刚体静力学基础
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哈尔滨师范大学-通用技术
工程力学
第一章 刚体静力学基础
刚体静力学以刚体为研究对象。所谓刚体，是受力时不变形的物体。刚体 静力学的任务是研究物体的受力分析、力系的等效替换和各种力系的平衡条件 及其应用。刚体静力学在工程中有广泛的应用，同时其它力学分支的基础。
本章介绍刚体静力学理论的基础知识，包括力和力矩的概念，静力学公理 和任意力系的简化方法。
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工程力学
态保持不变。若拉力改成压力，则柔绳不 能平衡，就不能将其刚化。
公理五表明，变形体的平衡条件包括 了刚体的平衡条件。因此，可以把任何已 处于平衡的变形体看成是刚体，而对它应 用刚体静力学的全部理论。这就是公理五 的意义所在。
图1–13 刚化公理
1.3 力偶及其性质
● 力偶
图1–10表示了力的可传性的证明思路，其中 F2 F1 F 。显然，公理二及 其推论也都只适用于刚体而不适用于变形体。对于变形体，力将产生内效应， 当力沿作用线移动时，将改变它的内效应。
● 公理三 力的平行四边形公理
作用在物体上同一点的两个力，可以合成一个力。合力的作用点仍在该点， 合力的大小和方向，由这两个力为邻边的平行四边形的对角线确定。
(1–1)
Fx F k F cos
其中 、 和 是力 F 与各坐标轴的正向夹角，如图1–1所示。显然，力在轴上
的投影是代数量。
如已知力在各轴上的投影，则可将力沿直角坐标轴分解
F Fxi Fy j Fz k
(1–2)
如图1–2所示，计算力在直角坐标轴上的投影，也可以使用二次投影法。 Fx Fxy cos F sin cos
平衡时，此三力的作用线必然交汇于同一点。简称三力汇交定理。
图1–12是三力不平行时三力汇交定理的证明思路。当三力平行时，可认为
其作用线相交于无穷远。
● 公理四 作用和反作用公理
任何两个间相互作用的一对力总是大小相等，作用线相同，而指向相反， 同时并分别作用在这两个物体上。这两个力互为作用力和反作用力。
定的平面称为力偶的作用面，二力作用线之间的距离 d 称为力偶臂，乘积 Fd 称 为力偶矩。力偶本身不能平衡，且两力投影之和为零，也不存在合力。因此，
力偶和力一样，是力学中的一种基本力系。
● 力偶矩矢量
从实际经验知道，力偶 (F , F ) 使物体转动的效果与力偶三要素有关，即，
力偶矩 Fd 、力偶作用面的方位和力偶使物体转动的方向。 力偶三要素可通过力偶矩矢量来完整表述。如图1–15，对任意点 O ，F 和 F
矩心且垂直于力和矩心所确定的平面。
例1–2：如图1–8，力 F 沿边长为 a 、b 和 c 的长方体的一棱边作用。试计算 F 对于 O 点之 矩和对长方体对角线 OC 之矩。
解：在图示坐标系， F Fk ，作用点位 置矢量 rOD ai ck ，力 F 对 O 点之矩
MO (F ) rOD F aFj
作用于物体上的一组力称为力系。作用在刚体上的一力系，如能用另一力 系来代替，而对刚体产生同样的作用，则这两个力系互为等效力系。一个力和 一个力系等效，则该力是力系的合力，力系中各力是其合力的分力。
力依据其作用形式，可分为体积力、表面力和集中力。体积力和表面力连续 作用于物体的某一体积上或面积内，也称为分布力。例如，物体的重力是体积 力，浸在水中的物体受的静水压力是表面力。而集中力作用于物体一点。实际 上，一切真实力都是表面力，集中力只是分布力在一定条件下的理想化模型。
注意到 M z (F ) MO (Fxy ) ，且 MO (Fxy ) 沿 z 轴正向时，对应 M z (F ) 为正，反之
亦然。由此得到 M z (F ) 的计算公式 M z (F ) M O (Fxy ) k xFy yFx
(1–8a)
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图1–6 平面力系
● 力对点之矩
图1–3 例1–1图
力矩用来量度力使物体产生转动的效应。依据力使物体产生绕点的转动和
