第六章力法结构力学

n
M Mi Xi M P i 1
n
FN FNi Xi FNP i 1
n
FQ FQi Xi FQP i 1
力法步骤:
1.确定超静定次数，列选取适当的基本体系； 2.写出位移条件,力法典型方程； 3.作单位内力图,荷载内力图; 4.求出系数和自由项； 5.解力法方程； 6.叠加法作内力图。
1 11X1 12 X 2 13 X3 1P 0 2 21X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 3 31X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
力法步骤:
1.确定基本体系
4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图
内力是超静定的，约束有多余的，这就是超静定 结构区别于静定结构的基本特征。
二.超静定结构的性质 1.内力与材料的物理性质、截面的几何形状和尺寸有关。
2.温度变化、支座移动一般会产生内力。
与静定结构相比, 超静定结构的优点为: 1.内力分布均匀 2.抵抗破坏的能力强
三.超静定结构的类型
1）梁
2）拱 3）桁架
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 P 31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
力法的基本结构:解除超静定结构中的全部多余约束， 得到的静定的几何不变体系。
几点注意：
• 一结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余 约束的方式是多种多样的。
• 在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去 掉。
• 在支座解除一个约束，用一个相应的约束反力来 代替，在结构内部解除约束，用作用力和反作用 力一对力来代替。
练习
P
EI
EI
l
l 作弯矩图.
力法步骤:
1.确定基本结构
4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图
P
EI
P
EI
l
l
解: 1 0
X1
11 X1 1P 0
11 4l 3 / 3EI
1P Pl 3 / 2EI
l
P
X1 3P / 8()
第六章 力 法
基本要求：
熟练掌握力法基本结构的确定、力法
方程的建立及其物理意义、力法方程中的 系数和自由项的物理意义及其计算。
掌握力法解刚架、排架和桁架，了解 用力法计算其它结构的计算特点，会利用
对称性，掌握半结构的取法
了解超静定结构的位移计算及力法计
算结果的校核，其它因素下的超静定结构 计算。
本章内容
4）刚架
5）组合结构
四.超静定结构的计算方法 1.力法----以多余约束力作为基本未知量。
2.位移法----以结点位移作为基本未知量. 3.混合法----以结点位移和多余约束力作为
基本未知量.
4.力矩分配法----近似计算方法. 5.矩阵位移法----结构矩阵分析法之一.
五、 超静定次数的确定
=3×5－5=10
例1：
(b) (a)
框格数k = 2 单铰数h = 2
n = 3×2-2 = 4
框格数k = 4 单铰数h = 6
n = 3×4-6 = 6
框格数k = 7 单铰数h = 0
n = 3×7-0 = 21
框格数k = 5 单铰数h = 7
n = 3×5-7 = 8
七、力法的基本结构
FNi FNpl EA
ii
M
2 i
ds
yc
EI
EI
刚架和梁 ik
MiM k ds yc
EI
EI
ip
MiM p ds yc
EI
EI
组合结构
ii
FN2i ds EA
M
2 i
ds
FN2il
yc
EI
EA
EI
ik
FNi FNk ds EA
M iM k ds FNi FNkl yc
EI
EA
EI
ip
FNi FNp ds EA
MiM p ds EI
FNi FNp yc
EA
EI
