知识点一_导数与函数的单调性

1.函数的单调性：在某个区间（a,b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数.

注：函数()y f x =在（a,b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a,b ）内单调递增的充分不必要条件.

2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．

一般地，当函数 ()y f x = 在点0x 处连续时，判断0()

f x 是极大（小）值的方法是：

（1）如果在0x 附近的左侧'()0f x > ，右侧'()0f x <，那么0()

f x 是极大值． （2）如果在

x 附近的左侧'()0f x < ，右侧'()0f x >，那么0()f x 是极小值．

注：导数为0的点不一定是极值点

知识点一：导数与函数的单调性

方法归纳：

在某个区间（a,b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数. 注：函数()y f x =在（a,b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a,b ）内单调递增的充分不必要条件.

例1】（B 类）已知函数3

2

()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x . （Ⅰ）求函数)(x f y

=的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.

【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数()f x 在区间[,]a b 上递增可得：'()0f x ≥；函数

()f x 在区间[,]a b 上递减可得：'()0f x ≤.

【例2】（A 类）若3

()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.

【解题思路】利用函数()f x 在区间[,]a b 上递增可得：'()0f x ≥；函数()f x 在区间[,]a b 上递减可得：

'()0f x ≤.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解

【例3】（B 类）已知函数()ln f x x =,()(0)a

g x a x

=

>,设()()()F x f x g x =+． （Ⅰ）求函数()F x 的单调区间；

（Ⅱ）若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率1

2

k ≤

恒成立，

求实数a 的最小值 【课堂练习】

1.（B ） 已知函数32

()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线

90x y +=垂直.

（Ⅰ）求实数,a b 的值；

（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.

2．（B 类）设函数),(2

131)(2

2R b a bx ax x x g ∈-+=

，在其图象上一点P （x ，y ）处的切线的斜率记为).(x f

（1）若方程)(,420)(x f x f 求和有两个实根分别为-=的表达式； （2）若2

2

,]3,1[)(b a x g +-求上是单调递减函数在区间的最小值

3.（A 类）已知函数 2

1()ln (1)2

f x x m x m x =

-+-，m ∈R ．当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调

性.

例一[解析】（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0, 2)P ，知2d =，

所以3

2

()2f x x bx cx =+++. 所以2()32f x x bx c '=++.

由在(1, (1))M f --处的切线方程是670x y -+=， 知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=，(1)6f -=′. 所以326,

12 1.b c b c -+=⎧⎨

-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=⎧⎨-=⎩

解得3b c ==-.

故所求的解析式是3

2

()332f x x x x =--+.

（Ⅱ）因为2

()363f x x x '=--，

令23630x x --=，即2

210x x --=，

解得 11x =21x =.

当1x ≤1x ≥'()0f x ≥，

当11x ≤≤'()0f x ≤，

故32

()332f x x x x =--+在(,1-∞内是增函数，在[1+内是减函数，在

[1)+∞内是增函数.

例二【解析】2

()31f x ax '=+Q 又()f x 在区间[－1,1]上单调递增

2()310f x ax '∴=+≥在[－1,1]上恒成立 即2

1

3a x ≥-

在x ∈ [－1,1]时恒成立. 13a ∴≥- 故a 的取值范围为1

[,]3

-+∞

例三解析】（I ）()()()()ln 0a F x f x g x x x x =+=+

>，()()221'0a x a

F x x x x x

-=-=> ∵0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增.

由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减.

∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.