第三章流体动力学基础2

所有流动参数仅取决于一个位置坐标的 流动被称为一维流动 ； 例如：气体在导管或管道中的运动 气流参数沿任意横截面的分布是均匀的； 流动各项参数（速度、压强等）都只是一个空间坐标的 函数 （定常条件） 流动参数取决于两（三）个位置坐标的流动被称为二（三） 维流动
一维定常流动连续方程：
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同理可得（亥母霍兹Helmholtz速度分解定 律）：
v y v yA ( z x y y x z) ( z x x z)
vz vzA ( y x x y z z) ( x y y x)
CS
v 2 A2 v1 A1
四、二维、三维流动的连续方程 直角坐标系中连续方程 dV v dA 0 t
CV CS
1. 利用奥-高定理，将曲面积分化为体积分
v n dA div v dV
CS CV


2. 变换积分微分顺序 则可得：
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第三章 流体动力学基础
经过时间t，原来的微团到达新的位置 A'B'C',不仅位置变了，形状也变了。为了比较 运动前后的形状变化，在点A'作出与A'B1C1等 同的三角形。同时标出B'和C',的投影点B2和C2。 其中B1B2,C1C2可表示线性拉长（缩短）：
1. 质量守恒律 2. 动量（矩）守恒律 3. 能量守恒 4. 熵增原理 前两个是力学的，后两个是热力学
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补充方程
5. 状态方程 6. 本构方程：物质内部不依赖外部条件的本身属性；应力张 量与应变率张量之间的关系
对于一个具体的流动，不一定需要应用所有 的定律 ； 积分形式的方程适合于求总体参量（如作用 在某一面或某一物上的压强合力）； 微分形式的方程适合于求物理量的分布。
DM Dt
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D dV
CV
Dt
t
dV v dA
CV CS
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定常流动：
流场中任意点密度不随时间变化，则质量也不随时间变化：
dV 0 t CV
定常流动连续方程化简为：
vx vx vx vx vxA x y z x y z vx vx vx 1 v y 1 vz vxA x y z y z x y z 2 x 2 x vx 1 vx v y 1 v v vxA x ( ) y ( x z ) z x 2 y x 2 z x 1 vx vz 1 v y vx ( ) z ( ) y 2 z x 2 x y vxA ( x. x z y y z ) ( y z z z )
dV 0 div v t CV
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3. 控制体CV是任取的一个区域，此积分为零则有：
divv 0 t
直角坐标系中三维流动连续方程： v x v y v z
微团上任一点的速度可用A点速度及其速度 导数（x,y,z x,y,z x,y,z）表示;但如何理解这些 导数的物理意义？ 利用流体微团变形图像的分析，明确上述表 达式中导数及其组合的物理意义
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其中，可以看到引入三种速度导数组合，分 别定义其为： v z v x v y z 线应变率(线变形率)： x y
x
y
z
剪切变形的平均角速度（剪切应变率）：
1 v z v y x ( ) 2 y z
1 v x v z y ( ) 2 z x
1 v y v x z ( ) 2 x y
转动角速度：
1 v z v y 1 v y v x 1 v x v z x ( ) y ( ) ) z ( 2 y z 2 x y 2 z x
1 p fy Dt y
Dvz 1 p fz Dt z 动量方程写成矢量形式： Dv gradp f 0 Dt D v v 1 或： v v f gradp Dt t
CS
v dA 0
不可压缩流动：
流场中任意一点密度不随时间、空间变化变化
[ dV v dA] 0 t CV CS v dA 0
CS
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三、一维流动的连续方程 一维、二维与三维流动模型
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二、流体微团运动分解的物理分析 1、线应变率(线变形率)：单位时间内单位长度 的变化
v x x , x
y
v y y
借助二维变化图，分析其意义 在运动的流体中取出一个边长为x和y的三 角形微团ABC，如图所示。以A为基点，分析 它在运动中的位置变化和形状变化。
A A2 A1
v dA v2dA2 v1dA1 2v2 A2 1v1 A1
2 v 2 A2 1v1 A1
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一维不可压缩流动连续方程：
v dA v2 A2 v1 A1
Ｘ方向的质量力为：
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f x xyz
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根据牛顿第二定律：
xyz
化简得：
Dvx p f x xyz xyz Dt x
Dvx 1 p fx Dt x
y, z方向同理得：
Dv y
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一、流体微团运动速度的分解 在运动的流体中任取一个流体微团，以微团 中任一点作为基点（如A点），分析其他点运 动速度
各点速度相对A点作Taylor展开，略去二阶小量
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设基点A上速度为： vxA, vyA，vzA 则在瞬时t， 任意点M速度可表达如下(略去二 阶以上小量)：
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二、连续方程（质量守恒方程） 任意瞬时充满控制体的流体质量： dV