绕轴的转动，力矩可分为力对点之矩和力对轴的矩。
力对点之矩，定义为 O 点到 F 作用点 A 的矢径 r 与 F 的矢量积，即
MO (F) r F
(1–4)
其中，O 点称为矩心。 MO (F ) 是一个定位矢量，习惯上总是将它的起点画在矩
作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分和必要条件是：这两个力 大小相等、方向相反、且在同一直线上(或者说，这两个等值、反向、共线)。
图1–9 如图1–9，对只在两点各受一个集中力而平衡的刚体，工程上称为二力构件 或二力杆。根据公理一，二力杆所受两力必沿作用点的连线。 公理一只适用于刚体。对于变形体，公理一给出的平衡条件并不充分。例 如，柔绳受两个等值、反向、共线的拉力作用可以平衡，而受到两个等值、反 向、共线的压力则显然不能平衡。
内，其作用点坐标为 A(x, y) 。定义 xoy 平面上力对点之矩
M o (F ) MO (F ) k xFy yFx
(1–10)
在右手系下， z 轴垂直于 xoy 平面向外，因此，若 M o (F ) 为正，则力使物体作 逆时针转动；反之，力使物体作顺时针转动。
根据力矩关系定理，平面上力对点的矩，也可理解为力对轴的矩，该轴过
式(1–9)即力矩关系定理：力对轴之矩等于力对轴上任意点之矩形在轴上的投影。 若力系中各力都位于同一平面，则该力系为平面力系，如图1–6。显然，平
面力系中各力对力系平面内任意点之矩均垂直于该平面，因此可将平面上力对
点之矩简化为代数量。如图1–6，在平面上建立坐标系 xoy ，力 F 位于 xoy 平面
之为负。
由定义可知，若力 F 和矩轴 z 平行( Fxy 0 )或力的作用线通过矩轴( h 0 )， 即 F 和轴 z 共面，则力对轴的矩为零。
考虑 Fxy 对 O 之矩 MO (Fxy ) ，根据力对点之矩的定义
M O (Fxy ) OA Fxy dFxy k (xFy yFx )k
作用在刚体上等值、反向而不共线的两个力，称为力偶。如图1–14，驾驶 员用双手转动方向盘，钳工用丝锥攻螺纹，都是都是力偶作用于被转动物体的 例子。力偶的作用效果是改变刚体的转动状态，或引起变形体的弯曲或扭转。
图1–14 力偶实例 由力 F 和 F F 所构成的力偶记为 (F , F ) 。力偶中两个力的作用线所确
1.1 力和力矩
● 力及其投影
力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变(外效 应)，或者使物体变形(内效应)。对刚体而言，只需要考虑力的外效应。
力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点这三个要素。因此， 力是一种定位矢量。通常用用粗斜体字母来标记力矢量，如 F ，对应的细斜字 母 F 表示力的大小。在图中通常用有向线段来表示力，箭头表示力的方向，线 段的起点或终点为力的作用点，力的单位是牛顿( N )或千牛顿( kN )。
图1–1 力沿直角坐标轴的投影与分解 图1–2 二次投影法
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力在轴上的投影定义为 F 与该轴基矢量的标量积。设坐标系 Oxyz 的各坐标
轴的基矢量分别为 i 、 j 和 k ，则力 F 在各轴上的投影可表示为
Fx F i F cos
Fx F j F cos
Fxy ， O 到 Fxy 的距离为 d 。则力对轴之矩，定义为乘积 dFxy ，并贯以适当的符
号，即
M z (F ) dFxy
(1–7)
轴 z 称为矩轴； M z (F ) 的符号按右手定则确定：即用右手弯曲的四指表示力使 物体绕 z 轴的转动方向，当拇指指向与 z 轴正向相同时，取正号；反之为负。或 者从 z 轴的正端回头看，如 Fxy 使物体绕轴 z 作逆时针转动，则 M z (F ) 为正；反
1–7 平面上力对点之矩
同法可求得力 F 对 x 轴和 y 之矩
M x (F ) yFz zFy M y (F ) zFx xFz
