《圆与方程》单元测试题与答案1
直线和圆的方程单元测试
17．
（1）
（2） ， 或
【分析】
（1）根据两条直线垂直的条件列方程，化简求得 .
（2）根据两条直线平行以及距离列方程，化简求得 .
（1）
由于 ，所以 .
（2）
依题意 ，则 ，
此时 ，即 ，故 .
由于两条直线的距离为 ，
所以 或 .
18．
（1） ；
（2） .
【分析】
（1）设出圆的标准方程，根据其过的点的坐标满足圆方程，列出等量关系，求解即可；
【详解】
解：由题知 ， ，半径分别为 ，
根据两圆相交，可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，
即 ．
又 ，所以有 ，
，
再根据 ，
求得 ，
故选：B．
4．A
【分析】
设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．
【详解】
解：设直线 的方程为 ，则 的面积为 ①．
因为直线 过点 ，所以 ②．
联立①②，解得 ， ，
（2）根据过 的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.
（1）
由题意，设圆 的标准方程为： ，
圆 关于直线 对称，
圆 与 轴相切： …①
点 到 的距离为： ，
圆 被直线 截得的弦长为 ， ，
结合①有： ， ，
又 ， ， ，
圆 的标准方程为： .
（2）
当直线 的斜率不存在时， 满足题意
所以切线 的方程为 .
19．
（1）
（2） 或
【分析】
（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解.
（2）设直线 的方程为： ，利用圆心到直线的距离即可求解.
2020秋人教版九年级数学上《一元二次方程》和《圆》测试卷含答案
《一元二次方程》单元测试一．选择题1．已知一元二次方程的两根分别是3和﹣2，则这个方程可以是（）A．（x+3）（x﹣2）＝0B．x2+x+6＝0C．（x﹣3）（x+2）＝0D．x2﹣3x+2＝02．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根及c的值分别为（）A．2，8B．3，4C．4，3D．4，83．用配方法将二次三项式a2﹣4a+3变形，结果是（）A．（a﹣2）2﹣1B．（a+2）2﹣1C．（a+2）2﹣3D．（a﹣2）2﹣64．一元二次方程x2+11x﹣1＝0（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（）A．5000（1+x）＝6050B．5000（1+2x）＝6050C．5000（1﹣x）2＝6050D．5000（1+x）2＝60506．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0且k≠1B．k≠1C．k≥0D．k≤07．若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（）A．a≤B．a＞0C．a≠0D．a＞8．已知一元二次方程x2﹣x＝3，则下列说法中正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程无实数根C．方程有两个不相等的实数根D．不能确定9．若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，则p与q的大小关系为（）A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定10．用公式法x＝解一元二次方程3x2+5x﹣1＝0中的b是（）A．5B．﹣1C．﹣5D．1二．填空题11．一元二次方程x2﹣ax+2＝0的一根是1，则a的值是．12．某超市一月份的营业额为200万元，已知二月和三月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为．13．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+n+10＝0的两根，则n的值为．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k（k+2）＝0有两个不相等的实数根．（1）写出k的取值范围；（2）写出一个满足条件的k的值，并写出此时方程的根．15．关于x的一元二次方程（2k+3）x2﹣x﹣＝0有实数根，则常数k的取值范围是．三．解答题16．解下列方程：（1）2x2+5x+2＝0；（2）（x﹣2）（3x﹣5）＝1．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0．（1）求证：无论m取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且：x12+x22﹣2x1x2＝13，求m的值．18．如图，利用一面墙（墙的长度不限），篱笆长20m．（1）围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形场地的长和宽；（2）可以围成一个面积为60m2的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由．19．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50cm，AC＝40cm，点P从点C开始沿CA边向点A以4cm/s的速度运动，同时，另一点Q从点C开始以3cm/s的速度沿CB边向点B运动．（1）几秒钟后，PQ的长度是15cm？（2）几秒钟后，△PCQ的面积是△ABC面积的？20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；①x2﹣x﹣6＝0；②2x2﹣2x+1＝0．（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．参考答案一．选择题1．解：∵3+（﹣2）＝1，3×（﹣2）＝﹣6，∴以3和﹣2为根的一元二次方程可为x2﹣x﹣6＝0．故选：C．2．解：设方程的另一个根为t，根据题意得t+2＝6，2t＝c，解得t＝4，c＝8．故选：D．3．解：a2﹣4a+3＝a2﹣4a+4﹣1＝（a﹣2）2﹣1，故选：A．4．解：∵a＝1，b＝11，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝112﹣4×1×（﹣1）＝125＞0，∴一元二次方程x2+11x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．5．解：设每天的增长率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝6050．故选：D．6．解：由题意可知：k﹣1≠0且4k2﹣4k（k﹣1）≥0，∴k≥0且k≠1，故选：A．7．解：∵关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，∴a≠0，故选：C．8．解：一元二次方程x2﹣x＝3，整理得：x2﹣x﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，∴△＝1+12＝13＞0，则方程有两个不相等的实数根．故选：C．9．解：∵x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，∴ax12﹣4x1＝c，则p﹣q＝（ax1﹣2）2﹣（ac+5）＝a2x12﹣4ax1+1﹣ac﹣5＝a（ax12﹣4x1）﹣ac﹣5＝ac﹣ac﹣5＝﹣5，∴p﹣q＜0，∴p＜q．故选：A．10．解：3x2+5x﹣1＝0中的b＝5，故选：A．二．填空题11．解：把x＝1代入方程x2﹣ax+2＝0得1﹣a+2＝0，解得a＝3．故答案为：3．12．解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，∴可列方程为200（1+x）+200（1+x）2＝1000，故答案为：200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000．13．解：当2为底边长时，则a＝b，a+b＝8，∴a＝b＝4．∵4，4，2能围成三角形，∴n+10＝4×4，解得：n＝6；当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为6，∵6，2，2不能围成三角形，∴此种情况不存在．故答案为：6．14．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k（k+2）＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4k（k+2）＝﹣16k+4＞0，解得：k＜；（2）当k＝0时，原方程为x2+2x＝0，∴x（x+2）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2．∴当k＝0时，方程的根为0和﹣2．15．解：根据题意得2k+3≠0且1﹣k≥0且△＝（﹣）2﹣4（2k+3）×（﹣）≥0，解得﹣4≤k≤1且k≠﹣．故答案为﹣4≤k≤1且k≠﹣．三．解答题16．解：（1）2x2+5x+2＝0，（2x+1）（x+2）＝0，2x+1＝0或x+2＝0，x1＝﹣，x2＝﹣2；（2）整理得，3x2﹣11x+9＝0，∵a＝3，b＝﹣11，c＝9，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×9＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．17．解：（1）证明：∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，∴△＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+4＞0，∴无论m为任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，∴x1+x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m，又，∴，∴（m﹣2）2﹣4×（﹣m）＝13，解得，m1＝3，m2＝﹣3，即m的值是3或﹣3．18．解：（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为（20﹣2x）m，依题意，得：x（20﹣2x）＝50，整理，得：x2﹣10x+25＝0，解得：x1＝x2＝5，∴20﹣2x＝10．答：矩形场地的长为10m，宽为5m．（2）不能，理由如下：设垂直于墙的边长为ym，则平行于墙的边长为（20﹣2y）m，依题意，得：y（20﹣2y）＝60，整理，得：y2﹣10y+30＝0，∵△＝（﹣10）2﹣4×1×30＝﹣20＜0，∴不能围成一个面积为60m2的矩形场地．19．解：（1）设t秒钟后，PQ的长度是15cm，此时CP＝4tcm，CQ＝3tcm．∵∠C＝90°，∴PQ2＝CP2+CQ2，即152＝（4t）2+（3t）2，解得：t1＝3，t2＝﹣3（不合题意，舍去）．答：3秒钟后，PQ的长度是15cm．（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50cm，AC＝40cm，∴BC＝＝30cm．设x秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的，此时CP＝4xcm，CQ＝3xcm．依题意，得：CP•CQ＝×AC•BC，即×4x×3x＝××40×30，解得：x1＝5，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．答：5秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的．20．解：（1）①解方程得：（x﹣3）（x+2）＝0，x＝3或x＝﹣2，∵2≠﹣3+1，∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；②x＝＝，∵＝+1，∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，∴x＝m或x＝﹣1，∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，∴m＝0或﹣2；（3）解方程得x＝，∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，∴﹣＝1，∴b2＝a2+4a，∵t＝12a﹣b2，∴t＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，∵a＞0，∴a＝4时，t的最大值为16．《圆》单元提升训练一．选择题1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．以B为圆心作圆与AC相切，则该圆的半径等于（）A．2.5B．3C．4D．52．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）A．62°B．31°C．28°D．56°3．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（）A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．∠B＜90°D．AB≠AC4．一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm5．下列说法中，不正确的是（）A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形D．长度相等的弧是等弧6．挂钟的分针长10cm，经过45分钟，它的针尖经过的路程是（）A．cm B．15πcm C．cm D．75πcm7．⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点8．平面内，⊙O的半径为2，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条B．1条C．2条D．无数条9．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（）A．﹣2＜BE≤B．﹣2≤BE＜3C．≤BE＜3D．﹣≤BE＜310．如图，△OAC按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，OA边在x轴上，OA＝8，AC＝4，把△OAC绕点A按顺时针方向转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（4，4）则在这次旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为（）A．8πB．πC．2πD．48π二．填空题11．已知弦AB把圆周分成1：9两部分，则弦AB所对圆心角的度数为．12．如图，⊙O的半径为1，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为．13．如图所示的一扇形纸片，圆心角∠AOB为120°，半径OA的长为3，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为．14．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，且D、E分别在PA、PB上，若PA＝10，则△PDE的周长为．15．从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为m2（结果保留π）．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．（1）求∠BAD的度数；（2）若AD＝，求DB的长．17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC＝4，∠A＝30°，求⊙O的直径．18．如图，已知正方形ABCD，AB＝4，以点A为圆心，AB为半径画弧得到扇形ABD，现将该扇形围成一圆锥的侧面，求出该圆锥底面圆的半径．19．已知圆锥的高为12，底面直径为10，求圆锥的表面积．20．已知：Rt△ABC，∠C＝90°．（1）点E在BC边上，且△ACE的周长为AC+BC，以线段AE上一点O为圆心的⊙O恰与AB、BC边都相切．请用无刻度的直尺和圆规确定点E、O的位置；（2）若BC＝8，AC＝4，求⊙O的半径．参考答案一．选择题1．解：∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴当圆的半径等于BC＝4时，以B为圆心作圆与AC相切，故选：C．2．解：连接OC，如图，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，而∠POC＝∠A+∠OCA，∴∠A＝×62°＝31°．故选：B．3．解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．故选：A．4．解：圆锥的底面周长为2π×4＝8πcm，即为展开图扇形的弧长，由弧长公式得＝8π，解得，R＝12，即圆锥的母线长为12cm．故选：B．5．解：A、直径是最长的弦，说法正确；B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；D、长度相等的弧是等弧，说法错误；故选：D．6．解：∵分针经过60分钟，转过360°，∴经过45分钟转过270°，则分针的针尖转过的弧长是l＝＝＝15π（cm）．故选：B．7．解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点．故选：A．8．解：∵⊙O的半径为2，点P到O的距离为2，∴点P在⊙O上，∴过点P可作⊙O的一条切线．故选：B．9．解：如图，由题意知，∠AEC＝90°，∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中E′点），∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，CM＝2，则BM＝＝＝，∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，当BE最长时，即E与C重合，∵BC＝3，且点E与点C不重合，∴BE＜3，综上，﹣2≤BE＜3，故选：B．10．解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°，∵点O′的坐标是（4，4），∴O ′M ＝4，OM ＝4，∵AO ＝8， ∴AM ＝8﹣4＝4，∴tan ∠O ′AM ＝＝，∴∠O ′AM ＝60°，即旋转角为60°，∴∠CAC ′＝∠OAO ′＝60°，∵把△OAC 绕点A 按顺时针方向旋转到△O ′AC ′，∴S △OAC ＝S △O ′AC ′， ∴阴影部分的面积S ＝S 扇形OAO ′+S △O ′AC ′﹣S △OAC ﹣S 扇形CAC ′＝S 扇形OAO ′﹣S 扇形CAC ′＝﹣＝8π，故选：A ．二．填空题11．解：∵弦AB 把圆周分成1：9两部分，∴弦AB 所对圆心角的度数＝×360°＝36°．故答案为36°．12．解：由圆周角定理得，2∠BAD＝∠BOD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD，∴180°﹣∠BAD＝2∠BAD，解得，∠BAD＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD＝120°，∴的长＝＝π，故答案为：π．13．解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝1，即该圆锥底面圆的半径为1．故答案为：1．14．解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10+10＝20；∴C△PDE∴△PDE的周长为20；故答案为：20．15．解：∵∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径，即AC＝4m，∴AB＝AC＝2m；∴S阴影＝S圆﹣S扇形＝π×22﹣＝2π；故答案为2π．三．解答题16．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；（2）在Rt△ADB中，BD＝AD＝×＝3．17．解：连接OB，OC，∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC＝4，∴⊙O的直径＝8．18．解：设底面圆的半径为r，根据题意得：2πr＝，解得：r＝1，所以该圆锥的底面圆的半径为1．19．解：底面直径为10，则底面周长＝10π，底面面积＝25π；由勾股定理得，母线长＝13，圆锥的侧面面积S侧＝×10π×13＝65π，∴它的表面积S＝25π+65π＝90π，20．（1）如图，作∠ABC的平分线BO，作线段AB的垂直平分线EG，交BC于E，连接AE交BO于O，则点E、O即为所求作点；（2）解：设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△ACE中，42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，在Rt△ABC中，AB＝＝＝4，设⊙O的半径为r，∵S△ABE ＝S△AOB+S△BOE∴×5×4＝×4r+×5r ∴r＝，即⊙O的半径为．。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解4--- 圆的方程+直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解04 圆的方程+直线与圆、圆与圆的位置关系一、典例精析拓思维（名师点拨） 知识点1 圆与方程知识点2 直线与圆的位置关系 知识点3 圆的切线知识点4 圆与圆的位置关系 二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 圆与方程例1．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆C 经过点()20M -，，()02N ，两点，且圆心在直线0x y -=上．求圆C 的方程； 【答案】224x y +=根据题意，点()20M -，，()02N ，，则线段MN 的中垂线方程为0x y +=， 圆心为直线0x y -=和0x y +=的交点，则有00x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得0x y ==，所以圆C 的圆心坐标为()00，；半径2r ==， 所以圆C 的方程为224x y +=.练习1-1．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆D 经过点()1,0A -，()3,0B ，()1,2C ．求圆D 的标准方程； 【答案】()2214x y -+=设圆D 的标准方程()()222x a y b r -+-=， 由题意可得()()()()()()222222222103012a b r a b r a b r ⎧--+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆D 的标准方程为()2214x y -+=. 名师点评：圆的方程两种形式：(1)标准式：222()()(0)x a y b r r -+-=>，圆心为(,)a b ，半径为r .(2)一般式：220x y Dx Ey F ++++=（其中2240D E F +->）,圆心为(,)22D E--,半径r =.本例中采用两种方法即几何法和代数法.(1)代数法是利用圆的一般方程,根据条件列出关于D ,E ,F 的方程组,然后解出D ,E ,F .所以设圆的方程为一般式,代入坐标即可求解,如本例练习1-1.(2)几何法是利用圆的标准方程,结合圆的性质,找出圆心和半径,然后得到圆的标准方程.常用的性质是圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，如本例1.例2．（2021·江苏·高二专题练习）已知两个定点()()0401A B ，，，，动点P 满足2.PA PB =设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-．求曲线E 的轨迹方程；【答案】224x y += 设点P 的坐标为()x y ，，由2PA PB =整理可得224x y +=，所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=；练习2-1．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知圆O ：224x y +=，点A 是圆上一动点，点(4,0)B ，点C 是线段AB 的中点. （1）求点C 的轨迹方程；（2）求点C 到直线290x y --=的距离的最小值. 【答案】()2221x y -+=设点()00,A x y ，∵点C （x ，y ）是AB 的中点， 00422x x y y +⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，即00242x x y y =-⎧⎨=⎩，又2222004,(24)(2)4x y x y +=∴-+=，即()2221x y -+=，∴点C 的轨迹方程为()2221x y -+=练习2-2．（2021·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（理））已知动点P 到定点()2,0A -的距离与它到定点()2,0BP 的轨迹E 的方程； 【答案】()22412x y -+=设(),P x y ，由题意得=化简得：()22412x y -+=.名师点评：轨迹方程常用求解方法： （1）定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
人教版高一数学必修二第四章圆与方程(单元测试,含答案).doc
与方程姓名：班级:一、选择题(共8小题；共40分)1Mx2 +尸一4x + 6y = 0的圆心坐标是()A (2,3)B (-2,3) C(-2,-3) D(2,-3)2OO的百径是3,百线1与OO相交，圆心0到百线1的距离是d,贝M应满足()Ad > 3 B 15 < d < 3 C 0 < d < 15 Dd < 0 3圆(x — 2)2 + (y- l)2 = 4与圆(x + l)2 + (y- 2)2 = 9的公切线有()条A1 B 2 C3 D4 4从原点向圆x2 + y2 一12y + 27 = 0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A nB 2nC 4TTD 6TT5过点(1,1)的直线与圆(x - 2)2 + (y - 3)2 = 9相交于A, B两点，贝lj| AB |的最小值为() A2V3 B4 C2V5 D5 6已知圆C的半径为2, |员|心在x轴的正半轴上，直线3x + 4y + 4 = 0与圆C相切，贝I」圆C的方程为()Ax2 4-y2 - 2x - 3 = 0 B x2 4- y2 + 4x = 0Cx2 +y2 + 2x - 3 = 0 D x2 + y2 - 4x = 07耍在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范閘都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是()A6 B 5 C4 D38 已知圆:C1:(x-2)2 + (y-3)3 = 1,圆：C2:(x-3)2 + (y-4)2 = 9, M、N分别是圆C〔、C?上的动点，P为x轴上的动点,贝OIPMI + IPNI的最小值为()A5V2-4 B V17- 1 C6-2V2 D V17二、填空题(共7小题；共35分)9过点A(3,—4)与闘x2 +y2 = 25相切的直线方程是_______ .10如果单位圆X? +y2 = 1与圆C: (x — a)2 + (y - a)2 = 4相交，则实数a的取值范围为 ________ 11在空间直角坐标系,已知点A(l,0,2), B(l,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则点M的坐标是 _____ ・12已知圆C: (x-2)2+y2 = l.若直线y二k(x+l)上存在点P,使得过P向圆C所作的州条切线所成的角为夕则实数k的取值范闌为 _______ .13如图，以棱长为a的止方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间百角坐标系，若点P为对角线AB的点，点Q在棱CD上运动，则PQ的最小值为 .14在圆C:(x-2)2 + (y-2)2 = 8内,过点P(l,0)的最长的弦为AB,最短的弦为DE,贝9以边形ADBE的面积为____ •15据气象台预报：在A城正东方300km的海而B处有一台风心，正以每小时40km的速度向術北方向移动，在距台风心250km以内的地区将受其影响.从现在起经过约__________ h,台风将影响A城, 持续时间约为_______ h.(结果精确到Olh)三、解答题(共5小题；共65分)16若关于x, y的方程X? + y? - 4x + 4y + m = 0表示圆C.(1)求实数m的取值范围；(2)若圆C与圆M:x2 4-y2 = 2相离，求m的取值范囤.17已知圆C:x? + y? + 4x + 4y + m = 0,直线l:x + y 4- 2 = 0.(1)若I员IC与直线1相离，求m的取值范围；(2)若I员1D过点P(l,l), H.与恻C关丁•直线1对称，求I処D的方程.18如图，在平面直角坐标系xOy,点A(0,3),直线l:y = 2x-4.设圆C的半径为1,圆心在1上.(1)若圆心C也在直线y = x-l上，过点A作圆C的切线，求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA = 2M0,求圆心C的横坐标a的取值范|节|・19已知直线啲方程为2x+(l + m)y+2m = 0, m€R，点P的坐标为(-1,0).(1)求证：直线1恒过定点，并求出定点坐标；(2)求点P到直线1的距离的最大值；(3)设点P在直线1上的射影为点M, N的坐标为(2,1),求线段MN长的取值范闱.20 在平面直角坐标系xOy,已知圆Ci： (x + 3)2 + (y - I)2 = 4和圆C?： (x 一4)2 + (y — 5)2 = 4.(1)若直线1过点A(4,0), £L被圆C］截得的弦长为2孙，求直线啲方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂肖的肖线h和12,它们分别与圆C1 和圆C2相交，且直线h被圆C］截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点p的坐标.