线性控制系统(0600004)

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线性控制系统的能控性和能观性演示文稿

[例3-3] 有系统如下，试判断其是否能控。
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
a0 a1 a2 1
解若A的特征值1，2，3互异，将其变换为对角线阵时，变换矩阵
x5 0
4 x5 0
解 3、4两系统则是状态不完全能控的，为不能控系统。
30 第30页，共2243页0。
[例3-2] 有系统如下，试判断其是否能控。
x
4 1
5 0
x
15u
解将其变换成约旦型，先求其特征根
4 I A
5 2 4 5 ( 5)( 1) 0
1
得 1 5; 2 1
可以看出，系统中某一状态的能控和系统的状态完全能控在含义上是不同的。
8 第8页，共224页。
几点说明:
1) 在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻t0=0，初始状态为x(0)，而任意终端状态就指定为零状态，即 x(t f ) 0
2) 也可以假定x(t0)=0，而x(tf)为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用u(t)，在有限时间[t0, tf]能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)。在这种情况下，称为状态的能达性。
x Ax Bu
如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区
间[t0, tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。
6 第6页，共224页。
上述定义可以在二阶系统的状态平面上来说明(如图3-1所示)。
29 第29页，共2242页9。
3.
x1 1

线性控制系统工程主要内容

递函数
2．阶跃响应
欠阻尼的，也就是说 1 ，阻尼自然频率 d 可定义为
d n 1 2
过阻尼（ 1 ）情况下
（4.29）
d n 2 1
图 4.16
二阶阶跃响应
图 4.16 所示为在 n 1 rad / s 的特定情况下，阻尼比取不同值时的阶跃响应。现在，关键是要了解 1 时的响应，此图形表明：（1）系统以频率 d 振荡；（2）响应以指数 n 衰减；（3）超调量取决于值。
图 6.5 电机转速控制系统
图 6.6
有干扰的开环速度控制系统
闭环系统干扰的影响 Km K v R/ N m d d R( Js c) K m K v R( Js c) K m K v
（6.17）（6.18）
( m )CL lim
s 0
R N 1 R( Js c) K m K v Nc NK m K v R
（5.29）
t Tp
处，代入式（5.29）得峰值为
（5.30）
c(Tp ) 1
因此百分超调量为
1 1
2
e
n Tp
sin 1 e
1 2
（5.31）
PO 100e
1 2
（5.32）
第 6 单元二阶系统：干扰抑制和速度反馈
除了能够改进开环系统的动态响应之外，利用反馈控制的另一个优点是使系统在受到称为干扰的不期望输入时响应较小。系统忽略不期望输入的能力常常被称为它的干扰抑制能力。如果一个多输入的系统是线性的（由常系数的线性微分方程来描述），那么输出可通过依次把其中一个除外的所有输入设为零，并算出这个剩下的非零输入作用下的输出来得到。于是系统的总输出为各输出的总和。

第三章线性控制系统的能控性和能观性3 现代控制理论教学课件

C CTc1 0 1 n1
0 0 b Tc11b 0 1
W (s) C (sI A)1b
sn1 n1 sn
sn2 n2
1s
an1sn1 a1s a0
0
11
3-7-1-1能控标准形II型
x Ax bu y Cx
x Tc2x
x Ax bu y Cx
Tc2 b Ab An1b
I
A
n
a n1 n1
a1
a0
0 C An1b an1An2b a1b
n2 CAb an1b
n1 Cb
6
证明: 假设系统能控,则矢量b,Ab,…,An-1b线性独立,构成
下列n个新的相互独立的矢量
e1 e2
An1b an1An2b an2 An3b An2b an2 An3b a1b
~x
~x1
~x2
} n1 }(n
n1 )
~x1 A~11~x1 B~1u y C~1~x1
A~
Ro1 A Ro
AA~~1211
0 } n1
A~22
}(n
n1
)
} }
n1 (n n1)
B~
Ro1B
Ae2
A
An2b
an 1 An 3b
a2b
0
0
An1b an1An2b a2 Abaa01b aa1b1 e1 a1aenn2
Aen1 AAb an1b
A2b an1Ab an2b an2b en2 an2en
0
0
0
1
an1
Aen Ab ( Ab an1b) an1b en1 an1en
18
3-7-2-2能观标准形II型