(1–8b) (1–8c)
由式(1–6)及(1–8)，得 MO (F ) M x (F )i M y (F ) j M z (F )k
(1–9)
公理四概括了物体间相互作用力之间的关系，对刚体和变形体都是适用的， 是一个普适原理。通常也称该公理为牛顿第三定律。
● 公理五 刚化公理
当变形体在已知力系作用下处于平衡时，如果把变形后的变形体视为刚体
(刚化)，则平衡状态保持不变。 对变形体刚化，一定要在变形体达到平衡后才能进行。如图1–13，柔绳在
等值、反向、共线的两个拉力作用下处于平衡，此时可将柔绳刚化，则平衡状
心O处，如图1–4。MO (F ) 垂直于r和F所确定的平面，指向由右手定则确定，其
大小为
MO (F ) r F Fh
(1–5)
式中， h 为 O 到 F 的距离，也称为力臂。
为计算力 F 对 O 点矩，以 O 为原点建立直角坐标系 Oxyz 。力 F 沿直角坐标
轴的分解为 F Fxi Fy j Fzk ，力 F 作用点的位置矢量 r xi yj zk ，于是
上任意两点 A 和 B 的矢径分别为 rA 和 rB ，自 B 至 A 引矢量径 r ，则力偶对点 O 之 矩的大小和方向由下式确定
rA F rB F rA F rB F (rA rB ) F r F
(1–12)
上式表明：力偶对任意点之矩恒等于 r F ，而与矩心位置无关。
● 公理二 加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，新力系与原力系对刚体的作用 效果相同。
图1–10 力的可传性
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公理二是研究力系等效替换的理论基础。一个重要的推论是力的可传性： 作用在刚体上的任何一个力，可以沿其作用线移动作用点而不改变该力对刚体 的作用。例如，力沿作用线移动，并不会改变力对任意点或任意轴之矩。因此， 作用于刚体上的力的三要素是：力的大小、方向和作用线位置。
定义矢径 r F 为力偶 (F , F ) 的力偶矩矢量，表示为 M r F 。 M 的大小
等于力偶矩 Fd ，力偶作用面垂直于 M ，M 的指向表达了力偶的转向：逆着 M
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图1–15 力偶矩矢量
图1–11 力的平行四边形公理
图1–12 三力汇交定理
如图1–11，物体上 A 点作用着两个力 F1 和 F2 ，其合力 FR 也作用于点 A ， 表示为
FR F1 F2
(1–11)
可导出仅
适用于刚体的同平面三力平衡时的汇交定理：当刚体受同平面内三个力作用而
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图1–4 力对点之矩
图1–5 力对轴之矩
i jk
MO (F) r F x y z Fx Fy Fz
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
(1–6)
● 力对轴之矩
如图1–5，设 z 轴垂直于 Oxy 平面，垂足是 O ，力 F 在 Oxy 平面内的分量为
对角线 OC 的单位矢量
nOC (ai bj ck) a 2 b2 c2
图1–8 例1–2图
4
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因此，力 F 对 OC 之矩为 M OC (F ) M O nOc Fab a 2 b2 c2
1.2 静力学公理
静力学公理概括了力的基本性质，其正确性已由实践所证实，是刚体静力 学的基础。 ● 公理一 二力平衡公理
Fy Fxy sin F sin sin
(1–3)
Fz F cos 其中， Fxy Fxi Fy j 为力 F 在 Oxy 平面上的投影。
例1–1：已知力 F 大小为 80kN ，试计算它
在坐标轴上的投影。
解： AB 32 42 82 89 Fx F OD AB 25.4KN Fy F DB AB 67.8KN Fz F AO AB 33.9KN