答案第一部分I D 2 C 3 B 4 B 5 B 6 D 7 C 8 A第二部分9 3x-4y = 2510 -—< a < H J C —< a < —」 2 22 2 II (0,-1,0) 12 ［一普，晋］13 yal4 4V615 20； 66第三部分 16 (1) |w|C 化简为(x- 2)2 4-(y + 2)2 = 8-m,所以8 — m > 0,即m V 8.(2)圆C 的圆心为(2,-2),半径为V8^ (m<8),圆M 的圆心为(0,0),半径为返,由题意，得圆心距大于两圆的半径和，则“22 + 22 + 解得6<m<8.17 (1)圆Ux?+y2+4x + 4y + m = 0即(x 4- 2)2 + (y + 2)2 = 8 - m.圆心C(-2,—2)到直线啲距离d =三|旦=V2,若圆C 与直线1相离，则d > r,所以 * = 8 — m < 2即 m > 6乂严=8 - m > 0即m V 8.故m 的取值范围是(6,8).(2)设圆D 的圆心D 的坐标为(xo ，y ())，由于圆C 的圆心C(_2,_2), 依题意知点D 和点C 关于直线1对称，解牡:0 所以圆D 的方程为x 2+y 2 = r 2,而r=|DP |=V2,因此，圆D 的方程为x 2+y 2 = 2.18 (1)由题设，I 员I 心C 是直线y = 2x- 4和y = x- 1的交点, 解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C 的切线方稈为y = kx + 3由题意，得解得：k=0或—孑 4故所求切线方程为{Xo-2 Yo+2Xo+2 + 竽+2 = 0x (-1) = -1I 3k + 1 |Vk 2 + 1y = 3 或3x + 4y — 12 = 0(2)因为圆心在直线y = 2x —4上，所以圆C的方程为(x — a)2 3 + ［y — 2 (a — 2)］2 = 1 设点M(x,y),因为MA = 2M0,所以Jx2 + (y — 3)2 = 2jx2 +y2, 化简得x? + y2 + 2y — 3 = 0,即x2 + (y + l)2 = 4, 所以点M在以D(0,-l)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x,y)在圆C上，所以圆(：与圆D有公共点，贝I」12-11 < CD <2 + 1, 即l<Va2 + (2a-3)2<3 整理，得—8 S 5a2— 12a S 0由5a2-12a + 8>0,得a G R;S5a2 - 12a < 0,得12所以点C的横坐标a的取值范闌为［0,y .19(1)由2x + (l + m)y+2m = 0得2x + y + m(y + 2) = 0,所以直线1恒过直线2x + y= 0与直线y + 2 = 0交点Q.解方程组炸暮律得Q(l，-2)，所以直线1恒过定点，且定点为Q(l,-2).2 设点P在直线1上的射影为点M,贝IJIPMI < |PQ|,当且仅当直线1与PQ垂直时,等号成立, 所以点P到直线1的距离的最大值即为线段PQ的长度为2逅.3因为直线1绕着点Q(l,-2)旋转，所以点M在以线段PQ为直径的I员1上，其I员I心为点C(O.-l)，半径为说，因为N的坐标为(2,1),所以|CN| = 2V2,从而V2 < |MN| < 3V2.20(1)由于直线x = 4与圆C］不相交，所以直线1的斜率存在.设直线1的方程为y = k(x - 4),圆C］的I员I心到直线1的距离为d, 乂因为直线1被I员©截得的弦长为2箱，所以|l-k(-3-4)| d = ------- , ----Vl + k 2 y = 0 或 7x + 24y - 28 = 0 (2)设点P(a,b)满足条件，不妨设直线h 的方程为y — b = k(x — a), k H 0, 则直线】2的方程为山点到直线的距离公式得 d = J22 - (V3)2 = 1从而即所以直线1的方程k(24k + 7) = 0, 7 241因为圆Ci和C2的半径相等，及宜线I】被圆C］截得的弦长与直线-被【员丄2截得的弦长相等，所以I 员IC］的|员］心到直线1］的距离和圆C2的國心到直线】2的距离相等,即|1 一k(-3 - a) - b| |5 + £ (4 — a) — b|整理得|1 + 3k + ak — bl = |5k + 4 — a — bk|,从而1 + 3k + ak — b = 5k + 4 — a - bk,(a + b — 2)k — b — a + 3, 因为k的取值有无穷多个，所以(a + b — 2 = 0,戒(a — b + 8 = 0, (b - a + 3 = 0 严ia + b-5 = 0 解得这样点P只可能是点P］ (I，-扌)或点卩2 (-!，¥)• 经检验点P］和P2满足题口条件.。
中职数学基础模块下册第八章直线和圆的方程单元测试卷含参考答案
中职数学基础模块下册第八章直线和圆的方程单元测试卷含参考答案一、选择题：（每题3分，共30分）1.已知点M(2，-3)、N(-4，5)，则线段MN 的中点坐标是（ ）A ．（3,-4)B ．（-3,4)C ．(1,-1) D.（－1,1)2.直线过点A( -1，3)、B(2，-2)，则直线的斜率为( )A ．－53B ．－35C ． -1 D. 13.下列点在直线2x-3y-6=0上的是( )A.(2，-1)B. (0,2)C. (3,0)D.(6,-2)4．已知点A(2，5)，B(-1，1)，则|AB |＝( )A ．5B ．4 C. 3 D ．175．直线x+y+1＝0的倾斜角为( )A. 45º B ，90º C ．135º D ．180º6.直线2x+3y+6=0在y 轴上的截距为( )．A ．3B ．2C ．-3D ．-27．经过点P(-2，3)，倾斜角为45º的直线方程为( )A. x+y+5=0B.x-y+5=0C ．x-y-5=0 D. x+y-5=08.如果两条不重合直线1l 、2l 的斜率都不存在，那么( )A ．1l 与2l 重合B ．1l 与2l 相交C ．1l //2l D.无法判定9.已知直线y= -2x-5与直线y=ax-4垂直，则a ＝( )A ．-2B ． -21C ．2D ．2110.下列直线与3x-2y+5=0垂直的是( )；A ． 2x-3y-4=0B ．2x+3y-4=0 C.3x+2y-7=0 D ．6x-4y+8=011．直线2x-y+4=0与直线x-y+5＝0的交点坐标为( )．A ．(1，6)B ．(-1，6)C ．(2，-3)D ．(2，3)12.点(5，7)到直线4x-3y-1=0的距离等于( )A ．52B ．252C ．58 D ．8 13.已知圆的一般方程为0422=-+y y x ，则圆心坐标与半径分别是( )A. (0，2)， r=2 B ．(0，2)， r=4C ．(0,-2), r=2D ．(0，-2)， r=414．直线x+y=2与圆222=+y x 的位置关系是( )A.相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定15.点A(l ，3)，B （-5，1），则以线段AB 为直径的圆的标准方程是( )A ．10)2()2(22=-++y xB ．10)2()2(22=-++y xC. 10)3()1(22=-+-y x D ．10)3()1(22=-+-y x16.若点P(2，m)到直线3x-4y+2=0的距离为4，则m 的值为( )A. m=-3 B ． m=7 C ． m=-3或m=7 D ． m=3或m=7二、填空题17.平行于x 轴的直线的倾斜角为 ；18.平行于y 轴的直线的倾斜角为 ；19.倾斜角为60º的直线的斜率为 ;20.若点(2，-3)在直线mx-y+5 =0上，则m= ；21.过点(5，2)，斜率为3的直线方程为：22.在y 轴上的截距为5，且斜率为4的直线方程为：23.将y-4=31（x —6）化为直线的一般式方程为：24.过点(-1，2)且平行于x 轴的直线方程为25.过点(O ，-3)且平行于直线2x+3y-4=0的直线方程是26.两条平行直线3x+4y-2=0和3x+4y+3=0的距离是27.已知直线1l ：mx+2y-1=0与直线2l ：x-y-l=0互相垂直，则m= ；28.圆心在点(0，2)且与直线x-2y+9 =0相切的圆的方程为29.圆086422=++-+y x y x 的圆心坐标为 ，半径为 。
九年级数学圆单元测试卷一含答案解析
圆单元测试卷一一、选择题：（每题3分，共30分）1．如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA=5cm，下面四个结论中可能成立的是（）A．AB=12cm B．OC=6cm C．MN=8cm D．O C=2.5cm2．如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，MN分别为弧AB和弧AC的中点，OM、ON分别交AB、AC于点E、F，则∠MON的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．100°3．如图，△ABC内接于圆O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB等于（）A．70°B．10°C．90°D．120°4．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为（）A．3cm B．6cm C．cm D．9cm5．A，B，C是平面内的三点，AB=3，BC=3，AC=6，下列说法正确的是（）A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆上B．可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外C．可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外D．可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内6．两圆的半径分别是R和r（R＞r），圆心距为d，若关于x的方程x2﹣2rx+（R﹣d）2=0有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（）A．一定内切B．一定外切C．相交D．内切或外切7．三角形的外心是（）A．三条中线的交点B．三条边的中垂线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点8．如图，==，AD为⊙O的弦，∠BAD=50°，则∠AED等于（）A．50°B．60°C．70°D．75°9．如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头所示方向无滑动滚动到扇形O′A′B′位置时，点O到O′所经过的路径的长为（A．πB．πC．5πD．2π10．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．D．∠BAC=30°二、填空题：（每题4分，共24分）11．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是_________．12．如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则与弧长的大小关系是_________．13．如图，在⊙O中，∠BOC=50°，OC∥AB．则∠BDC的度数为_________度．14．如图所示，半圆0的圆心在梯形ABCD的下底AB上，梯形的三边AD，DC，CB均与半圆0相切，已知AD=a，BC=b，则AB的长为_________．15．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A到A1到A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A2时共走过的路径长为_________cm．（结果保留π）．16．如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E．已知BC=10，AD=4．那么直线CE与以点O为圆心，为半径的圆的位置关系是_________．三、解答题：（共94分）17．如图，⊙O上三点A、B、C把圆分成、和，三段弧的度数之比为3：1：2，连接AB、BC、CA，求证：△ABC是直角三角形．18．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F．求证：EC=DF．19．如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．20．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD、BC于F、G，延长BA交圆于E．求证：=．四、解答题：．21．如图，已知AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD，连接OC，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连接PA、PB，求证：PA=PB．22．如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B．求证：PB是⊙O的切线．23．如图，在正方形ABCD中，AB=4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙O2．（1）求⊙O1的半径；（2）求图中阴影部分的面积．24．已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB，OA、OB与⊙O分别交于点D、E．（I）如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长（结果保留根号）；（II）如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形，求的值．五、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O2经过⊙O1的圆心O1，两圆的连心线交⊙O1于点M，交AB于点N，连接BM，已知AB=2．（1）求证：BM是⊙O2的切线；（2）求的长．26．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．参考答案一、选择题：每小题只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内．1．D．2．C．3．B．4．A．5．B．6．D．7．B．8．D．9．B．10．D．二、填空题：请将答案直接填写在题后的横线上．11．3≤OP≤5．12．相等13．7514．a+b15．cm．16．相离．三、解答题：下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤．17．解答：证明：∵、、三段弧的度数之比为3：1：2．∴的度数为：×360°=180°∴的度数为：×360°=60°，∴的度数为：×360°=120°，∴∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°∴△ABC是直角三角形18．解答：证明：过点O作OM⊥CD于点M，∵OM⊥CD，∴CM=DM，∵AE⊥EF，OM⊥EF，BF⊥EF，∴AE∥OM∥BF，∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB，∴OM是梯形AEFB的中位线，∴EM=FM∴EM﹣CM=FM﹣DM，即EC=DF19．解答：证明：∵=，∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形∵∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA．20．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD、BC于F、G，延长BA交圆于E．求证：=．解答：证明：连接AG．∵A为圆心，∴AB=AG，∴∠ABG=∠AGB，（2分）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠AGB=∠DAG，∠EAD=∠ABG，（4分）∴∠DAG=∠EAD，（5分）∴=．（6分）四、解答题：下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤．21．如图，已知AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD，连接OC，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连接PA、PB，求证：PA=PB．解答：证明：∵OC=OP，∴∠1=∠2．∵CP平分∠OCD，∴∠2=∠3，∴∠3=∠1，∴CD∥OP，∵CD⊥AB，∴OP⊥AB．∴=，∴PA=PB．22．如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B．求证：PB是⊙O的切线．解答：证明：连接OA，OB；∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∵OA=OB，AB⊥OP，∴∠AOP=∠BOP．又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP（SAS）．∴∠OBP=∠OAP=90°．∴PB是⊙O的切线．23．如图，在正方形ABCD中，AB=4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙O2．（1）求⊙O1的半径；（2）求图中阴影部分的面积．解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD=4，∠A=90°，∴BD==4∴OO1=BD=∴⊙O1的半径=．（2）设线段AB与圆O1的另一个交点是E，连接01E∵BD为正方形ABCD的对角线∴∠ABO=45°∵O1E=O1B∴∠BEO1=∠EBO1=45°∴∠BO1E=90°∴S1=S扇形O1BE﹣S△O1BE==﹣1根据图形的对称性得：S1=S2=S3=S4∴S扇形=4S1=2π﹣4．24．已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB，OA、OB与⊙O分别交于点D、E．（I）如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长（结果保留根号）；（II）如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形，求的值．解答：解：（1）如图①，连接OC，则OC=4，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，∴在△OAB中，由AO=OB，AB=10，得AC=AB=5．在Rt△AOC中，由勾股定理得OA===；（2）如图②，连接OC，则OC=OD，∵四边形ODCE为菱形，∴OD=CD，∴△ODC为等边三角形，有∠AOC=60°．由（1）知，∠OCA=90°，∴∠A=30°，∴OC=OA，∴=．五、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O2经过⊙O1的圆心O1，两圆的连心线交⊙O1于点M，交AB于点N，连接BM，已知AB=2．（1）求证：BM是⊙O2的切线；（2）求的长．解答：（1）证明：连接O2B，∵MO2是⊙O1的直径，∴∠MBO2=90°，∴BM是⊙O2的切线；（2）解：∵O1B=O2B=O1O2，∴∠O1O2B=60°，∵AB=2，∴BN=，∴O2B=2，∴===．26．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．解答：（1）证明：连接OC∵OA=OC∴∠OCA=∠OAC∵AC平分∠PAE∴∠DAC=∠CAO∴∠DAC=∠OCA∴PB∥OC∵CD⊥PA∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC=FD，OF=CD．∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6﹣x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5﹣x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．即（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，化简得x2﹣11x+18=0，解得x1=2，x2=9．∵CD=6﹣x不能小于0，故x=9舍去，∴x=2，从而AD=2，AF=5﹣2=3，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6．。
新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(含答案解析)
一、选择题1．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,22．设点(1,2),(2,3)A B -，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,2]- B ．[2,3]-C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．(,3][2,)-∞-⋃+∞3．已知两点()1,2A -、()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦4．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．10米B ．米C ．米D ．6．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤D ．46m ≤≤7．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交11．直线:210l x my m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于A B 、两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2410x y +-= B ．2430x y -+= C ．2410x y ++= D ．2430x y ++=12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．已知三条直线的方程分别为0y=0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．14．已知点(4,0),(0,2)A B ，对于直线:0l x y m -+=的任意一点P ，都有22||||18PA PB +>，则实数m 的取值范围是__________.15．若实数x ，y 满足关系10x y ++=，则式子S =______．16．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.17．已知定点A 到动直线l ：()221420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，则定点A 的坐标为________．18．已知点A (0，2)，O (0，0)，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在点M ，使3MA MO ⋅=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________.19．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知ABC 的顶点(2,0),(0,4)A B ，其“欧拉线”的直线方程为20x y -+=，则ABC 的顶点C 的坐标__________.20．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知一圆经过点()3,1A ，()1,3B -，且它的圆心在直线320x y --=上. （1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点()3,0C ，求线段CD 的中点M 的轨迹方程. 22．在平面直角坐标系中，已知射线OA ：0(0)x y x -=≥，OB ：20(0)x y x +=≥．过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点A ，B ．（1）当AB 的中点在直线20x y -=上时，求直线AB 的方程； （2）当AOB 的面积取最小值时，求直线AB 的方程； （3）当||||PA PB ⋅取最小值时，求直线AB 的方程．23．已知直线l ：2830mx y m ---=和圆C ：22612200x y x y +-++=. （1）求圆C 的圆心、半径（2）求证：无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点；（3）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短？求出此时的弦长.24．（1）已知点(,)a b 在直线3210x y ++=上，则直线20ax by ++=必过定点M ，求定点M 的坐标.（2）已知直线1l 过（1）中的定点M ，且与直线2:4l y x =相交于第一象限内的点A ，与x 正半轴交于点B ，求使△OAB 面积最小时的直线1l 的方程.25．△ABC 中∠C 的平分线所在直线方程为y x =，且A （－1，52），B （4，0）.（1）求直线AB 的截距式．．．方程； （2）求△ABC 边AB 的高所在直线的一般式．．．方程.26．在①经过直线1:20l x y -=与直线2:210l x y +-=的交点.②圆心在直线20x y -=上.③被y 轴截得弦长AB =；从上面这三个条件中任选一个，补充下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由.问题：是否存在圆Q ，且点()2,1A --，()1,1B -均在圆上？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.2．D解析：D 【分析】求出线段AB 的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由21x -≤≤可求得a 的范围． 【详解】321213AB k -==---，∴AB 方程为12(1)3y x -=--，即370x y +-=，由10370ax y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得1013x a =-，（显然310a -≠），由102113a-≤≤-解得3a ≤-或2a ≥．【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：（1）求出直线AB 方程，由直线AB 方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；（2）求出直线过定点P ，再求出定点P 与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．3．C解析：C 【分析】作出图形，求出直线PA 、PB 的斜率，数形结合可得出直线l 的斜率的取值范围，进而可求得直线l 的倾斜角的取值范围. 【详解】 如下图所示：直线PA 的斜率为21110PA k -+==--，直线PB 的斜率为11120PB k +==-， 由图形可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-. 因此，直线l 的倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线PA 、PB 的斜率可得所要求的斜率的取值范围.4．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由22PA PM MA =-②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为1322PM =，写出圆的方程可判断④；两圆相减可得直线AB 方【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为22PM =， 故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.5．C解析：C 【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解. 【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =，当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及|AB |的值，可得以AB 为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =， 设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =， 以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由22(14)(04)5MC =-+-=， 即有25m -≤且25m +≥,即37m ≤≤， 又0,37m m >∴≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题．7．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．8．B解析：B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确；若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误．故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．C解析：C 【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.10．C解析：C 【分析】由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行.11．