3第三章-单元类型及单元刚度矩阵

EJz
4 l2
(3

2)2 dx

4EJz l
k33
l 0
EJz
36 l4
(1

2
)2
dx

12EJz l3
k44
l 0
EJz
4 l2
(3
1)2 dx

4EJz l
k12
l 0
EJz
12 l3
(2
1)(3

2)dx

6EJz l2
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元 元素的计算
1.杆单元
●二次杆单元 单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j,
三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物 线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即
同样令
0
1
x xi x xj
1 1 ; 2
F
Fξ
i(1)
(3)
l
j(2) x
二、一维单元及其单元刚度阵
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
一、形状函数类型及其特征
1.Langrange型形状函数
2.Hermite型形状函数
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
2.三次梁单元
三、二维单元及其单元刚度阵
wk.baidu.com
1.三角形单元
2.矩形单元
四、三维单元及其单元刚度阵
1.六面体单元
2.四面体单元
3.曲线等参元
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
D E
k e
BT DBdV

l
0
( BT DBdA)dx
V
A
引入

l
0
(E

y
2
N
T
N
dA)dx
A
J z y2dA A

l 0
E
J
z
N
T
N
dx
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
单
元
12 6l 12 6l
刚
度
ke

EJz l3

6l
12
4l 2 6l
6l 12
2l
2

6l
矩 阵

6l
2l 2
6l
4l
2

元素的计算
k11
l 0
EJz
36 l4
(2
1)2 dx

12EJz l3
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
元素的计算
k22
l 0
N1 (l x) l; N2 x l
u

x 0
l l
u1

x0 l 0
u2

u

N1
N2
uu12

二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
代入 ，有
令 1 1 ; 2
所以单元内点位移为
单元应变
N1 1 ; N2
1.杆单元
●二次杆单元
u(x)

(
x (
l
2 l
)(x )(l)
l
)
u1

(
x

0)(x l(l )

l 2
)
u2

(
x (l
0)(x )( l )
l)
u3
2
2
22
令 N1 (2 1)( 1) 212 1 N2 2 2 222 2 N3 4 (1 ) 412
一、形状函数类型及其特征
在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设 适应满足的4项原则。
●包含单元的刚体位移 ●包含单元的常应变状态 ●保证不偏惠各坐标轴 ●保证单元内位移连续
体现位移函数完备性 体现位移函数几何不变性 体现位移函数协调性
一、形状函数类型及其特征
要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。
三、二维单元及其单元刚度阵
1.三角形单元
●一次三角形单元
●面积坐标
y
A3
如图所示，在三角形单元A1A2A3中， 有任意一点P(x,y)连接PA1、PA2、PA3,
P(x,y) 得到三个小三角形：Δ PA2A3、
A1
A2 Δ PA3A1、Δ PA1A2,记面积比为：
1
1

这是一次杆单元的单刚阵，它对 称、对角线元素大于零且奇异！
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时， 其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：
ke
GJ l
1 1
1
1

Mn i(1)
Mn l
ξ j(2) x
二、一维单元及其单元刚度阵
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，
将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元 形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。
●一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部
坐标 ，记 x l，并取i为x坐标的原点，则有

0 0
)22
N 1 N 2 N 3 N 4 v1 1 v 2 2 T
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
其中
N1

(1
2x )( x l
l )2 l

(1
2 )(
1) 2
N2

x(1
x )2 l

l (1 )2
N3

1
2(
k13
l 0
EJz
36 l4
(2
1)(1
2 )dx


12EJ l3
z
k14
l 0
EJz
12 l3
(2
1)(3
1)dx

6EJz l2
k23
l 0
EJz
12 l3
(3

2)(1
2
)dx


6EJz l2
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元 元素的计算
v1
d2N dx2
4
v21

2
其中 B yN1 N2 N3 N4 yN
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元 同样令
0
1
x xi x xj
1 1 2
N1

1)
(42 1)
(41 42 )
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
单元应力为 E D E
单元刚度矩阵
7 1 8
k e

Al BT
DBdx

EA 3l

1
7 8
元素的计算
8 8 16
k11
Ni Xi 1
Ni X j 0
m
2. Ni Xi 1
i 1
3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续
工程4实.保际证中所有定一义种位结移构函，数特反征映为常：应存变在状一态个长维，但 相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可 以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类 结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同， 一维单元又可分为杆单元和梁单元。
1.杆单元
●一次杆单元
所以，几何矩阵为 B 1 l 1 l
单元应力为 E
D E 弹性矩阵
单元刚度矩阵通式为 k e BT DBdV
k e AlBT DBdx
V
AlBT DB
代入，得