CV

单位时间内控制体内流体质量变化率：
dV t CV
v d A 单位时间内，流入流出控制体的净质量流量： CS 质量守恒在控制体中的表达： 控制体中流体质量对时间的变化率等于单位时间内流经 全部控制体面的净质量流量； 控制体中质量增加量是同一时间内流入与流出控制体的 质量差；
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因而有连续方程：
dV v dA 0 t CV CS or dV v dA t CV CS
雷诺输运定理：任一瞬时系统内随流物理量X 随时间的变化率（随流导数）等于该瞬时同形 状、同体积控制体内物理量的变化率与穿过控 制面的随流物理量的流通率之和 流体的质量在运动过程中不生不灭，保持不 变
t x y z 0
定常流动连续方程： v x v y v z 0 x y z 不可压缩流动连续方程： v x v y v z 0 x y z
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§４流体运动方程
一、理想流体的运动方程（欧拉方程） 从流体中取出一个平行六面体形状的微元控 制体，如图所示
不计粘性时，作用在该流体微团上的力应包括 正压力和质量力。


x方向：
Ｘ方向的压力差为：
p p p p x y z xyz 来自百度文库 x x
rot 称为流体的涡量或旋度。涡量等于流体微 团转动角速度的两倍 由旋度是否为零，可判断流动为有旋或无旋 流动
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总结：
v v A v D vr
通过上述分析，表明流体微团的运动由如下 三部分组成： ① 以速度V0 作整体平移运动； ② 以角速度绕某瞬时轴作整体旋转运动 ③ 以线应变率（x y z）作线变形运动和以 剪切应变率（x y z ）作剪切变形运动 注意：柱坐标、球坐标系内表达式不同
v x B1 B2 (v xB v xA )t xt x v y C1C2 (v yC v yA )t yt y
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vx xt x
x方向的变化
v x x x
x向相对速度

v x x x
2 x y
同理可知：
1 v z v y x ( ) 2 y z
1 v x v z y ( ) 2 z x
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就整体考虑，流体微团绕某一个瞬时轴转动 的平均角速度 ：
xi y j z k 1 v z v y v x v z v y v x i k j 2 z z x y x y 1 1 (rotv ) ( v ) 2 2
v y vx , x y
总体变化角度为：
平均角变形速度：
微元一个边绕z轴的剪切变形角速度
vx ( ) t x y 1 v y v x z ( ) 2 x y
v y
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3、旋转角速度 通常情况下，流体微团两边的变形角度并不 对称相等，故流体微团在xoy平面上除产生剪 切应变外，还有绕z轴的整体旋转。（设逆时 针为正） 1 v y v x 旋转的平均角速度： z ( )
x向的线变形速率，线变形率，线应变速度
x y z 分别为x, y, z方向的线变形率
三个直线变形率之和称为速度的散度，它表明了流体体 积的相对变化率。
divV x y z
对于不可压缩流动，散度为零。
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第三章 流体动力学基础 2、剪切变形率：单位时间内直角变化量的一半 再看角度变化 v y B AB2 (v yB v yA )t / x t x v x C A C 2 (v xC v xA )t / y t y 角速度为:
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§3 流体力学连续方程
流体力学研究思路：认识现象运用基本物 理定律和假设，建立方程组合理简化 ，适 定定解条件求解 验证 流体力学基本方程组：反映流体运动所遵循 的物理定律;是第一步，也是核心和关键 一、流体运动时所应遵循的物理定律