方差分析II
方差分析IIppt课件
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§1 数据的变换
如果在方差分析前发现有某些异常的观测值、处 理或单位组，只要不属于研究对象本身的原因，在不 影响分析正确性的条件下应加以删除。
有些资料就其性质来说就不符合方差分析的基本 假定。其中最常见的一种情况是处理平均数和均方有
一 定 关 系 ( 如 二 项 分 布 资 料 ， 平 均 数ˆ npˆ ， 方
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方差分析
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（3）混合模型（mixed model） 在多因素试验中，若既包括固定效应的试验因
素，又包括随机效应的试验因素，则该试验对应于 混合模型。混合模型在试验研究中是经常采用的。
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方差分析
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固定模型与随机模型的区别
目的
固定模型
随机模型
研究特定处理，即
i 1
rs
误差平方和： SSe
(xij xi x j x)2
i1 j1
fe r 1s 1
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方差分析
相应的均方差为：
MS
A
SS A r 1
MS
B
SS B s1
MS
பைடு நூலகம்
E
SS e ( r 1 )( s 1 )
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方差分析
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多因素方差分析
单因素方差分析研究的是总体的均值受一个 因素不同水平的影响。但在一些实际问题中， 影响总体均值的因素不止一个，这些因素间 还可能存在交互作用，这就要考虑两个或多 个因素的问题。 为简单起见，仅考虑两个因素的情况．
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方差分析2（双因素方差分析、多元方差分析、可视化）
⽅差分析2（双因素⽅差分析、多元⽅差分析、可视化）1 双因素⽅差分析1.1 双因素⽅差分析的实战dat<-ToothGrowthdatattach(dat)table(dat$supp,dat$dose)aggregate(len,by=list(dat$supp,dat$dose),FUN=mean)解释：根据投⽅式（橙汁OJ，维C素VC）supp和剂量dose来对⽛齿的长度len进⾏求均值dose<-factor(dose)解释：为了避免把dose变量认为是数值变量，⽽是把dose认为成分组变量，所以设置成因⼦类型factorfit<-aov(dat$len~dat$supp*dat$dose)解释：aov()做⽅差分析，把 + 换成了 * ，这两项dat$supp和dat$dosee就变成了交互项summary(fit)结果分析：可以看出P值很⼩，三个P值都⼩于0.05，说明不同的投喂⽅式supp对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的；说明不同的剂量dose对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的；说明在两种投喂⽅式下，不同的投喂⽅式supp和剂量dose的交互效应对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的1.2 可视化⽅法1interaction.plot(dat$dose,dat$supp,dat$len,type = "b",col=c("red","blue"),pch=c(16,18),main="XX")1.3 可视化⽅法2library(gplots)plotmeans(dat$len~interaction(dat$supp,dat$dose,sep=" "),connect=list(c(1,3,5),c(2,4,6)),col=c("red","blue"),main="XX",xlab="xlab")1.4 可视化⽅法3library(HH)interaction2wt(dat$len~dat$supp*dat$dose)2 重复测量⽅差分析dat<-CO2CO2$conc<-factor(CO2$conc)w1b1<-subset(CO2,Treatment=="chilled")uptake是植物光合作⽤对⼆氧化碳的吸收量，是因变量y，type是组间因⼦，是互斥的，表⽰的是两个不同地区的植物类型，要么是加拿⼤的植物，要么是美国的植物，不可能两个地⽅都是，conc是不同的⼆氧化碳的浓度，每⼀种植物都在所有的⼆氧化碳浓度下，所以conc是组内因⼦研究不同地区的植物作⽤，在某种⼆氧化碳的浓度作⽤下，对植物的光合作⽤效果有没有影响2.1 