高中数学第一轮总复习 第2章 第8讲 函数的奇偶性与周期性课件 理 新课标

3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝ －f(x)，则f(6)的值为___0_____
【解析】方法1：因为f(x)是奇函数， 所以f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0， 所以f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0. 方法2：因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数． 又因为f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0， 所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.
如本题中(4)，判断f(x)＋f(－x)＝0是 否成立，要方便得多．本题(3)是分段函数 判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同 子集有不同对应关系的函数．分段函数奇 偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等 式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立， 只有当对称的两个区间上满足相同关系时， 分段函数才具有确定的奇偶性．
0)
f来自百度文库
x
＝
1 2x
－ 1
1 2
.
【解析】1由1 x 0，得－1 x 1，
1 x
故f x的定义域关于原点对称．
又f (－x)＝lg 1 x ＝lg(1 x )－1 1 x 1 x
＝－lg 1 x ＝－f x，
1 x 故原函数是奇函数．
2由1 x 0，得－1 x 1，定义域不
1 x 关于原点对称，故原函数是非奇非偶函数．
1.函数f(x)=ax2+bx+3a+b是区间[a-1,2a]上
1 的偶函数，则a= ___3__，b= __0___ .
2.若函数y f x是R上的奇函数，且x 0时，
f x x2 x 1，则x 0时，函数f x的解
析式为 f
x
x2
x
1 x
0
0x 0
解析：x<0时，-x>0，所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+(-x)+1]
则f x为周期函数，且4T是它的一个周期．
令x＋y＝0，即y＝－x，
得f 0＝f x＋f (－x)，即f (－x)＝－f x， 故f x为R上的奇函数． 2由f (－3)＝a，f (x＋y)＝f x＋f y， f x为奇函数得f 12＝2f 6＝4f 3
＝－4f (－3)＝－4a.
1．函数的奇偶性是函数在其定义 域上的整体性质，定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件．因此，判断函数的奇偶性，一要 看定义域是否关于原点对称；二要看 f(x)与f(－x)的关系．
=-x2+x-1；x=0时，f(-0)=-f(0)得f(0)=0，
所以x≤0时，函数f(x)的解析式为
f
x
x2
x
1 x
0
0 x 0
函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性．
1 f x＝lg1 x；2 f x＝(x－1) 1 x；
1 x
1 x
3
f
x
＝
x 2
x
2
x(x x(x
0)； 4
1. 若 函 数 y ＝ (x ＋ 1)(x － a) 为 偶 函 数 ， 则a＝____1_____
【解析】由f(－1)＝f(1)，得0＝2(1－ a)，所以a＝1.
2.(2011·安徽卷)设f(x)是定义在R上的奇函数， 当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)= ___-_2_.
解析：f(1)=-f(-1)=-[2(-1)2-(-1)]=-3.
1若函数f x满足f (x＋T )＝－f x (T 0)， 则f x是周期函数，且2T是它的一个周期． 2若函数f x满足f (x＋T )＝ 1 (T 0)，
f x
则f x是周期函数，且2T是它的一个周期． 3若函数f x满足f (x＋T )＝1 f x (T 0)，
1 f x
f x 2 故其一个周期为4.
2由f (2＋x)＝－f (2－x)，
令u＝2－x，则x＝2－u，
故f u＝－f (4－u)，即f x＝－f (4－x)．
用－x代x，得f (－x)＝－f (x＋4)．
结合1知，f (－x)＝－f x， 所以函数f x是奇函数．
在抽象函数讨论中，函数的奇偶性、 周期性与函数图象的对称性是紧密联系 在一起的，如偶函数具有对称轴x＝ a(a>0)，则一定是周期函数．因为图象 关于x＝a(a≠0)对称，则f(a－x)＝f(a＋x) 成立，所以f(2a＋x)＝f[a＋(a＋x)]＝f[a －(a＋x)]＝f(－x)＝f(x)，所以周期为2a.
【变式练习1】 判断下列函数的奇偶性．
1 f x＝ 1 x2＋ x2 1； 2 f x＝ lg1 x2 ；
| x 2 | 2
3 f x＝lg(x＋ x2 1)．
4 f x＝2x x
x 1 x 1
【解析】1因为定义域{－1,1}关于原点对称， 且f (－x)＝ f x，
所以原函数既是奇函数又是偶函数．
求周期函数的函数值，要根 据函数的周期性，将自变量的范 围转化到已知区间上，利用已知 区间上函数的表达式求函数值．
【变式练习3】 已知函数f(x)(x∈R)的图象经过原点， 且f(x＋2)＝f(x＋5)，求f(2010)的值．
【解析】令u＝x＋2，得x＝u－2， 则f(u)＝f(u＋3)，所以函数f(x)的周期为3. 依题意，f(0)＝0，且2010＝670×3， 所以f(2010)＝f(0)＝0.
