平面简谐波的波动方程
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方向的运动情况.
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
xu t （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 c) c m π [ o 2 (s - .) 1 t5 ( 0 .0 0 c- 1 s ) m 1 x ].
t
u
a 2 t2 y 2 A co (t su x )[ ]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
v y A si (n t x [ ) ]
t
u
二 波动方程的物理意义
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
y co ( t x s ) u [ ] c2 o ( t s T x ) [] m
u2
222
2）求t1 .0 s波形图.
y 1 .0 co 2π (st[x)π ] m 2 .02 .0 2
t 1 .0 s
波形方程
y1.0coπsπ (x) m 2
1.0siπ nx)( m
波形图为 y / m
pO
2π
x
p 2 π x 2 π T x u u x ypA co ts (p)
点 P 振动方程
ypAcos(tu x)
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x0,0 O A
x
点 O 振动方程 y O A co t s)(
波 yAco(st [x)]u沿x轴正向
动 方
yAco(st [u x)]u沿 x轴负向
u
T
1 当 x 一定时， 波动方程表示该点质点的简谐
振动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
[( t x ) ] [( t 0 ) ] x 2 x
u
u
u
x 2πx
u
λ
2u
y (x ,t) y (x ,t T )（波具有时间的周期性--振动周期性）
波线上各点的简谐运动图
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ）
➢ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
1 T
100Hz，u 4 m s 0 1
（2）先求 t = 0 时波形方程并画波形图：
y0 .0c 2o 2 s t x 0 .010 .4 0 .0 c2 5 o x ( m )s ( 周 波 期 : 0 长 .4m
t = 0→0.0025(s)，波向 x 轴正向前进距离
1 ( t x u 1 ) 2 π ( T t x 1 )
波程差
x x x 2 ( t x u 2 ) 2 π ( T t x 2 )
21 2 1
波程差与位相差
波线上点x1与点x2的位相差
1 21 2 2 π x 2 x 1 2 π x 21 2πx
3 若 x,t 均变化，波动方程表示波形沿传播
各质点都作简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 其特点
是在均匀的、无吸收的介质中各质点振幅相同
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
波动方程的推导
设有一以速度u 沿 x 轴正向传播的平面 简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振
动方程
设 x0,00
yOAcost
y(m) x u t 4 0 0 .00 0 .1 2 m 5 1
0.02
4
O 0.1 0.2 0.3 0.4
xm
方法二:也可将 t os(5πx-π/2), 然后画出波形图
例3 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A1.0m ，T2 .0 s，2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 设原点处振动方程为
yA co ts ()
O
y
A
t 0
y0,v0
ycost()
π
2
所以波动方程为
2
y A co ( t x s ) [ ] A c2 o ( t s x ) [ ]
y c 3 1 2 0 co 4 π t s 1 (π 3 ) m 5
将点 D 坐标:x=9m代入波动方程
y 3 1 2 0 co 2 π (s t x ) m 0 .51 0
y D 3 1 2 0 co π s o 9 ( π 4 )m 5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
程
u
➢ 波动方程的其它形式 y(x,t)A co [ts(x)]
u
2 T
u T 2 u 2
y (x), tA co 2 π (s t [x )]
Tλ
v12 2 v
T
T
y (x ,t) A co 2 ( s t[ x) ]
➢ 质点的振动速度，加速度
v y A si ( n t x [ ) ]
1 -1.0*1
*
x0.5m处质点的振动曲线
例4 一平面简谐波以速度u2m 0/s沿直线传播,波
线上点 A 的简谐振动方程 y A 3 1 2c 04 o π tsm
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A3 1 2 0 mT20.5s 0
u T 1 m 0
1.0
o
2.0
x/ m
-1.0
t 1.0s时刻波形图
3） x0.5m 处质点的振动规律并做图 .
y 1 .0 c2 o π (ts [x) π ] m 2 .02 .02
x0.5m 处质点的振动方程 注意:旋转矢量转了π/2
yco πt sπ () m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0 * 1.0 * 2.0 * t / s
u t =0
y t =T/4
A+∆t
t=T/4
求 O、a、b、c 各
点振动初相位(t=0).