含有单个组内因⼦w和单个组间因⼦B的重复测量ANOVAfit<-aov(uptake~conc*Type+Error(Plant/(conc)),w1b1)summary(fit)结果分析：⼆氧化碳浓度和类型对植物光合作⽤都有显著影响2.2 可视化图形呈现（1）⽅式⼀par(las=2)par(mar=c(10,4,4,2))with(w1b1,interaction.plot(conc,Type,uptake,type = "b",col=c("red","blue"),pch=c(16,18)))（2）⽅式⼆boxplot(uptake~Type*conc,data=w1b1,col=c("red","blue"))3 多元⽅差分析library(MASS)attach(UScereal)dat<-UScerealshelf<-factor(shelf)y<-cbind(calories,fat,sugars)fit<-manova(y~shelf)summary(fit)结果分析：不同的货架shelf上，⾷物的热量calories，脂肪含量fat和含糖量sugars是⾮常显著不同的3.1 多元正态性center<-colMeans(y)n<-nrow(y) #⾏数p<-ncol(y) #列数cov<-cov(y) #计算⽅差d<-mahalanobis(y,center,cov)coord<-qqplot(qchisq(ppoints(n),df=p),d) #画图abline(a=0,b=1) #画参考线identify(coord$x,coord$y,labels = s(UScereal)) #给出交互式标出离群点3.2 稳健多元⽅差分析install.packages("rrcov")library(rrcov)wilks.test(y,shelf,method="mcd")结果分析：P值⼩于0.05，说明结果是显著性的，即不同货架上⾷物的热量calories，脂肪含量fat和含糖量sugars是⾮常显著不同的4 ⽤回归来做ANOVAlibrary(multcomp)dat<-cholesterollevels(dat$trt)fit.aov<-aov(response~trt,data=dat)summary(fit.aov)结果分析：aov⽅差分析，trt对response的影响⾮常显著fit.lm<-lm(response~trt,data=dat)summary(fit.lm)结果分析：lm回归分析，trt对response的影响⾮常显著，并且trt的每⼀项都显⽰出来了。
R语言学习系列27-方差分析
R语言学习系列27-方差分析(总21页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22. 方差分析一、方差分析原理1. 方差分析概述方差分析可用来研究多个分组的均值有无差异，其中分组是按影响因素的不同水平值组合进行划分的。
方差分析是对总变异进行分析。
看总变异是由哪些部分组成的，这些部分间的关系如何。
方差分析，是用来检验两个或两个以上均值间差别显著性（影响观察结果的因素：原因变量（列变量）的个数大于2，或分组变量（行变量）的个数大于1）。
一元时常用F检验（也称一元方差分析），多元时用多元方差分析（最常用Wilks’∧检验）。
方差分析可用于：（1）完全随机设计（单因素）、随机区组设计（双因素）、析因设计、拉丁方设计和正交设计等资料；（2）可对两因素间交互作用差异进行显著性检验；（3）进行方差齐性检验。
要比较几组均值时，理论上抽得的几个样本，都假定来自正态总体，且有一个相同的方差，仅仅均值可以不相同。
还需假定每一个观察值都由若干部分累加而成，也即总的效果可分成若干部分，而每一部分都有一个特定的含义，称之谓效应的可加性。
所谓的方差是离均差平方和除以自由度，在方差分析中常简称为均方（Mean Square）。
2. 基本思想基本思想是，将所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。
根据效应的可加性，将总的离均差平方和分解成若干部分，每一部分都与某一种效应相对应，总自由度也被分成相应的各个部分，各部分的离均差平方除以各自的自由度得出各部分的均方，然后列出方差分析表算出F检验值，作出统计推断。
方差分析的关键是总离均差平方和的分解，分解越细致，各部分的含义就越明确，对各种效应的作用就越了解，统计推断就越准确。
效应项与试验设计或统计分析的目的有关，一般有：主效应（包括各种因素），交互影响项（因素间的多级交互影响），协变量（来自回归的变异项），等等。
方差分析II -双向分类
（2）计算最小显著差数 LSD0.05 和 LSD0.01 ；
（3）将平均数多重比较表中两两平均数的差 数与LSD0.05 L、SD 0.01 比较，作出统计推断。
平均数
多重比较表
Xi −18
Xi − 23