4.1线性控制系统课件

2 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6.白噪声函数
u (t ) ∽N(0,b)
对于任意 t 大于等于0, u (t )是高斯随机过程，该函数常常用于刻画系统噪声和测量噪声。
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二. 动态性能与稳态性能
0,t 0 (t ) , ,t 0

-
(t)dt 1
通过脉冲响应的分析可以确定系统的模型。
5. 正弦函数 u(t ) A sin(t )
其中A为幅值，ω为角频率，φ为初始相角。正弦函数在研究系统的频率响应时将是重要的输入函数。
例4.1 设单位反馈控制系统的开环传递函数为 G(s) 1 / Ts，求当
r (t ) sin wt 时控制系统的稳态误差。
解：因为 E (s)
1 R( s ) 1 G( s)
例4.1 设单位反馈控制系统的开环传递函数为 G(s) 1 / Ts，求当
r (t ) sin wt 时控制系统的稳态误差。 1 ws 解：因为 E (s) R( s ) 1 G( s) ( s 1/ T )( s 2 w2 )
可得 E(s) R(s) /(1 G(s) H (s)) 由Laplace变换的性质，易知
ess lim e(t ) lim L-1 [E( s)] lim L-1 ( R( s) /(1 G( s) H ( s)))

现代控制理论-线性控制系统的能控性与能观性例题精选全文完整版

x Ax Bu
如果线性定常系统： y Cx 是状态不完全能控的，它的能控性判别矩阵的秩
rankM n1 n
则存在非奇异变换：x Rcxˆ
将状态空间描述变换为：
xˆ y
Aˆ xˆ Cˆ xˆ
Bˆ u
n1 n n1
其中：
xˆ
xˆ1
xˆ
2
n1
n n1
Aˆ
R c1AR c
Aˆ 11 0
3.6.1 线性系统的对偶关系
线性系统1、2如下：
1：yx 11
A1x1 C1x1
B1u1
2：
x 2 y 2
A2x2 C2x2
B2u2
如果满足如下关系
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
则称两系统是互为对偶的.
u1(t) B
x1(t)
x1(t)
++
∫
y1(t) C
A
y2(t) BT
0
A 0 1 0 , b 0, c 1 1 1
1 4 3
1
解：能控性矩阵
0 1 4
M b Ab A2b 0 0
0
1 3 8
rankM 2 n1 dim A n 3 不能控
构造变换矩阵
0 1 0 Rc 0 0 1
1 3 0
✓与前2个列向量线性无关； ✓尽可能简单
结构分解
u
co
y
co
依据能控能观性，将系统分解
co
为四个子系统
co
x Ax Bu
y Cx Du
特殊的线性变换
x xTco xTco xTco xTco
分解步骤：
1、将系统分解成能控与不能控子系统；

线性系统的控制理论与应用研究

线性系统的控制理论与应用研究线性系统控制理论是现代控制领域中最基本的一部分。

就其本质而言，线性系统控制理论主要研究线性系统在不同环境下的行为，以及如何通过控制手段对其进行优化调节。

该理论对于现代工业生产和自动化技术的发展至关重要，因此在工程、物理、数学等诸多学科中都占据着重要地位。

下面本文将介绍线性系统控制理论的主要概念及其应用研究现状。

一、线性系统基本概念1、线性系统的定义线性系统是指在稳定状态下，其输出与输入之间存在着线性关系的系统。

即若系统输出为y(t)，输入为u(t)，则系统可以表示为：y(t) = G[u(t)]其中，G表示系统的传递函数，是系统的一种数学表示方式。

对于线性系统而言，传递函数具有如下性质：G[a1u1(t) + a2u2(t)] = a1G[u1(t)] + a2G[u2(t)]其中，a1、a2为任意常数，u1(t)、u2(t)为任意输入信号。