b
Oa
c x
(π~π)
A
A
O
y o π
O
A
y
b
0
A
O
y
a
π 2
O A
y
c
π 2
课堂练习: 7-1-6, 7-2-3,7-3-2
作业: 7-1-5, 7-1-10, 7-3-1
二、横波和纵波 (波的两种基本类型)
y 3 1 2 c 0o 2 π (s t [x) π ] m 0 .510
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐振动方程
y 3 1 2 0 c2 o πs t(x) m(以A为 坐标原点)
u 0 .510
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
将点 C 坐标:x=-13m代入波动方程
y 3 1 2 0 co 2 π (s t x ) m 0 .51 0
式中 A,B,C为正常数，求波长、波速、波传播方
T向By 上2 相B2πTA π距c 为Co dB 的2 Cs 2π两C tπ( 点)间x 的u对相比位T差y. CBAco2π 2 sC 2π (πT tdxd)C
思考:t=T/4时, a,b,c各质点运动方向如何?
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
§7-2 平面简谐波 的表达式___波动 方程
一 平面简谐波的波动方程 介质中任一质点（同一波线上,坐标为 x）相对其
平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，
即 y(x,t) 称为波动方程.
yy(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源和介质中
总结:求解波动方程方法
1、求出坐标原点 O 振动方程 y O A co t s)(
2、得出波动方程
yA co s (t[x)]沿 o正 x 向传播 u
yA co s (t[x)]沿 o负 x 向传播 u
3、波动方程其它形式
yA co 2π s(t[x) ] Tλ
yA co 2 s([ t x) ]
（波具有时间的周期性--振动周期性）
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
u
T
t 2 当 一定时，波动方程表示该时刻波线上各点相对
其平衡位置的位移，即此刻的波形（广角镜头拍照片—定格）
y (x ,t) y (x ,t)（波具有空间的周期性）
解：（比较系数法）设波动方程为:
yAco2πs(T t x)
把题中波动方程改写成
y ( 5 c)c m 2 o π [2 s (s .- 1 ) 5 t (0 0 .0c1 - 1 m ) x ]
2
2
比较得
T2s0.8s 2cm20c0mu25c0m s1
2.5
0.01
T
例2 平面简谐波
y 0 .0c2 o 5 x s2t00
讨 论 1）给出下列波动方程所表示的波的传播方
向和 x0点的初相位.
y A c o 2π s(t x)
A co 2π s([ t T x)] T
变成波动方程的标准形式
yA co(s tx)
Aco [st(x) u )
u
向x轴正方向传 播
向x轴负方向传 播
2）平面简谐波的波动方程为 yA co B sC t()x
tx
设波动方程为: yA co2 πs([)]
T
y 3 1 2 0 co 2 π (s t x) m 0 .510
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
y A 3 1 2c 04 o π tsm
u
8m 5m 9m
C oB A
Dx
BA
2πBA
2π
5 10
π
A 0
B π y B 3 1 2 c 0 4 o π t s π )(m
式中 x，y 以（m）计，t 以（s）计。 （1）求振幅、波长、频率、周期和波速。 （2）画 t = 0.0025 s 波形图。
解：(1)设波动方程为: yAco2sTt x
此波可变为 y 0 .0c2 o 5 x s 2t0
0.0c 2o 2s t x
比较有
0.010.4
A 0 . 0 m ， T 2 0 . 0 s , 1 0 . 4 m
时间推 点O 的振动状态
迟方法 yOAcost
t-x/u时刻点O 的运动状态
t x
点P
u
t 时刻点 P 的运动状态
点P 振动方程
yPAcos(tu x)
➢ 波动方程
A y u
yAcos(tx)
u
相位落后法
Ox
A
P
*
x点 O 振动方程 设 x0 , 00 yoAcost
点 P 比点 O 落后的相位
y 3 1 2 0 co 2 π (s t x) m (以A为 坐标原点) 0 .51 0
u
1m 0
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
B 点 C 点 : 落 B C 2 π 后 B 2 C π 1 8 1 0 . 6 π
C 点 D 点 : 超 C D 2 前 π C 2 π D 1 2 4 0 2 . 4 π
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
xu t （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 c) c m π [ o 2 (s - .) 1 t5 ( 0 .0 0 c- 1 s ) m 1 x ].