X1 = 50
6.3 变异的分解
6.3.1 平方和的剖分
kn
∑ ∑ SST =
( Xij − X )2
i=1 j=1
反映全部观测值总变异的总平方和是各观测值Xij 与 总平均数 X 的离均差平方和，记为SST
因为
∑∑ ∑ ∑ k
ni
k
( X ij − X )2 =
ni ( X i − X ) + ( X ij − X i )2
6.4 假设检验
2. 检验统计量
F
=
MS A MS E
单侧（右侧）检验
这个统计量服从第一自由度为dfA，第二自由度 为dfE的F分布。
3. 统计推断
将计算的F 值与之比较，如果F > Fα(df A ,df E ) ， 即可否定原假设，接受备择假设。
表6.2 方差分析表
*n*s
如果计算的F值落在α = 0.01时的否定域中，就在表中的F 值的右上角标以 “**”，表示至少有两个平均数间存在极显著差异；如果计算的F值落在α = 0.05 时的否定域中，就标以“*”，表示至少有两个平均数间存在显著差异；否则就标 以“ns”，表示各平均数间差异不显著。
=
X2 ••
N
=
6002 20
= 18000
k ni
∑ ∑ SST =
第四章方差分析两向分组单因素区组二因素重复值拉丁方
变异 DF
来源
A因素 a-1
B因素 b-1
误 差
总变 异
(a1)(b-1)
ab-1
SS
MS
b ( yi. y.. )2 Ti.2 / b C
a ( y. j y.. )2
T.
2 j
/
a
C
MS A MS B
( y yi. y. j y.. )2 SST SSA SSB MSe
差异显著性
0.05
0.01
a
A
b
B
b
B
c
C
c
C
c
C
c
C
c
C
c
C
(2)各肥类平均数的比较
SE MSe bn 0.9283 3 0.32(g)
p
SSR 0.05 SSR 0.01 LSR 0.05 LSR 0.01
2
2.97
4.07
0.95
1.30 (dfe = 18)
3
3.12
4.27
F
混合模型EMS
(A固定，B随机)
MS A MS e
2
b
2 A
MS B
2
a
2 B
MS e
2
( yij y.. )2 y2 C
SSt = SSA + SSB DFt = DFA + DFB
注意：这种类型资料，其误差项是误差与 互作的混合项。因此只有AB不存在互作时， 才能正确估计误差。另外，为提高试验的 精确性。误差自由度不能小于12。
Tc
174 177 176 174 181 T=882
第八讲-方差分析
x2 ij
j 1i 1
xij
N
k
2
SS B n j X j X t
i 1
2
k
j 1
nj
2
( xij)
i 1
nj
k nj
j 1i 1
xij
N
SSW SST SSB
2
nj
x k nj
x n j1 i1
k
2
ij j 1
ij i 1
j
3、确定自由度
df k 1 B
df N k W
二、（单因素）随机区组实验设计
1、模型
处理1
处理2 ……
区组1 被试1 x11 被试1 x21 ……
区组2 被试2 x12 被试2 x22 ……
处理k
被试1 xk1
被试2
xk
2
……… ……… ……
区组a 被试a x1a 被试a x2a ……
……
被试a xka
■注：每个区组内被试分配方式可以是以下 三种
T1
T2
8
39
20
26
12
31
14
45
10
40
T3
T4
17
32
工创问 具造题
21 20
23 28
教 程
丰 富 教
性 思 维
解 决 模
17
25
程教式 程教
20
29
程
T1: T2: T3: T4:CoRT
变异来源 自由度 平方和
处理 误差
总
3
1553.7
16 378.80
19 1932.55
均方
第四章 方差分析2
算标准误；
（2）同样都利用 t 分布临界表，该检验所用的自由度为误 差均方的自由度，而不是被比较的两个均数所确定的自由 度。
LSD检验的特点： （1）此方法实质上是 t 检验，这样会提高犯第一类错误的 概率。
（2）t 检验是适用于检验两个相互独立的样本平均数，因 此各被比较的两样本平均数在实验前已经指定，比如各试 验处理与对照的比较。
均数间的多重比较
SAS系统提供了14种不同的多重比较检验的方法， 各种比较检验的差别在于如何控制实验误差率 （EER）。某些方法是从整体上控制实验误差率， 而另一些方法只是将实验误差率控制在较小的范 围内。之所以出现不同的多种比较方法，实际上 是在I型错误和II型错误概率之间权衡利弊，因为 控制EER越严格，显著性检验的效能越低。
4.62
4.88
5.00
6.79
6.97
LSR0.05 1.50943.08 4.65 LSR0.01 1.5094 4.32 6.52
用上表的LSR值可进行不同M跨距的平均数间差异显 著性的检验。 如：大白与沈黑，M=4，极差=6.8>5.00，P<0.05
差异显著； 大白与沈花，M=2，极差=3.0<4.65，P>0.05 差异不显著。
k
数不是kn，而是 ni次，在计算平方和时公式稍有改变
（表8）。
i 1
表8 组内观测次数不相等的方差分析