2、稳定性分析稳定性是指系统在输入信号变化或扰动下，能够保持输出信号稳定并收敛到某一有限状态的能力。

对于线性系统，稳定性分析主要基于系统的传递函数G(s)进行，有以下两种方法：（1）极点判据法当系统的传递函数G(s)的极点均在s平面左半区域时，系统是稳定的。

（2）Nyquist稳定判据法当对于连续传递函数，N(s)G(s)的曲线包围点-1的次数与开环传递函数极点在s平面右半区域的个数相等时，系统是稳定的。

3、控制设计线性系统的目标是通过控制输入信号，使系统输出能够达到设计要求并进行优化调节。

常用的控制设计方法有以下几种：（1）基于PID控制器的设计PID控制器是指由比例项（P）、积分项（I）和微分项（D）三部分组成的控制器。

PID控制器的作用是根据当前系统状态和预期状态进行比较，然后进行控制输出。

该控制器工作稳定，可用于大部分线性控制系统。

（2）基于状态空间法的设计状态空间法是指将系统状态用一个向量来表示，将输入和输出表示为状态向量的函数。

《线性控制系统理论》课件

20世纪末至今
延时符
线性控制系统的基本组成
总结词
系统模型的建立是线性控制系统理论的基础。
详细描述
系统模型是对实际物理系统的数学描述，它反映了系统的动态行为和输入输出关系。线性控制系统模型通常由线性微分方程、传递函数和状态空间表达式来表示。
性能指标是评估系统性能的重要依据。
系统性能指标包括稳定性、快速性、准确性和鲁棒性等。这些指标用于衡量系统在不同条件下的性能表现，是系统设计和优化过程中的关键参考。
控制器
作为控制系统的核心，控制器负责接收输入信号并产生输出信号，以控制被控对象的运行状态。常用的控制器有PID控制器、模糊控制器等。
传感器
传感器用于检测被控对象的运行状态，并将检测到的信号转换为电信号或数字信号，传输给控制器。常见的传感器有温度传感器、压力传感器等。
控制算法
控制算法是控制系统的核心，用于计算控制器的输出信号。常用的控制算法有PID控制算法、模糊控制算法等。
延时符
线性控制系统的分析方法
通过建立状态方程和输出方程描述系统动态行为的方法。
状态空间法是一种基于状态变量描述线性控制系统动态行为的方法。通过建立状态方程和输出方程，可以全面地描述系统的运动过程，并方便地进行系统分析和设计。
通过分析系统极点和零点分布影响系统性能的方法。
频率域分析法是一种在频域内分析线性控制系统性能的方法。通过分析系统极点和零点的分布，可以确定系统性能的优劣，如稳定性、快速性和准确性等。
02
状态反馈控制具有较好的鲁棒性和适应性，能够有效地抑制外部干扰和参数变化对系统的影响。
1
2
3
极点配置法是一种通过调整系统极点位置来改善系统性能的方法。
通过合理配置极点位置，可以有效地改善系统的动态特性和稳态精度，提高系统的控制性能。

第五章线性控制系统的综合

9
第五章线性定常系统的综合
从输出到状态矢量导数的反馈
从系统输出到状态矢量导数的线性反馈形式在状态观测器获得应用。受控对象的状态空间表达式
Ax Bu x y Cx Du
10
第五章线性定常系统的综合
从输出到状态矢量导数的反馈
闭环系统的状态空间表达式
Ax Gy Bu x y Cx Du
4）比较特征多项式对应项的系数，得
k0 4, k1 4, k2 1
25
第五章线性定常系统的综合
优点：能控标准型使得计算简单，可以直接计算状态反馈阵K。
缺点：能控标准型所需的状态变量信息难以检测，给工程实现增加困难
串联实现，系统的状态方程为
0 0 1 0 0 1 1 x 0 u x 0 0 2 1 y 10 0 0x

16
第五章线性定常系统的综合
采用状态反馈（单输入单输出系统）
以3阶能控标准型为例，设计状态反馈控制律
0 0 x a 0 1 0 a1 0 0 1 x 0 u 1 a2
状态反馈控制律为 u Kx k0 k1 得到闭环系统
设计状态反馈控制律，使得闭环系统的极点是-2和-3. 解：设控制律为 u Kx k0 k1 x 闭环系统的状态方程为
0 x 2 k 0 1 x 3 k1
20
第五章线性定常系统的综合
闭环系统的特征方程为 f () 2 (3 k1 ) k0 2
输出反馈闭环系统的状态空间表达式
[ A B ( I HD ) 1 HC ] x B ( I HD ) 1 v x y (C D( I HD ) 1 HC ) x Dv