B解析：B 【分析】先求出直线经过定点1(,1)2P ，圆的圆心为()0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当CP l ⊥时弦AB 最短，根据1CP l k k ⋅=-求出m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】解：由题得，(21)(1)0x m y -+-=，21010x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l 过定点1(,1)2P ，圆22:(2)4C x y +-=的圆心为()0,2C ，半径为2，当CP l ⊥时，弦AB 最短，此时1CP l k k ⋅=-， 由题得212102CP k -==--，12l k ∴=， 所以212m -=，4m ∴=-， 所以直线l 的方程为：2430x y -+=.故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.12．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离 解析：(0,3)30,33)(3)- 【分析】先画出图形，求出3),(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】 如图所示，由题得3),(1,0),(1,0)A B C -,CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD ：3(1)3y x =+的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组03(1)3xy x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为3(0,)； ACB ∠的外角平分线CE ：3(1)y x =-+和ABC ∠的外角平分线BF ：3(1)y x =-的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3(1)y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩得交点为(0,3)-；ACB ∠的外角平分线CG ：3(1)y x =-+和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3)-；ABC ∠的外角平分线BH ：3(1)y x =-和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3).故答案为：(0,3)-、30,3、(2,3)、(2,3)-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.14．【分析】设根据条件可得即点P 在圆外故圆与直线相离根据直线与圆的位置关系可得答案【详解】设由可得即所以点P 在圆外又点P 在直线上所以圆与直线相离所以解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与 解析：(,12)(221,)-∞--⋃+∞【分析】设(),P x y ，根据条件可得()()22214x y -+->，即点P 在圆()()22214x y -+-=外，故圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，根据直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】设(),P x y ，由22||||18PA PB +>可得()()22224218x y x y -+++->，即()()22214x y -+-> 所以点P 在圆()()22214x y -+-=外，又点P 在直线:0l x y m -+=上 所以圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离所以2d r =>=，解得：1m >或1m <--故答案为：(,11,)-∞--⋃+∞ 【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求参数范围，解答本题的关键是根据条件得到点P 在圆()()22214x y -+-=外，即圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，属于中档题.15．【分析】化简看成是一个动点到一个定点的距离结合点到直线的距离公式即可求解【详解】由题意化简可得所以上式可看成是一个动点到一个定点的距离从而即为点与直线：上任意一点的距离由点到直线的距离公式可得所以的解析：2【分析】=，看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】=，所以上式可看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离， 从而S 即为点N 与直线l ：10x y ++=上任意一点(),M x y 的距离，由点到直线的距离公式，可得2d ==，所以S 的最小值为min 2S d ==故答案为：2. 【点睛】形如：22()()x a y b -+-的形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题，结合两点间的距离公式或点到直线的距离公式进行求解.16．【分析】先求得直线过定点分析可知当直线与CM 垂直时直线被圆截得的弦长最短进而利用斜率的关系即可求得m 的值【详解】直线的方程可化为所以直线会经过定点解得定点坐标为圆C 圆心坐标为当直线与CM 垂直时直线被解析：34-【分析】先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，进而利用斜率的关系即可求得m 的值． 【详解】直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-=所以直线l 会经过定点27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短211132CM k -==-- ，211l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解方程得34m =-【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．17．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1【解析】 【分析】设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令0,1,1m =-分析可得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离d =无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ． 当定点A 为()2,1时，22111m d m +===+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3 时，22131m d m -==+ ，显然d 的值随m 的变化而变化，不符题意，舍去．综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为2,1．故答案为：()2,1． 【点睛】本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．18．【解析】【分析】设利用可得的轨迹方程以为圆心2为半径的圆利用圆上存在点可得两圆相交或相切建立不等式即可求出实数的取值范围【详解】解：设因为A(02)O(00)所以因为所以化简得：所以点的轨迹是以为圆 解析：[0,3]【解析】 【分析】设(),M x y ，利用 3MA MO ⋅= ，可得M 的轨迹方程以()0,1 为圆心，2为半径的圆，利用圆C 上存在点M ，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：设(),M x y ，因为 A (0，2)，O (0，0)， 所以(,2)MA x y =-- ，(,)MO x y =-- . 因为3MA MO ⋅= ，所以()()()()23x x y y --+--= ，化简得：22(1)4x y +-= ，所以M 点的轨迹是以()0,1 为圆心，2为半径的圆. 因为M 在()()22:21C x a y a -+-+= 上， 所以两圆必须相交或相切.所以13≤≤ ，解得03a ≤≤.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为： [0,3]. 故答案为：[0,3]. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M 的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.19．【分析】设由题意结合重心的性质可得求得AB 的中垂线方程与欧拉线方程联立可得外心由外心的性质可得解方程即可得解【详解】设由重心坐标公式得的重心为代入欧拉线方程得整理得①因为AB 的中点为所以AB 的中垂线 解析：(4,0)-【分析】设(),C m n ，由题意结合重心的性质可得40m n -+=，求得AB 的中垂线方程，与欧拉=可得解. 【详解】设(),C m n ，由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①， 因为AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，所以AB 的中垂线的斜率为12，所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=， 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴ABC 的外心为()1,1-，=，联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==， 当0,4m n ==时，点B 、C 两点重合，舍去； ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-. 故答案为：()4,0-. 【点睛】本题考查了直线方程的求解与应用，考查了两点间距离公式的应用，关键是对题意的正确转化，属于中档题.20．【分析】根据AOB 是直角三角形解得圆心O 到直线ax ＋by ＝1距离即得ab 关系式再根据两点间距离公式代入消去根据二次函数性质以及的范围求最值【详解】因为是直角三角形且所以O 到直线ax ＋by ＝1距离为因1【分析】根据AOB 是直角三角形，解得圆心O ax ＋by ＝1距离，即得a ，b 关系式，再根据两点间距离公式，代入消去a ，根据二次函数性质以及b 的范围求最值 【详解】因为AOB 是直角三角形，且||||1AO OB ==,所以O ax ＋by ＝1，因此22222a b =+= 设点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离为d ，d ====因为22,b b ≤≤≤b =d 取最大值为1=+1 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．(1) 22(2)(4)10x y -+-=(2) ()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M 的坐标，利用中点得到点D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M 的轨迹方程. 【详解】（1）由已知可设圆心N （a ，3a -2），又由已知得|NA |=|NB |，=，解得：a =2．于是圆N 的圆心N （2，4），半径r ==所以，圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=,(2) 设M （x ，y ），D ()11,x y ，则由C （3，0）及M 为线段CD 的中点得：113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y=-⎧⎨=⎩又点D 在圆N ：22(2)(4)10x y -+-=上，所以有()()222322410x y --+-=，化简得：()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 故所求的轨迹方程为()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：与圆相关的点的轨迹问题，一般可以考虑转移法（相关点法），设动点的坐标，根据条件，用动点坐标表示圆上点的坐标，再根据圆上点的坐标满足圆的方程求解即可.22．（1）7470x y --=（2）440x y --=（3）3)10x y --= 【分析】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，根据AB 的中点在直线20x y -=上求出125x x =，利用斜率公式求出直线AB 的斜率，再由点斜式可求出直线AB 的方程； （2）设直线AB 的方程为1x my =+，求出,A B 的坐标，利用AOBAOPBOPSSS=+求出面积关于m 的解析式，再根据基本不等式求最值可得m 和直线AB 的方程；（3）利用（2）中,A B 的坐标求出||PA 、||PB ，得到||||PA PB 关于m 的函数关系式，再换元利用基本不等式求出||||PA PB 取最小值时的m ，从而可得直线AB 的方程. 【详解】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，则AB 的中点为12122(,)22x x x x +-， 因为AB 的中点在直线20x y -=上，所以121222022x x x x +--⨯=，即125x x =， 所以直线AB 的斜率12212227744x x x k x x x +===-， 所以直线AB 的方程为7(1)4y x =-，即7470x y --=. （2）设直线AB 的方程为1x my =+，联立10x my x y =+⎧⎨-=⎩，得11x y m ==-，所以11(,)11A m m --(1)m <， 联立120x my x y =+⎧⎨+=⎩，得121x m =+，221y m =-+1()2m >-，所以12(,)2121B m m -++， 所以AOB AOP BOP S S S =+112||()2121OP m m =+-+112221m m =+-+，因为220,210m m ->+>，所以112221m m +-+112221()22213m m m m -++=+⨯-+ 12122(11)32221m m m m +-=+++-+14(233≥+=， 当且仅当14m =时，等号成立， 所以AOB S的最小值为43，此时14m =，直线AB 的方程为114x y =+，即440x y --=.（3）由（2）知，||PA ==||PB =21m =+， 所以||||PA PB ⋅=222212121m m m m m +=-+-++222(1)2(1)3m m m +=-+++ 22321m m =+-++， 令53(,4)2m t +=∈，则2231(3)1m t m t +=+-+21106106t t t t t ==-++-≤=，当且仅当=t3m =时，231m m ++取得最大值，||||PA PB ⋅取得最小值，此时直线AB的方程为3)1x y =+，即3)10x y --=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．（1）圆心(3,6)C -，半径5R =（2）证明见解析（3）16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为【分析】（1）利用6,12,20D E F =-==可求得结果； （2）利用直线l 经过的定点在圆C 内可证结论成立；（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，根据弦长公式可知d 最大即CM l ⊥时，弦长最短，由此可求得结果. 【详解】（1）因为6,12,20D E F =-==所以6322D --=-=，12622E -=-=-，所以(3,6)C -，所以半径5R ===. （2）由2830mx y m ---=得(28)(3)0x m y --+=，由28030x y -=⎧⎨+=⎩得4,3x y ==-，所以直线l 经过定点M (4,3)-，5=<，所以定点M (4,3)-在圆C 内， 所以无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点.（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，则||AB =d 最大值时，弦长||AB 最小，因为||d CM ≤==，当且仅当CM l ⊥时，d ，||AB取最小值=111236343CMm k =-=-=--+-，所以16m =-.所以16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键是证明直线经过的定点在圆内，第（3）问的关键是推出CM l ⊥时，弦长最短.24．（1）(6,4)；（2）10x y +=.【分析】（1）点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所以213b a +=-，代入直线20ax by ++=得6(32)0x b y x -+-=可得答案；（2）讨论直线的斜率存在和不存在情况，分别求出三角形的面积比较，并求较小时直线的【详解】（1）因为点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所有3210a b ++=，即213b a +=-， 代入直线20ax by ++=得21203b x by +-++=，整理得6(32)0x b y x -+-=， 所以60320x y x -=⎧⎨-=⎩解得64x y =⎧⎨=⎩，定点(6,4)M . （2）设(,)A m n (0,0)m n >>，(,0)(0)B c c >，所以M 、A 、B 三点共线， 当1l 与x 轴垂直时，(4,24)A ，(4,0)B ，112444822OAB SOB AB =⨯⨯=⨯⨯=， 当1l 与x 轴不垂直时，所以AM BM k k =，即44066n m c --=--，644n m c n -=-， 因为在直线2:4l y x =上，所以4n m =，所以64541n m m c n m -==--， 因为0,0m c >>，所以501m c m =>-，所以1m ， 2115101101222111OAB A m m S y OB n m m m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯==-++ ⎪---⎝⎭()102240≥⨯+=，当且仅当111m m -=-即2m =时等号成立，此时48n m ==，所以(2,8)A ，因为48>40，所以△OAB 面积最小时直线1l 与x 轴不垂直，且1l 的斜率为84126AM k -==--，所以直线1l 的方程为8(2)y x -=--，即为100x y +-=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.25．（1）142x y +=；（2）280x y -+=. 【分析】（1）设出直线的截距式方程1x y a b+=，代入点的坐标，求解出参数的值，从而截距式方程可求；（2）先求解出A 关于直线y x =的对称点A '，然后根据A '在BC 上求解出C 点坐标，再根据高所在直线的斜率与AB 斜率的关系，从而可求解出AB 的高所在直线的一般式方程.（1）设AB 的方程为1x y a b +=，代入点()51,,4,02A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以1512401a b a b-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以AB 的截距式方程为：142x y +=； （2）设A 关于y x =的对称点为A '，所以5,12A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭且A '在直线BC 上， 又因为()4,0B ，所以()()01:04542A B l y x '---=--，即2833y x =-， 又因为C 在y x =上，也在2833y x =-上，所以2833y x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以88x y =-⎧⎨=-⎩，所以()8,8C --， 又因为5012142AB k -==---，设AB 的高所在直线的一般式方程为20x y m -+=，代入点()8,8C --，所以1680m -++=，所以8m =，所以AB 的高所在直线的一般式方程为280x y -+=.【点睛】思路点睛：点关于直线l 的对称点坐标的求解步骤（直线的斜率存在且不为零，已知点()11,A x y ，直线l 的斜率k ）：（1）设出对称点的坐标(),A a b '；（2）AA '的中点11,22x a y b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭必在l 上，由此得到第一个方程； （3）根据1AA k k '=-得到第二个方程；（4）两个方程联立可求解出(),A a b '.26．答案见解析【分析】由点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，可知圆心在直线AB ：1y =-的垂直平分线上，即12x =-，设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r ，若选①，求出直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知得圆心1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长AB =，可得半径及圆心，即可求出圆的方程.【详解】因为点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，所以圆心在直线AB 的垂直平分线上， 又直线AB 的方程为1y =-，直线AB 垂直平分线所在直线方程为：21122x -+==-，则可设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；设圆的半径为r ， 若选①，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上.由20210x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆过点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()222221211112552r b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1b =-，则294r =， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选②，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 由圆心在直线20x y -=上可得1202b ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭，则1b =-， 所以()2221911124r ⎛⎫=--+-+= ⎪⎝⎭， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选③，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 若圆被y轴截得弦长AB =，根据圆的性质可得，22219224AB r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()222191124r b ⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭，解得1b =-， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭；综上，存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ 【点睛】方法点睛：本题考查求圆的标准方程，常用的方法有：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；。
人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(含答案解析)
一、选择题1．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为（ ） A ．72B ．4C ．1D ．52．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关3．点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是（ ） A ．()()22211x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22421x y ++-=D ．()()22211x y ++-=4．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ） A ．4±B ．－4C ．4D ．2±5．已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（ ） A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-6．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于（ ） A ．8 B ．4C ．24D ．167．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（ ）A ．(0,B ．C ．)+∞D ．+∞[)8．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ）A B C D 10．已知点(1,1)A - 和圆221014700C x y x y +--+=: ，一束光线从点A 出发，经过x 轴反射到圆C 的最短路程是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．911．曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =-12．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值范围是（ ）A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎡⎢⎣⎦二、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______． 14．直线360x y +-=和圆()2215x y +-=的位置关系为______.15．已知圆C 过点（8，1），且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆C 的方程为________. 16．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是___________.17．直线()130m x my m ++++=被圆2225x y +=所截的弦长的最小值为________. 18．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆2240y x C x +-=：的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN的最小值是________.19．若直线y x b =+与曲线y =b 的范围______________.20．若实数,a b ∈R 且0b ≠，则()221a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最小值为_______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程. 22．已知直线l 经过直线10x y -+=与直线240x y +-=的交点，且()2,3M ，()4,5N -到l 的距离相等，求直线l 的方程.23．已知圆C 过A （1，5）、B （4，2）两点，且圆心在直线2y x =上，直线l 过点()3,2P --且与AB 平行．（1）求直线l 及圆C 的方程；（2）设点M 、N 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|MN |的取值范围． 24．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，且过点(2,1),(0,3)-- （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 25．已知直线:10l x y +-=与圆22:430C x y x +-+=相交于,A B 两点. （1）求||AB ；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求+1yx 的取值范围. 26．如图，已知ABC 的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC 外接圆的方程；（3）求过()2,0N -的ABC 外接圆的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b +的最小值. 【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．C解析：C 【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】 设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=， 即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个. 