F(u, v)H(u, v) f (x, y)h(x, y) F(u,v)* H(u,v)
15
设 g(x, y) f (x, y) * h(x, y)
得到傅立叶变换式:
1 H(ωm ,ωn ) = 9 (1 + 2cosωm )(1 + 2cosωn )
”分量当即ω图m 像= ω的n 灰= 0度平时均，|值H |处具理有前最后大不值变1；，当这ωm说明或“ωn直= 23流π 时，具有最小值0，即高频得到最大程度的抑制。
低通滤波法举例
(a) 原图像； (b) 频谱（r=5,11,45,68）； (c)(f) 低通滤波(r=5,11,45,68)
4.4 频域图像增强
图像增强的目的主要包括：①消除噪声， 改善图像的视觉效果；②突出边缘，有利于 识别和处理。前面是关于图像空间域增强的 知识，下面介绍频率域增强的方法。
频率域图像增强
理想低通滤波器
截止频率 为分别设 置为
10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为最大值的某个百分比的点。
理想低通滤波器
第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
振铃
附录
产生的原因图像在处理过程中的信息量的丢失，尤其是高频 信息的丢失
由卷积定理可知，频率域下的理想低通滤波器H(u, v)必定存在 一个空间域下与之对应的滤波函数h(x, y)，且可以通过对H(u,v)作傅 里叶逆变换求得。产生振铃效应的原因就在于，理想低通滤波器在 频率域下的分布十分线性（在D0处呈现出一条垂直的线，在其他频 率处呈现出一条水平的线），那么不难想象出对应的h(x,y)将会有类 似于sinc函数那样周期震荡的空间分布特性。正是由于理想低通滤 波器的空间域表示有类似于sinc函数的形状，位于正中央的突起使 得理想低通滤波器有模糊图像的功能，而外层的其他突起则导致理 想低通滤波器会产生振铃效应。
H（u，v） =-4π2[（u-P/2)2=(v-Q/2)2] =-4π2D2(u,v)
所以我们就可以得到拉普拉斯图像由下式 ▽
▽2f(x,y)=ζ -1[H(u,v)F(u,v)]
相比较其他滤波器不同的是，一般我们经过逆傅里叶变化就可以得到图像了而我 们需要如下实现
g（x，y）=f（x，y）+c ▽2f(x,y)
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没有 BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
图像处理课件04频率域图像增强
u 0,1,, M 1 v 0,1,, N 1
反变换: f ( x, y ) F (u , v) e j 2 ( ux / M vy / N )
u 0 v 0 M 1 N 1
x 0,1, , M 1 y 0,1, , N 1
一般F(u,v)是复函数,即:
1
2
5
20
３、高斯低通滤波器（GLPF）
H (u, v) e
D 2 u ,v / 2 2
令 D0
H (u, v) e
2 D 2 u ,v / 2 D0
当D(u, v) D0
H (u, v) 0.607
有更加平滑的过渡带，平滑后的图象没有振铃现象 与BLPF相比，衰减更快，经过GLPF滤波的图象比 BLPF处理的图象更模糊一些
高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分量顺 利通过，而使低频分量受到削弱。
H hp (u, v) 1 H lp (u, v)
与低通滤波器相对应，频率域内常用的高通滤波器 有３种： 1. 理想高通滤波器 2. 巴特沃斯高通滤波器 3. 高斯高通滤波器
空间域滤波和频率域滤波之间的对应 关系
卷积定理：
f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v)
f ( x, y)h( x, y) F (u, v) H (u, v)
冲激函数
M 1 N 1 x 0 y 0
s( x, y) A ( x x , y y ) As( x , y )
频率域的基本性质：
低频对应着图像的慢变化分量。
较高的频率对应着图像中变化较快的灰度级。
变化最慢的频率成分（原点）对应图像的平均灰度级。
数字图像处理之频率域图像增强
易于分析和处理。
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
频域图像增强
2 1 2 2
