微积分期中考试试卷答案

北 京 交 通 大 学

2007 -2008 学年第二学期《微积分》期中考试试卷

（考试时间120分钟）

班 级 姓 名 学 号

一、填空题（每空3分，共30分）

1．设()2,z x y f x y =++-且当1y =时，23z x =+，则()f x =21x +。 2．设()222z y f x y =+-，其中()f u 可微，则z z

y x x y

∂∂+=∂∂2xy 。 3．设z u xy =，则()1,1,2du =2dx dy +。

4．设(),z z x y =由222x x y z yf y ⎛⎫

++= ⎪⎝⎭

所确定，其中f 为可微函数，则

z

y

∂=∂'22x x x f f y y y y z ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

5．222315x y z ++=在点()1,1,2-处的切平面方程是412290x y z -++-=。 6．函数cos u xy z =，则在点()2,1,0M -处的()div gradu = 2 。

7．设有向量场()(){}2

,,53,532,24A x y z x y yz x xz xy z λλλ=+++-+- ，且A 的旋度

0rotA ≡

，则λ= 1 。 8．若交换积分次序，则

(

)1320

,y dy f x y dx -=

⎰()()()2

1

1

3

320

1

,,x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰

⎰⎰

。

9．设c 为封闭曲线22143

x y +=，其周长为a ，则()22

234c x y ds ++=⎰ 14a 。 10. 设()()

222

233dz xy x dx x y dy =+++，则z =233x y x y C +++。

二、(每题6分，共12分 )

1. 设()2

ln ,,z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2,,.z z z

x y x y

∂∂∂∂∂∂∂

解：()''''1212'2""""

1111221

22'"""

1111222ln ,2,ln 221ln 2ln 2.z z x

f y f f yf x y y

f z x x y f f y f yf x y y y y x y x f f y y f yf y y y ∂∂=+=-∂∂⎡⎤∂=++-+-⎢⎥∂∂⎣⎦

⎛⎫=

++-- ⎪⎝⎭

2．设函数(),,u f x y z =，其中sin y x =，()z z x =由隐函数()

2,,0y

x e z Φ=所确定，函

数f 和Φ都具有一阶连续偏导数，0z ∂Φ≠∂，求.du

dx

解：

'''123cos du dz f f x f dx dx =++，而'''123

2cos 0y dz x e x dx

Φ⋅+Φ+Φ=，即 ''12'32cos y x e x dz dx Φ+Φ=-Φ，所以''

'''12

123

'

3

2cos cos y x e x du f f x f dx Φ+Φ=+-Φ。 三、（8分）设曲面222236,x y z n ++= 是曲面上点()1,1,1P 处指向外侧的法线向量，求

（1）该点处的法线方程。

（2

）函数u =P 点处沿着n 方向的方向导数和方向导数的最大值。

解：（1）曲面在其任一点(),,x y z 处的法线向量可取为{}2,3,x y z ，故n

可取为{}2,3,1，所以法线方程为

111

231

x y z ---==。 （2）向量n

的方向余弦{

}cos ,cos ,cos αβγ=，而

,,u u u x y z ⎧⎧⎫∂∂∂=⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎪⎭

，所以

11 cos cos cos

7 P

u u u u

n x y z

αβγ

∂∂∂∂

=++=+=∂∂∂∂

。

=。

四。（8分）在曲面

2

221

4

z

x y

++=的位于第一卦限的部分上求一点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小。

解：该曲面在()

,,

x y z处的切平面方程为1

4

z

xX yY Z

++=，所以在坐标轴上的截距分别为

114

,,

x y z

。令()

2

22

222

1116

,,,1

4

z

F x y z x y

x y z

λλ

⎛⎫

=+++++-

⎪

⎝⎭

，解

3

3

3

2

22

2

20

2

20

32

2

10

4

F

x

x x

F

y

y y

F z

z z

F z

x y

λ

λ

λ

λ

∂

⎧

=-+=

⎪∂

⎪

∂

⎪=-+=

⎪∂

⎪

⎨

∂

⎪=-+=

⎪∂

⎪

∂

⎪=++-=

⎪∂

⎩

得到

()11

,,,

22

x y z

⎛

=

⎝

。

五、计算下列积分（共14分，每小题7分）

1。

D

I xdxdy

=⎰⎰，其中2222

:2,2

D x y x y x

+≥+≤。

解：两圆周的交点坐标为：

22

22

2,

2

x y

x y x

⎧+=

⎪

⎨

+=

⎪⎩

，即()()

1,1,1,1

-。利用极坐标：

(

2cos2

4

4

3

4

4

cos

2

cos8cos

3

1611cos4

12cos2

34232

44

2332

I d r dr

d

d

π

θ

π

π

π

θθ

θθθ

θ

θθ

ππ

-

=

=-

+

⎛⎫

=++-

⎪

⎝⎭

=+-=

⎰

⎰

⎰

2。设球体2222

x y z R

++≤内任一点()

,,

x y z处的密度()2

x y z

μ=++，计算该球体的质量。

解：()()()

22222

M x y z dV x y z dV xy yz zx dV

ΩΩΩ

=++=+++++

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