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第一章 刚体静力学基础
刚体静力学以刚体为研究对象。所谓刚体，是受力时不变形的物体。刚体 静力学的任务是研究物体的受力分析、力系的等效替换和各种力系的平衡条件 及其应用。刚体静力学在工程中有广泛的应用，同时其它力学分支的基础。
本章介绍刚体静力学理论的基础知识，包括力和力矩的概念，静力学公理 和任意力系的简化方法。
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态保持不变。若拉力改成压力，则柔绳不 能平衡，就不能将其刚化。
公理五表明，变形体的平衡条件包括 了刚体的平衡条件。因此，可以把任何已 处于平衡的变形体看成是刚体，而对它应 用刚体静力学的全部理论。这就是公理五 的意义所在。
图1–13 刚化公理
1.3 力偶及其性质
● 力偶
图1–10表示了力的可传性的证明思路，其中 F2 F1 F 。显然，公理二及 其推论也都只适用于刚体而不适用于变形体。对于变形体，力将产生内效应， 当力沿作用线移动时，将改变它的内效应。
● 公理三 力的平行四边形公理
作用在物体上同一点的两个力，可以合成一个力。合力的作用点仍在该点， 合力的大小和方向，由这两个力为邻边的平行四边形的对角线确定。
(1–1)
Fx F k F cos
其中 、 和 是力 F 与各坐标轴的正向夹角，如图1–1所示。显然，力在轴上
的投影是代数量。
如已知力在各轴上的投影，则可将力沿直角坐标轴分解
F Fxi Fy j Fz k
(1–2)
如图1–2所示，计算力在直角坐标轴上的投影，也可以使用二次投影法。 Fx Fxy cos F sin cos
平衡时，此三力的作用线必然交汇于同一点。简称三力汇交定理。
图1–12是三力不平行时三力汇交定理的证明思路。当三力平行时，可认为
其作用线相交于无穷远。
● 公理四 作用和反作用公理
任何两个间相互作用的一对力总是大小相等，作用线相同，而指向相反， 同时并分别作用在这两个物体上。这两个力互为作用力和反作用力。
定的平面称为力偶的作用面，二力作用线之间的距离 d 称为力偶臂，乘积 Fd 称 为力偶矩。力偶本身不能平衡，且两力投影之和为零，也不存在合力。因此，
力偶和力一样，是力学中的一种基本力系。
● 力偶矩矢量
从实际经验知道，力偶 (F , F ) 使物体转动的效果与力偶三要素有关，即，
力偶矩 Fd 、力偶作用面的方位和力偶使物体转动的方向。 力偶三要素可通过力偶矩矢量来完整表述。如图1–15，对任意点 O ，F 和 F
矩心且垂直于力和矩心所确定的平面。
例1–2：如图1–8，力 F 沿边长为 a 、b 和 c 的长方体的一棱边作用。试计算 F 对于 O 点之 矩和对长方体对角线 OC 之矩。
解：在图示坐标系， F Fk ，作用点位 置矢量 rOD ai ck ，力 F 对 O 点之矩
MO (F ) rOD F aFj
作用于物体上的一组力称为力系。作用在刚体上的一力系，如能用另一力 系来代替，而对刚体产生同样的作用，则这两个力系互为等效力系。一个力和 一个力系等效，则该力是力系的合力，力系中各力是其合力的分力。
力依据其作用形式，可分为体积力、表面力和集中力。体积力和表面力连续 作用于物体的某一体积上或面积内，也称为分布力。例如，物体的重力是体积 力，浸在水中的物体受的静水压力是表面力。而集中力作用于物体一点。实际 上，一切真实力都是表面力，集中力只是分布力在一定条件下的理想化模型。
注意到 M z (F ) MO (Fxy ) ，且 MO (Fxy ) 沿 z 轴正向时，对应 M z (F ) 为正，反之
亦然。由此得到 M z (F ) 的计算公式 M z (F ) M O (Fxy ) k xFy yFx
(1–8a)
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图1–6 平面力系
● 力对点之矩
图1–3 例1–1图
力矩用来量度力使物体产生转动的效应。依据力使物体产生绕点的转动和