其 W 带 宽 ， 0为 射 心 D(u, v) =[u + v ] 中 为 的 度 D 放 中 。
例6.4.1放射对称的带阻滤波器的透射示意图。 6.4.1放射对称的带阻滤波器的透射示意图。 类似 n阶放射队乘的巴特沃思带阻滤波器。
1 H(u, v) = D(u, v)W 1+[ 2 ]2n D (u, v) − D2 0
2、空域技术或频域技术的选择 如果两个域内的滤波器具有相同的尺寸，则 借助开傅立叶变换在频域中进行滤波的效 率更高。 但在空域中常可以适用较小的滤波器来达到 相似的滤波效果，所以计算量反而较小。
if if
D(u, v) ≤ D 0 D(u, v) > D 0
2、理想低通滤波器的模糊 会造成图像模糊和“振铃”现象/ 会造成图像模糊和“振铃”现象/效应出现。 如果 D 较小，则使h(x, y) 产生数量较少， 0 但较宽的同心圆环，并使 g(x, y) 模糊得比 较厉害。 如果 D 较大，则使 h(x, y)产生数量较多， 0 但较窄的同心圆环，并使 g(x, y) 模糊得比 较少。 如果 D 超出 F(u, v)定义域则相当于不滤波。 0
1 2 2 1 2 2
D (u, v) =[(u −u0 )2 + (v −v0 ) ] 1
D (u, v) =[(u +u0 )2 + (v + v0 ) ] 2
图6.4.1是一个典型的带阻滤波器的透视示意图
设计成除去以原点为中心的一定频率范围
1 H(u, v) = 0 1 如 (u, v) < D −W / 2 D 0 如 0 −W / 2 ≤ D(u, v) ≤ D +W / 2 D 0 如 (u, v) > D +W / 2 D 0
其 W 带 宽 ， 0为 射 心 D(u, v) =[u + v ] 中 为 的 度 D 放 中 。
例6.4.1放射对称的带阻滤波器的透射示意图。 6.4.1放射对称的带阻滤波器的透射示意图。 类似 n阶放射队乘的巴特沃思带阻滤波器。
1 H(u, v) = D(u, v)W 1+[ 2 ]2n D (u, v) − D2 0
2、空域技术或频域技术的选择 如果两个域内的滤波器具有相同的尺寸，则 借助开傅立叶变换在频域中进行滤波的效 率更高。 但在空域中常可以适用较小的滤波器来达到 相似的滤波效果，所以计算量反而较小。
if if
D(u, v) ≤ D 0 D(u, v) > D 0
2、理想低通滤波器的模糊 会造成图像模糊和“振铃”现象/ 会造成图像模糊和“振铃”现象/效应出现。 如果 D 较小，则使h(x, y) 产生数量较少， 0 但较宽的同心圆环，并使 g(x, y) 模糊得比 较厉害。 如果 D 较大，则使 h(x, y)产生数量较多， 0 但较窄的同心圆环，并使 g(x, y) 模糊得比 较少。 如果 D 超出 F(u, v)定义域则相当于不滤波。 0
1 2 2 1 2 2
D (u, v) =[(u −u0 )2 + (v −v0 ) ] 1
D (u, v) =[(u +u0 )2 + (v + v0 ) ] 2
图6.4.1是一个典型的带阻滤波器的透视示意图
设计成除去以原点为中心的一定频率范围
1 H(u, v) = 0 1 如 (u, v) < D −W / 2 D 0 如 0 −W / 2 ≤ D(u, v) ≤ D +W / 2 D 0 如 (u, v) > D +W / 2 D 0
《频域图像增强》课件
《频域图像增强》PPT课 件
在本课程中，我们将探索频域图像增强的概念、原理和应用。了解傅里叶变 换、频率域滤波、统计频域增强方法和空间频率滤波等常见技术。
什么是频域图像增强
频域图像增强是一种图像处理技术，通过在图像的频域进行操作，改善图像 的质量和增强图像的细节。它基于信号处理和数学变换的原理，可以优化图 像的视觉效果。
常见的频域图像增强技术
傅里叶变换
通过将图像转换到频域，可以分析和改变图像 的频率成分。
统计频域增强方法
通过统计图像的频域特征，可以对图像进行增 强和修复。
频率域滤波
利用频域滤波器，可以增强或抑制图像的特定 频率成分。
空间频率滤波
利用空间领域和频率领域的关系，可以改善图 像的细节和对比度。
频域图像增强的应用领域
频域图像增强的作用和意义
频域图像增强可以提高图像的可视性，使图像更清晰、更鲜艳。它可以增强图像的细节，并减少噪点和模糊。 频域图像增强在许多应用领域都起到重要的作用。
频域图像增强的基本原理
频域图像增强的基本原理是将图像转换到频域，并利用频域滤波和变换等方法对图像进行处理。通过对图像的 频域表示进行操作，可以改变图像的频率分布，从而改善图像的质量。
