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高三数学分布列和期望

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课时考点19 统计-----随机变量的分布列和期望

高考考纲透析：

等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差

高考风向标：

离散型随机变量的分布列、期望和方差

热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望

[样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)

甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到）

本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。解：单局比赛甲队胜乙队的概率为，乙队胜甲队的概率为1－＝

比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝

330.60.40.28+=

比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。因而

P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=

比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。因而

P （ξ＝5）＝2224

0.60.40.6C ⨯⨯⨯＋22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯=

所以ξ的概率分布为

ξ的期望E ξ＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝

变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白

球，从A 中摸出一个红球的概率是3

1

．

(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率．

(Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．

(i)

(ii) 求恰好摸5次停止的概率；

(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．

解：(Ⅰ) 33

35

12140

333243

C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(Ⅱ)（i ）22

24

1218

33381

C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；

由n 次独立重复试验概率公式()()

1n k

k k

n n P k C p p -=-，得

()5

05

132013243

P C ξ⎛⎫

==⨯-=

⎪⎝⎭；

()3

2

3511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（或()328021731243243P ξ+⨯==-=）

随机变量ξ的分布列是

ξ的数学期望是

热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列

[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：

（Ⅰ）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 解法一：

（Ⅰ）32

45151210

26=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.

（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.

列：

故ξ有分布

从而期望.1615

1

6015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE

解法二：

（Ⅰ）,32

4530)(2

10

241614==+=C C C C P

（Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一

由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.

变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0，若一周

5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：

（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）；

（Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）

解：以ξ表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则ξ~B （5，0 2）

（Ⅰ）.21.08.02.0)2(3225≈⨯⨯==C P ξ

（Ⅱ）以η表示利润，则η的所有可能取值为10，5，0，－2

)3()2(≥=-=ξηP P η∴的概率分布为

∴利润的期望=10×0 328+5×

0×0 205－2×0 057≈5 2（万元） [样题3] (2005年高考·江西卷·理19)

A 、

B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.

（1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ.

解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤=+=-915

||ξξn m n m ，可

得：

（2）;64

5)21(2)7(;161322)21(2)5(7

155=====

⨯==C P P ξξ 变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练