同一结构选不同的基本体系进行计算，则： 1）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含 义不同；方程中的系数和自由项不同。 2）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。 因此，应尽量选取便于计算的静定结构为基本体 系。
例 求图示刚架M图。
q
B
C
E1I1 l
E2I2 l A
E1I1 k E2 I 2
原结构
q
X1
B
C
φA=0
X2
ΔφB=0
A 基本体系
1. 力法方程
11X1 12 X2 1P B 0 21X1 22 X 2 2P A 0
2. 方程求解
q
B
C
ql 2 8
A
MP图
1P
1 E1I1
2 3
l
1 ql 2 8
1 2
ql3 ql3 24E1I1 24E2I2k
2P 0
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
X2=1
A
E2I2 l
M 2图
1
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
1 M2图
11
1 E1I1
• 只能去掉多余约束，不能去掉必要的约束，不能 将原结构变成瞬变体系或可变体系。
6.2 力法的基本概念
一.力法的基本原理
力法的基本概念 1、超静定结构计算的总原则:
欲求超静定结构先取一个基 本体系，然后让基本体系在受 力方面和变形方面与原结构完 全一样。
力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件
P
P 对1吗0?0
0
P
X1 1
11
1 2
1
2
1
FNP
FN1
X1
X1
1
X1a EA
具有弹簧支座结构的力法求解
弹簧支座分为拉压弹簧支座和转动弹簧支座两 类，如下图示。
FP
k FP
Δ
拉压弹簧支座
M
kM
θ
转动弹簧支座
q
B EI l
EI l
C
k 2EI l3
A
5ql 4
X1
1P
11
l3 48E1I1
将求得的系数代入力法方程就得到：
l k 1
l
ql 3
( 3E2 I 2
k
)X1
6 E2 I 2
X2
24 E2 I 2 k
0
l 6 E2 I 2
X1
l 3E2 I 2
X2
0
2(k 1) k
X1
X2
ql 2 4
1 k
0
X1 2X 2 0
解方程得：
X1
1 2
ql 2
1 3k
4
(
)
X2
1 4
X2
X1
X2
X3
X1
X2
撤一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，
相当于去掉两个约束。
X3
X4
X2
X1
X1
X2
断一根弯杆、去掉一个固定端，去掉三个约束。X1 X3 X1
X2 X3
每个无铰封闭框都有三次超静定 X1 X2
超静定次数=3 × 封闭框数 超静定次数=3×封闭框数－单铰数目
=3×5=15
ql 2
1 3k
4
(
)
3. 讨论
1）当k=0，即E1I1很小或E2I2很大，则
X1
ql 2 8
X2
ql 2 16
刚架弯矩图为：
1 ql2
C
8
B 1 ql2
16
1 ql2 8
B
C
1 ql2 16
A
1 ql2 16
M图
可见，柱AB相当于在横梁 BC的B端提供了固定约束。
2）当k=1，刚架弯矩图如图a)示。
几何对称 支承对称 刚度对称
非对称结构 刚度不对称
(1). 对称性的概念
对称结构:几何形状、支承情况、刚度分布对称的结构.
对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向 和作用点对称的荷载
反对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作 用点对称,方向反对称的荷载
P
P
P
P
对称荷载
反对称荷载
(1). 对称性的概念 (2).对称性的利用
由(1)式确定结构的超静定次数 ，为“解除多余约束 法”。 即： 在超静定结构上去除多余约束，使它成为几何不 变的静定结构，而所去除的多余约束的数目，就是原结 构的超静定次数。
六、解除多余约束的方法
断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联 接、将一固定端改为固定铰支座，相当于去掉一个约束。
X1
例3. 力法解图示桁架.
EA=常数.