挑战：频域图像增强需要高级数学和信号处理技术，同时需要根据具体应用 场景选择适当的算法和参数。
1 医学图像处理
频域图像增强在医学影像诊断和治疗中起着重要作用，帮助医生提取和分析图像特征。
2 航空航天图像处理
频域图像增强可以改善航空航天图像的清晰度和对比度，提高目标检测和识别的准确性。
3 摄影图像处理
频域图像增强可用于提升摄影作品的质量，改善细节和色彩还原。
频域图像增强的优势和挑战
在本课程中，我们将探索频域图像增强的概念、原理和应用。了解傅里叶变 换、频率域滤波、统计频域增强方法和空间频率滤波等常见技术。
什么是频域图像增强
频域图像增强是一种图像处理技术，通过在图像的频域进行操作，改善图像 的质量和增强图像的细节。它基于信号处理和数学变换的原理，可以优化图 像的视觉效果。
常见的频域图像增强技术
傅里叶变换
通过将图像转换到频域，可以分析和改变图像 的频率成分。
统计频域增强方法
通过统计图像的频域特征，可以对图像进行增 强和修复。
频率域滤波
利用频域滤波器，可以增强或抑制图像的特定 频率成分。
空间频率滤波
利用空间领域和频率领域的关系，可以改善图 像的细节和对比度。
频域图像增强的应用领域
频域图像增强的作用和意义
频域图像增强可以提高图像的可视性，使图像更清晰、更鲜艳。它可以增强图像的细节，并减少噪点和模糊。 频域图像增强在许多应用领域都起到重要的作用。
频域图像增强的基本原理
频域图像增强的基本原理是将图像转换到频域，并利用频域滤波和变换等方法对图像进行处理。通过对图像的 频域表示进行操作，可以改变图像的频率分布，从而改善图像的质量。
挑战：频域图像增强需要高级数学和信号处理技术，同时需要根据具体应用 场景选择适当的算法和参数。
1 医学图像处理
频域图像增强在医学影像诊断和治疗中起着重要作用，帮助医生提取和分析图像特征。
2 航空航天图像处理
频域图像增强可以改善航空航天图像的清晰度和对比度，提高目标检测和识别的准确性。
3 摄影图像处理
频域图像增强可用于提升摄影作品的质量，改善细节和色彩还原。
频域图像增强的优势和挑战
第四讲频率域图像增强 65页PPT文档
空间域和频率域中的滤波器组成了傅里叶变换对。
高斯函数在空域和频域的对应关系式：
H(u)u2/22
h(x)2 Ae 222x2
1D高斯低 通滤波器
H(u)Ae(u2v2)/22
h (x)2 Ae 2 2 1 2(x2y2)
2D高斯低 通滤波器
结论：1）H (u) 有宽的轮廓，则h(x)有窄的轮廓，反之亦然。 2）频率域滤波器越窄，滤出的低频成分越多，图 像被模糊，在空域则滤波器越宽，模板越大。
G (u , v)=H (u , v) X F (u , v)
例二、显示重要特征的傅里叶谱
注：原始图像中有约±450的强 边缘和两个白色的氧化物 突 起。
注：傅里叶频谱显示了±450的强 边缘，在垂直轴偏左的部分有 垂直成分（对应两个氧化物 突 起）。
频域滤波的基本步骤：
1）用 (-1)x+y 乘以输入图像进行中心变换； 2）计算1）处理后图像的DFT，即 F (u , v)； 3）用滤波器函数 H (u , v)乘以 F (u , v)；即
G (u , v)=H (u , v) x F (u , v) 4） 求 G (u , v)的IDFT； 5） 得到4）的IDFT的实部； 6）用 (-1)x+y 乘以 5）的结果。
频域滤波的基本步骤
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
2D低通滤波器
2D高通滤波器
滤波器原 点为0， 因此几乎 没有平滑 的灰度级 细节
陷波滤波器对图像的影响 （ 陷波滤波器将原点设置为0 平均灰度为0，因而需要标定）
高通滤波器对图像的影响 （滤波器函数加上滤波器高度一
高斯函数在空域和频域的对应关系式：
H(u)u2/22
h(x)2 Ae 222x2
1D高斯低 通滤波器
H(u)Ae(u2v2)/22
h (x)2 Ae 2 2 1 2(x2y2)
2D高斯低 通滤波器
结论：1）H (u) 有宽的轮廓，则h(x)有窄的轮廓，反之亦然。 2）频率域滤波器越窄，滤出的低频成分越多，图 像被模糊，在空域则滤波器越宽，模板越大。
G (u , v)=H (u , v) X F (u , v)
例二、显示重要特征的傅里叶谱
注：原始图像中有约±450的强 边缘和两个白色的氧化物 突 起。
注：傅里叶频谱显示了±450的强 边缘，在垂直轴偏左的部分有 垂直成分（对应两个氧化物 突 起）。
频域滤波的基本步骤：