故选：C方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.3．A解析：A 【分析】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由此得解轨迹方程．【详解】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，112422x x y y =-⎧⎨=+⎩代入224x y +=得()()2224224x y -++=，化简得()()22211x y -++=．故选：A ． 4．B解析：B 【分析】由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案. 【详解】因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±. 当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去. 当4a =-时，符合题意. 所以4a =-. 故选：B 【点睛】易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题5．C【分析】根据勾股定理由切线长最小值求出||PC C 到直线l 的距离为l 的方程，根据点到直线的距离列式可解得结果.【详解】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC ==所以圆心C 到直线l ，所以直线必有斜率，设:(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --===22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C 【点睛】关键点点睛：根据勾股定理由切线长的最小值求出||PC 的最小值，也就是圆心C 到直线l 的距离是解题关键.6．A解析：A 【分析】根据题意，得到四边形PAOB 的面积22PAOS S PA ===只需求PO 最小值，进而可求出结果. 【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离，又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为12222PAO PBOPAOS SSSPA r PA =+==⨯⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d =所以四边形PAOB 的面积的最小值为8=. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据圆的切线的性质，将四边形的面积化为2PAOS =求面积最值问题，转化为定点到线上动点的最值问题，即可求解.7．D解析：D 【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：d ==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，则有r ≥=所以实数r 的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.8．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．9．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为15d ==圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为25d ==圆心到直线230x y -+=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y -+=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.10．C解析：C 【分析】先将圆221014700C x y x y +--+=:化为标准方程,求出圆心和半径,再找出圆心O 关于x 轴对称的点'O ,最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的距离再减去半径的距离. 【详解】解:由题可知，圆221014700C x y x y +--+=:,整理得()()222572C x y -+-=:,圆心()5,7O ,半径2r最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的距离再减去半径的距离，所以21028d ==-=.故选:C 【点睛】本题主要考查圆的方程和直线与圆的位置关系,考查两点间的距离公式,属于简单题.11．D解析：D 【分析】已知点(1,3)--在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程． 【详解】由已知得：曲线为34y x x =-;则：对其进行求导得243y x '=-；当1x =-时，243(1)1y '=-⨯-=∴ 曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程为：31(1)y x +=⨯+化简得：2y x =-； 故选：D.【点睛】本题主要考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】首先根据题中条件，可以判断出直线MN 与圆O 有公共点即可，从而可以断定圆心O 到直线MN 的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可， 即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ， 在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=， 故02sin 452OA OM ==1≤， 所以2OM ≤2012x +≤，解得011x -≤≤．故选：B. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.二、填空题13．【分析】由题意可知直线的斜率存在且不为零可设直线的方程为求出点的坐标结合已知条件可求得的取值范围并求出的面积关于的表达式利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值由此可求得直线的方程【详解】由题意 解析：480x y +-=【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，求出点A 、B 的坐标，结合已知条件可求得k 的取值范围，并求出AOB 的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求得AOB 面积的最小值及其对应的k 值 ，由此可求得直线l 的方程. 【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-. 在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=. 即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <， AOB 的面积为()1411111481688222AOBk S k k k k ⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=. 故答案为：480x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）将三角形的面积利用k 加以表示；（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.14．相交【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径根据圆心到直线的距离与半径的大小关系确定出直线与圆的位置关系【详解】解：圆的圆心坐标为半径则圆心到直线的距离直线与圆的位置关系是相交故答案为：相交【点睛】方法解析：相交 【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，确定出直线与圆的位置关系 【详解】解：圆()2215x y +-=的圆心坐标为(0,1)，半径r =则圆心到直线360x y +-=的距离d =< ∴直线360x y +-=与圆()2215x y +-=的位置关系是相交.故答案为：相交. 【点睛】方法点睛：判断直线与圆的位置关系，常用圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小比较：（1）若d r =，则直线与圆相切； （2）若d r <，则直线与圆相交； （3）若dr ，则直线与圆相离.15．【分析】设圆的方程为代入点求得或进而得到圆的方程【详解】由题意圆过点且与两坐标轴都相切设圆的方程为将点代入圆的方程可得整理得解得或当时圆的面积较小所以圆的方程为故答案为：【点睛】求解圆的方程的两种方 解析：()()225525x y -+-=【分析】设圆的方程为222()()(0)x a y a a a -+-=>，代入点(8,1)，求得5a =或13a =，进而得到圆的方程. 【详解】由题意，圆C 过点(8,1)，且与两坐标轴都相切， 设圆的方程为222()()(0)x a y a a a -+-=>， 将点(8,1)代入圆的方程，可得222(8)(1)a a a -+-=， 整理得218650a a -+=，解得5a =或13a =，当5a =时，圆C 的面积较小，所以圆的方程为()()225525x y -+-=. 故答案为：()()225525x y -+-=. 【点睛】求解圆的方程的两种方法：几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； 待定系数法：①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ③解出,,a b r 或,,D E F 的值，代入标准方程或一般方程.16．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以 解析：(3,7)【分析】将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ， 则两圆圆心距为 : ||5OA = ， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2，所以圆O 与圆A 相交，所以252,r r -<<+ 解得 :37.r << 所以的取值范围是：(3,7). 故答案为：(3,7). 【点睛】圆与圆位置关系问题的解题策略：（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.17．【分析】转化条件为直线过结合垂径定理可得当直线与直线垂直时弦长最小即可得解【详解】直线可变为由可得所以直线过定点又圆的圆心为半径所以点在圆内所以当直线与直线垂直时弦长最小此时弦长为故答案为：【点睛】解析：【分析】转化条件为直线过()3,2A -，结合垂径定理可得当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，即可得解.【详解】直线()130m x my m ++++=可变为()130x y m x ++++=，由1030x y x ++=⎧⎨+=⎩可得32x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()130m x my m ++++=过定点()3,2A -， 又圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ，所以213AO =，点()3,2A -在圆内，所以当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，此时弦长为==.故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是找到直线经过的定点，再利用几何法转化出弦长.18．【分析】根据题意得当的长度最小时取最小值进而根据几何关系求解即可【详解】如图由题可知圆C 的圆心为半径要使的长度最小即要最小则最小因为所以当最小时最小因为所以当最小时最小因为所以所以由于所以故答案为：【分析】根据题意得当||MN 的长度最小时，||PC 取最小值，进而根据几何关系求解即可. 【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r．要使||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，则MCP ∠最小． 因为||||tan 2PM PM MCP r ∠==， 所以当||PM 最小时，||MN 最小因为2||4PM PC =-∣， 所以当||PC 最小时，||MN 最小． 因为min ||3211PC ==+， 所以2cos 332MCP ∠==， 所以7sin 3MCP ∠=， 由于1in 2s 2MCP MN∠=所以min 47||MN =． 47. 【点睛】本题解题的关键是根据已知当||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，进而得当||PC 最小时，||MN 最小．由于||PC 的最小值为C 点到直线40x y -+=，故min ||32PC =.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.19．或【分析】由曲线变形为画出的图象当直线经过时直线与曲线有两个公共点求出此时的以及直线过时的值再求出当直线与曲线相切时的的值数形结合即可得b 的范围【详解】由曲线变形为画出的图象①当直线经过时直线与曲线解析：22b -≤<或22b = 【分析】 由曲线24y x =-变形为()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图 象，当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，求出此时的b ，以及直线y x b =+过(2,0)C 时b 的值，再求出当直线与曲线相切时的b 的值，数形结合即可得b 的范围. 【详解】 由曲线24y x =-变形为()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图象，①当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，此时2b =， 当直线y x b =+过(2,0)C 时02b =+，得2b =-， 所以若直线与曲线有1个公共点，则22b -≤<. ②当直线与曲线相切时，联立224y x bx y =+⎧⎨+=⎩ ，化为222240x bx b ++-=， 令2248(4)0b b ∆=--=，解得：22b =，或22b =-（舍去）， 综上所述b 的范围: 22b -≤<或22b =. 故答案为：22b -≤<或22b =.【点睛】本题主要考查了直线与圆相交相切问题、采用数形结合思想，属于中档题.20．2【分析】根据两点间的距离公式的几何意义可知表示点到点的距离点在直线上点在曲线上通过平移法设曲线的切线方程联立切线方程和曲线方程通过求出可求出切线方程最后利用两平行线间的距离公式求出两平行直线与的距【分析】(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离，点(),a a 在直线y x =上，点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线1y x =-上，通过平移法，设曲线1y x=-的切线方程y x m =+，联立切线方程和曲线方程，通过0∆=求出m ，可求出切线方程，最后利用两平行线间的距离公式，求出两平行直线0x y -=与20x y -+=的距. 【详解】表示点(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离， 而点(),a a 在直线y x =上，点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线1y x=-上， 将直线y x =平移到与曲线1y x=-相切，设切线为y x m =+，切线方程和曲线方程联立，即1y x my x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得210x mx ++=，则240m ∆=-=，解得：2m =±，当2m =时，切线方程为：2y x =+，即20x y -+=， 所以两平行直线0x y -=与20x y -+=的距离为：d ==，所以()221a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用两点间距离的几何意义求最值，考查两点间的距离公式以及两平行线间的距离公式的应用，还涉及两平行线的斜率关系和一元二次方程根的判别式，考查转化思想和三、解答题21．（1）()()224225x y -++=；（2）2200x y --=. 【分析】（1）联立线段AB 的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，由CD =2OA 可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l 的方程． 【详解】（1）由题意可解得线段AB 的垂直平分线所在的方程为：y +2=34(x －4)，即354y x =-，因为圆心在直线x ＋y －2＝0上，且圆M 过点A （1，2），B （7，－6），则圆心为直线354y x =-与直线x ＋y －2＝0的交点，联立20354x y y x +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，即圆心M 为（4，－2），半径为MA5=，所以圆M 的标准方程为()()224225x y -++=.（2）由直线l 平行于OA ，可设直线l 的方程为：20y x m m =+≠，，则圆心M 到直线l的距离为d ==CD =2OA =2525d +=，所以d ==，则解得m =－20或m =0（舍去），则直线l 的方程为2200x y --=. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长CD ，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题． 22．3270x y +-=或460x y +-=. 【分析】根据题意求出交点坐标，由M ，N 到l 的距离相等，可判断直线有两种情况：①直线l 经过线段MN 的中点；②直线//l MN ，分别求解两种情况下的直线方程即可. 【详解】 联立10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线10x y -+=与直线240x y +-=的交点为()1,2P ，由M ，N 到l 的距离相等，知直线l 经过线段MN 的中点，或者直线//l MN ，线段MN 的中点为()3,1Q -，35424MN k +==--， ∴过点P ，Q 的直线l 的方程为3270x y +-=，∴过点P 与直线MN 平行的直线l 的方程为460x y +-=， 综上，直线l 的方程为3270x y +-=或460x y +-=. 【点睛】本题考查直线方程的求法，考查两直线交点等基础知识，两个点到直线的距离相等，可以分为两种情况：①直线l 经过线段MN 的中点；②直线//l MN ；当MN 的中点()3,1Q -在直线l 上时，计算出斜率PQ k ，利用点斜式即可得出直线l 的方程；当//MN l时，计算出斜率MN k ，再根据斜率相等，利用点斜式即可得出直线l 的方程.23．（1）x +y +5=0，(x -1)2+(y -2)2=9；（2）)3,⎡+∞⎣. 【分析】（1）求出AB 的斜率，利用点斜式可得直线l 的方程，求出AB 的中垂线的方程，结合圆心在直线2y x =上可得圆心坐标，求出半径后可得所求的圆的方程. （2）求出圆心到直线l 的距离后可得|MN |的取值范围． 【详解】（1）∵1AB k =-， 直线l:y +2=-(x +3)，即l:x +y +5=0，AB 的中点为57,22⎛⎫⎪⎝⎭，故AB 的中垂线方程为57122y x x =-+=+，由21y x y x =⎧⎨=+⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，∴圆心C (1，2)，半径3r CA ===， ∴圆C 的方程为：(x -1)2+(y -2)2=9.(2) ∵圆心C 到直线l 的距离为3d ==>，∴直线l 与圆C 相离,∴|MN |的最小值为3-，无最大值，∴|MN |的取值范围为)3,⎡+∞⎣. 【点睛】 方法点睛：（1）求圆的方程，关键是确定圆心坐标和圆的半径，前者的确定需要利用一些几何性质，如果圆心在弦的中垂线上，也在过切点且垂直于切线的直线上.（2）直线与圆的位置关系中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离问题. 24．（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）0x =或34y x =-.【分析】（1）根据题意设圆心坐标为(,2)a a -，进而得222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r ⎧-+-+=⎨-+-+=⎩，解得1,a r ==，故圆的方程为22(1)(2)2x y -++=（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）圆C 的圆心在直线2y x =-上，设所求圆心坐标为(,2)a a - ∵ 过点(2,1),(0,3)--，222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r ⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩解得1,a r ==∴ 所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++= （2）直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =， 此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，由于直线l 被圆C 截得的弦长为2，故圆心到直线l 的距离为1d = 故由点到直线的距离公式得：1d ==解得34k =-，所以直线l 的方程为34y x =- 综上所述，则直线l 的方程为0x =或34y x =- 【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线l 的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.25．（1；（2）⎡⎢⎣⎦. 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，由||AB =.（2）利用+1yx 表示圆上的点与原点构成直线的斜率即可求解. 【详解】（1）()222243021x y x x y +-+=⇒-+=，所以圆心为()2,0，半径1r =，则圆心到直线:10l x y +-=的距离：2d ==，所以||AB ===（2）+1yx 表示圆上的点(),x y 与()1,0-构成直线的斜率，当直线与圆相切时取得最值，设(1),1+1yk y k x x ==-=，，可得2291k k =+，218k =，k =±+1y x的取值范围为44⎡-⎢⎣⎦.【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用几何法求弦长以及利用两点求斜率的计算公式得到+1yx 的取值范围26．（1）320x y ++=；（2）22(2)8x y -+=；（3）20x y -+=或20x y ++=. 【分析】（1）求出直线AC 的斜率后可得直线AC 的方程.（2）求出点A 的坐标，结合圆心坐标可求圆的半径，从而可得圆的方程. （3）利用点到直线的距离为半径可求切线的斜率，从而可得所求的切线的方程. 【详解】 （1）0AT AB ⋅=，AT AB ∴⊥，又T 在AC 上，AC AB ∴⊥，ABC ∴为Rt ABC ∆，又AB 边所在直线的方程为360x y --=，∴直线AC 的斜率为3-， 又点()1,1T -在直线AC 上，AC ∴边所在直线的方程为13(1)y x -=-+，即320x y ++=.（2）AC 与AB 的交点为A ，∴由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-，BM MC =，()2,0M ∴为Rt ABC 斜边上的中点，即为Rt ABC 外接圆的圆心，又||r AM === 从而ABC 外接圆的方程为22(2)8x y -+=. （3）设切线方程为(2)y k x =+=，解得1k =或1-.所以切线方程为20x y -+=或20x y ++=.【点睛】思路点睛：（1）确定直线的方程往往需要两个独立的条件，比如直线所过的两个不同点，或直线所过的一个点和直线的斜率；（2）确定圆的方程，关键是圆心坐标和半径的确定；（2）直线与圆的位置关系，往往通过圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.。
新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．下列命题中，正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率k 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃+∞ D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 2．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,23．如图一所示，在平面内，点P 为圆O 的直径AB 的延长线上一点，2AB BP ==，过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，则QAP 的面积的最大值为（ ）A ．83B 83C ．163D 1634．若过直线3420x y +-=上一点M 向圆C ：()()22234x y +++=作一条切线切于点T ，则MT 的最小值为（ ）A 10B ．4C ．22D ．235．已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（ ） A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-6．已知圆1C ：224470x y x y ++-+=与圆2C ：()()222516x y -+-=的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切7．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=8．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ） A ．32B ．32-C ．32±D ．12±9．已知圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,32⎡-⎣ B ．(2,32⎡-⎣C ．2,32⎡⎡-⎣⎣D ．((2,32-10．点(2,3)P 到直线：(1)30ax a y +-+=的距离d 最大时，d 与a 的值依次为( )A ．3，－3B ．5，2C ．5，1D ．7，111．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(4,3)A -处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．512．圆心为1,32C ⎛⎫-⎪⎝⎭的圆与直线:230l x y +-=交于P ､Q 两点，O 为坐标原点，且满足0OP OQ ⋅=，则圆C 的方程为（ ） A ．2215()(3)22x y -+-= B ．2215()(3)22x y -++= C ．22125()(3)24x y ++-=D ．22125()(3)24x y +++=二、填空题13．已知三条直线的方程分别为0y =0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．14．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线PA ，PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是______.15．经过点(2,1)M ，并且与圆2268240x y x y +--+=相切的直线方程是________． 16．已知圆C 的方程为2240x x y -+=，直线l ：330kx y k -+-=与圆C 交于A ，B 两点，则当ABC 面积最大时，直线l 的斜率k =______.17．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线一般式方程是___________18．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 19．过点(3,5)A 作圆2248800x y x y +---=的最短弦，则这条弦所在直线的方程是__. 20．以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0公共弦为直径的圆的方程为________．三、解答题21．圆224x y +=，点P 为直线:80l x y +-=上一动点，过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若点P 的坐标为()2,6，求直线PA 、PB 的方程； （2）求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出该定点Q 的坐标． 22．已知直线2:(24)30l a a x ay -+--=.（1）若直线l 过点(1,0)A ，试写出直线l 的一个方向向量； （2）若实数0a ≠，求直线的倾斜角α的取值范围.23．已知圆C 与x 轴相切于点()1,0，且圆心C 在直线3y x =上， （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线y x m =+交于不同两点A ，B ，若直角坐标系的原点O ，在以线段AB 为直径的圆上，求实数m 的值.