频率域图像增强

冲激(脉冲)函数及筛选属性
冲激函数的傅立叶变换：
F (u ,v)1MN (x,y)ej2 (u x/M vy/N )1
M N x 0y 0
M N
筛选属性：
MN
f (x, y)A(xx0, yy0)Af (x0, y0)
x0 y0
MN
f (x,y)(0,0) f (0,0)
x0 y0
冲激函数响应：
两点说明： • 该图像的信息主要包
含在低频段，而包含 大部分细节的高频段 大约只占图像总功率 的8％
• ILPT的模糊和振铃响 应特性
ILPF振铃特性的解释
•振环中心分量的半径及 其他同心分量的数目与 ILPF的截止频率成反 比
•滤波器截止频率越小， 即越狭窄，则振铃现象 越严重。
Butterworth低通滤波器(BLPF)
高通：H (u)A eu2/21 2beu2/22 2;A>B and 1 2
h(x)2
1A e21 2x22
B e22 2x2
2
低频滤波器的类型
按功能分：高通、低通、带通、带阻和陷波器等。 按方法分：高斯、Butterworth等，此外还有梯形、指数等。 1. 理想低通滤波器(ILPF)
频率域图像增强
• 频率域图像增强与Fourier变换(FT)相联系 • 频率域图像增强指在图像的频率域内，对图像的
变换系数(频率成分)直接进行运算，然后通过 Fourier逆变换以获得图像的增强效果 • 一般而言，图像边缘和噪声对应Fourier频谱的高 频分量。因此，低通滤波能够平滑图像去噪声； 高通滤波器能够锐化图像实现边缘增强
Fourier Transform
• Fourier Transform 任何函数，即使是非周期的，只要其曲线所包含的面积是有限的，
均可以表示成一个加权函数和正弦/余弦函数乘积的积分。 • 二维DFT对
f (x, y) F (u.v)
正变换
F (u, v)
1 MN
M 1 x0
N 1 y0
f
(x,
f(x,y)h(x,y)
1
M1N1
(m,n)h(xm,yn)
MNm0n0
1 h(x,y) MN
频域与空域滤波的比较
• 对具有同样大小的空域和频率滤波器：h(x,y), H(u,v)，频域计算(由于 FFT)往往更有效(尤其是图像尺寸比较大时）。但对在空域中用尺寸较小 的模板就能解决的问题，则往往在空域中直接操作
频域滤波的基本步骤
具体地： • 为使变换后的图像处于频域的中心，首先把输入图像乘(–1)x+y • 计算经过第1步中心化处理后图像的DFT,即F(u,v) • 把F(u,v)与滤波器传递函数H(u,v)相乘 • 对第3步的结果计算逆DFT • 取第4步结果的实部 • 第5步的结果乘以(–1)x+y，还原滤波后图像的中心点到左上角
任何信号，其时间持续期和频率持续期(带宽)二者不能同时变得任意窄， 二者的乘积满足一个不确定式(反比)：
T 2 2 (t t )2 s(t) 2 dt
B2
2 w
(w w )2 S(w) 2 dw
TB 1 2
• 离散情况下时域分辨率和频率分辨率的关系：
u 1 ;v 1
Mx
Ny
• 傅立叶谱的直流分量和中心化
通常在H(u, v)=0.5时的D(u, v)=D0规定为截止频率(见第一个公式)。当
• 频域滤波虽然更直接，但如果可以使用较小的滤波器，还是在空域计 算为好。因为省去了计算傅立叶变换及反变换等步骤
• 由于更多的直观性，频率滤波器设计往往作为空域滤波器设计的向导
例:高斯滤波器（为易懂性和简单性，这里仅用一维的情况说明）
低通： H ( u ) A e u 2 /2 2 ;h (x )2A e 2 2 x 2
空域和频域滤波间的对应关系
卷积定理是空域和频域滤波的最基本联系纽带。二维卷积定理：
1M 1 N 1
f(x ,y ) h (x ,y )
f(m ,n )h (x m ,y n )
M N m 0n 0
基本计算过程：
1. 取函数h(m,n)关于原点的镜像，得到h(-m,-n)
2. 对某个(x,y),使h(-m,-n)移动相应的距离，得到h(x-m,y-n)
[ f( x ,y ) ( 1 ) x y ] F ( u M /2 ,v N /2 ) ; F ( 0 ,0 ) 1M N f( x ,y ) M N x 0 y 0
频域滤波及基本属性
所谓频域，就是由图像f(x,y)的二维傅立叶变换和相应的频率变量(u,v)的 值所组成的空间。在空间域图像强度的变化模式（或规律）可以直接在该 空间得到反应。F(0,0)是频域中的原点，反应图像的平均灰度级，即图像 中的直流成分；低频反映图像灰度发生缓慢变化的部分；而高频对应图像 中灰度发生更快速变化的部分，如边缘、噪声等。但频域不能反应图像的 空间信息。
3. 对积函数f(m,n)h(x-m,y-n)在(m,n)的取值范围内求和
4. 位移是整数增量，对所有的(x,y)重复上面的过程，直到两个函数： f(m,n)和h(x-m,y-n)不再有重叠的部分。
傅立叶变换是空域和频域的桥梁，关于两个域滤波的傅立叶变换对：
f ( x , y ) h ( x , y ) F ( u , v ) H ( u , v ) ; f ( x , y ) h ( x , y ) F ( u , v ) H ( u , v )
y) exp
Байду номын сангаас
j2
(
ux M
vy N
)
u 0,1,2, , M 1
v 0,1,2, , N 1
反变换
f
(x,
y)
M 1 u0
N 1 v0
F (u, v) exp
j2
( ux M
vy N
)
x 0,1,2, , M 1
y 0,1,2, , N 1
W.Heisenberg 时间－带宽不确定性原理（1927）：
1,if H(u,v)0,if
D(u,v)D0 D(u,v)D0
其中，D0是一个具体的非负值，叫截止频率，D是频率矩形平面上的 点到频率原点(M/2, N/2)的欧氏距离：
D ( u ,v ) [ ( u M /2 ) 2 ( v N /2 ) 2 ] 1 /2
理想滤波器实际上是不可实现的，但在计算机中可以仿真实现，但可以 帮助我们理解滤波器的行为和特征