1.线性控制系统课程简介及绪论

—— 对象：线性动态系统，数学模型已知 —— 工具：数学 (矩阵、线性代数)
2014-09-21
7
课程的主要内容
绪论+数学基础第一章
控制系统的状态空间表达式状态变量及状态空间表达式状态矢量的线性变换从状态空间表达式求传递函数第二章控制系统状态空间表达式的解线性定常齐次状态方程的解矩阵指数函数线性定常非齐次状态方程的解
控制理论的研究内容及各部分的关系（3）
3、工程应用针对各种具体的控制系统进行设计、加工、软件编制、调试、测试等。最终实现控制目标及运行过程中的维护、维修。
2014-09-21
21
控制理论发展的两条途径
应用——技术——理论——应用理论——技术——应用控制理论这门学科与其他任何学科一样，产生于生产实践和科学实验。控制理论的形成：把自动控制中的普遍规律抽象出来，以数学为工具进行理论研究。
2014-09-21
时代发展的需求（2）
事实上，这些想法远未成熟，经典控制理
论暴露出3个十分严重的局限性，妨碍它直接用于更为复杂的控制问题。
2014-09-21
15
经典控制论的3个局限性（1）
第一，经典理论局限于线性定常系统，因其
本质上是一种频率法，信号的描述要靠各个频率分量，只有用叠加原理才能进行分析，因此，频率法只限于线性定常系统。
自然科学领域的应用
第二阶段现代控制理论
科学技术的发展不仅需要迅速地发展控制理论，而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要的条件— 现代数学和数字计算机。现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平台。在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而对出现的多输入多输出系统、非线性系统和时变系统。