变异来源
df
SS
s2
F
处理间
k 1
SSt
Tt2 C ni
st2
st2 se2
处理内
ni k SSe SST SSt
方差分析2——精选推荐
⽅差分析2⽅差分析是⽤于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，⼀是不可控的随机因素，另⼀是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
⽅差分析的基本思想是：通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献⼤⼩，从⽽确定可控因素对研究结果影响⼒的⼤⼩。
⽅差分析主要⽤途：①均数差别的显著性检验，②分离各有关因素并估计其对总变异的作⽤，③分析因素间的交互作⽤，④⽅差齐性检验。
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理⽅法对实验结果的影响。
通常是⽐较不同实验条件下样本均值间的差异。
例如医学界研究⼏种药物对某种疾病的疗效；农业研究⼟壤、肥料、⽇照时间等因素对某种农作物产量的影响；不同化学药剂对作物害⾍的杀⾍效果等，都可以使⽤⽅差分析⽅法去解决。
⽅差分析原理⽅差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间的差别基本来源有两个：(1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异，⽤变量在各组的均值与该组内变量值之偏差平⽅和的总和表⽰，记作SS w，组内⾃由度df w。
(2) 实验条件，实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
⽤变量在各组的均值与总均值之偏差平⽅和表⽰，记作SS b，组间⾃由度df b。
总偏差平⽅和 SS t = SS b + SS w。
组内SS t、组间SS w除以各⾃的⾃由度(组内dfw =n-m，组间dfb=m-1，其中n为样本总数，m为组数)，得到其均⽅MS w和MS b，⼀种情况是处理没有作⽤，即各组样本均来⾃同⼀总体，MS b/MS w≈1。
另⼀种情况是处理确实有作⽤，组间均⽅是由于误差与不同处理共同导致的结果，即各样本来⾃不同总体。
那么，MS b>>MS w(远远⼤于)。
MS b/MS w⽐值构成F分布。
⽤F值与其临界值⽐较，推断各样本是否来⾃相同的总体。
⽅差分析的假设检验假设有m个样本，如果原假设H0：样本均数都相同即µ1=µ2=µ3=…=µm=µ，m个样本有共同的⽅差。
方差分析中IIIIIIIV型平方和
⽅差分析中IIIIIIIV型平⽅和I II III IV只在⾮平衡实验设计中才有区别，平衡实验设计中完全⼀致。
类别⾮均衡性对数据混淆度影响的研究。
感兴趣可以搜论⽂看。
不等样本量引起组间频数分布不同，导致的⾏变量和列变量之间产⽣了相关性——进⽽⽆法区分⼀部分或全部效应来⾃⾏变量还是列变量SS(A,B,AB)是表⽰A和B的主效应以及AB的交互作⽤。
竖杠|表⽰效应是在某个效应后进来的。
⽐如SS(AB | A, B)交互作⽤是主效应之后。
SS(A | B)：A的主效应在B的主效应之后。
1. Type I2. Type II3. Type IIII型中后进⼊的变量是被扣除掉前⾯变量的影响，也就是I型后进⼊的变量是本⾝的影响。
Ⅰ型平⽅和与研究因素进⼊模型的顺序有关，先进⼊模型的研究因素，会将该研究因素与后续研究因素之间混淆的平⽅和分配给⾃⼰（使⽤加权均值），最后进⼊模型的研究因素只分配到“净平⽅和”（使⽤未加权均值计算⽽来），因此Ⅰ型平⽅和称为顺序平⽅和II型中没有先后顺序，都是⾃⾝的影响。
三型的都是净作⽤。
四型和三型⼀致，只在cell有0个观测时，使⽤IV型。
2. 使⽤⽅法：I型：研究设计是⼀个裂区设计，研究因素之间存在主次之分。
或，不等样本量确实是随机抽样造成的，或者说总体中的分布确实如此。
II型：Ⅱ型平⽅和由于将研究因素与交互项之间混淆的平⽅和分配给了⾃⼰，因此常⽤在⽆交互作⽤的⽅差分析模型中。
III型：有交互作⽤。
IV型：某个cell样本量为0；下述部分暂时没想明⽩。
1. 下述⼏步都是在说当我们⽐较AB间均值时，SAS如何处理每⼀个⼩的cell，也就是 TYPE I II III IV..2. Type IThe treatment means are the weighted averages of the cell means for that treatment, weighted by the cell sample sizes通过每个cell样本量的⼤⼩加权重。
概率论与数理统计_浙大四版_习题解_第9章_方差分析
概率论与数理统计(浙大四版)习题解 第9章 方差分析约定：以下各个习题所涉及的方差分析问题均满足方差分析模型所要求的条件。
【习题9.1】今有某种型号的电池三批，它们分别是C B A ,,三个工厂所生产的。
为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（小时）如下表。