绕轴的转动，力矩可分为力对点之矩和力对轴的矩。
力对点之矩，定义为 O 点到 F 作用点 A 的矢径 r 与 F 的矢量积，即
MO (F) r F
(1–4)
其中，O 点称为矩心。 MO (F ) 是一个定位矢量，习惯上总是将它的起点画在矩
作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分和必要条件是：这两个力 大小相等、方向相反、且在同一直线上(或者说，这两个等值、反向、共线)。
图1–9 如图1–9，对只在两点各受一个集中力而平衡的刚体，工程上称为二力构件 或二力杆。根据公理一，二力杆所受两力必沿作用点的连线。 公理一只适用于刚体。对于变形体，公理一给出的平衡条件并不充分。例 如，柔绳受两个等值、反向、共线的拉力作用可以平衡，而受到两个等值、反 向、共线的压力则显然不能平衡。
内，其作用点坐标为 A(x, y) 。定义 xoy 平面上力对点之矩
M o (F ) MO (F ) k xFy yFx
(1–10)
在右手系下， z 轴垂直于 xoy 平面向外，因此，若 M o (F ) 为正，则力使物体作 逆时针转动；反之，力使物体作顺时针转动。
根据力矩关系定理，平面上力对点的矩，也可理解为力对轴的矩，该轴过
式(1–9)即力矩关系定理：力对轴之矩等于力对轴上任意点之矩形在轴上的投影。 若力系中各力都位于同一平面，则该力系为平面力系，如图1–6。显然，平
面力系中各力对力系平面内任意点之矩均垂直于该平面，因此可将平面上力对
点之矩简化为代数量。如图1–6，在平面上建立坐标系 xoy ，力 F 位于 xoy 平面
之为负。
由定义可知，若力 F 和矩轴 z 平行( Fxy 0 )或力的作用线通过矩轴( h 0 )， 即 F 和轴 z 共面，则力对轴的矩为零。
考虑 Fxy 对 O 之矩 MO (Fxy ) ，根据力对点之矩的定义
M O (Fxy ) OA Fxy dFxy k (xFy yFx )k
作用在刚体上等值、反向而不共线的两个力，称为力偶。如图1–14，驾驶 员用双手转动方向盘，钳工用丝锥攻螺纹，都是都是力偶作用于被转动物体的 例子。力偶的作用效果是改变刚体的转动状态，或引起变形体的弯曲或扭转。
图1–14 力偶实例 由力 F 和 F F 所构成的力偶记为 (F , F ) 。力偶中两个力的作用线所确
1.1 力和力矩
● 力及其投影
力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变(外效 应)，或者使物体变形(内效应)。对刚体而言，只需要考虑力的外效应。
力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点这三个要素。因此， 力是一种定位矢量。通常用用粗斜体字母来标记力矢量，如 F ，对应的细斜字 母 F 表示力的大小。在图中通常用有向线段来表示力，箭头表示力的方向，线 段的起点或终点为力的作用点，力的单位是牛顿( N )或千牛顿( kN )。
图1–1 力沿直角坐标轴的投影与分解 图1–2 二次投影法
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力在轴上的投影定义为 F 与该轴基矢量的标量积。设坐标系 Oxyz 的各坐标
轴的基矢量分别为 i 、 j 和 k ，则力 F 在各轴上的投影可表示为
Fx F i F cos
Fx F j F cos
Fxy ， O 到 Fxy 的距离为 d 。则力对轴之矩，定义为乘积 dFxy ，并贯以适当的符
号，即
M z (F ) dFxy
(1–7)
轴 z 称为矩轴； M z (F ) 的符号按右手定则确定：即用右手弯曲的四指表示力使 物体绕 z 轴的转动方向，当拇指指向与 z 轴正向相同时，取正号；反之为负。或 者从 z 轴的正端回头看，如 Fxy 使物体绕轴 z 作逆时针转动，则 M z (F ) 为正；反
1–7 平面上力对点之矩
同法可求得力 F 对 x 轴和 y 之矩
M x (F ) yFz zFy M y (F ) zFx xFz
(1–8b) (1–8c)