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程. 25．已知动点P 到两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若过点()1,3B 的直线l 与曲线相切，求直线l 的方程；（3）已知圆Q 的圆心为(,)(0)Q t t t >，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围.26．已知圆C ：x 2+y 2+Dx +Ey -12＝0过点(P -，圆心C 在直线l ：x -2y -2＝0上. （1）求圆C 的一般方程.（2）若不过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且12OA OB ⋅=-，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系tan k α=对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率. 【详解】 倾斜角的范围为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，故A 错误；直线的倾斜角=2πα时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率tan k α=的范围为(,[1,)-∞⋃+∞，故C 正确；斜率tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故D 错误. 故选：C. 【点睛】关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意： （1）当直线倾斜角为=2πα时，直线的斜率不存在；（2）倾斜角的范围为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，直线斜率随着倾斜角增大而增大； （3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数tan k α=分析定义域与值域的关系.2．C解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.3．B解析：B 【分析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大值，由此能求出QAP 的面积的最大值. 【详解】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系， 因为2AB BP ==，所以()3,0P，设(),Q x y因为过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，()2224PQ QO OR =-所以()()2222341x y x y -+=+-，整理得：()221613x y ++=， 所以点Q 的轨迹是以()1,0-3所以当点Q 在直线1x =-上时，3y =此时点Q 到AP 距离最大，QAP 的面积的最大，所QAP 的面积最大为11834223333QAPS AP =⨯=⨯==， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是建立直角坐标系，设(),Q x y ，利用()222244PQ QR OQ OR ==-，即可求出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大值，即为三角形高最大，从而QAP 的面积最大.4．D解析：D 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得||MT =||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，由点到直线的距离分析||MC 的最小值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，圆22:(2)(3)4C x y +++=，其圆心为(2,3)--，半径2r m =，过点M 向圆C 作一条切线切于点T ，则||MT == 当||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，而||MC 的最小值为点C 到直线3420x y +-=的距离，则||4min MC ==，则||MT = 故选：D 【点睛】方法点睛：解析几何中的最值问题，常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.本题利用的是数形结合的方法求最值的.5．C解析：C 【分析】根据勾股定理由切线长最小值求出||PC C 到直线l 的距离为l 的方程，根据点到直线的距离列式可解得结果.【详解】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC ==所以圆心C 到直线l ，所以直线必有斜率，设:(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --===22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C 【点睛】关键点点睛：根据勾股定理由切线长的最小值求出||PC 的最小值，也就是圆心C 到直线l的距离是解题关键.6．B解析：B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，圆1C ：224470x y x y ++-+=，可得圆心坐标为1(2,2)C -，半径为11r =，圆2C ：()()222516x y -+-=，可得圆心坐标为1(2,5)C ，半径为14r =，又由125C C ==，且12145r r =+=+，即1212C C r r =+，所以圆12,C C 相外切. 故选：B. 【点睛】圆与圆的位置关系问题的解题策略：判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.7．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．8．A解析：A 【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =即可.【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r，故ABC的周长为4+24r AB +=+AB =又直线与圆相交后的弦心距d ==，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.9．D解析：D 【分析】先判断圆心到直线的距离()1,3d ∈，再利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆C ：224x y +=的圆心是()0,0C ，半径2r，而圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，所以圆心()0,0C 到直线l ：0x y m -+=的距离()1,3d ∈，即()1,3d ==，解得m -<<m <<.故选：D. 【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离问题和点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】将直线方程整理为()()30a x y y ++-=，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，由此可得当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时PQ 的长，并且此时点P 到直线的距离达到最大值，从而可得结果. 【详解】直线()130ax a y +-+=， 即()()30a x y y ++-=，∴直线()130ax a y +-+=是过直线0x y +=和30y -=交点的直线系方程，由030x y y +=⎧⎨-=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，∴当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时，点()2,3P 到直线()130ax a y +-+=的距离最大，d ∴的最大值为5PQ ==，此时//PQ x 轴，可得直线()130ax a y +-+=斜率不存在，即1a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.11．C解析：C 【分析】求出A 关于y 4x +=的对称点A ',根据题意，1A C '-为最短距离，求出即可. 【详解】设点A 关于4x y +=的对称点(,)A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ,根据题意，1A C '-为最短距离，∴AA '的中点为43,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，，直线'AA 的斜率为1, ∴434,22,31,4a b b a +-⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得：7,0a b ==,∴1716A C '-=-=，故选: C. 【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.12．C解析：C 【分析】根据题中所给的圆心坐标，设出圆的标准方程，根据题中所给的条件，求得2r 的值，得出结果. 【详解】 因为圆心为1,32C ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以设圆的方程为：2221()(3)2x y r ++-=， 将直线方程代入圆的方程，得到228552004y y r -+-=， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有21212174,45r y y y y +=⋅=-，因为0OP OQ ⋅=，所以12120x x y y +=， 所以1212(32)(32)0y y y y -⋅-+=，整理得121296()50y y y y -++=，即2179645()045r -⨯+⨯-=，求得2254r =， 所以圆C 的方程为：22125()(3)24x y ++-=， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关圆的方程的求解，涉及到的知识点有圆的标准方程，关于垂直条件的转化，属于简单题目.二、填空题13．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离解析：(0,30,(-【分析】先画出图形，求出(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】 如图所示，由题得(1,0),(1,0)A B C -,CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD ：3(1)3y x =+的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组03(1)3xy x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为3(0,)； ACB ∠的外角平分线CE ：3(1)y x =-+和ABC ∠的外角平分线BF ：3(1)y x =-的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3(1)y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩得交点为(0,3)-；ACB ∠的外角平分线CG ：3(1)y x =-+和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3)-；ABC ∠的外角平分线BH ：3(1)y x =-和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3).故答案为：(0,3)-、30,3、(2,3)、(2,3)-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.14．2【分析】根据切线的性质可将面积转化为求出的最小值即到直线的距离【详解】圆化为可得圆心为半径为1如图可得则当取得最小值时最小点是直线上一动点到直线的距离即为的最小值故答案为：2【点睛】关键点睛：本题解析：2【分析】根据切线的性质可将面积转化为21PACB S PC =-，求出PC 的最小值即()0,1C -到直线240x y -+=的距离. 【详解】圆22:20C x y y ++=化为()2211x y ++=，可得圆心为()0,1-，半径为1，如图，可得22221PA PC AC PC =-=-，212212PACB PACS SPA AC PA PC ==⨯⨯⨯==-则当PC 取得最小值时，PACB S 最小， 点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，()0,1C ∴-到直线240x y -+=的距离即为PC 的最小值，()min 222014521PC ⨯++∴==+-()min 512PACB S ∴=-=.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相切问题，解题的关键是利用切线性质将面积转化为21PACB S PC =-PC 的最小值即可.15．或【分析】求出圆心和半径判断斜率不存在的直线是否是切线斜率存在时设出直线方程由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程【详解】圆标准方程是圆心为半径为1易知直线与圆相切设斜率存在的切线方程为即由解解析：2x =或4350x y --= 【分析】求出圆心和半径，判断斜率不存在的直线是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程． 【详解】圆标准方程是22(3)(4)1x y -+-=，圆心为(3,4)，半径为1． 易知直线2x =与圆相切，设斜率存在的切线方程为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，1=，解得43k =，切线方程为481033x y --+=，即4350x y --=．故答案为：2x =或4350x y --=． 【点睛】本题考查求圆的切线方程，解题方法是由圆心到切线的距离等于半径求解．但解题时要注意过定点斜率不存在的直线是否是切线，否则由方程求不出此直线方程．如果所过的点在圆上，由可由过切点的半径与切线垂直得出切线斜率后得直线方程．16．1或【分析】由三角形面积公式求得面积最大时这样可求得圆心到直线的距离再由点到直线距离公式求得斜率【详解】圆的标准方程为直线可变形为则圆心为半径为2直线过定点由面积公式可得所以当即圆心到直线的距离为时解析：1或7- 【分析】由三角形面积公式求得ABC 面积最大时，2ACB π∠=，这样可求得圆心C 到直线BC的距离，再由点到直线距离公式求得斜率k ． 【详解】圆C 的标准方程为()2224x y -+=，直线l 可变形为()33y k x =-+，则圆心C 为()2,0，半径为2，直线l 过定点()3,3， 由面积公式可得21sin 2sin 22ABCS r ACB ACB =∠=∠≤， 所以当2ACB π∠=，即圆心C 到直线l的距离为d =ABC 的面积取得最大值，所以d ==，解得1k =或7-．故答案为：1或7-． 【点睛】易错点睛：直线与圆相交于,A B ，圆心为C ，ABC 面积为21sin 2S r ACB =∠，当ACB ∠的最大值θ不小于2π时，2ABC π∠=时，S 取得最大值212r ，当ACB ∠的最大值2πθ<时，S 取得最大值21sin 2r θ．不是任何时候最大值都是212r ． 17．或【分析】当纵截距为时设直线方程为代入点求得的值得解当纵截距不为时设直线的截距式方程代入点求得直线的方程【详解】当轴上的截距时设直线方程为点代入方程得即当时设直线的方程为点代入方程解得即直线方程为即解析：290x y +-=或250x y -= 【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()5,2求得k 的值得解，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()5,2求得直线l 的方程. 【详解】当y 轴上的截距0b =时，设直线方程为y kx =，点()5,2代入方程，得25y x =，即250x y -=.当0b ≠时，设直线的方程为12x y b b +=，点()5,2代入方程，解得92b =，即直线方程为1992x y+=，即290x y +-=.故答案为：250x y -=或290x y +-=【点睛】讨论截距为0或截距不为0是解题关键，否则会漏解，属于基础题.18．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直解析：⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线x =有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得1=b =b =（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <，故答案为：)1,2⎡⎣【点睛】易错点睛：本题在把方程2x 1y =--化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.19．【分析】利用配方法将圆化成标准方程得其圆心为当垂直这条弦时所得到的弦长最短求出直线的斜率后再根据两条直线垂直的条件和点斜式即可得解【详解】解：将圆化成标准形式为圆心为则点A 在圆内当垂直这条弦时所得到 解析：80x y +-=【分析】利用配方法将圆化成标准方程，得其圆心为M ，当AM 垂直这条弦时，所得到的弦长最短，求出直线AM 的斜率AM k 后，再根据两条直线垂直的条件和点斜式即可得解. 【详解】解：将圆2248800x y x y +---=化成标准形式为22(2)(4)100x y -+-=，圆心为(2,4)M ，则点A 在圆内，当AM 垂直这条弦时，所得到的弦长最短，54132AM k -==-， ∴这条弦所在直线的斜率为1-，其方程为5(3)y x -=--，即80x y +-=.故答案为：80x y +-=. 【点睛】本题考查直线截圆的弦长问题，熟练掌握圆的一般方程与标准方程互化、两条直线垂直的条件等基础知识点是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.20．x2＋y2－4x ＋4y －17＝0【解析】试题分析：解法一：先两圆方程相减得到公共弦方程再联立直线和圆的方程求出公共点坐标进而求出圆的半径和圆心写出圆的方程即可；解法二：先两圆方程相减得到公共弦方程再解析：x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0【解析】试题分析：解法一：先两圆方程相减，得到公共弦方程，再联立直线和圆的方程求出公共点坐标，进而求出圆的半径和圆心，写出圆的方程即可；解法二：先两圆方程相减，得到公共弦方程，再利用圆系方程进行求解. 试题解法一：联立两圆方程22221221301216250x y x y x y x y ⎧+---=⎨+++-=⎩， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0. 再由221221304320x y x y x y ⎧+---=⎨+-=⎩，联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)5=， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)． 可求得圆心1212162(,)2(1)2(1)C λλλλ----++．∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴121216243202(1)2(1)λλλλ---⨯+⨯-=++，解得λ＝12. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.三、解答题21．（1）43100x y -+=或2x =；（2）证明见解析；11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）考虑斜率不存在的直线是切线，然后当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-，由圆心到切线的距离等于半径求出k 即得；（2）设P 点坐标，求出以PO 为直径的圆的方程，与已知圆方程相减可得直线AB 方程，整理成关于参数的恒等式，可得定点坐标． 【详解】解：（1）由题意，当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-，即260kx y k --+=2=，解得43k =，即43100x y -+=． 当切线的斜率不存在时，方程为2x =满足题意． 综上所述，所求的切线的方程为43100x y -+=或2x =． （2）证明：根据题意，点P 为直线80x y +-=上一动点，设()8,P m m -，∵PA ，PB 是圆O 的切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥． ∴AB 是圆O 与以PO 为直径的两圆的公共弦．由于以PO 为直径的圆的方程为2222442222m m m m x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()2280x m x y my --+-=，①又圆O 的方程为224x y +=②．①—②，得()840m x my -+-=，即()840m y x x -+-=， 则该直线必过点11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】结论点睛：本题考查圆的切线方程，相交弦所在直线方程．对切线，一般由圆心到切线的距离等于半径去判断求解，而相交两圆方程相减后可得相交弦所在直线方程，如果外切，则得这一条公切线方程．22．（1）直线l 的一个方向向量为(1,3)；（2）arctan 2,,arctan 622ππαπ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【分析】（1）将A 代入直线l 方程求a ，写出直线方程即可得l 的方向向量； （2）由直线方程得斜率42k a a=+-，讨论a 并利用基本不等式求k 的范围，进而可得倾斜角的范围. 【详解】（1）把(1,0)A 代入直线l 的方程，得2210a a -+=，解得1a =，此时直线l 的方程为330x y --=，故直线l 的一个方向向量为(1,3)；（2）因为0a ≠，所以直线l 的斜率22442a a a a k a-+=+-=，∴当0a >时，4222k a a +-≥==当且仅当2a =时等号成立；当0a <时，4)()]22[(6a ak +--≤---=-=当且仅当2a =-时等号成立；综上有(,6][2,)k ∈-∞-+∞，可得倾斜角arctan 2,,arctan 622ππαπ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【点睛】 结论点睛： 直线0ax by c的方向量为(,)b a -或(,)b a -.倾斜角α与斜率k 的关系：tan k α=或arctan k α=. 23．（1）()()22139x y -+-=；（2）1m =. 【分析】（1）求出圆心坐标和半径可得圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入圆方程一应用韦达定理得1212,x x x x +，已知条件得OA OB ⊥，即12120x x y y +=，由此可求得m 值． 【详解】解：（1）由题意可得：圆心C 的横坐标为1，且圆心直线3y x =上，可得圆心C 坐标为()1,3，半径3r =， 则圆C 的方程为：()()22139x y -+-=.（2）由()()22139y x m x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩可得：()22228610x m x m m +-+-+= 设()11,A x y ，()22,B x y 则：122124612x x mm m x x +=-⎧⎪⎨-+⋅=⎪⎩，且241656m m ∆=-++，由题意可得：OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，且11y x m =+，22y x m =+，代入化简可得：2210m m -+=求得：1m =，此时满足：2416560m m ∆=-++> 综上可知：1m =. 【点睛】关键点点睛：本题考查求圆的方程，考查直线与圆相交问题，直线与圆相交问题的解法是设而不求思想方法：即设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入圆方程，消元整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入题中其他条件OA OB ⊥，即12120x x y y +=可解得m 值．24．（1）()()224225x y -++=；（2）2200x y --=. 【分析】（1）联立线段AB 的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，由CD =2OA 可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l 的方程．【详解】（1）由题意可解得线段AB 的垂直平分线所在的方程为：y +2=34(x －4)，即354y x =-，因为圆心在直线x ＋y －2＝0上，且圆M 过点A （1，2），B （7，－6），则圆心为直线354y x =-与直线x ＋y －2＝0的交点，联立20354x y y x +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，即圆心M 为（4，－2），半径为MA5=，所以圆M 的标准方程为()()224225x y -++=.（2）由直线l 平行于OA ，可设直线l 的方程为：20y x m m =+≠，，则圆心M到直线l的距离为d ==CD =2OA =2525d +=，所以d ==，则解得m =－20或m =0（舍去），则直线l 的方程为2200x y --=. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长CD ，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题． 25．（1）22(1)4x y ++=；（2）1x =或12530x y-+=；（3）[3-+. 【分析】（1）设(,)P x y ，由||2||AP PO =结合两点间距离公式可求；（2）可得斜率不存在时满足，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可；（3）设出圆Q 方程，利用|2|||2t CQ t -+可求出.【详解】解：（1）由题意知：设(,)P x y ， 由||2||AP PO =，得22||4||AP PO =， ∴()2222(3)4x y x y-+=+，整理得22(1)4x y ++=.故动点P 的轨迹C 的方程为22(1)4x y ++=；（2）由（1）知道，曲线C 为以(1,0)-为圆心，2为半径的圆， ①若直线l 斜率不存在，则直线l 为 1x =；②若直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为3(1)y k x -=-，即3y kx k =-+，此时圆心C 到直线l 的距离2d ==，化简得：125k =.综上，直线l 方程为1x =或12530x y -+=.（3）∵点Q 的坐标为(,)(0)t t t >，且圆Q 与x 轴相切， ∴圆Q 的半径为t ，∴圆Q 的方程为222()()x t y t t -+-=，∴圆Q 与圆C 的两圆心距离为||CQ == ∵圆Q 与圆C 有公共点，∴|2|||2t CQ t -+，即222(2)221(2)t t t t -+++，解得：33t -+，实数t 的取值范围是[3-+. 【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，注意需要讨论斜率不存在的情况，考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆心距和半径之间的关系判断. 26．（1）x 2+y 2-4x -12＝0；（2）直线l 过定点(2，0). 【分析】（1）根据题意，联立方程求解即可（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m (m ≠0)，联立方程，利用韦达定理得到222(2)212121km km m k ---=-+，进而化简求证；而当直线l 的斜率不存在时，直接求解即可证明题中条件成立 【详解】解：（1）由题意可得圆心C 的坐标为(,)22D E --，则2()2022D E--⨯--=，①因为圆C经过点(P -，所以17120D +--=，②联立①②，解得D ＝-4，E ＝0.故圆C 的一般方程是x 2+y 2-4x -12＝0.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m (m ≠0)，11(,)A x y ，22(,)B x y .联立224120,,x y x y kx m ⎧+--=⎨=+⎩整理得(k 2+1)x 2+2(km-2)x +m 2-12＝0，则1222(2)1km x x k -+=-+，2122121m x x k -=+.因为12OA OB ⋅=-，所以121212x x y y +=-，由1212()()y y kx m kx m =++得，222(2)212121km km m k ---=-+，整理得m (m +2k )＝0.因为m ≠0，所以m ＝-2k ，所以直线l 的方程为y ＝kx -2k ＝k (x -2).故直线l 过定点(2，0). 当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝m ，则A (m ，y )，B (m ，-y )，从而2241212OA OB m m ⋅=--=-，解得m ＝2，m ＝0（舍去）.故直线l 过点(2，0).综上，直线l 过定点(2，0). 【点睛】关键点睛：解题关键是分类讨论直线l 的情况，并联立方程，利用韦达定理化简，根据直线l 的情况，得到12OA OB ⋅=-121212x x y y =+=-和2241212OA OB m m ⋅=--=-，进而求证，难度属于中档题。