三批电池样品的寿命检测结果 A B C 40 42 26 28 39 50 48 45 34 32 40 50 383043（1）试在显著性水平0.05下检验电池的平均寿命有无显著的差异。
（2）若差异显著，试求B A μμ-、C A μμ-及C B μμ-的置信水平为0.95的置信区间。
〖解（1）〗设,,A B C μμμ分别表C B A ,,三厂所产电池的寿命均值，则问题（1）归结为检验下面的假设（单因素方差分析）01::,,不全相等A B CA B C H H μμμμμμ==设A 表因素（工厂），设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下表。
样本数据预处理表A B C 预处理结果40 42 26 28 39 50 n=15 48 45 34 32 40 50 a=338 30 43 CR=22815 j T 213 150 222 T=585 2j j T n9073.8 4500 9856.8 A=23430.6 2ijx∑913745409970R=23647112221121158558522815152364723430.6jjj n aij j i n aijj i n a ij j j i T x T CR n R x A x n =============⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑计算平方和及自由度如下23647228158321151142364723430.6216.41531223430.622815615.61312T E A SST R CR df n SSE R A df n a SSA A CR df a =-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-= 方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F 值()0.052,12F因素A 615.6 2 307.8 17.07 3.89 误差 216.4 12 18.0333总和83214因17.07 3.89值F =>在拒绝域内，故在0.05水平上拒绝0H ，即认定各厂生产的电池寿命有显著的差异。
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量方差分析方差分析(Analysis of Variance，简称 ANOVA)，又称“变异数分析〞或者“F 检验〞，是 R.A.Fisher 创造的，用于两个及两个以上样本均数差异的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。
造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。
假定条件和假设检验1. 方差分析的假定条件为：〔 1〕各处理条件下的样本是随机的。
〔2〕各处理条件下的样本是相互独立的，否那末可能浮现无法解析的输出结果。
〔3〕各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否那末使用非参数分析。
〔4〕各处理条件下的样本方差一样，即具有齐效性。
2. 方差分析的假设检验假设有 K 个样本，如果原假设 H0 样本均数都一样， K 个样本有共同的方差σ ，那末 K 个样本来自具有共同方差σ和一样均值的总体。
如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，那末推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。
否那末成认原假设，样本来自一样总体，处理间无差异。
作用一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。
方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最正确水平等。
方差分析是在可比拟的数组中，把数据间的总的“变差〞按各指定的变差来源发展分解的一种技术。
对变差的度量，采用离差平方和。
方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的局部离差平方和，这是一个很重要的思想。
经过方差分析假设拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均值不相等或者不全相等。
假设要得到各组均值间更详细的信息，应在方差分析的根抵上发展多个样本均值的两两比拟。
多个样本均值间两两比拟多个样本均值间两两比拟常用 q 检验的方法，即 Newman-kueuls 法，其根本步骤为：建立检验假设-->样本均值排序-->计算 q 值-->查 q 界值表判断结果。
9第七章方差分析II-双向交叉无重复
27.2509
SSA
1 b
xi2.