解: 1 0
P
-P/2
2P / 2
X1
P
11X1 1P 0
P/2
-P/2 a
11
F 2N1l 4(1 2) a
EA
EA
2P / 2
P/2
1P
FN1FN Pl 2(1 2) Pa
EA
EA
a 00
X1 P / 2
变P形条件2仍P 为:
FN FN1 X1 FN P X1
X1=1
M1
Pl
MP
3 Pl 8
M M1 X1 M P
P
EI
EI
l
5 Pl 8
M
l
力法步骤:
1.确定基本体系
4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图
P
wenku.baidu.comEI
EI
l
P
解: 1 0
X1
11 X1 1P 0
11 l 3 / 3EI
（变形协调条件）。
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
〓
RB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B 当ΔB=Δ1=0
X1 =><RB
〓
δ11
+
×X1 X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
二、ii q力法↓M↓E↓↓I的i↓2↓↓d↓典s 型0,方ik程
MiMk ↓↓E↓↓I↓↓↓↓
384E1I1
h E2 A2
c3 2h2E3 A3
M M1X1 MP FN FN1X1 FNP FN1X1
由上式：横梁由于下部桁架的支承，弯矩大为减小。
如E2A2和E3A3都趋于无穷大，则X1趋于5ql/8，横梁的弯矩图接
近
于两如跨E连2A续2 或梁E的3A弯3趋矩于图零。，则X1都趋于零，横梁的弯矩图接近于简 支
1 ql2 14
C
B 5 ql2
56
B
C
1 ql2 8
A
1 ql2 28
a) M图
A
b) M图
3）当k=∞，即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AB抗 弯刚度趋近于零，只提供轴向支撑，故梁BC相当
于简支梁，M图见图b)。
结论：
在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆 抗弯刚度EI的比值k 有关，而与杆件抗弯刚度 EI的绝对值无关。若荷载不变，只要 k 不变， 结构内力也不变。
ds
B
0 0 0
,iP
M M δ11 iP EI
0
ds
δ21
0 0
系数主与系外数因恒无B为关正，，与付基＝系本数体Δ基Δ、系BB本VH自的体==ΔΔ系由选21=项取=00X可有2 正关δ1X2＝可，1 负自可由为项×零与X1。外＋主因系有X数关1=、。1 付
A
δ22
↓↓↓↓↓↓↓↓
Δ1=Δ11＋Δ12＋Δ1P=0
1 2
1 l
2 3
1
1 E2 I 2
1 2
1
l
2 3
1
l l l E1I1 E2I2 l k 1 3E1I1 3E2I2 3 E1I1E2I2 3E2I 2 k
( E1I1 k) E2 I2
12
21
1 E2 I2
1 1 l 1 1
2
3
l 6E2 I2
22
l 3E2 I 2
Δ2P
δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0
＋ X2=1
δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝0
×X2
Δ1P
含义:基本体系在多余未知力和荷载共同作用下，产生的多余未知
力方向上的位移应等于原结构相应的位移，实质上是位移条件。
主系数δii表示基本体系由Xi=1产生的Xi方向上的位移
付系数δik表示基本体系由Xk=1产生的Xi方向上的位移 自由项ΔiP表示基本体系由荷载产生的Xi方向上的位移
l
1P Pl 3 / 2EI
X1=1 Pl
P
X1 3P / 2()
M M1 X1 M P
l M1
Pl
MP
1 Pl M
2
6.3 超静定结构在荷载作用下的计算
桁架
ii
F
2 Ni
ds
F 2Nil
EA
EA
ik
FNi FNk ds EA
FNi FNkl EA
ip
FNi FNp ds EA
超静定结构中的多余约束数目称为超静定次数
从几何特征来看，从原结构中去掉n个约束，结构就成 为静定的，则原结构即为n次超静定，因此
超静定次数 = 多余约束的个数
（1）
即: 把原结构变成静定结构时所需撤除的约束个数。
从静力特征来看，超静定次数等于根据平衡方程计算未 知力时所缺少的方程的个数，因此
超静定次数 = 多余未知力的个数 = 未知力个数 - 平衡方程的个数 （2）
概述 力法的基本结构 力法的基本原理与典型方程 超静定结构在荷载作用下的计算 对称性利用 超静定结构的位移计算 超静定结构在温度变化影响下的计算 超静定结构在支座位移影响下的计算
6.1 概述
一.超静定结构的静力特征和几何特征
几何特征:有多余约束的几何不变体系。 静力特征:仅由静力平衡方程不能求出
所有内力和反力.
梁的弯矩图。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/32 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/8
作业
• 6-3 a 6-4 c 6-5 a
6.5 对称结构的计算
(1). 对称性的概念
对称结构:几何形状、支承情况、刚度分布对称的结构.
支承不对称
对称结构