高中试卷-专题10 直线和圆的方程(单元测试卷)(含答案)
专题10 《直线和圆的方程》单元测试卷一、单选题1．（2019·全国高二月考（文））直线：的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，所以.故选：D.2．（2019·浙江省高二期中）圆心为，且过原点的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据题意.故选：.3．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ）A ．2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－2【答案】C 【解析】(2a ＋5)(2－a )＋(a －2)(a ＋3)＝0，所以a ＝2或a ＝－2.4．（2019·山东省高一期中）圆与直线的位置关系( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不能确定【答案】Cx y +-0=30°45°60°135°0x y +=1k =-0x y +=1(080)a a °£<°tan 1a =-135a =°()2,2()()22228x y -+-=()()22222x y -+-=()()22228x y +++=()()22222x y +++=r ==()()22228x y -+-=A 22(1)5x y +-=120mx y m -+-=直线即即直线过点,把点代入圆的方程有,所以点在圆的内部,过点的直线一定和圆相交.故选:C.5．（2019·山东省高一期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值( )A ．B ．5CD ．【答案】A【解析】设切线长为,则,故选:A.6．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A ．1B ．C ．或1D ．2或1【答案】D 【解析】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．故选：D ．7．（2019·山东省高一期中）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( )A ．B ．C ．D ．120mx y m -+-=()12y m x -=-()21，()21，405+<()21，()21，(,3)P m 22(2)(2)1x y +++=4+d 2222(2)51(2)24d m m =++-=++min d \=20ax y a +-+=(a =)1-2-2a 0-+=a 2=ax y 2a 0+-+=2x y 0+=2a 0-+¹a 2¹ax y 2a 0+-+=122x ya a a+=--2a2a a-=-a 1=a 2=a 1=(1,1)P 2240x y x +-=AB AB 20x y +-=0x y -=20x y -+=22(1)5x y +-=【解析】化为标准方程为.∵为圆的弦的中点,∴圆心与点确定的直线斜率为,∴弦所在直线的斜率为1，∴弦所在直线的方程为,即.故选:B.8．（2020·武威第六中学高三二模（文））过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）AB ．1CD ．【答案】C 【解析】根据题意，设过点且倾斜角为的直线为 ,其方程为,即,变形可得，圆 的圆心为，半径 ,设直线与圆交于点,圆心到直线的距离,则，故选C.9．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B．2240x y x +-=()22-24x y +=()1,1P ()22-24x y +=AB P 01121k -==--AB AB 11y x -=-0x y -=()1,030o ()2221x y -+=()1,030o l ()tan 301y x =-o)1y x =-10x -=()2221x y -+=()2,01r =l AB 12d 2AB ==20kx y -+=()3,2M -()2,5N 32k £32k ³C ．D ．或【答案】C 【解析】因为直线恒过定点，又因为，，所以直线的斜率k 的范围为．故选：C ．10．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考（理））已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是( )A ．BC ．D【答案】D 【解析】如下图所示：4332k -££43k £-32k ³20kx y -+=()0,2A 43AM k =-32AN k =4332k -££()()221:231C x y -+-=()()222:349C x y -+-=M N 1C 2C P x PN PM -4+4+圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，，由圆的几何性质可得，，，当且仅当、、三点共线时，取到最大值.故选：D.二、多选题11．（2019·辽宁省高二月考）在同一直角坐标系中，直线与圆的位置不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】直线经过圆的圆心，且斜率为.故选项满足题意.故选：.12．（2020·山东省高三期末）已知点是直线上一定点，点、是圆上1C ()12,3C 11r =2C ()23,4C 23r =12C C ==2223PN PC r PC £+=+1111PM PC r PC ³-=-2112444PN PM PC PC C C -£-+£+=1C P 2C PN PM -4+2y ax a =+222()x a y a ++=2y ax a =+222()x a y a ++=(),0a -a ,,A B D ABD A :0l x y +=P Q 221x y +=的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】如下图所示：原点到直线的距离为，则直线与圆相切，由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，连接、，由于的最大值为，且，，则四边形为正方形，所以由两点间的距离公式得整理得，解得，因此，点的坐标为或.故选：AC.13．（2020·广东省高二期末）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）A ．B ．C ．D ．PAQ Ð90o A (()1))1,1-l 1d ==l 221x y +=AP AQ 221x y +=PAQ ÐOP OQ PAQ Ð90o 90APO AQO Ð=Ð=o 1OP OQ ==APOQ OA =OA ==220t -=0t =A ()ABC D ()4,0-A ()0,4B 20x y -+=C ()2,0()0,2()2,0-()0,2-【答案】AD 【解析】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为，，①由，，重心为，代入欧拉线方程，得，②由 ①②可得或 .故选:AD 三、填空题14．（2019·浙江省高二期中）直线过定点______；若与直线平行，则______.【答案】 【解析】(1),故.即定点为(2) 若与直线平行,则,故或.当时与直线重合不满足.故.故答案为：(1) ; (2)15．（2018·江苏省高二月考）已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C 的方程是________．【答案】(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.(,),C x y AB y x =-ABC D 20x y -+=y x =-(1,1)M-22||||(1)(1)10MC MA x y \==\++-=()4,0A -()0,4B ABC D 44(,33x y -+20x y -+=20x y --=2,0x y ==0,2x y ==-()1:20l m x y m +--=()m R Î1l 2:310l x my --=m =()1,23-()1:20(1)20l m x y m m x x y +--=Þ-+-=101202x x x y y -==ììÞíí-==îî()1,21l 2:310l x my --=()()()()()2310130m m m m +---=Þ-+=1m =3m =-1m =1l 2l 3m =-()1,23-()4,3C -22:1O x y +=【解析】，设所求圆的半径为，由两圆内切的充分必要条件可得：，据此可得：，圆C 的方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.16．（2020·河南省高三二模（文））圆关于直线的对称圆的标准方程为__________．【答案】【解析】，圆心为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，对称圆的标准方程为.故答案为：.17．（2020·四川省高三二模（文））已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最大值为__________．【答案】【解析】因为直线截圆所得的弦长为,且圆的半径为2.故圆心到直线的距离.,因为、为正实数,故,所以.当且仅当时取等号.5=()0r r >15r -=6r =22230x y y ++-=10x y +-=22(2)(1)4x y -+-=Q 2222230(41)x y y x y ++-=Þ+=+\(0,1)-210x y +-=(,)x y \1(1)1,2,1.110,22y x xy x y +ì´-=-ï=ìïÞíí=-îï+-=ïî\22(2)(1)4x y -+-=22(2)(1)4x y -+-=a b 10x y ++=()()224x a y b -+-=ab 1410x y ++=(224x (),a b d ==a b 1a b +=2124a b ab +æö£=ç÷èø12a b ==故答案为：四、解答题18．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）求圆上与直线的距离最小的点的坐标.【答案】【解析】过圆心且与直线垂直的直线方程为，联立圆方程得交点坐标为，，又因为与直线的距离最小，所以.19．（2019·全国高二月考（文））已知直线过点.（1）若原点到直线的距离为，求直线的方程；（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）①当直线的斜率不存在时，方程符合题意；14224x y +=43120x y +-=86,55P æöç÷èø43120x y +-=340x y -=224340x y x y ì+=í-=î86,55æöç÷èø86,55æö--ç÷èø43120x y +-=86,55P æöç÷èøl (2,1)P -O l 2l O l l 20x -=34100x y --=250.x y --=l 2x =②当直线的斜率存在时，设斜率为，则方程为，即，解得，则直线的方程为故直线的方程为或（2）当原点到直线的距离最大时，直线因为，所以直线的斜率所以其方程为，即20．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.（1）求点坐标；（2）求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）边上的高为，故的斜率为， 所以的方程为，即，因为的方程为解得所以.l k ()12y k x +=-210.kx y k ---=234k =l 34100.x y --=l 20x -=34100.x y --=O l .l OP ^011022OP k +==--l 2,k =()122y x +=-250.x y --=ABC D (1,2)A -AC BE 74460x y +-=AB CM 211540x y -+=C BC ()66C ，2180x y +-=AC 74460x y +-=AC 47AC ()4217y x -=+47180x y -+=CM 211540x y -+=21154047180x y x y -+=ìí-+=î，，66x y =ìí=î()66C ，（2）设，为中点，则的坐标为， 解得， 所以， 又因为，所以的方程为即的方程为.21．（2019·浙江省高二期中）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为（1）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若两条切线于轴分别交于两点，求面积的最小值．【答案】（1）见解析，（2【解析】（1）设，则以 为直径的圆的方程： ，与圆，两式相减得：，()00,B x y M AB M 0012,22x y -+æöç÷èø0000122115402274460x y x y -+ì-+=ïíï+-=î0028x y =ìí=î()2,8B ()6,6C BC ()866626y x --=--BC 2180x y +-=22:(2)1C x y -+=P :4l x =P C ,A BAB Q ,PA PB y ,M N QMN V 5,02Q æöç÷èø(4,)P t CP ()22232t x y æö-+-=ç÷èø22:(2)1C x y -+=:2(2)1AB l x ty -+=所以直线恒过定点.（2）设直线与的斜率分别为，与圆，即．所以，，22．（2020·江西省新余一中高一月考）已知点，，直线：，设圆的半径为，圆心在直线上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围．【答案】（1）或.（2）【解析】(1)由得：，所以圆C：..当切线的斜率存在时,设切线方程为，由，解得：当切线的斜率不存在时，即也满足所以切线方程为：或.5,02Qæöç÷èøAP BP12,k k(4)y t k x-=-C1=223410k tk t-+-=2121241,33-+=×=t tk k k k14My t k=-24Ny t k=-12||44=-==³MN k k()min1522MNQSD==(4,4)A(0,3)B l1y x=-C1C lC37y x=-A CC M2MB MO=O C a4x=3440x y-+=a££a££137y xy x=-ìí=-î()3,2C22(3)(2)1x y-+-=4(4)y k x-=-1d==34k=4x=4x=3440x y-+=(2)由圆心在直线l ：上，设设点，由化简得：，所以点M在以为圆心，2为半径的圆上. 又点M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有交点，则即，解得：23.（2019·山东省高一期中）已知点，点在圆上运动.（1）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程；（2）求的最值.【答案】(1)或;(2)最大值为88,最小值为72.【解析】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点且被圆截得的弦长为,,设直线方程为,即,解得或所以直线方程为或.(2)设点坐标为则.因为,所以,即的最大值为88,最小值为72.C 1y x =-(,1)C a a -(,)M x y ||2||MB MO ==22(1)4x y ++=(0,1)D -1||3CD ££13££a ££a ££(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----P 22:4E x y +=C E 222||||||PA PB PC ++7100x y ++=20x y +-=C E 2(4)y k x +=-420kx y k ---==17k =-1k =-7100x y ++=20x y +-=P (),x y 224x y +=222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y=+-+=-22y -≤≤7280488y £-£222||||||PA PB PC ++。
新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C ．3D 2．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A．B ．C ．D ．3．过点()1,0P 作圆22(2)(2)1x y -+-=的切线，则切线方程为（ ） A ．1x =或3430x y +-= B ．1x =或3430x y --= C ．1y =或4340x y -+=D ．1y =或3430x y --=4．已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．95．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ）A ．1B ．2CD ．6．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ）A ．4B ．2C ．D7．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．48．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=9．已知圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,32⎡-⎣ B ．(2,32⎡-⎣C ．2,32⎡⎡-⎣⎣D ．((2,32-10．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ）A．5B．5CD11．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,12412．若圆()2220x y r r +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ）A ．)1,+∞B．)1-C ．()1-D ．()1二、填空题13．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________．（1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上； （2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行； （3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 14．已知点M 是直线l ：22y x =--上的动点，过点M 作圆C ：()()22114x y -+-=的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，则当四边形MACB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.15．已知点(3,1)A -，点M ､N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则AM MN +的最小值等于_________.16．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为_________．17．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个18．已知k ∈R ，过定点A 的动直线10kx y +-=和过定点B 的动直线30x ky k --+=交于点P ，则22PA PB +的值为__________.19．直线:20180l x y +-=的倾斜角为__________； 20．已知定点A 到动直线l ：()221420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，则定点A 的坐标为________．三、解答题21．在ABC 中，(2,5)A ，()1,3B （1）求AB 边的垂直平分线所在的直线方程；（2）若BAC ∠的角平分线所在的直线方程为30x y -+=，求AC 所在直线的方程. 22．以点1(),C m m为圆心的圆与x 轴相交于点O ，A ，与y 轴相交于点,O B （O 为坐标原点）.（1）求证OAB 的面积为定值，并求出这个定值；（2）设直线23y x =-+与圆C 相交于点,P Q ，且||||OP OQ =，求圆C 的方程. 23．已知三条直线123121323:20,:20,:210,,,l x y l x l x y l l A l l B l l C -=+=+-=⋂=⋂=⋂=．（1）求ABC 外接圆的方程；（2）若圆22:20D x y ax +-=与ABC 的外接圆相交，求a 的取值范围．24．圆心为C 的圆经过点(4,1)A -和(3,2)B -，且圆心C 在直线:20l x y --=上. （1）求圆心为C 的圆的方程；（2）过点(5,8)P 作圆C 的切线，求切线的方程.25．当实数m 的值为多少时，关于,x y 的方程()()222221220m m x m m y m +-+-+++=表示的图形是一个圆?26．已知圆C 方程222410x y x y +-++= （1）求圆C 的圆心，半径；（2）直线l 经过(2,0)，并且被圆C 截得的弦长为l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan 2α=，y x 的最大值为5，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.2．C解析：C 【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r+≥-即可求解. 【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --， 由图得AC BC AP r +≥-52242=-=.故选：C. 【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.3．B解析：B 【分析】按照过点P 的直线斜率是否存在讨论，结合直线与圆相切的性质及点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆22(2)(2)1x y -+-=的圆心为()2,2，半径为1，点P 在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，点()2,2到该直线的距离等于1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-即kx y k 0--=，1=，解得34k =，所以该切线方程为3430x y --=； 所以切线方程为1x =或3430x y --=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程的方法几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程;代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.4．D解析：D 【分析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b +与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ，所以12121C C r r ==-=，可得2241a b +=，()2222222222111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=∴++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切； （3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.5．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.6．A解析：A 【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可． 【详解】因为226240x y x y +-++= 所以22(3)(1)6x y -++=，圆心到直线的距离为d ==直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长4l =；故选：A ． 【点睛】计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.7．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上 代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c +=本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.8．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．9．D【分析】先判断圆心到直线的距离()1,3d ∈，再利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆C ：224x y +=的圆心是()0,0C ，半径2r，而圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，所以圆心()0,0C 到直线l ：0x y m -+=的距离()1,3d ∈，即()1,3d ==，解得m -<<m <<.故选：D. 【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离问题和点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为15d ==圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为25d ==圆心到直线230x y -+=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y -+=. 故选：C.关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.11．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围． 【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行， 且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线， 圆222x y r +=的圆心为原点， 原点到直线20x y --=的距离为22d ==，∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为21d '=+，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>， 即21r >+，实数r 的取值范围是()21,++∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．14．【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 面积要使四边形MACB 面积最小则需最小此时CM 与直线垂直求得以CM 为直径的圆的方程再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程【详解】由圆的标准方程可知圆 解析：210x y ++=【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，求得以CM 为直径的圆的方程，再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心C (1，1) ，半径r =2.因为四边形MACB的面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△ 要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直. 直线CM 的方程为11(x 1)2y -=- ，即11.22y x =+联立112222y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得(1,0)M -则以CM 为直径的圆的方程为2215()24x y +-=， 联立222215(),24(1)(1)4x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪-+-=⎩消去二次项可得直线AB 的方程为210x y ++=， 故答案为：210x y ++= 【点睛】关键点点睛：根据四边形的面积表达式可以看出要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，此时所做圆的直径为CM ，写出圆的方程，两圆方程相减即可求出过AB 的直线方程.15．【分析】利用对称性作点关于轴的对称点利用数形结合求的最小值【详解】作点关于轴的对称点则最小值即为到直线的距离所以的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性作点关于轴的对称点则再利解析：5【分析】利用对称性，作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，||||||||AM MN A M MN '+=+，利用数形结合求AM MN +的最小值.【详解】作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，则||||||||AM MN A M MN '+=+，最小值即为(3,1)A '--到直线250x y +-=的距离，12555d ==，所以||||AM MN +的最小值为55. 