C
1 (121.332 10
121.122
121.852
)
C
0.0283
1
SSB a
x.2j
C
1(35.102 3
32.262
38.272)
C
26.7591
SSe SST SS A SSB 27 .2509 0.0283 26 .7591
0.4635 dfT ab 1 3 10 1 29 dfA a 1 3 1 2 df B b 1 10 1 9 dfe dfT df A df B 29 2 9 18
A因素（化验员）有3个水平，即a=3；B因素 （天数） 有10个水平 ，即 b =10 ， 共有 a×b=3×10=30个观测值。
1 计算各项偏差平方和与自由度
C x .2 ./a b 3.3 62/0 4 3 ( 1) 0 44 .82 1
SST
xi2j C (11.712 11.782 12.942)4423.8163
εij为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)
交叉分组两因素无重复观测值的试验，A因素 的每个水平有b次重复，B因素的每个水平有a次重 复，每个观测值同时受到A、B 两因素及随机误差 的作用。因此全部 ab 个观测值的总变异可以分解 为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异及试验误 差三部分；自由度也相应分解。
B2
10.81 10.7 10.75 32.26 10.75
表2 牛奶酸度测定结果
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
xi.
xi.
12.39 12.5 12.4 37.29 12.43
方差分析_精品文档
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2.2 组内观测次数相等的方差分析 K组处理中，每一处理皆有n个观测值，其方
差分析方法同前。
表5. 组内观测次数相等的单因素方差分析
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例2.测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵 州五个地区冬季针矛的长度，每个地区
随机抽取4个样本，测定结果如表示，试 比较各地区针毛长度差异显著性。
27
其中平均数差数标准误计算公式：
s x1x2
s12s22 n1 n2
se2(n11n12)
当n1=n2时，sx1x2
2se2 n
s e 2 为处理内误差方差，n为每一处理观察次数。
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例1. 表1. 氨氮含量(ppm)
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根据例1， s 2se2 2*9.112.13
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1.4.1 平方和的分解 总平方和=处理间平方和+处理内平方和
SSTSSt SSe
k
S S T 1
n(x x )2x 2 ( x )2x 2 T 2
1
k n
k n
令 C T 2 ，
kn
SST x2C
SSt =
Ti2 C n
SSe SSTSSt
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例如，分析不同施肥量是否给农作物产
量带来显著影响，考察地区差异是否影 响妇女的生育率，研究学历对工资收入 的影响等。这些问题都可以通过单因素 方差分析得到答案。
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• 单因素方差分析的第一步是明确观测变 量和控制变量。例如，上述问题中的观
实验设计与数据处理：2方差分析（09级温淑平修正均值为μ）
实验设计与数据处理：2⽅差分析（09级温淑平修正均值为µ）第2章⽅差分析2.1 概述⽅差分析（analysis of variance）是数理统计的基本⽅法之⼀，是分析试验数据的⼀种有效⼯具。
⽅差分析是在20世纪20年代初由英国统计学家费歇尔（R.A.Fisher）所创，最早⽤于⽣物学和农业实验，后在⼯业⽣产和科学研究中的许多领域⼴泛应⽤，取得良好的效果。
⼀、⽅差分析的必要性在第1章中，我们已经讨论了两个正态总体均值相等的假设检验问题。
