数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--12章

π
4
= cos α + sin α = sin( − α ) + sin α = 2 sin cos( − α ) , 2 4 4
时，沿 v = (cos , sin ) ，方向导数最大。
4
π
π
4
aw .
JJJ G PQ (2, −1) − (1, 0) 1 解 由于 v = = = (1, −1) = (v1 , v2 ) ，且 | PQ | | (2, −1) − (1, 0) | 2
(10) 注意 z = arctan x + arctan y ， (11)
1 ∂z 1 ∂z = ， 。 = ∂x 1 + x 2 ∂y 1 + y 2
2 2 2 2 2 2 ∂u ∂u = 2 xy e x ( x + y + z ) ， = (3 x 2 + y 2 + z 2 ) e x ( x + y + z ) ， ∂y ∂x 2 2 2 ∂u = 2 xz e x ( x + y + z ) 。 ∂z
x+ y ； x− y
课
后 答
cos x 2sin x dx − dy ，所以 2 y y3
2 2 π df (0,1) = dx , df ( ,2) = dx − dy 。 4 8 8
案
df ( 2,4) =
4 8 dx + dy 。 21 21
w. kh d
2y
3
解 (1) 因为 df ( x, y ) = (6 xy − y 2 )dx + (3x 2 − 2 xy )dy ，所以
(13)
2
+y +
2
w. kh d
∂u =− ∂x
x
(x
3 2 2 z
)
，
∂u =− ∂y
y
aw .
，
∂u y z −1 ∂u ln x z ∂u y ln x = x ， = x ， (12) = − 2 xz 。 ∂x z ∂y z ∂z z
y
y
y
co m
∂u =− ∂z z
(x
2
+y +
2
3 2 2 z
j = 1,2, " , n 。
，所以
f x (3,4) =
x
2 1 ， f y (3,4) = 。 5 5
3. 设 z = e ，验证 2 x 证
∂z 1 2 由于 = 2 e y , ∂x y
x
y2
∂z ∂z +y = 0。 ∂x ∂y
2x 2 ∂z = − 3 e y ，所以 ∂y y ∂z ∂z 2x + y = 0。 ∂x ∂y
第十二章 多元函数的微分学
习 题 12. 1 偏导数与全微分
（2） z = x 2 ln( x 2 + y 2 ) ； （4） z = sin( xy) + cos 2 ( xy) ；
⎛ x2 ⎞ （6） z = tan⎜ ⎜ y⎟ ⎟； ⎝ ⎠
1． 求下列函数的偏导数： （1） z = x 5 − 6 x 4 y 2 + y 6 ； （3） z = xy + ； （5） z = e (cos y + x sin y ) ；
课
(3)
∂z 1 x ∂z = y+ ， = x− 2 。 ∂x y ∂y y
后 答
(2)
∂z 2x3 ∂z 2x 2 y ， 。 = 2 x ln( x 2 + y 2 ) + 2 = ∂x ∂y x 2 + y 2 x + y2
案
网
解 (1)
∂z ∂z = 6 y 5 − 12 x 4 y 。 = 5 x 4 − 24 x 3 y 2 ， ∂ y ∂x
i , j =1
(4) (5) (6) (7)
∂z ∂z = x[cos( xy ) − sin( 2 xy )] 。 = y[cos( xy ) − sin( 2 xy )] ， ∂y ∂x ∂z ∂z = e x ( x cos y − sin y ) 。 = e x (cos y + x sin y + sin y ) ， ∂y ∂x
5
aw .