由式(1–6)及(1–8)，得 MO (F ) M x (F )i M y (F ) j M z (F )k
(1–9)
公理四概括了物体间相互作用力之间的关系，对刚体和变形体都是适用的， 是一个普适原理。通常也称该公理为牛顿第三定律。
● 公理五 刚化公理
当变形体在已知力系作用下处于平衡时，如果把变形后的变形体视为刚体
(刚化)，则平衡状态保持不变。 对变形体刚化，一定要在变形体达到平衡后才能进行。如图1–13，柔绳在
等值、反向、共线的两个拉力作用下处于平衡，此时可将柔绳刚化，则平衡状
心O处，如图1–4。MO (F ) 垂直于r和F所确定的平面，指向由右手定则确定，其
大小为
MO (F ) r F Fh
(1–5)
式中， h 为 O 到 F 的距离，也称为力臂。
为计算力 F 对 O 点矩，以 O 为原点建立直角坐标系 Oxyz 。力 F 沿直角坐标
轴的分解为 F Fxi Fy j Fzk ，力 F 作用点的位置矢量 r xi yj zk ，于是
上任意两点 A 和 B 的矢径分别为 rA 和 rB ，自 B 至 A 引矢量径 r ，则力偶对点 O 之 矩的大小和方向由下式确定
rA F rB F rA F rB F (rA rB ) F r F
(1–12)
上式表明：力偶对任意点之矩恒等于 r F ，而与矩心位置无关。
● 公理二 加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，新力系与原力系对刚体的作用 效果相同。
图1–10 力的可传性
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公理二是研究力系等效替换的理论基础。一个重要的推论是力的可传性： 作用在刚体上的任何一个力，可以沿其作用线移动作用点而不改变该力对刚体 的作用。例如，力沿作用线移动，并不会改变力对任意点或任意轴之矩。因此， 作用于刚体上的力的三要素是：力的大小、方向和作用线位置。
定义矢径 r F 为力偶 (F , F ) 的力偶矩矢量，表示为 M r F 。 M 的大小
等于力偶矩 Fd ，力偶作用面垂直于 M ，M 的指向表达了力偶的转向：逆着 M
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图1–15 力偶矩矢量
图1–11 力的平行四边形公理
图1–12 三力汇交定理
如图1–11，物体上 A 点作用着两个力 F1 和 F2 ，其合力 FR 也作用于点 A ， 表示为
FR F1 F2
(1–11)
可导出仅
适用于刚体的同平面三力平衡时的汇交定理：当刚体受同平面内三个力作用而
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图1–4 力对点之矩
图1–5 力对轴之矩
i jk
MO (F) r F x y z Fx Fy Fz
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
(1–6)
● 力对轴之矩
如图1–5，设 z 轴垂直于 Oxy 平面，垂足是 O ，力 F 在 Oxy 平面内的分量为
对角线 OC 的单位矢量
nOC (ai bj ck) a 2 b2 c2
图1–8 例1–2图
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因此，力 F 对 OC 之矩为 M OC (F ) M O nOc Fab a 2 b2 c2
1.2 静力学公理
静力学公理概括了力的基本性质，其正确性已由实践所证实，是刚体静力 学的基础。 ● 公理一 二力平衡公理
Fy Fxy sin F sin sin
(1–3)
Fz F cos 其中， Fxy Fxi Fy j 为力 F 在 Oxy 平面上的投影。
例1–1：已知力 F 大小为 80kN ，试计算它
在坐标轴上的投影。
解： AB 32 42 82 89 Fx F OD AB 25.4KN Fy F DB AB 67.8KN Fz F AO AB 33.9KN