线性控制系统的建模与仿真

线性控制系统的建模与仿真控制系统是现代工程技术中的基石之一，常见的控制系统包括电机控制、飞行器控制、机器人控制等。

线性控制系统是一种较为常见的控制系统，其恒定的输入和输出之间呈线性关系。

本文将探讨线性控制系统的建模与仿真。

一、线性控制系统的基本概念为了更好地理解线性控制系统的建模和仿真，首先需要了解线性控制系统的一些基本概念。

1.系统模型系统模型是指对于一个复杂的系统，通过抽象和简化的方式，将系统刻画成一个具有输入、输出和状态的数学模型，以便对系统进行研究和设计。

2.控制器控制器是指控制系统中负责对输入信号进行处理，从而实现对输出信号的控制的一种设备或程序。

控制器通常采用数学模型的方式来描述。

3.传感器传感器是指在控制系统中负责传感外部信号的一种设备或器件，重要的传感器包括温度传感器、压力传感器、光传感器等。

二、线性控制系统的数学建模线性控制系统的建模是指将线性控制系统抽象成一个数学模型，以便进行控制器的设计和仿真。

线性控制系统的数学建模通常包括以下几个步骤：1.建立系统框图建立系统框图就是将线性控制系统分解成其各个组成部分的框图。

通常，系统框图包括输入信号、输出信号、控制器、传感器和其他外部设备。

2.列方程根据系统框图，可以列出线性控制系统的数学模型，该模型通常是一个或一组线性微分方程。

例如，在电机控制系统中可以使用电机方程，包括速度方程、电动势方程等，来描述电机系统的动态行为。

3.求解模型参数求解模型参数是指确定控制系统中各个元件的参数、控制器的参数等，以便对系统进行仿真和分析。

4.仿真模型将控制系统的数学模型建立成仿真模型，用计算机程序模拟系统的运行过程，进行系统的仿真和分析。

仿真模型可以使用模拟软件、Matlab等工具来实现。

三、线性控制系统的仿真系统的仿真是指用计算机程序模拟线性控制系统的运行行为，以便对系统进行分析和设计。

1.模拟软件模拟软件是一种特殊的仿真工具，例如LabVIEW，该软件可以利用图形化的编程语言，快速建立控制系统的仿真模型，进行仿真和分析。

7.1线性控制系统课件J

7.1 综合问题的提法及类型和性质
一. 综合问题的提法给定线性定常系统
x Ax Bu, x(0) x0 , t 0, y Cx 其中x R n , u R p , y R q .
(7.1)
给出期望的性能指标，综合问题就是寻找一个控制 u，使得在它作用下，系统运动行为满足所给出的期望性能指标。若所得到的控制作用u 信赖于系统的实际响应，即可表示为系统状态或输出的一个线性向量函数，即 (7.2) u Kx Lv 或 u Fy Lv 则这种控制分别称为状态反馈控制和输出反馈控制，其中 K ， F为常数阵，分别称为状态反馈阵和输出反馈阵，而v称为参考输入向量，将这两种控制(7.2)分别加到(7.1)得到闭环系统分别称为状态反馈系统和输出反馈系统。
x Ax Bu, x(0) x0 , t 0, y Cx 其中x R n , u R p , y R q .
(7.1)
给出期望的性能指标，综合问题就是寻找一个控制 u，使得在它作用下，系统运动行为满足所给出的期望性能指标。若所得到的控制作用u 信赖于系统的实际响应，即可表示为系统状态或输出的一个线性向量函数，即 (7.2) u Kx v 或 u Fy v
性能指标的类型：分为非优化型性能指标和优化型性能指标。
性能指标的类型：分为非优化型性能指标和优化型性能指标。
对于非优化型性能指标，按照对期望运动形式以不同角度去规定性能，可有多种提法，常用的非优化型指标提法有：
性能指标的类型：分为非优化型性能指标和优化型性能指标。
对于非优化型性能指标，按照对期望运动形式以不同角度去规定性能，可有多种提法，常用的非优化型指标提法有： (1) 以渐近稳定作为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题。

03.线性控制系统的能控性和能观性

则 A 满足其特征方程，即
f ( A) An an1An1 a1A1 a0 I 0
推论 1 矩阵 A 的 k 次幂（k≥n）可表示为 A 的(n-1)阶多项式
n 1
Ak m Am m0
kn
推论 2 矩阵指数 eAt 可表示为 A 的(n-1)阶多项式
n1
eAt 0 (t)I 1(t) A n1(t) An1 m (t) Am
e(t e(t
) )
u(
)
d
e At
x(0)
1 1
et (t )
0
u( ) d
线性定常系统能控性判据
(1)根据能控性定义
x(t0 )
t f t0
e A(t0 )
Bu( )d
(2) 直接从A与B判别系统的能控性：
线性连续定常系统能控的充分必要条件是由系统矩阵A和输入矩阵B构成的能控性矩阵满秩，即
(3)在A为约旦标准型矩阵的情况下，b中最后一行为零时，该行相应的一个一阶标量齐次微分方程，而为不完全能控的。
(4)在结构图中，存在与u(t)无关的孤立块，则不完全能控。
判别能控性
x1 x2
2 0
0 3
x1 x2
1
2
u
1 1 0 0 0
x
0
0
1 0
0 x 1 2 0
γj
t f
t0
j (t0
) u( ) d
j0
n1
x(t0 ) A j B γ j B AB A2B
An1B γ
γ0
γ
γ1
γn
1
j0
n1
x(t0 ) A j B γ j B AB A2B j0

线性控制系统的分析与综合设计

线性控制系统的分析与综合设计随着科学技术的不断发展，现代制造业已经越来越依赖于自动控制技术，而线性控制系统作为自动控制技术中不可或缺的重要内容，已经成为了自动控制理论研究和应用的核心。

一、线性控制系统的定义何谓线性控制系统呢？在自动控制理论中，线性控制系统是指系统的动态特性是线性的、系统的输入输出关系是线性的，且系统没有时间限制，可以在任意时间内稳定工作，从而实现系统的自动化控制。

二、线性控制系统的分析线性控制系统的分析常常被称为线性控制系统分析，是控制理论研究的重要内容之一。

通俗点说，线性控制系统分析是指通过对线性控制系统进行建模、分析、仿真等手段，得到该系统的动态特性和性能表现，以便对控制系统进行分析和研究。

线性控制系统分析涉及到数学、物理、工程等多个领域的知识，其核心内容包括：系统建模、系统模型的转换、系统的稳定性分析、信号的传递、系统的鲁棒性分析、系统的控制性能分析等方面。

最常用的系统建模方法是传递函数法。

传递函数法是一种将输入信号和输出信号之间线性关系表示为分式的方法，其中分子为输出信号，分母为输入信号的输入输出关系的系数，比如传递函数为G(s)=Y(s)/U(s)，其中G(s)为系统传递函数，Y(s)为系统输出信号的拉氏变换，U(s)为系统的输入信号的拉氏变换。