⎛ x2 y2 + 2 2 b ⎝a
co m
解
在 ( x, y ) ≠ (0,0) 点, 函数值增长最快的方向为 grad f = ( y, x) ; 在 (0,0) 点, 由于梯度为零向量，不能直接从梯度得出函数值增长
最快的方向。设沿方向 v = (cos α , sin α ) 自变量的改变量为
co m
7. 求函数 z = x e 2 y 在点 P (1,0) 处的沿从点 P (1,0) 到点 Q (2,−1) 方向的方 向导数。
5π 5π 5π 时，沿 v = (cos , sin ) ，方向导数最小。 4 4 4 3π 3π 7π 7π 3π 7π (3) 当 α = , 时，沿 v = (cos , sin ) 或 v = (cos , sin ) ，方向 4 4 4 4 4 4
10. 求下列函数的梯度：
⎞ ⎟ ⎟； ⎠ 2 2 2 （3） u = x + 2 y + 3z + 3xy + 4 yz + 6 x − 2 y − 5 z ，在点 (1,1,1) 。
w. kh d
(3, 4) ，所以 5
课
（1） z = x 2 + y 2 sin( xy) ；
（2） z = 1 − ⎜ ⎜
所以在 (1,2) 处，
∂z ∂z = = 2。 ∂x ∂y
(1) grad f (1,2) = (2,2) 。
ww 网
(3, 4) 32 + 42
=
(2) 因为 (4, 6) − (1, 2) = (3, 4) ， v =
案
后 答
∂f ∂v
(1,2)
3 4 14 = 2⋅ + 2⋅ = 。 5 5 5
解 (1) grad z = ( 2 x + y 3 cos( xy ), 2 y sin( xy ) + xy 2 cos( xy ) ) 。 (2) grad z = ( −
2x 2y , − 2 )。 2 a b
(3) grad u = (2 x + 3 y + 6, 4 y + 3 x + 4 z − 2, 6 z + 4 y − 5) ， grad u (1,1,1) = (11,9,5 ) 。 11. 对于函数 f ( x, y ) = xy ，在第Ι象限（包括边界）的每一点，指出 函数值增加最快的方向。
v1 = (2, 2) − (1, 2) = (1, 0) ，
∂z ∂z ∂z ∂z = ⋅1 + ⋅ 0 = = 2。 ∂v1 ∂x ∂y ∂x ∂z ∂z ∂z ∂z = ⋅ 0 + ⋅ (−1) = − = −2 。 ∂v2 ∂x ∂y ∂y
v2 = (1,1) − (1, 2) = (0, −1) ，
2y 2x dx + dy 。 2 ( x − y) ( x − y) 2
(4) dz = −
2
xy (x +
3 2 2 y )
dx +
2
x2 (x +
3 2 2 y )
dy 。
(5) du = (6) du =
xdx + ydy + zdz x2 + y2 + z2
。
2( xdx + ydy + zdz ) 。 x2 + y2 + z2
∂z ∂z ∂z = cos α + sin α = (2 x − y ) cos α + (2 y − x) sin α ， ∂v ∂x ∂y
所以
∂z ∂v
(1,1)
课
后 答
案
∂z ∂z ∂z 1 = v1 + v2 = − 。 ∂v ∂x ∂y 2
网
ww
π π
所以
w. kh d
π
4
(1) 当 α =
dx dy dz , , ) = (1, 0,1) ， dx dx dx x = 2
所以 θ =
π
4
。
df (1,2) = 8dx − dy 。
(2) 因为 df ( x, y ) =
ww
2x 1+ x + y
2 2
dx +
1 + x2 + y2
网
(3) 因为 df ( x, y ) =
6. 求下列函数的全微分： （1） z = y x ； （3） z =
dy ，所以
（2） z = xy e xy ； （4） z =
y x + y2
2
aw .
