第十二章 压杆稳定(习题解答)

12-4 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？

N B

B C

N B A

B C

C D

解：（1）各杆的临界力

2

2

2

..2

2

2cr BD cr EI EI P P a

a

ππ=

=

=

外

（2）求各杆的轴力与P 的关系。

由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，AB BC CD DA N N

N N ===。研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。

第一种情况：

C:)02450CB CB X P N cos N =→

--=→=-

∑ 压杆

B:()02450BD BC BD BC Y N N cos N P =

→--=→==∑

拉杆 令2

,.2

=

C B cr C B cr EI N P P P a

a

π=-

==

↔外第二种情况： )C B P N =

拉杆 ()-BD BC N P ==压杆

2

2

.2

2

-==

22BD BC cr BD EI EI N P P P a

a

ππ===

↔

12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.

解：（1）计算柔度：

①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。

0.57101.04xz xz y

l i μλ⋅⨯=

=

=

②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。

27242.490.200xy xy z

l

i μλ⋅⨯=

=

=

③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。

m ax(.)242.49xz xy λλλ==

（2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr 2

2

2

11

2(0.110)

(0.1200.200)40.28242.49

cr cr E P A A

πσλ

π=⋅=

⋅⨯⨯=

⨯⨯=N kN

12-7铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起破坏。试确定荷载P 为最大时的θ角。（2

0π

θ<

<）

解：（1）研究B 结点求两杆轴力与P 的关系：

设两杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力， B 结点受力如图所示。列平衡方程

sin 0sin ()cos 0cos ()

0BC BC BA BA X P N N P P N N P Y θθθθ⎧=+==-⎧⎧⎪→→⎨⎨⎨

+==-=⎩⎩⎪⎩∑∑

压杆压杆

（2）求两细长压杆的临界荷载 设AB 长度为a ，则BC

长为 2

2

2

,,2

2

2

,3cr cr AB cr BC EI EI EI P P P l

a

a

πππ=

→=

=

（3）当两压杆的轴力同时到达各自临界力时，P 为最大值

22

2,2

2222

,22=cos 3sin cos 1==3tan 18.43cos =sin 33sin cr AB BA cr BC BA EI EI

P N P P a a a a EI EI P N P P a a ππθθθθθθππθθ⎧⎧==-=⎪⎪⎪⎪→→→=⎨⎨⎪⎪==-=⎪⎪⎩⎩

12-10 图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为23102.3mm ⨯，试计算其临界力.

(c)

解：（1）矩形：

①计算柔度：2

3

6

3

2 3.21010

3.210

0.04b b --=⨯⨯=⨯→=

0.530.53129.9xz xz y

l i μλ⋅⨯⨯=

=

=

=

129.9>123xz λ=

矩形截面压杆属于细长压杆，采用欧拉公式计算其临界力 ②计算其临界力 2

211

3

2

2

2103,210

N 374.34kN 129.9

cr E P A ππλ

-⨯⨯=

⋅=

⨯⨯=

（2）正方形截面：

①计算柔度：2

3

6

3

3.21010

3.210

0.057a a --=⨯⨯=⨯→=

0.530.5391.86xz xz y

l i μλ⋅⨯⨯=

=

=

=

6091.86<123xz λ<=

正方形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力

6

3

()(304 1.1291.86)10 3.210

N 643.57kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=

（3）圆形截面： ①计算柔度：

2

36

3

3.21010

3.210

0.0644d

d π

--=⨯⨯=⨯→=

0.530.5394.000.0644

4

xz xz y

l d i μλ⋅⨯⨯=

=

=

=

6094<123xz λ<=

圆形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力

6

3

()(304 1.1294)10 3.210

N 635.9kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=

（3）圆环形截面： ①计算柔度：

2

2

2236

3

(1)(10.7) 3.21010

3.210

0.0894m 4

4

D D D π

π

α---=

-=⨯⨯=⨯→=

0.530.5354.99xz xz y

l i μλ⋅⨯⨯=

=

=

=

54.99<60xz λ=

圆环形截面压杆属于粗短杆，临界应力为屈服极限 ②计算其临界力

()()6

3

23510

3.210N 752kN cr cr s P A A σσ-=⋅=⋅=⨯⨯⨯=

12-16 图示结构中，横梁AB 由14号工字钢制成，材料许用应力[]160M Pa σ=，CD 杆为Q235轧制钢管，2636d D ==mm,mm 。试对结构进行强度与稳定校核。