等差数列的判定与证明-前n项和

等差数列的判定与证明-前n项和公式法
复习回顾
1.等差数列的{an}的通项公式
an=a1+(n-1)d
2.等差数列的{an}前n项和的公式
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) S n na1 d 2
3．数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝
S1 Sn－Sn－1
当n为奇数时，Sn的一些性质 1 ）S n n a n 1 (项数与中间项的积）
2
2）S奇 S偶 a n （中间项） 1
2
S n 1 3） 奇 (项数加1 比项数减1 ） S偶 n 1
当n为偶数时
1）S n n 2）S偶 S奇
2
an an
2
1
2 n d 2
n2)=n2－10n+50
10n n 2 ( n 5) 即Tn 2 ( n 5) n 10n 50
(项数与中间两项平均数 的积）
an S奇 2 3) (中间两项的比） S偶 an
2 1
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前n项和Sn最大（最小）
1）在 a1 0, d 0, 求n为何值时 S n最大， an 0 可由不等式组 来确定 n a n 1 0 2)在a1 0, d 0, 求n为何值时 S n最小， an 0 可由不等式组 来确定 n a 0 n 1
n＝1 ，当已知数列前 n 项和 Sn 或 n≥2且n∈N*
关于 Sn 的关系式求通项时主要应用此关系式．应用此关系式 时， 莫忘对 a1＝S1 是否满足 an 的表达式进行检验． 若满足则合 并在一块表达，若不满足，则分段表达．
4．等差数列前 n 项和公式中涉及五个量 a1，d，n，an，Sn， 已知其中任意三个就可以列方程组求另外两个 (简称“知三求 二”)，它是方程思想在数列中的体现．
解：由已知可得通项公 式an 60 3( n 1) 3n 63 3n 63 0 , 解得 n 21 3 ( n 1 ) 63 0 数列的前 21项和最小
例3 已知数列｛an｝的前n项和Sn=10n－n2 (n∈N*),又 bn=│an│(n∈N*),求｛bn｝的前n项和Tn 解：易得an=Sn－Sn－1=11－2n,(n≥2)，又a1=S1=9, ∴an=11－2n,（n∈N*）∵a5>0,a6<0,∴当n≤5时，bn=an, Tn=Sn=10n－n2,当n>5时，bn=－an,,Tn=2S5－Sn=50－(10n－
例题1 已知项数为奇数的等差数列｛an｝,奇数项
之和为44，偶数项之和为33，求项数n
解：由题意， S奇 44，S偶 33
2
S奇 S偶 a n1 11 又 S n n a n1 S奇 S偶 77
2
11n 77, n 7
例2 数列｛an｝中，a1=－60,且an+1=an+3,则这个数列前 多少项之和最小？