；
（3） f ( x, y ) =
sin x π ⎞ ，在点 (0,1) 和 ⎛ ⎜ ,2 ⎟ 。 2 y ⎝4 ⎠
（5） u = x 2 + y 2 + z 2 ； 解 (1) dz = y x ln ydx + xy x −1dy 。 (2) dz = e xy (1 + xy )( ydx + xdy ) 。
⎛ x2 ∂z 2 x = sec 2 ⎜ ⎜ y ∂x y ⎝
2 ⎞ ∂z x2 2⎛ x ⎞ ⎜ ⎟。 ⎟， = − sec ⎜ y ⎟ ⎟ ∂y y2 ⎝ ⎠ ⎠
∂z 1 x y y x y x y x x y 1 ∂z = cos cos + 2 sin sin ， = − 2 cos cos − sin sin 。 ∂x y y x x y x y x ∂y y x x y
案
网
n ∂u = ∑ aij xi , ∂y j i =1
∂u = ai , i = 1,2, " , n 。 ∂xi
n
∑ aij y j , i = 1,2,", n ，
ww
x
z z z ∂u ∂u ∂u = zy z −1 x y ln x ， = y z x y −1 ， = y z x y ln x ln y 。 ∂x ∂y ∂z
（6） u = ln( x 2 源自文库 y 2 + z 2 ) 。
co m
5. 求下列函数在指定点的全微分： （1） f ( x, y ) = 3 x 2 y − xy 2 ，在点 (1,2) ； （2） f ( x, y ) = ln(1 + x 2 + y 2 ) ，在点 (2,4) ；
(3) dz = −
w. kh d
n
1
（14） u = x y ；
aw .
z
co m
x+ y ； 1 − xy
x y
y x
（8） z = (1 + xy ) y ；
(8) (9)
⎡ ∂z xy ⎤ ∂z 。 = (1 + xy ) y ⎢ln(1 + xy ) + = y 2 (1 + xy ) y −1 ， 1 + xy ⎥ ∂y ∂x ⎣ ⎦ ∂z 1 ∂z 1 ， 。 = = ∂x x + ln y ∂y y ( x + ln y )
∂z ∂z = e2 y , = 2 x e2 y ， ∂x ∂y
8. 设 z = x 2 − xy + y 2 ，求它在点 (1,1) 处的沿方向 v = (cos α , sin α ) 的方向 导数，并指出： （1）沿哪个方向的方向导数最大？ （2）沿哪个方向的方向导数最小？ （3）沿哪个方向的方向导数为零？ 解 由于
∆x = t cos α , ∆y = t sin α ，
则函数值的改变量为
f ( ∆x, ∆y ) − f (0, 0) = ∆x∆y = t 2 cos α sin α =
由此可知当 α = ,
4
(1,1) 和 ( −1,−1) 。
π 3π
4
1 2 t sin 2α ， 2
2
⎧ x2 + y2 ⎪z = , 在点 ( 2,4,5) 处的切线与 x 轴的正向所夹的角度是 4. 曲线 ⎨ 4 ⎪ ⎩y = 4
多少？ 解 以 x 为参数，曲线在点 ( 2,4,5) 处的切向量为 ( 设它与 x 轴的正向所夹的角度为 θ ，则
cos θ = (1, 0,1) 1 ⋅ (1, 0, 0) = ， 2 2
x
x y
（7） z = sin ⋅ cos ； （9） z = ln( x + ln y ) ； （11） u = e （13） u =
n
（10） z = arctan （12） u = x ; ；
y z
x ( x2 + y 2 + z 2 )
；
x2 + y2 + z2
i =1
ww
1
（15） u = ∑ ai xi ， ai 为常数； （16） u = ∑ aij xi y j , aij = a ji 为常数。
)
(x
2
+y +
2
3 2 2 z
)
。
(14) (15) (16)
j =1
课
2. 设 f ( x, y ) = x + y − x 2 + y 2 ，求 f x (3,4) 及 f y (3,4) 。 解 因为 f x = 1 −
x x2 + y 2 , fy = 1− y x2 + y 2
后 答
∂u = ∂xi
(2) 当 α =
导数为零。 9． 如果可微函数 f ( x, y ) 在点 (1,2) 处的从点 (1,2) 到点 (2,2) 方向的方向 导数为 2，从点 (1,2) 到点 (1,1) 方向的方向导数为-2。求 （1）这个函数在点 (1,2) 处的梯度； （2）点 (1,2) 处的从点 (1,2) 到点 (4,6) 方向的方向导数。 解