1）用 (-1)x+y 乘以输入图像进行中心变换； 2）计算1）处理后图像的DFT，即 F (u , v)； 3）用滤波器函数 H (u , v)乘以 F (u , v)；即
G (u , v)=H (u , v) x F (u , v) 4） 求 G (u , v)的IDFT； 5） 得到4）的IDFT的实部； 6）用 (-1)x+y 乘以 5）的结果。
频域滤波的基本步骤
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
2D低通滤波器
2D高通滤波器
滤波器原 点为0， 因此几乎 没有平滑 的灰度级 细节
陷波滤波器对图像的影响 （ 陷波滤波器将原点设置为0 平均灰度为0，因而需要标定）
高通滤波器对图像的影响 （滤波器函数加上滤波器高度一
基于matlab软件的图像频率域增强实验
基于matlab 软件的图像频率域增强实验一．实验内容：1 滤波器定义2 频率域的处理3 频率域处理的评价<一> 滤波器定义1 首先知道定义低通滤波器(1) 定义截止频率D0(2) 根据低通滤波的三个公式：A 理想低通滤波器的定义一个二维的理想低通滤波器（ILPF ）的转换（传递）函数满足（是一个分段函数）B 一个截止频率在与原点距离为D 0的n 阶Butterworth 低通滤波器（BLPF ）的转换函数：H(u,v) = 0.5, 当 D 0 = D(u,v)C 高斯滤波器 FFT图像 F(u,v)H(u,v) H(u,v)FFT -增强图⎩⎨⎧>≤=0),(0),(1),(D v u D D v uD v u H 其中：D 0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u 2+v 2)1/22 能够用定义的滤波器与频率图像计算1) 图像傅立叶变换F=fft2(I);F=fftshift(F);2) 图像与滤波器点击G(u,v)=F(u,v)H(u,v)3) 图像反傅立叶变换G=ifftshift(G);g=abs(ifft2(G));二．实验目的：利用matlab 软件对图像进行处理，要求利用傅里叶变换函数fft2进行对图像的傅里叶变换，利用频谱中心化函数fftshift 对图像进行频谱中心化操作，最后检查保存处理后的图像。
三．实验步骤：1.打开matlab 软件，读取目标图像2.利用函数fft2对图像进行傅里叶变换操作3.利用函数fftshift 对图像进行频谱中心化处理4.检查并保存处理后图像四．实验结果：1/222(,)22M N D u v u v ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦五．实验心得：通过本次实验，学习了matlab软件对图像进行频率域增强处理时的基本功能和函数指令操作，让我认识到matlab软件功能的强大，以及自己在研究软件处理图像时的不足，对傅里叶变换和频谱中心操作时函数指令的认识和理解不够透彻。
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y) exp
j2
(
ux M
vy N
)
u 0,1,2, , M 1
v 0,1,2, , N 1
反变换
f
(x,
y)
M 1 u0
N 1 v0
F (u, v) exp
j2
( ux M
vy N
)
x 0,1,2, , M 1
y 0,1,2, , N 1
W.Heisenberg 时间－带宽不确定性原理（1927）：
f(x,y)h(x,y)
1
M1N1
(m,n)h(xm,yn)
MNm0n0
1 h(x,y) MN
频域与空域滤波的比较
• 对具有同样大小的空域和频率滤波器：h(x,y), H(u,v)，频域计算(由于 FFT)往往更有效(尤其是图像尺寸比较大时）。但对在空域中用尺寸较小 的模板就能解决的问题，则往往在空域中直接操作
Fourier Transform
• Fourier Transform 任何函数，即使是非周期的，只要其曲线所包含的面积是有限的，
均可以表示成一个加权函数和正弦/余弦函数乘积的积分。 • 二维DFT对
f (x, y) F (u.v)
正变换
F (u, v)
1 MN
M 1 x0
N 1 y0
f
(x,
频域滤波的基本步骤
具体地： • 为使变换后的图像处于频域的中心，首先把输入图像乘(–1)x+y • 计算经过第1步中心化处理后图像的DFT,即F(u,v) • 把F(u,v)与滤波器传递函数H(u,v)相乘 • 对第3步的结果计算逆DFT • 取第4步结果的实部 • 第5步的结果乘以(–1)x+y，还原滤波后图像的中心点到左上角