EA 1 l 1
k24
l 0
EJz
4 l2
(3

2)(2
1)dx

2EJz l
k34
l 0
EJz
12 l3
(1
2
)(3
1)dx


6EJz l2
其余元素利用对称性可求的
k21 k12 k32 k23
k31 k13 k42 k24
k41 k14 k43 k34
三、二维单元及其单元刚度阵
k23


EA l2
l
0 (42 1)(41 42 )dx
EA (8) 3l
其余元素利用对称性可求得
k21 k12
k31 k12
k32 k23
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
梁单元如图所示，仅考虑节点在xoy平面内的位移 为v、θ ，这时一个单元有四个自由度，形状函数为 三次多项式，即使用三次Hermite插值多项式。

EA l2
l 0
(41

42
)2dx

EA 16 3l
k12
EA l2
l
0 (42 1)(42 1)dx
EA 1 3l
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 元素的计算
●二次杆单元
k13
EA l2
l
0 (41 1)(41 42 )dx
EA (8) 3l
二维单元用于分析和解决平面问题和轴对称为 题。在第二章中已详细介绍过，而且是在直角坐 标中推导的。在下面这一节中，我们将介绍两种 平面单元，即三角形单元和四边形单元，包括一 次和二次三角形单元以及一次四边形单元。
1.三角形单元
三角形单元按其位移的阶数分为一、二、三次单元。
●一次三角形单元
第二章详细介绍过这种单元，其形状函数是坐标 的一次多项式，推导采用直角坐标。对于高次三角 形单元，这类坐标不方便，特此引入面积坐标。
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
u1
所以单元内点位移为
u(x) N1
N2
N
3
u2

单元应变
u3


1 dN1
l

d
dN2
d
dN1
d

uu12 u3


B

e
几何矩阵为
B

1 l

(41
有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单 元内用较简单的函数描述单元位移，即
u~(x) m Ni (x)qi i 1
这是对单元位移u(x)的近似。在前面两章的介绍 中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内 点位移，这里所用的变量qi，是节点位移的一种推 广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节 点位移和节点位移导数。Ni为形状函数。根据单元 广义节点位移的不同，形状函数分两类：Langrange 和Hermite型。
y
Qy1 1
Mz1 z
Qy1
2x l MZ2
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元 Hermite位移插值多项式
v(x )

(1

2
x
0

0)(x l0

l l
)2v
1
(1

2
x l

l )(x 0l

0 0
)2v
2
(x

0)(x
0

l l
)21
(x

l)(x l
得 N1 1; N2 2
u(x) 1
2
uu12



du dx

du
d
d
dx
1 du
l d

1 l

dN1
d
11 l
1uu12


B

e
dN2
d

uu12

二、一维单元及其单元刚度阵
6 l2
(2
1)

6 l2
(1
21 )
N 2

2 l
(3

2)

2 l
(2

21 )
N 3

6 l2
(1
2 )

6 l2
(1
22 )
N 4

2 l
(3
1)

2 l
(22

1 )
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
单元应力为 E
单元刚度矩阵
x l
l
)
(
x l
)
2

(3
2 )
2
N4

(x l)(x)2 l

l (
1) 2
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）


y
d 2v dx2



y

d 2 N1 dx2
d 2N2 dx2
B e
d 2N3 dx2
F i(1)
Fξ j(2) x
l
0
1
x xi x xj
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是 描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。 对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点 间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算 （二点一次拉氏插值），即
EA l2
l 0

(41
2
1) dx

EA 7 3l
可以直接应用
x2 x1
1mn2dx

( x2

x1 )
(m!)(n!) (m n 1)!
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 元素的计算
●二次杆单元
k22

EA l2
l 0
(42
1)2dx

EA 7 3l
k33
二维单元的帕斯卡三角形
1
x
y
x2
xy
y2
x3
x2 y
xy 2
y3
一、形状函数类型及其特征
1
x
y
三
z
维 的
x2
xy
y2
帕
zx
yz
斯
z2
卡
x3
x2 y
xy 2
y3
三
zx 2
xyz
y2z
角
z2x
yz 2
形
z3
一、形状函数类型及其特征
形状函数应该满足以下条件
1.
Ni
X
l


1 0
l i l i
一、形状函数类型及其特征
1.Langrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定。
2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点 位移和节点位移导数。