但在实际⽣产中，经常遇到检验多个正态总体均值是否相等的问题。
例2-1 以淀粉为原料⽣产葡萄糖的过程中，残留有许多糖蜜，可作为⽣产酱⾊的原料。
在⽣产酱⾊之前应尽可能彻底除杂，以保证酱⾊质量。
为此，对除杂⽅法进⾏选择。
在试验中选⽤五种不同的除杂⽅法，每种⽅法做四次试验，即重复四次，结果见表2-1。
表2-1 不同除杂⽅法的除杂量(g/kg)本试验的⽬的是判断不同的除杂⽅法对除杂量是否有显著影响，以便确定最佳除杂⽅法。
我们可以认为，同⼀除杂⽅法重复试验得到的4个数据的差异是由随机误差造成的，⽽随机误差常常是服从正态分布的，这时除杂量应该有⼀个理论上的均值。
⽽对不同的除杂⽅法，除杂量应该有不同的均值。
这种均值之间的差异是由于除杂⽅法的不同造成的。
于是我们可以认为，五种除杂⽅法所得数据是来⾃五个均值不同的五个正态总体，且由于试验中其它条件相对稳定，因⽽可以认为每个总体的⽅差是相等的，即五个总体具有⽅差齐性。
这样，判断除杂⽅法对除杂效果是否有显著影响的问题，就转化为检验五个具有相同⽅差的正态总体均值是否相同的问题了，即检验假设H0: µ1=µ2=µ3=µ4=µ5对于这种多个总体样本均值的假设检验，第1章介绍的⽅法不再适⽤，须采⽤⽅差分析⽅法。
⼆、⽅差分析的基本思想⽅差分析的实质就是检验多个正态总体均值是否相等。
那么，如何检验呢？从表2-1可见，20个试验数据（除杂量）是参差不齐的。
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H 0：
2 A
0，
H A：
2 A
0
当接受H A时， 估计， A2 和 2
2020年7月18日星期
方差分析
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固定模型仅在供试处理范围内了解处理 间的不同效应。
例如：有5个品种，各取样3次，组成简单的 方差分析资料。
随机模型是通过不同处理对这些处理所 属总体进行推断。
例如：研究水稻杂交 F5 代系间单株干草重量 的遗传变异，随机抽取7个系进行测验，每系 取 3 个样品测定干草重(g/株)。
的平方根反正弦
sin 1。x一 般，若资料中的百
分数介于30%—70%之间时，因资料的分布接近于正
态分布，数据变换与否对分析的影响不大。产品合格
率、食品污染率、腐烂率等等二项分布资料。附表7
是百分数反正弦转换表，可以直接查得x的平方根反
正弦值。
2020年7月18日星期
方差分析
第6页
④ 倒数转换（reciprocal transformation）
研究特定处理，即
了解处理所在总体
了解几个固定处理的效 的某个性状的变异，即
应值。用α 效应说明结果。了解α的变异度，所以每
个试验应是随机的。
结论
仅能说明本试验的
可以外推到有限总
结果，不能外推。
体的变异。
F测验 H0： µ1= µ2 =… µk
H0：ˆ2 ＝0，HA：ˆ2≠0
2020年7月18日星期
方差分析
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方差分析的线性模型可分为固定模型(fixed model)和随机 模型(random model)：
（1）固定模型（fixed model）
在单因素试验的方差分析中，把k个处理看作k个明晰的总 体。如果研究的对象只限于这k个总体的结果，而不需推广到其 它总体；研究目的在于推断这k个总体平均数是否相同，即在于 检验k个总体平均数相等的假设H0：μ1=μ2=…=μk；H0被否定， 下步工作是进行多重比较；重复试验时的处理仍为原k个处理。
系的资料，尤其适用于总体呈泊松分布的资料。转换的
方法是求出原数据的平方根 x 。若原观测值中有为0
的数或多数观测值小于10，则把原数据变换成 x 1 ， 对于稳定均方，使方差符合同质性的作用更加明显。变
换也有利于满足效应可加性和正态性的要求。
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方差分析
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② 对数转换（logarithmic transformation） 如果各组数据的标准差、全距与其平均数大体成 比例或变异系数CV接近常数时，或者效应为相乘性或 非相加性，则将原数据变换为对数 lgx或 lnx（lg(x+1) 或ln(x+1)）后，可以使方差变成比较一致而且使效应 由相乘性变成相加性。
差 ˆ 2 npˆ (1 pˆ ) ；泊松分布资料的平均数与方差相
等 )。