t
u
a 2 t2 y 2 A co (t su x )[ ]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
v y A si (n t x [ ) ]
t
u
二 波动方程的物理意义
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
y co ( t x s ) u [ ] c2 o ( t s T x ) [] m
u2
222
2）求t1 .0 s波形图.
y 1 .0 co 2π (st[x)π ] m 2 .02 .0 2
t 1 .0 s
波形方程
y1.0coπsπ (x) m 2
1.0siπ nx)( m
波形图为 y / m
pO
2π
x
p 2 π x 2 π T x u u x ypA co ts (p)
点 P 振动方程
ypAcos(tu x)
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x0,0 O A
x
点 O 振动方程 y O A co t s)(
波 yAco(st [x)]u沿x轴正向
动 方
yAco(st [u x)]u沿 x轴负向
u
T
1 当 x 一定时， 波动方程表示该点质点的简谐
振动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
[( t x ) ] [( t 0 ) ] x 2 x
u
u
u
x 2πx
u
λ
2u
y (x ,t) y (x ,t T )（波具有时间的周期性--振动周期性）
波线上各点的简谐运动图
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ）
➢ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
1 T
100Hz，u 4 m s 0 1
（2）先求 t = 0 时波形方程并画波形图：
y0 .0c 2o 2 s t x 0 .010 .4 0 .0 c2 5 o x ( m )s ( 周 波 期 : 0 长 .4m
t = 0→0.0025(s)，波向 x 轴正向前进距离
1 ( t x u 1 ) 2 π ( T t x 1 )
波程差
x x x 2 ( t x u 2 ) 2 π ( T t x 2 )
21 2 1
波程差与位相差
波线上点x1与点x2的位相差
1 21 2 2 π x 2 x 1 2 π x 21 2πx
3 若 x,t 均变化，波动方程表示波形沿传播
各质点都作简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 其特点
是在均匀的、无吸收的介质中各质点振幅相同
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
波动方程的推导
设有一以速度u 沿 x 轴正向传播的平面 简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振
动方程
设 x0,00
yOAcost
y(m) x u t 4 0 0 .00 0 .1 2 m 5 1
0.02
4
O 0.1 0.2 0.3 0.4
xm
方法二:也可将 t os(5πx-π/2), 然后画出波形图
例3 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A1.0m ，T2 .0 s，2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 设原点处振动方程为
yA co ts ()
O
y
A
t 0
y0,v0
ycost()
π
2
所以波动方程为
2
y A co ( t x s ) [ ] A c2 o ( t s x ) [ ]
y c 3 1 2 0 co 4 π t s 1 (π 3 ) m 5
将点 D 坐标:x=9m代入波动方程
y 3 1 2 0 co 2 π (s t x ) m 0 .51 0
y D 3 1 2 0 co π s o 9 ( π 4 )m 5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
程
u
➢ 波动方程的其它形式 y(x,t)A co [ts(x)]
u
2 T
u T 2 u 2
y (x), tA co 2 π (s t [x )]
Tλ
v12 2 v
T
T
y (x ,t) A co 2 ( s t[ x) ]
➢ 质点的振动速度，加速度
v y A si ( n t x [ ) ]
1 -1.0*1
*
x0.5m处质点的振动曲线
例4 一平面简谐波以速度u2m 0/s沿直线传播,波
线上点 A 的简谐振动方程 y A 3 1 2c 04 o π tsm
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A3 1 2 0 mT20.5s 0
u T 1 m 0
1.0
o
2.0
x/ m
-1.0
t 1.0s时刻波形图
3） x0.5m 处质点的振动规律并做图 .
y 1 .0 c2 o π (ts [x) π ] m 2 .02 .02
x0.5m 处质点的振动方程 注意:旋转矢量转了π/2
yco πt sπ () m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0 * 1.0 * 2.0 * t / s
u t =0
y t =T/4
A+∆t
t=T/4
求 O、a、b、c 各
点振动初相位(t=0).