线性控制系统的稳定性分析是线性控制系统分析中最为重要的一部分。

在控制系统中，稳定性是指在某一时刻系统的状态与初始状态之间存在某种关系，系统状态不会发生不可预测的变化。

常见的线性控制系统稳定性分析方法有极点分布和根轨迹法。

三、线性控制系统的设计线性控制系统的设计即是通过特定的控制方法和策略提高线性控制系统的性能表现，从而实现系统更好的控制效果。

与控制系统的分析相比，线性控制系统的设计更加注重控制方案的制定和应用能力。

线性控制系统的设计包括多种方法和技术。

其中最常见的是反馈控制方法，即通过测量输出信号和输入信号之间的偏差信息对系统进行修正和控制。

现代控制理论线性控制系统的能控与能观性

判断线性控制系统稳定性的方法有多种，如劳斯判据、赫尔维茨判据等。
03
能控性与能观性概念
能控性概念
能控性是指对于一个线性控制系统，如果存在一个控制输入，使得状态变量从任意初始状态能够被驱动到
任意目标状态，则称该系统是能控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩阵，如果该矩阵非奇异，则系统是能控的，否则系统不能控。
线性控制系统是控制系统的一种重要类型，其能控性和能观性是评价系统性能的重要指标。
研究意义
能控性和能观性是现代控制理论中的基本概念，对线性控制系统的分析和设计具有重要意义。
研究线性控制系统的能控性和能观性有助于深入了解系统的动态行为，为优化控制策略和控制系统的稳定性提供理论支持。
02
线性控制系统基础
04
线性控制系统的能控性分析
能控性的判断方法
矩阵判据
通过判断线性系统的状态矩阵是否满足能控性矩阵的条件，从而判断系统的能控性。
传递函数判据
根据线性系统的传递函数，通过分析其极点和零点，判断系统的能控性。
状态方程判据
通过分析线性系统的状态方程，判断其是否具有能控性。
能控性的改善方法
增加控制输入
能观性分析
能观性分析在智能交通系统中同样重要，它有助于确定交通系统的状态是否能被其传感器完全监测。这涉及到对传感器精度、道路条件以及传感器布局等因素的考虑。
07
结论与展望
研究结论
1
线性控制系统能控性与能观性是现代控制理论中的重要概念，对于系统的分析和设计具有重要意义。
2
通过研究线性控制系统的能控性和能观性，可以深入了解系统的动态特性和行为，为控制系统设计和优化提供理论支持。

线性控制系统描述

f (t )e
e
, t [0,).
而
( c )t e dt 0
当 c 0 时是收敛的.
1.2 几个基本公式
1) 2) 3) 4)
验证
1)
1 sa
L [ eat ] 0

at
e e st dt 1 sa
L [ eat ] L [ sin t ] L [ cos t ] L [ (t ) ]
可见，无论 T 多么小， T (t )之下的面积恒为1.所以， (t ) 可以看作是发生在极短时间内、能量为1个单位的一种理想化的信号，例如锤子敲击桌子产生的信号。
1.3 拉氏变换的性质
设 F (s )和 G (s ) 分别为 f (t )和 g (t )的拉氏变换。性质1 （线性性质）对任何 ,
s0
f (t ) * g (t )

f ( ) g (t )d
则: f (t ) * g (t ) 称为 f (t ) 和 g (t ) 的卷积.若t<0时 f (t ) g (t ) 0, 则
L [ y(t )]= L [ (t t1)]-L [ (t t2 ) ]
1 1 et1s et2s s s
L [
sin t
]=
s2 2

( s a)2 2 sa ( s a)2 2
L [eat sin t ]=
同理 L [eat cost]=
性质6 (象微分)
L [
tf (t )]= F ' (s)
t t 证: F ' ( s) d f (t )e st dt (tf (t ))e st dt L [ 0 0 tf (t ) ]

给水排水专业资料：线性控制系统？.doc

给水排水专业资料：线性控制系统？
线性控制系统（linearcontrolsystems）
线性系统的状态变量（或输出变量）与输入变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述，这种方程称为系统的数学模型，状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。

作为叠加性质的直接结果，线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：输入响应和状态响应，前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应。

两者可分别计算。

这一性质为线性系统的分析和研究带来很大方便。

严格地说，实际的物理系统都不可能是线性系统。

但是，通过近似处理和合理简化，大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析。

例如一个电子放大器，在小信号下就可以看作是一个线性放大器，只是在大范围时才需要考虑其饱和特性即非线性特性。

线性系统的理论比较完整，也便于应用，所以有时对非线性系统也近似地用线性系统来处理。