125【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，则AM A N '=，再利用点到直线的距离比其他折线都短，计算||||AM MN +的最小值. 16．x ＋4y －4＝0【分析】设l1与l 的交点为A(a8－2a)求得关于的对称点坐标利用对称点在直线上求得即得点坐标从而得直线方程【详解】设l1与l 的交点为A(a8－2a)则由题意知点A 关于点P 的对称点B解析：x ＋4y －4＝0【分析】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，求得A 关于P 的对称点坐标，利用对称点在直线2l 上求得a ，即得A 点坐标，从而得直线l 方程．【详解】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4， 即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 故答案为：x ＋4y －4＝0. 【点睛】本题考查求直线方程，解题方法是根据点关于点的对称点求解，直线l 与已知两直线各有一个交点，P 是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另一点坐标，代入第二条直线方程可求得交点坐标，从而得直线方程．17．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点解析：7 【分析】根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个．【详解】解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，222:(2)1O x y -+=是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即229x y +=；与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b 4b =⇒=±∴22(9x y +±=，同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；分别为223()(92x y ++±=和223()(92x y -+=，共7个， 故答案为：7． 【点睛】由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.18．13【分析】由两直线方程可得定点再联立两直线方程解出的坐标然后由两点间距离公式可得进而可以求解【详解】动直线过定点动直线过定点联立方程解得则由两点间距离公式可得：故答案为：13【点睛】本题考查了直线解析：13 【分析】由两直线方程可得定点(0,1)A ，(3,1)B --，再联立两直线方程解出P 的坐标，然后由两点间距离公式可得2PA ，2PB ，进而可以求解． 【详解】动直线10kx y +-=过定点(0,1)A 动直线30x ky k --+=过定点(3,1)B --联立方程1030kx y x ky k +-=⎧⎨--+=⎩，解得223(1k P k -+，2231)1k k k -+++， 则由两点间距离公式可得：PA =PB =2432432222222222224129412991249124()()(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k PA PB k k k k -+-+++++∴+=+++++++422213(21)13(1)k k k ++==+，故答案为：13． 【点睛】本题考查了直线中定点问题以及两点间距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．19．【分析】把直线的一般方程化为斜截式方程得到斜率即可求出倾斜角【详解】由可得：所以斜率即所以倾斜角为故填【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角属于基础题解析：34π 【分析】 把直线的一般方程化为斜截式方程，得到斜率，即可求出倾斜角. 【详解】由20180x y +-=可得：2008y x =-+ ，所以斜率1k =-，即tan 1α=-，所以倾斜角为34π，故填34π. 【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角，属于基础题.20．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1【解析】 【分析】设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令0,1,1m =-分析可得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离d =无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ．当定点A 为()2,1 时，22111m d m +===+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3时，22131m d m -==+ ，显然d 的值随m 的变化而变化，不符题意，舍去．综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为2,1．故答案为：()2,1． 【点睛】本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）11924y x =-+；（2）280x y -+=. 【分析】（1）设AB 边的垂直平分线为l ，求出12l k =-，即得AB 边的垂直平分线所在的直线方程；（2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ，求出(0,4)M 即得解. 【详解】（1）设AB 边的垂直平分线为l ， 有题可知53221AB k -==-，12lk ， 又可知AB 中点为3,42⎛⎫⎪⎝⎭，∴l 的方程为13422y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即11924y x =-+， （2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ；则311133022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩，所以(0,4)M ，由题可知A ，M 两点都在直线AC 上，所以直线AC 的斜率为541202-=-，所以直线AC 的方程为14(0)2y x -=-， 所以AC 所在直线方程为280x y -+=.【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.22．（1）证明见解析；定值为2；（2）225((2x y -+=. 【分析】（1）由题可得出圆的方程，即可得出,A B 坐标，进而可求出面积； （2）由题可得OC PQ ⊥，利用斜率可求出m . 【详解】解：（1）由已知圆的半径r OC ==， 故圆C 的方程为222211()()x m y m m m-+-=+， 即22220x y mx y m +--=， ∴(2,0)A m ，2(0,)B m， ∴112||||2222OABSOA OB m m=⋅=⨯⋅=， ∴OAB 的面积为定值2.（2）∵||||OP OQ =，||||CP CQ =，∴OC PQ ⊥，而2PQ k =-，∴2112OC k m==，∴m =∴圆C 的方程为225((22x y +-=或225(()22x y +++=当圆C 为225((22x y ++=时，圆心到直线23y x =-+的距离|3|352d --==>， 此时直线与圆相离，故舍去.∴圆C 的方程为225((22x y +-=. 【点睛】关键点睛：本题考查圆中三角形面积的定值问题以及求圆的标准方程，解题的关键是将点A ，B 都用m 表示出来，根据||||OP OQ =得出OC PQ ⊥. 23．（1）22(2)(2)9x y ++-=；（2）11,,210⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【分析】（1）由三条直线得到三交点,,A B C 构成直角三角形，联立方程组，求得,A C 点的坐标，得到圆心坐标和半径，进而求得圆的方程；（2）由两圆相交，得到|3|||43||a a -<<+，即可求得a 的取值范围． 【详解】（1）由题意，三条直线123:20,:20,:210l x y l x l x y -=+=+-=， 可得2l 平行于y 轴，1l 与3l 互相垂直，三交点,,A B C 构成直角三角形， 经过,,A B C 三点的圆就是以AC 为直径的圆． 由方程组2020x y x -=⎧⎨+=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标是(2,1)--．由方程组20210x x y +=⎧⎨+-=⎩，解得25x y =-⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标是(2,5)-．可得线段AC 的中点坐标是(2,2)-，又由||6AC =，所以ABC 外接圆的方程为22(2)(2)9x y ++-=．（2）由圆222:()D x a y a -+=与22(2)(2)9x y ++-=相交，所以|3|||43||a a -<<+，化简得6||146||1a a a -+<<+， 当0a <时，12a <-；当0a >时，110a >． 综上可得，a 的取值范围是11,,210⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】圆与圆的位置关系问题的解题策略：判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.24．（1）22(2)25x y ++=；（2）5x =或34170x y -+=. 【分析】（1）联立点A 和B 的中垂线与直线l ，求出圆心坐标，算出圆心与A 距离，写出圆的标准方程即可；（2）讨论斜率存在与不存在，将直线与圆相切转化为d r =，解出k ，代回直线方程化简即可. 【详解】（1）根据题意可得2113(4)AB k -==---，,A B 中点坐标为73(,)22-，所以AB 的中垂线为7322y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即2y x =--， 联立方程202x y y x --=⎧⎨=--⎩可得圆心坐标(0,2)-，又222(0(3))(22)25r =--+--=， 所以圆C 的方程为22(2)25x y ++=.（2）①过点P 斜率不存在的直线为5x =，与圆C 相切； ②过点P 斜率存在的直线设斜率为k ， 则(5)8y k x =-+，即580kx y k --+= 圆心(0,2)-到切线的距离为5=，解得34k =综上，切线的方程为5x =或34170x y -+=. 【点睛】求圆的方程的两种方法：（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； （2）待定系数法：①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ③解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程.25．3m =-【分析】圆的方程中22,x y 系数需相等，可得22212m m m m +-=-+，解方程即可得答案； 【详解】要使方程()()222221220m m x m m y m +-+-+++=表示的图形是一个圆，需满足22212m m m m +-=-+，得2230m m +-=， 所以3m =-或1m =．①当1m =时，方程为2232x y +=-不合题意，舍去；②当3m =-时，方程为2214141x y +=，即22114x y +=为半径的圆．综上，3m =-满足题意． 【点睛】圆的一般方程形式为2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->，注意方程的特点是求解的关键.26．（1）圆心(1,2)-；半径2；（2）2x =或3460x y --=. 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，直接求圆心和半径；（2）利用弦长公式，得到圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在两种情况，求直线方程. 【详解】（1）()()22222410124x y x y x y +-++=⇔-++=圆心(1,2)- 半径2；（2）圆222410x y x y +-++=可化为22(1)(2)4x y -++=.所以圆心到直线的距离为1d ==当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =， 此时直线l被圆C 截得的弦长为当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=1= 解得34k =∴直线的方程为3460x y --=综上所述，直线l 的方程为2x =或3460x y --=.【点睛】易错点睛：本题第二问，根据弦长求直线方程时，不要忽略过定点直线，其中包含斜率存在和不存在两种情况，否则容易丢根.。
(完整版)高二数学-直线和圆的方程-单元测试(含答案)
高二直线和圆的方程单元测试卷班级：姓名：一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线 l 经过 A（2，1）、B（1，m2）(m∈R)两点，那么直线 l 的倾斜角的取 值范围是A．[0, )B．[0, ] [ 3 , ) 44C．[0, ] 4D．[0, ] ( , ) 422. 如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a 的值等于A． 2B．－2C．2,－2D．2,0,－23.已知圆 O 的方程为 x2＋y2＝r2，点 P（a，b）（ab≠0）是圆 O 内一点，以 P为中点的弦所在的直线为 m，直线 n 的方程为 ax＋by＝r2，则A．m∥n，且 n 与圆 O 相交 离B．m∥n，且 n 与圆 O 相C．m 与 n 重合，且 n 与圆 O 相离D．m⊥n，且 n 与圆 O 相离4. 若直线 ax 2by 2 0(a,b 0) 始终平分圆 x2 y2 4x 2 y 8 0 的周长，则 1 2 ab的最小值为A．1B．5C．42D． 3 2 25. M (x0 , y0 ) 为 圆 x2 y2 a2 (a 0) 内 异 于 圆 心 的 一 点 ， 则 直 线x0 x y0 y a 2 与该圆的位置关系为A．相切B．相交C．相离D．相切或相交6. 已知两点 M（2，－3），N（－3，－2），直线 L 过点 P（1，1）且与线段MN 相交，则直线 L 的斜率 k 的取值范围是A． 3 ≤k≤4 4B．k≥ 3 或 k≤－4 4C． 3 ≤k≤4 4D．－4≤k≤ 3 47. 过直线 y x 上的一点作圆 (x 5)2 ( y 1)2 2 的两条切线 l1，l2 ，当直线 l1，l2 关于 y x 对称时，它们之间的夹角为A． 30B． 45C． 60D． 90x y 1 08．如果实数x、y满足条件 y 1 0x y 1 0，那么 4x (1)y 的最大值为 2A． 2B．1C． 1 2D． 1 49．设直线过点 (0, a), 其斜率为 1，且与圆 x2 y2 2 相切，则 a 的值为15 ． 集 合 P (x, y) | x y 5 0 ， x N* ， y N* ｝ ，Q (x, y) | 2x y m 0，M x, y) | z x y ， (x, y) (P Q) ， 若 z 取 最 大 值 时 ，M (3,1)，则实数 m 的取值范围是；三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤．16．（本小题满分 12 分）已知 ABC 的顶点 A 为（3，－1），AB 边上的中线所在直线方程为 6x 10y 59 0 ， B 的平分线所在直线方程为 x 4y 10 0 ，求BC 边所在直线的方程．17．（本小题满分 12 分） 某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3 千元，2 千 元。
中职数学直线与圆的方程单元测试含参考答案
中职数学直线与圆的方程单元测试（一）含参考答案一、单项选择题1．已知A(2，3)，B(2，5），则线段AB 的中点坐标为（ ）A ．(1，2) B.（0,－1） C ．(0，－2) D ．(2，4)2．若直线l 的倾斜角是o 120，则该直线的斜率是（ ）A ．－1B ．0 C.3- D ．33．已知33+-=x y ，斜率为( )．A ．3B ．－3C ．－1D ．04．直线012=--y x 在y 轴上的截距为( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．经过点P(l ，3)，且斜率为2的直线方程是( )。
A ．012=++y xB ．012=+-y xC ．012=--y xD ．052=++y x6．直线x y 5=与直线3-=ax y 平行，则a ＝( )．A ．-1B ．0C ． 1D ．57．直线52-+y x =0与直线x ＝3的交点坐标为( )．A. (3,1)B. (1,3)C. (3,2)D. (2,3)8．点M(-3，1)到直线0543=-+y x 的距离为( )．A ．2-B ．1-C ． 2D ．19．圆心为C(2，-1)，半径为3的圆的方程为( )．A ．9)1(222=-++y x ）（B ．3)1(222=-++y x ）（ C ．9)1(222=++-y x ）（ D ．3)1(222=++-y x ）（10.圆6)5(222=++-y x ）（的圆心坐标与半径分别是( )A ．），（52-，6=rB ．），（52-，6=r C ． ），（52-，6=r D ．），（52-，6=r 11. 直线02=+-m y x 过圆046422=+--+y x y x 的圆心，则m ＝( )．A ．1B ．0C ．1-D ．212.经过圆25)2(122=-++y x ）（的圆心且与直线04=--y x 垂直的直线方程为( )A ．01=++y xB ．01=+-y xC ．01=-+y xD ．01=+-y x二、填空题13．已知两点A(0，6)，B （－8，0），则线段AB 的长度为14．倾斜角为45。
新人教版六年级上册《第4章_圆》小学数学-有答案-单元测试卷(1)
新人教版六年级上册《第4章圆》单元测试卷（1）一、填空1. 一个圆形桌面的直径是2米，它的面积是________平方米。
2. 已知圆的周长c，求d=________，求r=________．3. 一个圆的半径扩大2倍，直径扩大________倍，周长扩大________倍，面积扩大________倍。
4. 环形面积S=________．5. 用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是________厘米，画出的这个圆的面积是________平方厘米。
6. 大圆半径是小圆半径的4倍，则大圆周长是小圆周长的________倍，小圆面积是大圆面积的________倍。
7. 圆的半径增加1，圆的周长增加________，圆的面积增加________．48. 一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的面积是________平方分米。
9. 将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形的周长比原来圆周长长10厘米，这个长方形的面积是________平方厘米。
10. 在一个面积是16平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是________平方厘米；再在这个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是________平方厘米。
11. 大圆半径是小圆半径的3倍，大圆面积是84.78平方厘米，则小圆面积为________平方厘米。
12. 大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方厘米，小圆面积是________平方厘米。
13. 鼓楼中心岛是半径10米的圆，它的占地面积是________平方米。
14. 小华量得一根树干的周长是75.36厘米，这根树干的横截面大约是________平方厘米。
15. 一只羊栓在一块草地中央的树桩上，树桩到羊颈的绳长是3米。
这只羊可以吃到________平方米地面的草。
16. 一根2米长的铁丝，围成一个半径是30厘米的圆，（接头处不计），还多________米，围成的面积是________．17. 用一根10.28米的绳子，围成一个半圆形，这个半圆的半径是________，面积是________．18. 从一个长8分米，宽5分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是________．19. 大小两个圆，大圆半径等于小圆的直径，那么大圆面积是小圆面积的________．20. 一个圆的周长扩大3倍，面积就扩大________倍。
高二数学直线与圆方程单元测试
高二数学直线与圆方程单元测试一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．1．平行直线x －y ＋1 = 0，x －y －1 = 0间的距离是 （ ）A ．22B ．2C ．2D ．222．已知直线l 1: x +ay +1=0与直线l 2: x －2y +2=0垂直，则a 的值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．－21 D ．21 3．已知直线l 过点M （－1，0），并且斜率为1，则直线l 的方程是 （ ）A ．x ＋y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ． x ―y ―1＝04．直线x －ay ＋a 2＝0（a >0且a ≠1）与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定5．已知直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于点A(0，3)对称，则直线2l 的斜率为（ ）A ．12B ．－12C ．2D ．－26．点M （x 0，y 0）是圆x 2+y 2=a 2（a >0）内异于圆心的点，则直线x 0x +y 0y =a 2与该圆的位置关系（ ）A ．相 切B ．相交C ．相离D ．相切或相交7．过定点（1, 3）可作圆x 2＋y 2＋2kx ＋2y ＋k 2－24=0的两条切线，则k 的取值范围是（ ）A ． k>2B ． k<－4C ．k>2或k<－4D ．－4<k<28.如果点A(a,b)和点B(2,3)关于直线y =x 对称，那么 （ ）A ．a=31, b=6B ．a=31, b=－6C ．a=3, b=2D ．a=3, b=69．直线（2k －1）x －（k ＋3）y －（k －11）=0恒过一个定点，这个定点的坐标是（ ）A ． （5, 2）B ． （2, 3）C ．（5, 9）D ．（－21,3） 10．与三条直线y =0, y =x ＋2, y =－x ＋4都相切的圆的圆心是（ ） A ．（1, 23＋2） B ．（1, 32－3） C ．（1, 32－3） D ．（1, －32－3）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．11．已知圆50)3()6(10)1()2(222221=+++=-+-y x C y x C ：与圆：交于A 、B 两点，则AB 所在的直线方程是__________________12．已知点P(2,1)在圆C ：2220x y ax y b ++-+=上，点P 关于直线10x y +-=的 对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为 、半径为 ．13.已知两点A （2+x ，2+y ）、B （y ―4，6―x ）关于点C （1，－1）对称，则实数x=，Y=14．已知定点)0,2(A ，P 点在圆122=+y x 上运动， PA 的中点Q ，则Q 点的轨迹方程为 ．15．过点M （0，4）、被圆4)1(22=+-y x 截得的线段长为32的直线方程为 。
新高考数学复习第四章 圆与方程单元测试(基础版)附答案解析
第三章 函数与方程单元测试卷（基础版）一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（2020全国高二课时练）以()2,1-为圆心，4为半径的圆的方程为( ) A ．22(2)(1)4x y ++-= B ．22(2)(1)4x y +++= C ．22(2)(1)16x y -++=D ．22(2)(1)16x y ++-=2．（2020福建莆田一中高二月考）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ）A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=3.（2020山东泰安一中高二期中）曲线x 2+y 2+2x-2y=0关于( )A.直线x=轴对称 B .直线y=-x 轴对称 C .点(-2,)中心对称D .点(-,0)中心对称4．（2020银川一中高二期中）过点()3,1的直线l 平分了圆：2240x y y +-=的周长，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒5.直线y=kx+3被圆x 2+y 2-6y=0所截得的弦长是 ( ) A.6B.3C.2D.86．（2020福建莆田一中高二期中）已知圆22(1)(1)2x y a ++-=-截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a =（ ） A ．-2B ．-4C ．-6D ．-87.（贵州遵义四中2019届质检）直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定8.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离9.（四川绵阳中学2019届模拟）经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( )A.2x ＋y －5＝0B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0 D ．2x ＋y ＋5＝010.(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离11．（2020上海高二课时练习）若直线2ax by +=与圆221x y +=有两个不同的公共点，那么点(,)b a 与圆224x y +=的位置关系是（ ）．A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定12．（2020湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．12二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。
直线和圆的方程单元测试卷