2020年7月18日星期
方差分析
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对不能直接进行方差分析的资料应考虑采用非参 数方法分析或进行适当数据转换后再作方差分析。
常用的数据转换方法 ：
① 平方根转换（square root transformation）
此法适用于各组均方与其平均数之间有某种比例关
2020年7月18日星期
方差分析
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（3）混合模型（mixed model） 在多因素试验中，若既包括固定效应的试验因
素，又包括随机效应的试验因素，则该试验对应于 混合模型。混合模型在试验研究中是经常采用的。
2020年7月18日星期
方差分析
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固定模型与随机模型的区别
目的
固定模型
随机模型
当各处理标准差与其平均数的平方成比例 时，可
进行倒数转换。这种转换常用于以出现质反应时间为
指标的数据资料，也可用于数据两端波动较大的资料，
可使极端值的影响减小。对于一些分布明显偏 态的二
项分布资料，有人通过以下转换，可使x呈良好的正态
分布。
x (sin 1 p)1/2
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方差分析
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对于一般非连续性的数据，最好在方差分析前先 检查各处理平均数与相应处理内均方差是否存在相关 性和各处理均方差间的变异是否较大。如果存在相关 性，或者变异较大，则应考虑对数据作出变换。有时 要确定适当的转换方法并不容易，可事先在试验中选 取几个其平均数为大、中、小的处理试验作转换。哪 种方法能使处理平均数与其均方差的相关性最小，哪 种方法就是最合适的转换方法。
对数变换能使服从对数正态分布的变量正态化。如 环境中某些污染物的分布、人体中某些微量元素的分 布，可用对数转换改善其正态性。
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方差分析
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③ 反 正 弦 转 换 （arcsine transformation ）
平方根反正弦转换适用于服从二项分布的资料。
转换的方法是求出每个原数据（用百分数或小数表示）
处理效应并不固定，而是随机的，这种模型称为随机模型。
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方差分析
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单因素完全随机试验随机模型方差分析的统计模型为：
xij i ij i 1,2,, r; j 1,2,, m i相互独立且均服从N（ 0， A2） ij相互独立且均服从N（ 0， 2）
随机模型要检验的假设是：
这样，k个处理的效应(如αi= μi – μ )固定于所试验的处理的范围
内，处理效应是固定的。这种模型称为固定模型。一般的比较
性试验均属固定模型。
2020年7月18日星期
方差分析
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（2）随机模型（random model）
在单因素试验中 ，k个处理并非特别指定，而是从更大
的处理总体中随机抽取的k个处理而已，即研究的对象不局限
于这k个处理所对应的结果，而是着眼于这k个处理所在的更
大的总体；研究的目的不在于推断当前k个处理所属总体平均
数是否相同，而是从这k个处理所得结论推断所在大总体的变
异情况，检验的假设一般为处理效应方差等于零，
被否定，进一步的工作是估计
2
；
重复试验时 ，可在大处理总体中随机抽取新的处理。这样，
方差分析
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§1 数据的变换
如果在方差分析前发现有某些异常的观测值、处 理或单位组，只要不属于研究对象本身的原因，在不 影响分析正确性的条件下应加以删除。
有些资料就其性质来说就不符合方差分析的基本 假定。其中最常见的一种情况是处理平均数和均方有
一 定 关 系 ( 如 二 项 分 布 资 料 ， 平 均 数ˆ npˆ ， 方