冲激(脉冲)函数及筛选属性
冲激函数的傅立叶变换：
F (u ,v)1MN (x,y)ej2 (u x/M vy/N )1
M N x 0y 0
M N
筛选属性：
MN
f (x, y)A(xx0, yy0)Af (x0, y0)
x0 y0
MN
f (x,y)(0,0) f (0,0)
x0 y0
冲激函数响应：
通常在H(u, v)=0.5时的D(u, v)=D0规定为截止频率(见第一个公式)。当
频率域图像增强
• 频率域图像增强与Fourier变换(FT)相联系 • 频率域图像增强指在图像的频率域内，对图像的
变换系数(频率成分)直接进行运算，然后通过 Fourier逆变换以获得图像的增强效果 • 一般而言，图像边缘和噪声对应Fourier频谱的高 频分量。因此，低通滤波能够平滑图像去噪声； 高通滤波器能够锐化图像实现边缘增强
两点说明： • 该图像的信息主要包
含在低频段，而包含 大部分细节的高频段 大约只占图像总功率 的8％
• ILPT的模糊和振铃响 应特性
ILPF振铃特性的解释
•振环中心分量的半径及 其他同心分量的数目与 ILPF的截止频率成反 比
•滤波器截止频率越小， 即越狭窄，则振铃现象 越严重。
Butterworth低通滤波器(BLPF)
• 频域滤波虽然更直接，如果可以使用较小的滤波器，还是在空域计 算为好。因为省去了计算傅立叶变换及反变换等步骤
• 由于更多的直观性，频率滤波器设计往往作为空域滤波器设计的向导
例:高斯滤波器（为易懂性和简单性，这里仅用一维的情况说明）
低通： H ( u ) A e u 2 /2 2 ;h (x )2A e 2 2 x 2
任何信号，其时间持续期和频率持续期(带宽)二者不能同时变得任意窄， 二者的乘积满足一个不确定式(反比)：
T 2 2 (t t )2 s(t) 2 dt
B2
2 w
(w w )2 S(w) 2 dw
TB 1 2
• 离散情况下时域分辨率和频率分辨率的关系：
u 1 ;v 1
Mx
Ny
• 傅立叶谱的直流分量和中心化
[ f( x ,y ) ( 1 ) x y ] F ( u M /2 ,v N /2 ) ; F ( 0 ,0 ) 1M N f( x ,y ) M N x 0 y 0
频域滤波及基本属性
所谓频域，就是由图像f(x,y)的二维傅立叶变换和相应的频率变量(u,v)的 值所组成的空间。在空间域图像强度的变化模式（或规律）可以直接在该 空间得到反应。F(0,0)是频域中的原点，反应图像的平均灰度级，即图像 中的直流成分；低频反映图像灰度发生缓慢变化的部分；而高频对应图像 中灰度发生更快速变化的部分，如边缘、噪声等。但频域不能反应图像的 空间信息。
1,if H(u,v)0,if
D(u,v)D0 D(u,v)D0
其中，D0是一个具体的非负值，叫截止频率，D是频率矩形平面上的 点到频率原点(M/2, N/2)的欧氏距离：
D ( u ,v ) [ ( u M /2 ) 2 ( v N /2 ) 2 ] 1 /2
理想滤波器实际上是不可实现的，但在计算机中可以仿真实现，但可以 帮助我们理解滤波器的行为和特征
高通：H (u)A eu2/21 2beu2/22 2;A>B and 1 2
h(x)2
1A e21 2x22
B e22 2x2
2
低频滤波器的类型
按功能分：高通、低通、带通、带阻和陷波器等。 按方法分：高斯、Butterworth等，此外还有梯形、指数等。 1. 理想低通滤波器(ILPF)
空域和频域滤波间的对应关系
卷积定理是空域和频域滤波的最基本联系纽带。二维卷积定理：
1M 1 N 1
f(x ,y ) h (x ,y )
f(m ,n )h (x m ,y n )
M N m 0n 0
基本计算过程：
1. 取函数h(m,n)关于原点的镜像，得到h(-m,-n)
2. 对某个(x,y),使h(-m,-n)移动相应的距离，得到h(x-m,y-n)
3. 对积函数f(m,n)h(x-m,y-n)在(m,n)的取值范围内求和
4. 位移是整数增量，对所有的(x,y)重复上面的过程，直到两个函数： f(m,n)和h(x-m,y-n)不再有重叠的部分。
傅立叶变换是空域和频域的桥梁，关于两个域滤波的傅立叶变换对：
f ( x , y ) h ( x , y ) F ( u , v ) H ( u , v ) ; f ( x , y ) h ( x , y ) F ( u , v ) H ( u , v )