(完整版)现代控制理论试卷和答案解析总结
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2012年现代控制理论考试试卷
一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，
（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （ √ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。
（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。
（ √ ）4. 对线性定常系统x Ax =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性
和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。
（ √ ）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。
（ × ）6. 对一个系统，只能选取一组状态变量；
（ √ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；
（ × ）8. 若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；
（ × ）9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；
（ × ）10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。
二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分）
解：（1）由电路原理得：
1
1
2
2
12
1
111
2
22
11
1
11
L
L c
L
L c
c
L L
di R
i u u
dt L L L
di R
i u
dt L L
du
i i
dt c c
=--+
=-+
=-
22
2
R L
u R i
=
11
22
1
11
1
2
22
1
01
1
00
11
L L
L L
c c
R
i i
L L
L
R
i i u
L L
u u
c c
⎡⎤
--⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
=-+⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
-
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
g
g
g
[]
1
22
2
00
L
R L
c
i
u R i
u
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
二．（10分）图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流
和电容C上的电压
2
x为状态变量，电容C上的电压2x为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。
解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。
以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12
,
L c
i x u x
==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：
2221
R C x x L x
••
+-=
1121
()0
R x C x L x u
••
++-=
从上述两式可解出1x
•
，2x
•
，即可得到状态空间表达式如下：
12
112
1
2
12
()
()
R R
x R R L
R
x
R R C
•
•
⎡
-
⎡⎤⎢+
⎢⎥⎢
=
⎢⎥⎢
-
⎣⎦⎢
+
⎣
12
1
1212
2
1212
()()
11
()()
R R
x
R R L R R L
u
x
R R C R R C
⎤⎡⎤
⎥⎢⎥
++
⎡⎤
⎥⎢⎥
+
⎢⎥
⎥⎢⎥
⎣⎦
-⎥⎢⎥
++
⎦⎣⎦
⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡
++-2112
12110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x +u R R R ⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡+21
20
三、（每小题10分共40分）基础题
（1）试求32y y y u u --=+&&&&&&&的一个对角规范型的最小实现。
（10分） 23232
2()(1)(1)11111()21
32(1)(2)2Y s s s s s s s U s s s s s s s s s s +-++-+-====++-+--+----…………4分 不妨令
1()1()2X s U s s =-，2()
1()1
X s U s s -=+…………2分 于是有
11222x x u x x u =+=--&& 又
12()()()
1()()()
X s X s Y s U s U s U s =++，所以12()()()()Y s U s X s X s =++，即有 12y u x x =++…………2分
最终的对角规范型实现为
1122122x x u x x u y x x u
=+=--=++&&
则系统的一个最小实现为：
[]201, 11011u y ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
&x x x +u …………2分
（2）已知系统[]011, 12232u y ⎡⎤⎡⎤
=+=-⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
&x
x x ，写出其对偶系统，判断