直线和圆的方程单元测试卷(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)π11．若0≤θ≤，当点(1，coθ)到直线某inθ＋ycoθ－1＝0的距离是时，这条直线的斜率是()243A．1B．－1D．－232．设A、B为某轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为某－y＋1＝0，则直线PB的方程为()A．2某＋y－7＝0B．2某－y－1＝0C．某－2y＋4＝0D．某＋y－5＝03．(2022·北京市西城区)已知圆(某＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线4．过点M(2,1)的直线l与某轴，y轴分别交于P、Q两点且|MP|＝|MQ|，则l的方程是()A．某－2y＋3＝0B．2某－y－3＝0C．2某＋y－5＝0D．某＋2y－4＝05．直线某－2y－3＝0与圆C：(某－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为()3335A.B.C．5D.2456．若a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线inA·某＋ay＋c＝0与b某－inB·y＋c＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直3π7．已知直线l1：b某－2y＋2＝0和l2：2某＋6y＋c＝0相交于点(1，m)，且l1到l2的角为，则b、c、m的4值分别为()3333A．1，，－11B.1，－11C．1，－11D．－11122228．已知A(－3,8)和B(2,2)，在某轴上有一点M，使得|AM|＋|BM|为最短，那么点M的坐标为()2222A．(－1,0)B．(1,0)C．(0)D．(0，)559．把直线某－2y＋λ＝0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆某2＋y2＋2某－4y＝0相切，则实数λ的值为() A．3或13B．－3或13C．3或－13D．－3或－1310.在如右图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内，若是目标函数z=a某+y(a>0)取得最大值的最优解有无数个，则a的值等于()1A.B．1C．632某－y＋2≥011．如果点P在平面区域某－2y＋1≤0某＋y－2≤0A.5－1D．3上，点Q在曲线某2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为()4－1C．22－12－1512．过点C(6，－8)作圆某2＋y2＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为()15A．15B．1C.D．52二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设直线2某＋3y＋1＝0和某2＋y2－2某－3＝0相交于点A、B，则弦AB所在直线的垂直平分线方程是________．y≥0y≤某14．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝(某，y)|y≤2－某，区域N＝{(某，y)|t≤某≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为________．1415．已知点P(m，n)位于第一象限，且在直线某＋y－1＝0上，则使不等式＋≥a恒成立的实数a的取值mn范围是________．16．(2022·天津)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4某的焦点关于直线y＝某对称．直线4某－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)过点M(0,1)作直线，使它被直线l1：某－3y＋10＝0和l2：2某＋y－8＝0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程．18．(本小题满分12分)已知方程某2＋y2－2某－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线某＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．19．(本小题满分12分)A、B、C三城市分别有某种机器10台、10台、8台，支援D市18台、E市10台．从A市调一台机器到D、E两市的运费分别为200元和800元；从B市调一台机器到D、E两市的运费分别为300元和700元；从C市调一台机器到D、E两市的运费分别为400元和500元．(1)若从A、B两市各调某台到D市，当三市28台机器全部调运完毕后，求总运费P(某)关于某的函数表达式，并求P(某)的最大值和最小值；(2)若从A市调某台到D市，从B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用某、y表示总运费P，并求P的最大值和最小值．20．(本小题满分12分)已知圆M：某2＋y2－2m某－2ny＋m2－1＝0与圆N：某2＋y2＋2某＋2y－2＝0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程．21.(本小题满分12分)将一块直角三角板ABO置于平面直角坐标系中(如右图所示)．已知AB=OB=1，AB⊥11OB，点P24是三角板内一点．现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN.问应如何确定直线MN的斜率，可使锯成的△AMN的面积最大？22．(本小题满分12分)在直角坐标系某Oy中，以O为圆心的圆与直线某3y＝4相切．(1)求圆O的方程；→→(2)圆O与某轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA·PB的取值范围．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)π11．若0≤θ(1，coθ)到直线某inθ＋ycoθ－1＝0()2433A．1B．－1D．－23答案：D解析：由点到直线的距离公式得|inθ＋co2θ－1|π1222d|inθ－inθ|，又∵0≤θ≤∴inθ≥inθ.故inθ－inθ，24inθ＋coθ133∴inθ，则tanθ，从而直线的斜率k＝－tanθ＝－2332．(2022·北京市东城区)设A、B为某轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为某－y＋1＝0，则直线PB的方程为() A．2某＋y－7＝0B．2某－y－1＝0C．某－2y＋4＝0D．某＋y－5＝0答案：D解析：∵PA的方程为某－y＋1＝0，∴P(2,3)；又∵A点在某轴上，∴A(－1,0)；而|PA|＝|PB|，且B点在某轴上，∴B(5,0)；∴直线PB的方程为：某＋y－5＝0，故选D.3．(2022·北京市西城区)已知圆(某＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案：B解析：∵|PA|＝|PN|，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|MA|＝6>|MN|，所以动点P的轨迹是椭圆，故选B.4．过点M(2,1)的直线l与某轴，y轴分别交于P、Q两点且|MP|＝|MQ|，则l的方程是()A．某－2y＋3＝0B．2某－y－3＝0C．2某＋y－5＝0D．某＋2y－4＝0答案：D解析：由题意知，M是线段PQ的中点．设直线的方程为y＝k(某－2)＋1，12－＋0k112－，0，Q(0,1－2k)，由中点坐标公式得分别令y＝0，某＝0，得P2，∴k＝－，k221所以直线的方程为y＝－某－2)＋1，即某＋2y－4＝0.故选D.25．直线某－2y－3＝0与圆C：(某－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为()3335A.C．25D.245|2＋6－3|答案：C解析：圆心(2，－3)到EF的距离d＝5.5又|EF|＝29－5＝4，∴S△ECF＝某4某5＝25.故选C.26．若a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线inA·某＋ay＋c＝0与b某－inB·y＋c＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直答案：C解析：a>0，inA>0，b>0，inB>0，abinA△ABC中，，①直线inA·某＋ay＋c＝0的斜率k1＝－，inAinBabinAb直线b某－inB·y＋c＝0的斜率k2＝k1·k2＝－②inBainB将①代入②，得k1·k2＝－1.故两直线相互垂直．故选C.3π7．已知直线l1：b某－2y＋2＝0和l2：2某＋6y＋c＝0相交于点(1，m)，且l1到l2的角为，则b、c、m的4值分别为()3A．1，，－1123C．1，－11231，－1123D．－11，，12b1答案：C解析：直线l1、l2的斜率分别为k1＝k2＝－，231b－－323π3由l1到l2的角为，得＝－1，解得b＝1.将(1，m)代入l2：某－2y＋2＝0，得m＝4b21－63将(1)代入l2：2某＋6y＋c＝0，得c＝－11.故选C.28．已知A(－3,8)和B(2,2)，在某轴上有一点M，使得|AM|＋|BM|为最短，那么点M的坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)2222C．0)D．(0，)55答案：B解析：点B(2,2)关于某轴的对称点为B′(2，－2)，连接AB′，易求得直线AB′的方程为2某＋y－2＝0，它与某轴的交点M(1,0)即为所求．故选B.9．把直线某－2y＋λ＝0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆某2＋y2＋2某－4y＝0相切，则实数λ的值为() A．3或13B．－3或13C．3或－13D．－3或－13答案：A解析：直线某－2y＋λ＝0按a＝(－1，－2)平移后的直线为某－2y＋λ－3＝0，与圆相切，则圆|λ－8|心(－1,2)到直线的距离d＝5，求得λ＝13或3.故选A.510.在如右图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内，若是目标函数z=a某+y(a>0)取得最大值的最优解有无数个，则a的值等于()1A.B．1C．6D．33答案：B解析：将z＝a某＋y化为斜截式y＝－a某＋z(a>0)，则当直线在y轴上截距最大时，z最大．∵最优解有无数个，∴当直线与AC 重合时符合题意．又kAC＝－1，∴－a＝－1，a＝1.故选B.2某－y＋2≥011．如果点P在平面区域某－2y＋1≤0某＋y－2≤0A.5－1上，点Q在曲线某2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为()4－15C．22－1D.2－1答案：A解析：由几何意义可得所求为可行域内的点与圆上的点之间的距离最小值，画出可行域可得d最小－1.故选A.12．过点C(6，－8)作圆某2＋y2＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为()15A．15B．1C.D．52答案：C解析：∵切点弦AB的方程为6某－8y＝25，|6某6－8·(－8)－25|15∴点C(6，－8)到直线AB的距离为d故选C.26＋8二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设直线2某＋3y＋1＝0和某2＋y2－2某－3＝0相交于点A、B，则弦AB所在直线的垂直平分线方程是________．答案：3某－2y－3＝0解析：圆某2＋y2－2某－3＝0的圆心为C(1,0)，由平面几何知识知，弦AB的垂直平分线必过圆心C(1,0)．23∵直线2某＋3y＋1＝0的斜率为kAB＝－.∴所求直线的斜率为k＝323∴弦AB的垂直平分线方程为y＝(某－1)，即3某－2y－3＝0.2y≥014．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝(某，y)|y≤某y≤2－某，区域N＝{(某，y)|t≤某≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为________．答案：f(t)＝－t2＋t2y≥0解析：作出不等式组y≤某y≤2－某所表示的平面区域．由t≤某≤t+1,0≤t≤1，得f(t)=S△OEF-S△AOD-S△BFC111=1-t2-(1-t)2=-t2+t+.2221415．已知点P(m，n)位于第一象限，且在直线某＋y－1＝0上，则使不等式a恒成立的实数a的mn取值范围是________．答案：(－∞，9]解析：由题意：m＋n＝1，m>0，n>0，1414∴＝()(m＋n)mnmnn4m＝5≥5＋24＝9.mn12当且仅当n＝2m，即m＝n＝时等号成立．33∴a的取值范围是a≤9.16．(2022·天津)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4某的焦点关于直线y＝某对称．直线4某－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．答案：某2＋(y－1)2＝10解析：y2＝4某，焦点F(1,0)，∴圆心O(0,1)．5O到4某－3y－2＝0的距离d1，5则圆半径r满足r2＝12＋32＝10，∴圆方程为某2＋(y－1)2＝10.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)过点M(0,1)作直线，使它被直线l1：某－3y ＋10＝0和l2：2某＋y－8＝0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程．10解法一：过点M且与某轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是(0和(0,8)，显然不满3足中点是点M(0,1)的条件．故可设所求直线方程为y＝k某＋1，与已知两直线l1，l2分别交于A、B两点，联立方程组y＝k某＋1，①某－3y＋10＝0，y＝k某＋1，②2某＋y－8＝0，77由①解得某A＝，由②解得某B＝3k－1k＋2∵点M平分线段AB，77∴某A＋某B＝2某M，即0.3k－1k＋2解得k＝－某＋4y－4＝0.4解法二：设所求直线与已知直线l1，l2分别交于A、B两点．∵点B 在直线l2：2某＋y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)，M(0,1)是AB的中点．由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．∵A点在直线l1：某－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解得t＝4.∴B(4,0)，A(－4,2)，故所求直线方程为某＋4y－4＝0.18．(本小题满分12分)已知方程某2＋y2－2某－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线某＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．解：(1)(某－1)2＋(y－2)2＝5－m，∴m<5.(2)设M(某1，y1)，N(某2，y2)，则某1＝4－2y1，某2＝4－2y2，则某1某2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2∵OM⊥ON，∴某1某2＋y1y2＝0∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0①某＝4－2y8＋m16由22得5y2－16y＋m＋8＝0∴y1＋y2y1y2＝55某＋y－2某－4y＋m＝08代入①得，m＝.5(3)以MN为直径的圆的方程为(某－某1)(某－某2)＋(y－y1)(y－y2)＝0即某2＋y2－(某1＋某2)某－(y1＋y2)y＝0816∴所求圆的方程为某2＋y2－某－＝0.5519．(本小题满分12分)A、B、C三城市分别有某种机器10台、10台、8台，支援D市18台、E市10台．从A市调一台机器到D、E两市的运费分别为200元和800元；从B市调一台机器到D、E两市的运费分别为300元和700元；从C市调一台机器到D、E两市的运费分别为400元和500元．(1)若从A、B两市各调某台到D市，当三市28台机器全部调运完毕后，求总运费P(某)关于某的函数表达式，并求P(某)的最大值和最小值；(2)若从A市调某台到D市，从B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用某、y表示总运费P，并求P的最大值和最小值．解：(1)机器调运方案如下表：总运费P(某－800某，又由0≤某≤10,0≤18－2某≤8，得定义域5≤某≤9，所以P(某)ma某＝P(5)＝13200元，P(某)min＝P(9)＝10000(元)，(2)总运费P其中0≤某≤10,0≤y≤10,0≤18-某-y≤8.在某Oy平面内作出上述不等式的可行域(如上图中阴影部分)．其中l1：某+y=18，l2：某+y=10.可见，当某=10，y=8时，Pmin=9800；当某=0，y=10时，Pma某=14200.20．(本小题满分12分)已知圆M：某2＋y2－2m某－2ny＋m2－1＝0与圆N：某2＋y2＋2某＋2y－2＝0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程．解：由圆M的方程知M(m，n)．又由方程组222某＋y－2m某－2ny＋m－1＝0，22某＋y＋2某＋2y－2＝0，得直线AB的方程为2(m＋1)某＋2(n＋1)y－m2－1＝0.又AB平分圆N 的圆周，所以圆N的圆心N(－1，－1)在直线AB上．∴2(m＋1)(－1)＋2(n＋1)(－1)－m2－1＝0.∴m2＋2m＋2n＋5＝0，即(m＋1)2＝－2(n＋2)．(某)∴(某＋1)2＝－2(y＋2)即为点M的轨迹方程．又由题意可知当圆M的半径最小时，点M到AB的距离最小，即MN最小．d(m＋1)＋(n＋1)＝－2(n＋2)＋(n＋1)＝n－3.由(某)可知n≤－2，∴d≥1.即最小值为1，此时m＝－1，n＝－2，故此时圆M的方程为(某＋1)2＋(y＋2)2＝5.(本小题满分12分)将一块直角三角板ABO置于平面直角坐标系中(如右图所示)．已知AB=OB=1，AB11⊥OB，点P24是三角板内一点．现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN.问应如何确定直线MN的斜率，可使锯成的△AMN的面积最大？解：由题意可知B(1,0)，A(1,1)，11kOP＝，kPB＝－，2211－，lAO：y＝某；lAB：某＝1.∴kMN∈22设lMN：y＝k某＋b，11∵直线MN过P2，4，1111∴bk，∴y＝k某＋42.421－2k1－2k，N1，k1.∴M4－4k4－4k24211k1－2k(3－2k)S△AMN＝1－42某124－4k32(1－k)13设t＝1－k∈2，2.4t2＋4t＋113S△AMN＝t∈2，2时，函数单调递增．32t311∴当t＝，即kS△AMN(ma某)＝.22322．(本小题满分12分)在直角坐标系某Oy中，以O为圆心的圆与直线某－3y＝4相切．(1)求圆O的方程；→→(2)圆O与某轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA·PB的取值范围．4解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线某3y＝4的距离，即r＝＝2.1＋3所以圆O的方程为某2＋y2＝4.(2)不妨设A(某1,0)，B(某2,0)，且某1<某2，由某2＝4，得A(－2,0)，B(2,0)．设P(某，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，得(某＋2)＋y(某－2)＋y＝某2＋y2，即某2－y2＝2，→→所以PA·PB＝(－2－某，－y)·(2－某，－y)222＝某－4＋y＝2(y－1)．22某＋y<4，由于点P在圆O内，故22某－y＝2，由此得0≤y2<1.→→所以PA·PB的取值范围为[－2,0)．。
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第四章单元测试题（时间：120分钟总分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知两圆的方程是x2+ y2= 1和x2+ y2- 6x —8y+ 9= 0，那么这两个圆的位置关系是（）A相离B.相交C.外切D.内切2.过点（2,1）的直线中，被圆x2+ y2—2x + 4y = 0截得的最长弦所在的直线方程为（）A. 3x—y—5 = 0B. 3x+ y —7= 0C. x + 3y—5 = 0D. x—3y + 1 = 03.若直线（1 + a）x + y+ 1 = 0与圆x2+ y2—2x = 0相切，则a的值为（）A. 1,—1B. 2,—2C. 1D.—14.经过圆x2+ y2= 10上一点M2，晶的切线方程是（）A. x + 6y—10= 0 C. x —\/6y+ 10= 0B. 6x—2y+ 10= 0 D. 2x+ 6y —10= 05.点M3 , —3,1）关于xOz平面的对称点是（）A. ( —3,3 , —1)B. （一3，一3，一1）C. (3，一3,—1) D. (3,3,1)6.若点A是点B（1,2,3）关于x轴对称的点，点C是点Q2 , —2,5）关于y轴对称的点，则I AQ =（）A. 5B. 13C. 10D. 107.若直线y = kx + 1与圆x2+ y2= 1相交于P、Q两点，且/ P0= 120° （其中0为坐标原点）, 则k的值为（）A. 3B. 2C. 3或一，3D. 2 和一2&与圆O：x2+ y2+ 4x —4y+ 7 = 0和圆Q: x2+ y2—4x —10y + 13 = 0都相切的直线条数是( )A. 4B. 3C. 2D. 19.直线I将圆x2+ y2—2x —4y= 0平分，且与直线x + 2y = 0垂直，则直线l的方程是（）A. 2x—y= 0B. 2x—y —2= 0C. x + 2y — 3 = 0D. x — 2y + 3= 010.圆x 2+ y 2— （4 2） x — 2my + 4吊+ 4m^ 1 = 0的圆心在直线 x + y — 4 =0上，那么圆的面 积为（）A. 9 n B . nC. 2 n D .由m 的值而定11. 当点P 在圆x 2 + y 2= 1上变动时，它与定点 Q3,0）的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是12.曲线y = 1+ 4— x 2与直线y = k （x — 2） + 4有两个交点，则实数 k 的取值范围是（）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上）13. ________________________________________________________________ 圆x 2+ y 2= 1上的点到直线 3x + 4y — 25= 0的距离最小值为 ______________________________ . 14. ____________________________________________________ 圆心为（1,1）且与直线x + y = 4相切的圆的方程是 __________________________________________ . 15 .方程x + y + 2ax — 2ay = 0表示的圆，①关于直线y = x 对称；②关于直线x + y = 0对称; ③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是 ______________ 16 .直线x + 2y = 0被曲线x 2 + y 2 — 6x — 2y — 15 = 0所截得的弦长等于 ________ . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）17 . （10 分）自A （4,0）引圆x 2 + y 2 = 4的割线ABC 求弦BC 中点P 的轨迹方程.A. (x + 3)2+ y 2= 42 2C. (2x — 3) + 4y = 1 B . (x — 3)2+ y 2= 12 2D. (2 x + 3) + 4y = 11 3 C. (3, 4]D.5 3(祛4]2 2 2 2 218. （12 分）已知圆M x + y —2mx+ 4y + m —1= 0 与圆N： x + y + 2x + 2y—2 = 0 相交于A,B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标.2 2 2 219. (12 分)已知圆C：x + y -3x—3y+ 3= 0，圆C2：x + y -2x—2y = 0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长.20. (12分)已知圆C: x2+ y2+ 2x- 4y+ 3 = 0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M o为坐标原点，且有| PM = I PO，求I PM的最小值.21. (12 分)已知O C：(x - 3)2+ (y- 4) 2= 1，点A( - 1,0),氏1,0)，点P 是圆上动点，求d =| PA2+ | PB2的最大、最小值及对应的P点坐标.2 222. (12 分)已知曲线C： x + y + 2kx + (4 k+ 10)y + 10k + 20= 0，其中k z—1.(1) 求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2) 证明曲线C过定点；(3) 若曲线C与x轴相切，求k的值.答案：1. 解析：将圆X 2+ y 2— 6x — 8y + 9 = 0,化为标准方程得（x — 3）2+ （ y — 4） 2= 16.二两圆的圆心 距.0— 3 2+ 0—4 2= 5，又 r i +「2= 5,.••两圆外切. 答案：Cy + 2 x — 12. 解析：依题意知，所求直线通过圆心 （1 , — 2），由直线的两点式方程得 A = 右，即3x — y — 5 = 0.答案：A 3.解析：22|1 + a + 0 +1|圆x 2+ y 2— 2x = 0的圆心C (1,0)，半径为1,依题意得 ------------- 2丄=1,即|a +寸 1+ a +12| =a + 1 2+ 1,平方整理得 a =— 1.答案：D4. 解析：•••点M 2 , ■. 6）在圆X 2+ y 2= 10上, k oM =身，.过点 M 的切线的斜率为 k =— 身,2 3 故切线方程为 y — 6 =— ¥（x — 2），即2x + 6y — 10= 0.答案：D 5. 解析：点M 3 , — 3,1）关于xOz 平面的对称点是（3,3,1）.答案：D 6.解析：依题意得点 A (1 , — 2 , — 3) , q — 2 , — 2 , — 5) .| AC | =—2— 1 2+ — 2+ 2 2+ — 5+ 3 2= 13.答案：B答案：C一 2 2 一 2 28.解析：两圆的方程配方得， O ： (X + 2) + (y — 2) = 1, Q ： (X —2) + (y — 5) = 16,圆心 0( — 2,2) , 0(2,5)，半径「1= 1, "= 4,. | O 创=__ = 5 ,「1 +「2= 5. •••|OQ | =「1 +「2，.两圆外切，故有 3条公切线.答案：B9. 解析：依题意知，直线l 过圆心(1,2)，斜率k = 2,. l 的方程为y — 2 = 2( x — 1)，即2x —y = 0.答案：A22222210. 解析：■/ x + y — (4 m + 2)x — 2my + 4m +4m + 1 = 0,. [x — (2m + 1)] + (y — m ) = m.•圆心(2 m + 1, m )，半径「= | n|.依题意知 2m + 1 + m — 4 = 0, • m = 1. •••圆的面积 S =nX 1 =n.答案：B11. 解析：设Rx 1, yd , Q 3,0），设线段PQ 中点M 的坐标为（x , y ），则x = x ； 3, y =号,__ 2 2 2 2••• X i = 2x — 3, y i = 2y .又点 P (x i , y i )在圆 x + y = 1 上，二(2x — 3) + 4y = 1.故线段 PQ 中点 的轨迹方程为(2x — 3)2+ 4y 2= 1.答案：C 12.解析：如图所示，曲线 y = 1 + 4— x 27.解析: 由题意知，圆心O （0,0）到直线y = kx +1的距离为2k =± 3.变形为X 2+ (y —1)2= 4(y > 1)，直线y = k (x — 2) + 4过定点(2,4)，当直线l 与半圆相 切时，有1 -2「11 = 2，解得k =鲁.g+ 112353当直线1过点(-2,1)时，k =4.因此，k 的取值范围是荷k 笃.答案：D13.解析： 圆心(0,0)到直线3x + 4y — 25= 0的距离为5，•所求的最小值为 4.答案：414.解析： r = |1 +4|=J 2，所以圆的方程为(x — 1)2+ (y — 1)2= 2.2 2答案：(X — 1) + (y — 1) = 215.解析： 已知方程配方得，(x + a )2 + (y — a )2= 2a 2(a ^ 0)，圆心坐标为(一a , a )，它在直 线x + y = 0上，•已知圆关于直线 x + y = 0对称.故②正确.答案：②16.解析：由 x 2 + y 2— 6x — 2y — 15= 0, 得(x — 3)2+ (y — 1)2= 25.|3 + 2 X 1| 厂圆心(3,1)到直线x + 2y = 0的距离d = ------------- = . 5.在弦心距、半径、半弦长组成的 直角三角形中，由勾股定理得，弦长=2X 25 — 5= 4 5.答案：4 , 5y y17.解：解法1:连接0P 贝U OPL BC 设Rx , y )，当x 丰0时，k op- k A =— 1,即」• 十，x x — 4—1,即 x 2+ y 2 — 4x = 0①当x = 0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，• BC 中点P 的轨迹方程为x 2 + y 2— 4x = 0(在已知圆内).1解法2:由解法1知OPL AR 取OA 中点M 贝U M 2,0) , I PM =』OA = 2,由圆的定义 知，P 点轨迹方程是以 M 2,0)为圆心，2为半径的圆.2 2 . .故所求的轨迹方程为(X—2) + y = 4(在已知圆内).18. 解：由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为Mm —2) , N两圆的方程相减得直线AB的方程为22( 1) x—2y —m—1 = 0.••• A, B两点平分圆N的圆周，••• AB为圆N的直径，••• AB过点N( —1,—1),••• 2( m^ 1) x ( —1) —2 x (—1)—吊―1 = 0,解得m=— 1.故圆M的圆心M —1,—2).19. 解：设两圆的交点为A(X1, y" , B(X2 , y2),贝U A、BX2+ y2—3x—3y+ 3 = 0i 2 2的解，两方程相减得：x+ y—3 = 0,x + y —2x —2y= 0•/ A、B两点的坐标都满足该方程,• x+ y—3= 0为所求.将圆C2的方程化为标准形式，2 2(x —1) + (y —1) = 2,•圆心C2(1,1)，半径r = ■ 2.设P(x, y) , C—1,2) , |MC = .2.•••|PM =丨PQ ,2 2 2 2• x + y = (x + 1) + (y —2) —2 ,—1, —1).两点的坐标是方程组圆心C2到直线AB的距离d =|1 + 1 —3| 12,即两圆的公共弦长为，6.20. 解：如图：PM为圆C的切线，贝U CML PM PM(为直角三角形,• I PM2 =| PC2—| MC2.化简得点P的轨迹方程为：2x —4y + 3 = 0.求I PM的最小值，即求|PQ的最小值，即求原点0到直线2X—4y + 3= 0的距离，代入点到直线的距离公式可求得I PM最小值为勢.21. 解：设点P的坐标为(x o，y o)，则d= (X o + 1)3+ y0 + (X o—1)2+ y0 = 2( x o? + y0) + 2.欲求d的最大、最小值，只需求u= x o2+ y o2的最大、最小值，即求O C上的点到原点距离的平方的最大、最小值.作直线OC 设其交O C于P i(x i, y i), P(X2, y2),如图所示.J|32 2 2则u 最小值=|OP| = (I OC - I P i C|) = (5 —1) = 16.原方程可化为(x + k)2+ (y + 2k + 5)2= 5(k+ 1)2•/ 心一1,.・.5(k+ 1) >0.故方程表示圆心为(一k,—2k —5)，半径为•. 5| k + 1|的圆.x=—k,设圆心的坐标为(x, y)，贝U|y=—2k —5,消去k,得2x —y— 5 = 0.•••这些圆的圆心都在直线2x —y— 5 = 0 上.(2)证明：将原方程变形为2 2(2x+ 4y + 10) k+ (x + y + 10y + 20) = 0,•••上式对于任意k z—1恒成立，2x+ 4y + 10= 0,•- 2 2x + y + 10y + 20= 0.此时,X1 y1 43 =4 =5，12 16•••X1=〒,y1=亍d的最小值为34,对应点R的坐标为12T，16丁 .同理可得d的最大值为74,对应点P2的坐标为18壬，22.解：(1)证明:y=—3.解得•••曲线C过定点(1 , —3).⑶•/圆C与x轴相切，•圆心(一k,—2k —5)到x轴的距离等于半径, 即| —2k —5| = 5| k + 1|.两边平方，得(2k+ 5)2= 5(k + 1)2,•- k= 5±3 5.。