高分子流变学 习题课1

解
（1）
pwh3 qv 12 l pwh3 = 12qv l
代入已知条件，解得
（2） =2.81Pa.s p 根据 y
当y=h/2,壁面处的剪切速率为
l
6.67s1
（3） 当y=h/2,壁面处的剪切应力为
18.75Pa
（4） 当y=0, 中央平面处的流动速度最大
解：采用柱面坐标系（r，θ，z），假设流体的 粘度为μ，壁面处流体速度为零，流体沿周向和径 向速度为零，只有轴向速度，即
vz vz ( r ) vr v 0
取任意半径为r的圆柱单元体，根据受力平衡
2 rl rz p r 2 0
解得
pr rz 2l

dvz rz pr dr 2l
R
max
p h 0.025m / s 2l 2
2
题5 如图所示为旋转黏度测定仪，该测定仪由内外两圆筒组成，
外筒以角速度Ω旋转，通过内外筒之间的油液，将力矩传 递内筒；内筒上下两端用平板封闭，上端固定悬挂于一金 属丝下，通过测量金属丝扭转角度确定内筒所受的力矩为 M,若内外筒之间的间隙为δ1，底面间隙为δ2，筒高为L ，为了修正底面边界效应的影响，通常更换不同高度的外 筒进行同一转速的力矩的测定。计算油液粘度。
解:(1) 内圆筒剪切速率为
(2) 内圆筒剪切速率最大
2 2Ro 内 2 100 2 Ro Ri .
内
.
2R 2 Ro Ri2
2 o
外圆筒剪切速率为
解得
2Ri2 外 2 Ro Ri2
.
(3) 根据粘度计算公式
5rad / s 47.77r / min
Mo Mo Ri2 R02 w(r ) dw(r ) dr C 2 2 C 3 2 2 2 r l 4 r l r Ri R0
由边界条件r=Ro时，ω（r）=0
于是得到角速度函数
Ri2 C 2 2 Ri R0
Ri2 (r 2 Ro 2 ) w(r ) 2 2 r Ri 2 R0
4um r du 2 dy R
4um r 2 R
（2）壁面处流体受力平衡
2 Rl p R 2 8l um p R2
（3）
qv
R
0
du 2 rdru um R 2 dy
题4 已知一牛顿流体在狭缝中流动，狭缝高为15mm，宽 为320mm，长为200mm，测得入口处的压力为500Pa, 在30秒测得流出体积为2.4L. (1)求出该流体的粘度。 (2)计算壁面处的剪切速率。 (3)计算壁面处的剪切应力。 (4)计算流动过程中最大速度。
（ 1）
根据剪切速率的定义、牛顿流体方程
将式(1)变形得 pr dvz dr 2l 对方程两边进行不定积分，得 pr 2 vz =+C 4l 根据边界条件r=R, vz 0, 解得 pR 2 C= 4l 于是速度分布方程为 pR 2 pr 2 p vz = = R 2 -r 2 4l 4l 4l
于是流体的径向周向速度
Ri2 (r 2 Ro 2 ) v rw(r ) r Ri 2 R02
剪切速率
2 r rdw(r ) 2Ri2 R0 (r ) 2 2 2 dr r ( Ri R0 )
剪切应力
r
于是
M0 (r ) 2 lr 2
0 xy xz T偏 yx 0 yz zx zy 0
代入应力值 无Z方向的剪切应力
0 T偏 2000 0
2000 0 0
0 T偏 yx 0
0 0 0
xy
0 0
0 0 0
同轴环隙中的旋转流动也叫做库埃特流动，是指在外圆筒和内圆筒之间环 形部分内的流体中的任一质点仅围绕着内外管的轴以角速度ω（rad/s） 做圆周运动，没有沿轴向和径向的流动。
设外圆筒与内圆筒之间间隙充满牛顿流体，内圆筒以角速度Ω旋转，外圆筒固定。 环隙外径为Ro，内径为Ri
采用柱面坐标系 （r，θ，z）， 只是绕轴的圆周 运动， τrz= τθz=0
应力张量
xx xy xz T yx yy yz zx zy zz
无Z方向的剪切应力
xx xy 0 T yx yy 0 0 zz 0
其中由于流体无压缩膨胀变形，故
xx yy zz
第三章 线性粘性流动
题1
如图所示，流体沿x轴方向作层状流动，在y轴方向有速度 梯度。在t=0时，任取高度为dy的矩形微元面底边坐标为 y，对应的流体速度为u(y);经过dt时间段后，矩形微元面 变成如图所示的平行四边形，原来的α角变为α-dα，其 剪切变形速率定义为dα/dt(单位时间内因剪切变形产生的 角度变化)。试推导证明：流体的剪切变形速率等于流体的 速度梯度，即 d du 证明： dt dy
M e1 M1 M c