b
Oa
c x
(π~π)
A
A
O
y o π
O
A
y
b
0
A
O
y
a
π 2
O A
y
c
π 2
课堂练习: 7-1-6, 7-2-3,7-3-2
作业: 7-1-5, 7-1-10, 7-3-1
二、横波和纵波 (波的两种基本类型)
y 3 1 2 c 0o 2 π (s t [x) π ] m 0 .510
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐振动方程
y 3 1 2 0 c2 o πs t(x) m(以A为 坐标原点)
u 0 .510
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
将点 C 坐标:x=-13m代入波动方程
y 3 1 2 0 co 2 π (s t x ) m 0 .51 0
式中 A,B,C为正常数，求波长、波速、波传播方
T向By 上2 相B2πTA π距c 为Co dB 的2 Cs 2π两C tπ( 点)间x 的u对相比位T差y. CBAco2π 2 sC 2π (πT tdxd)C
思考:t=T/4时, a,b,c各质点运动方向如何?
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
§7-2 平面简谐波 的表达式___波动 方程
一 平面简谐波的波动方程 介质中任一质点（同一波线上,坐标为 x）相对其
平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，
即 y(x,t) 称为波动方程.
yy(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源和介质中
总结:求解波动方程方法
1、求出坐标原点 O 振动方程 y O A co t s)(
2、得出波动方程
yA co s (t[x)]沿 o正 x 向传播 u
yA co s (t[x)]沿 o负 x 向传播 u
3、波动方程其它形式
yA co 2π s(t[x) ] Tλ
yA co 2 s([ t x) ]
（波具有时间的周期性--振动周期性）
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
u
T
t 2 当 一定时，波动方程表示该时刻波线上各点相对
其平衡位置的位移，即此刻的波形（广角镜头拍照片—定格）
y (x ,t) y (x ,t)（波具有空间的周期性）
解：（比较系数法）设波动方程为:
yAco2πs(T t x)
把题中波动方程改写成
y ( 5 c)c m 2 o π [2 s (s .- 1 ) 5 t (0 0 .0c1 - 1 m ) x ]
2
2
比较得
T2s0.8s 2cm20c0mu25c0m s1
2.5
0.01
T
例2 平面简谐波
y 0 .0c2 o 5 x s2t00
讨 论 1）给出下列波动方程所表示的波的传播方
向和 x0点的初相位.
y A c o 2π s(t x)
A co 2π s([ t T x)] T
变成波动方程的标准形式
yA co(s tx)
Aco [st(x) u )
u
向x轴正方向传 播
向x轴负方向传 播
2）平面简谐波的波动方程为 yA co B sC t()x
tx
设波动方程为: yA co2 πs([)]
T
y 3 1 2 0 co 2 π (s t x) m 0 .510
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
y A 3 1 2c 04 o π tsm
u
8m 5m 9m
C oB A
Dx
BA
2πBA
2π
5 10
π
A 0
B π y B 3 1 2 c 0 4 o π t s π )(m
式中 x，y 以（m）计，t 以（s）计。 （1）求振幅、波长、频率、周期和波速。 （2）画 t = 0.0025 s 波形图。
解：(1)设波动方程为: yAco2sTt x
此波可变为 y 0 .0c2 o 5 x s 2t0
0.0c 2o 2s t x
比较有
0.010.4
A 0 . 0 m ， T 2 0 . 0 s , 1 0 . 4 m
时间推 点O 的振动状态
迟方法 yOAcost
t-x/u时刻点O 的运动状态
t x
点P
u
t 时刻点 P 的运动状态
点P 振动方程
yPAcos(tu x)
➢ 波动方程
A y u
yAcos(tx)
u
相位落后法
Ox
A
P
*
x点 O 振动方程 设 x0 , 00 yoAcost
点 P 比点 O 落后的相位
y 3 1 2 0 co 2 π (s t x) m (以A为 坐标原点) 0 .51 0
u
1m 0
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
B 点 C 点 : 落 B C 2 π 后 B 2 C π 1 8 1 0 . 6 π
C 点 D 点 : 超 C D 2 前 π C 2 π D 1 2 4 0 2 . 4 π