定积分与微积分含答案

定积分与微积分基本定理

基础热身

1．已知f (x )为偶函数，且

⎠⎜

⎛0

6f(x)d x ＝8，则⎠

⎛6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16

2． 设f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2

，x ∈[0，1]，1

x ，x ∈(1，e ](其中e 为自然对数的底数)，

则⎠⎜⎛

e

f(x)d x 的值为( )

A .43

B ．2

C ．1

D .23

3．若a ＝⎠⎜⎛0

2x 2

d x ，b ＝⎠⎜⎛0

2x 3d x ，c ＝⎠⎜

⎛0

2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )

A ．a

B ．a

C ．c

D ．c

4．如图K 15－1，阴影部分的面积是(

)

图15－1 A ．2 3 B ．2－ 3 C .323 D .35

3

能力提升

5．设函数f(x)＝ax 2＋1，若⎠⎜⎛

1

f(x)d x ＝2，则a ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．由直线x ＝－π3，x ＝π

3

，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭

图形的面积为( )

A .12

B ．1

C .3

2

D . 3 7．一物体以v ＝9.8t ＋6.5(单位：m /s )的速度自由下落，则下落

后第二个4 s经过的路程是( )

A．260 m B．258 m

C．259 m D．261.2 m

8．若

⎠

⎜

⎛

k(2x－3x2)d x＝0，则k等于( )

A．0 B．1

C．0或1 D．以上均不对

9．如果10 N的力能使弹簧压缩10 cm，为在弹性限度将弹簧拉长6 cm，则力所做的功为( )

A．0.28 J B．0.12 J

C．0.26 J D．0.18 J

10．设函数y＝f(x)的定义域为R＋，若对于给定的正数K，定义

函数f K(x)＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧K，f(x)≤K，

f(x)，f(x)>K，

则当函数f(x)＝

1

x，

K＝1时，定积分

⎠⎛2

1

4

f K(x)d x的值为________．

11.

⎠

⎜

⎛

1(x－x2)d x＝________.

12．∫

π

20

(sin x＋a cos x)d x＝2，则实数a＝________.

13．由抛物线y2＝2x与直线x＝

1

2

及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为________．

14．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图K15－2所示，直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为

27

4

，求f(x)的解析式．

图K15－2

15．(13分)如图K15－3所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a>1)交于点O、A，直线x＝t(0

(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；

(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．

难点突破

16．(12分)已知点P在曲线y＝x2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P作曲线y＝x2的切线PQ(Q为切点)．

(1)求切线PQ的方程；

(2)求证：由上述切线与y＝x2所围成图形的面积S与a无关．

参考答案：

【基础热身】

1．D [解析] ⎠

⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎜

⎛0

6

f(x)d x ＝2×8＝16. 2．A [解析] 根据积分的运算法则，可知∫e 0f(x)d x 可以分为两

段，即∫e 0f(x)d x ＝⎠

⎜⎛

1x 2d x ＋∫e

11x d x ＝13x 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪10＋ln x e 1＝13＋1＝43，所以选A .

3．D [解析] a ＝⎠⎜⎛

2x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 20＝83，b ＝⎠

⎜⎛0

2x 3d x ＝14x 4⎪⎪⎪

2

0＝4，c ＝⎠⎜⎛

2

sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪

20＝1－cos 2<2， ∴c

4．C [解析] ⎠⎛1－3(3－x 2

－2x)d x ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪

1－3＝323. 【能力提升】

5．C [解析] ⎠⎜⎛

1

f(x)d x ＝⎠⎜

⎛0

1

(ax 2

＋1)d x ＝ax 33＋x ⎪⎪⎪

10＝a 3

＋1＝2，

解得a ＝3.

6．D [解析] 根据定积分的相关知识可得到：由直线x ＝－π

3

，

x ＝π

3

，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为：

⎪⎪⎪S ＝∫π3－π3cos x d x ＝sin x π3－π3＝sin π

3－sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π3＝3，

故选D .

7．D [解析] ⎠⎜⎛

4

8

(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2

＋6.5t)⎪⎪⎪

8

4＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2.

8．C [解析] ⎠⎜⎛

k

(2x －3x 2

)d x ＝⎠⎜⎛0

k 2x d x －⎠⎜⎛0

k

3x 2

d x ＝x

2⎪⎪⎪⎪⎪⎪

k 0

－x 3k

＝

k 2－k 3＝0，∴k ＝0或k ＝1.

9．D [解析] 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，W ＝∫0.060

100x d x ＝0.18(J )．