线性代数期末试题及答案

工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷

一、填空题（每小题2分，共20分）

1.如果行列式233

3231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------33

32

31232221

13

1211

222222222a a a a a a a a a 。 2.设2

3

2

6219321862

131-=

D ，则=+++42322212A A A A 。

3.设1

,,4321,0121-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= 。

4.设齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则=a 。

5.A 、B 均为5阶矩阵，2,2

1

==

B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。

7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则

*A 的一个特征值可表示为 。

8.若31212322

212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的围是 。 9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。

二、单项选择（每小题2分，共10分）

1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=λ++=+λ+=++λ0

00321

321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）

A .1或2

B . －1或－2

C .1或－2

D .－1或2.

2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为

1,1,2,3-，则=A （ ）

A .5

B .-5

C .-3

D .3

3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）

A .0=+

B A B .））B r A r ((=

C .O A =或O B =

D .0=A 或0=B

4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是

（ ）

A ．21+ββ

B ．

()21235

1

ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-

5. 若二次型3231212

3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ）

A . 1

B .2

C . 3

D . 4

三、计算题 (每题9分，共63分)

1.计算n 阶行列式a

b

b

b a b b b a

D n

=

2. 设B A ,均为3阶矩阵，且满足B A E AB +=+2，若矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=101020101A ，

求矩阵B 。

3.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=769,103,321321ααα和⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01,12,110321b a βββ；

已知3β可以由321,,ααα线性表示, 且321,,ααα与321,,βββ具有相同的秩,求a ,b 的值。

4. 已知向量组⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα

（1）求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组； （2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

5. 已知线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=+--=+++=+++a

x x x x x x x x x x x x 4321

432143219105363132

（1）a 为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.

6. 设矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=2001,1141D P ，矩阵A 由关系式D AP P =-1确定，试求5A

7.将二次型3231212322

213214222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。

四、证明题（7分）

已知3阶矩阵O B ≠，且矩阵B 的列向量都是下列齐次线性方程组的解

⎪⎩⎪

⎨⎧=-+=+-=-+0

3020232

1321321x x x x x x x x x λ，

（1）求λ的值；（2）证明：0=B 。

参考答案与评分标准

一.

填空题

1．-16； 2. 0；3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21107； 4. 1； 5.-4； 6. ⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=121242121665

5A ； 7.λ1A ；8.3535<<-

t ； 9. 2

π

； 10. 24。 二. 单项选择： 1. C ； 2. A ；3. D ； 4. B ； 5. C . 三.计算题：

1. a

b

b a b b b n a a b b

b a b b b a

D n

1

11]

)1([-+==

4分

1)]()1([0

001]

)1([---+---+=n b a b n a b

a b a b b

b n a

9分

2. B A E AB +=+2

⇒E A B AB -=-2

⇒))(()(E A E A B E A +-=-

3分 因为⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛-=-00101

010

0E A 显然可逆 6分

则 ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-=+=201030102101020

101E E A B

9分

3. ,3/3/52100012

6093101713602931⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b b b b 3分 即5=b ，且2),,(321=αααr 5分 那么2),,(321=βββr ，则

6分 ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0150130121

501301*********a a b a ，即15=a 9分