函数的周期性
【例3】 偶 函 数 f(x) 满 足 f(x ＋ 3) ＝ － f(x) ， 当 x∈[－3，－2]时，f(x)＝2x，求f(116.5) 的值．
【解析】因为f(x＋6)＝f[3＋(x＋3)]＝－ f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝6. 又116.5＝19×6＋2.5， 所以f(116.5)＝f(2.5)＝f(－2.5)＝2×(－ 2.5)＝－5.
函数的奇偶性、 周期性的综合
【例4】
已知f x是定义在R上的函数，f (2＋x)＝－f
(2－x)，f (x＋2)＝－ 1 . f x
1函数f x是不是周期函数，
若是，求出其一个周期；
2判断f x的奇偶性．
【解析】1 f x是周期函数． 因为f (x＋4)＝f [2＋(x＋2)]＝－ 1 ＝f x，
函数奇偶性的应用
【例2】
若函数f x＝loga (x＋ x2 2a2 )是奇
函数，求实数a的值．
【解析】定义法：由f x＋f (－x)＝0，
得loga (x＋ x2 2a2 )＋loga ( x2 2a2－x)＝0， 即loga 2a2＝0，所以2a2＝1. 因为a 0，所以a＝ 2 .
3．奇函数f(x)如果在x＝0处有意义，则 必有f(0)＝0，即奇函数的图象若与y轴有交点， 则交点一定是原点．
4．如果一个函数既是奇函数又是偶函 数，则这个函数的函数值恒为0，且定义域 关于原点对称．
5．函数的周期性亦是函数在其定义域 上的整体性质，它反映了函数值周期变化的 规律．值得注意的是周期函数不一定存在最 小正周期．注意以下几个常用结论：
2．判断函数奇偶性的方法一般有两 种：一是定义法，步骤：看定义域是否关 于原点对称，若不对称，则该函数为非奇 非偶函数；若对称，则看解析式能否化简， 能够化简的，一定要化简解析式；看f(x)与 f(－x)的关系，可以直接观察，也可以用定 义的变形式；二是图象法，作出图象，根 据图象的对称性得出结论，一般分段函数 的奇偶性的判断多用图象法．
2由1－x2 0，得－1 x 1， 则 | x－2 |－2＝－x，且f (－x)＝－f x，
故原函数是奇函数．
3因为定义域为全体实数，且
f (－x)＝lg( 1 x2－x)＝lg 1 1 x2 x
＝－lg(x＋ 1 x2 )＝－f x，
故原函数是奇函数．
4 因为定义域是R，关于原点对称， 作出函数f x的图象，可知是偶函数．
【变式练习4】 f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋3) ＝f(3－x)．若x∈(0,3)时，其解析式为y ＝x2＋1，求x∈(－6，－3)时，函数f(x) 的解析式．
【解析】因为f(x)在R上是奇函数， 所以f(6＋x)＝f[3＋(3＋x)]＝f[3－(3＋x)] ＝f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝－f(x＋6)． 当x∈(－6，－3)时，x＋6∈(0,3)， 所以f(x＋6)＝(x＋6)2＋1， 则f(x)＝－x2－12x－37(x∈(－6，－3))．
－2－x－log2 (－x)(x 0)
5.已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．
【解析】1证明：显然f x的定义域关于
原点对称．
在f (x＋y)＝f x＋f y中， 令x＝y＝0，得f 0＝0.
2 性质法：因为奇函数的定义域为全体实数， 所以函数在原点有定义，
则f 0＝0，即loga 2a2＝0，
则2a2＝1，得a＝ 2 . 2
抓住奇函数的定义或特殊性质， 是解决此类问题的重要法宝．
【变式练习2】 设a，b R且a 2，定义在D上的函数
f x＝lg 1 ax 是奇函数，求定义域D.
＝1 2x 1
1 2
2x 1 2x
－
1 2
＝
1 2
－
2
1 x
＝－f 1
x ，
故原函数是奇函数．
在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件， 一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇 偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对 解决问题是有利的； 二是判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在 判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的 等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－ f(－x)＝0(偶函数))是否成立，这样能简化运算．
3 f x的定义域为(－，0) (0，＋)，
它关于原点对称．
又当x 0时，f x＝x2＋x，则当x 0时，－x 0，
故f (－x)＝x2－x＝f x；
当x 0时，f x＝x2－x，则当x 0时，－x 0，
故f (－x)＝x2＋x＝f x．
故原函数是偶函数．
4因为f x的定义域为R，且f (－x)
4.已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝2x＋log2x，求函数f(x)的解析式．
【解析】设x 0，则－x 0， 所以f (－x)＝2－x＋log2 (－x)，
那么f x＝－f (－x)＝－2－x－log2(－x)． 又f 0＝0，
所以f x＝02(x＋x lo0g)2x(x 0)
1 2x
【解析】由f x＋f (－x)＝0，得lg 1 ax ＋lg 1 ax ＝0，
1 2x 1 2x
即lg
1 a2x2 1 4x2
＝0，所以1－a
2
x
2＝1－4x2，得a
2＝4.
又a 2，所以a＝－2.
故函数的定义域D由1 2x 0确定， 1 2x
解得- 1 <x< 1 . 22
故原函数的定义域D为(- 1 ，1 ) 22