M e1 1 M Mc 1 1 1 ( 2 2) 1 ( 2 2) 4l Ri R0 4l Ri R0
作业：
分析牛顿流体在两平板狭缝间作简单剪 切流动过程中的应力张量、速度梯度张 量（剪切速率）以及应变速率张量。
3.1.2.4同轴环隙中的旋转流动
aa u ( y )dt
bb u ( y )dt u ( y )dt u dt y
bb aa du tan d dydt d dy dy d du dt dy
du dt dy
题2 如图所示，采用平板拖曳流动（简单剪切流动）进行牛顿流体 粘度测试，已知板间距为2mm，上板的宽为5cm，长为10cm， 以每秒0.1m/s的速度向前拖动，测得上板拖动的力为10牛顿。 (1)求流体剪切流动时剪切速率的大小。 (2)计算流体的粘度。 (3)写出流体在该剪切速率下的偏应力张量、速度梯度张量、应 变速率张量的大小。
只有τ
rθ=
τθr
周向剪切速率：
对于离轴线r的周向流体层的作用扭矩M（r）为：
径向为r的圆周面剪切速率为（根据牛顿流体方程）

r rdw(r ) M (r ) dr 2 r 2l
对不同位置M(r)=M0，上式变形为
Ro
Mo dw(r ) dr 3 2 r l
积分
解:(1) 内圆筒剪切速率为
(2) 内圆筒剪切速率最大
内 Байду номын сангаас
.
2R 2 Ri2 Ro
2 o
2Ro2 内 2 100 2 Ri Ro
.
外圆筒剪切速率为
解得
2Ri2 外 2 2 Ri Ro
.
5rad / s 47.77r / min
(3) 根据粘度计算公式
已知理想条件下流体粘度计算公式：
M0 1 1 ( 2 2) 4l Ri R0
解
理想条件外筒所需的旋转扭矩为
M e 2 Rol r 实测扭矩为 M =M e +M c 当壁面剪切速率相等时， M 1 -Mc M 2 -M c r = 2 R ol1 2 R ol2 解得 Mc= M 1l2 -M 2l1 l2 l1
P 20
题3 如图所示，已知圆形管道中牛顿流体层流流动时的速度分布为
其中 um 为管内流体的平均速度。 （1）设流体粘度为μ，求管中流体的剪应力τ的分布公式； （2）如长度为L的水平管道两端的压力降为Δp的表达式； （3）求整个圆截面的体积流量。
r2 u 2um (1 2 ) R
解
（1）
解：（1）
v y v y 代入已知条件 v =0.1m/s, y=0.002m得
50s -1
(2)
F 根据 A 代入已知条件 2000Pa 根据牛顿流体定律
= =40Pa.s
(3)
偏应力张量
xx xy xz xx 0 0 0 xy xz T yx yy yz 0 yy 0 yx 0 yz zx zy zz zx zy 0 0 0 zz
速度梯度张量
vx x v y L x vz x vx y v y y vz y vx 0 z v y v y 流体无压缩（膨胀） L z x vz vz x z vx y 0 vz y vx z v y z 0
M0 1 1 ( 2 2) 4l Ri R0
在固定内壁面 r=Ri：
w(r )
在固定外壁面 r=Ro：
w(r ) 0
v 0
v Ri
2Ro2 2 2 Ri Ro
. .
2Ri2 2 2 Ri Ro
例题 要设计一台同轴圆筒式粘度计，其中内筒固定，外筒旋转，使 在环隙内的液体周向拖曳流动时，内外的剪切速率的差在 10%之内。外圆筒半径10cm，高10cm。 1）内圆筒最小直径为多少？内外圆筒之间的环隙多大？ 2）如果此粘度计内流体 . <100s-1,圆筒的最大转速（r/min）多 少？ 。 3）如果粘度计内充满20 C的甘油，其μ=1.496Pa.s。外圆筒以 最大转速旋转，需多大的消耗功率？
Ri
dw(r )
Ro
Ri

Mo dr 3 2 r l
2 4 lRi2 R0 M0 2 Ri2 R0
积分并由边界条件r=Ro，ω=Ω得
M0 1 1 w( Ro ) w( Ri ) 2 2 4 l Ri R o
代入
2 4 lRi2 R0 M0 2 Ri2 R0
根据题意
2 内 - 外 Ro Ri2 10% 2 内 Ro 解得
M0 1 1 ( 2 2) 4l Ri R0
解得
M 0 0.8465N.m
P M o 4.23W
Ri 9.49cm
作业
1 绘出简图并推导牛顿流体在稳定的同轴环隙中的旋转拖曳流 动的角速度、周向速度、剪切速率分布方程。 2 要设计一台同轴圆筒式粘度计，其中内筒旋转，外筒固定， 使在环隙内的液体周向拖曳流动时，内外的剪切速率的差在 10%之内。外圆筒半径10cm，高10cm。 1）内圆筒最小直径为多少？内外圆筒之间的环隙多大？ . -1,圆筒的最大转速（r/min）多 2）如果此粘度计内流体 <100s 少？ 。 3）如果粘度计内充满20 C的甘油，其μ=1.496Pa.s。内圆筒 以最大转速旋转，需多大的消耗功率？
无z方向速度
y方向无速度
0 L 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0
50 0 0
0 0 0
应变速率张量
0 1 T E (L L ) 2 2 0
r到r+dr的圆柱体的体积流量
dqv vz (2 rdr )
整个圆截面的流量，积分得：
pR4 qv dqv vz 2 rdr 8l 0 0
2 i
根据题意
内 - 外 R R 10% 2 内 Ro
2 o
M0 1 1 ( 2 2) 4l Ri R0
解得
解得
M 0 0.8465N.m
Ri 9.49cm
P M o 4.23W
作业：
1.绘出简图并推导牛顿流体在圆管道内压力流动的 速度和流量方程。